ALGAIM143 1314teste1 enunciado

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Álgebra Linear e Geometria Analítica I (M143) 2013/14
Teste 1 – 23-10-2013
Nome completo: Número mecanográfico:
Curso:
Nas perguntas 1-4 deve apenas escolher a opção correcta sem justificar; à ausência de
resposta é atribuída a cotação de 0, a uma resposta errada é atribuída uma cotação de −0, 2
valores.
Na pergunta 5 deve apenas assinalar a opção correcta sem justificar; à ausência de resposta
é atribuída a cotação de 0, a uma resposta errada é atribuída uma cotação de −0, 5 valores
1− 4 5 6a b c 7a b c 8
1. (0, 6 val.) Para cada k ∈ R, considere o sistema
 x+ y + 2kz = k + 1x− y + 2kz = −k
x+ y + 5kz = k + 1
, nas incógnitas x, y, z.
Se k = 0, então o sistema é impossível.
Se k = 0, então o sistema é possível e determinado.
Se k = − 12 , então o sistema é possível e indeterminado.
O sistema é sempre possível.
2. (0, 6 val.) Considere as matrizes A =
 1 0 30 −1 5
0 0 7
 e B =
 1 0 30 −1 5
4 1 7
.
carA = carB = 3
carA = 3 e carB = 2
carA = 2 e carB = 3
carA = carB = 2
3. (0, 6 val.) Seja A ∈M3,3(R) tal que detA = −5.
det(2A−1) = − 25
det(2A−1)t = − 85
det(−2A) = −40
det(−2A−1) = 25
4. (0, 6 val.) Em R3 considere u = (1, 3, 0), v = (1,−1, 2), w = (0, 0, 1).
(3, 1, 4) não é combinação linear de u, v.
(3, 1, 4) é combinação linear de u, v, w.
w é combinação linear de u, v.
w é combinação linear de u, v e (3, 1, 4).
5. (1, 5 val.) Para cada uma das seguintes afirmações, diga se é verdadeira.
V F Qualquer sistema possível com 5 equações e 8 incógnitas é indeterminado.
V F Se num sistema de 6 equações a 5 incógnitas o determinante da matriz do sistema é 6, então o sistema é impossível.
V F Qualquer sistema homogéneo de 7 equações a 3 incógnitas tem apenas a solução nula.
6. Sejam A =
(
1 4
2 1
)
e B =
(
1 0 1 + i
2− i 3 −i
)
; indique sem justificar:
a) (0, 5 val.) AB b) (0, 5 val.) A−1 c) (0, 3 val.) Bt
7. Seja M =
 1 −1 1 1−1 1 1 1
1 −1 3 3

a) (0, 5 val.) Determine, justificando, a forma de Gauss de M .
b) (0, 3 val.) Utilize a alínea anterior para resolver o sistema
 x− y + z = 1−x+ y + z = 1
x− y + 3z = 3
.
c) (0, 6 val.) Determine, justificando, os valores de a, b, c para os quais o sistema
 x− y + z = a−x+ y + z = b
x− y + 3z = c
é possível e
determinado e os valores para os quais o sistema é impossível.
a) forma de Gauss de M b)conjunto solução:
c) sistema possível e determinado:
sistema impossível:
8. (0, 4 val.) Determine uma expressão para det
 a b c1 2 3
4 5 6
 envolvendo determinantes de matrizes de duas linhas e
duas colunas, utilizando o desenvolvimento de Laplace ao longo da segunda linha da matriz dada.