Teoremas calculo

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Teoremas fundamentais do cálculo diferencial e aplicações
Teoremas fundamentais do cálculo diferencial e aplicações
Vamos explorar em seguida alguns teoremas importantes sobre funções
reais de variável real deriváveis.
Estes teoremas, para além de nos ajudarem a compreender melhor estes
conceitos, estão na base de muitas aplicações importantes do Cálculo
Diferencial.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 5. 1
Teoremas fundamentais do cálculo diferencial e aplicações
Máximos e mínimos locais
Começamos por relembrar o conceito de máximo e mínimo local. Dados
D ⊆ R e f : D → R, dizemos que f tem um máximo local em x0 ∈ D se
existir ε > 0 tal que f (x0) = max f (D∩]x0 − ε, x0 + ε[). Analogamente se
define mínimo local.
Seja f : D → R e suponhamos que D contém um intervalo da forma
]x0 − ε, x0 + ε[ (x0 é ponto interior de D). Se f tem um máximo ou
mínimo local em x0 e é derivável em x0, então f
′(x0) = 0.
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Teoremas fundamentais do cálculo diferencial e aplicações
Máximos e mínimos locais
De facto, suponhamos que f ′(x0) = limh→0
f (x0+h)−f (x0)
h
> 0 (o caso
f ′(x0) < 0 é análogo). Pelo Princípio da Permanência do Sinal, existe
δ > 0 tal que
0 6= |h| < δ ⇒ f (x0 + h)− f (x0)
h
> 0.
Logo
h ∈]0, δ[ ⇒ f (x0 + h) > f (x0),
h ∈]− δ, 0[ ⇒ f (x0 + h) < f (x0),
o que impossibilita que f tenha um máximo ou mínimo local em x0.
Os pontos em que f ′(x) = 0 dizem-se os pontos críticos de f .
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Candidatos a máximos e mínimos
O Teorema de Weierstrass garante que uma função contínua definida num
intervalo fechado e limitado atinge um máximo e um mínimo.
Uma vez que os extremos (absolutos ou globais) também são extremos
locais, o resultado anterior permite-nos identificar candidatos a pontos de
valor máximo ou mínimo para uma função f : [a, b] → R contínua.
Seja f : [a, b] → R contínua. Os pontos de valor máximo ou mínimo de f
estão entre:
As extremidades do intervalo, a e b;
Os pontos críticos de f em ]a, b[;
Os pontos onde f não é derivável.
Se soubermos calcular os pontos críticos de f (nem sempre é possível), e
calcular o valor da função em todos estes candidatos, podemos determinar
o máximo e o mínimo por simples comparação destes valores.
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Candidatos a máximos e mínimos
Exemplo
Seja f : [−1, 2] → R definida por f (x) = x3 − x = x(x − 1)(x + 1). Como
f ′(x) = 3x2 − 1 = 3(x −√1/3)(x +√1/3), os pontos críticos de f são
x = −√1/3 e x = √1/3 (ATENÇÃO: é importante confirmar se
pertencem ao domínio da função, o que é o caso). Logo os possíveis
pontos de máximo e mínimo de f são −1,−√1/3,√1/3, 2.
-1 2
√1/3 
−√1/3 
Ora,
f (−1) = 0,
f (−√1/3) = 23
√
1
3 ,
f (
√
1/3) = −23
√
1
3 ,
f (2) = 6.
Como −23
√
1
3 < 0 <
2
3
√
1
3 < 6, o valor máximo da função é 6 e o seu
valor mínimo −23
√
1
3 .
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Teorema de Rolle
Este é um excelente exemplo de como a derivada pode fornecer informação
muito útil sobre a função de que partimos. Vamos continuar a explorar
estas importantes relações entre uma função (derivável) e a sua derivada.
Teorema de Rolle
Seja f : [a, b] → R derivável tal que f (a) = f (b). Então f ′(c) = 0 para
algum c ∈ ]a, b[.
a
f(a)=f(b)
c c b1 2
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Teoremas fundamentais do cálculo diferencial e aplicações
Teorema da Média de Lagrange
Demonstração: Sejam m,M ∈ [a, b] pontos de mínimo e máximo de f ,
respectivamente. Se m ou M está em ]a, b[, é necessariamente um ponto
crítico pelo resultado anterior, e obtemos o pretendido.
Resta-nos o caso em que m,M ∈ {a, b}. Mas então f (a) = f (b) implica
f (m) = f (M), logo f é constante e qualquer c ∈ ]a, b[ satisfaz f ′(c) = 0.
O Teorema de Rolle é na realidade um caso particular do seguinte
resultado:
Teorema da Média de Lagrange
Seja f : [a, b] → R derivável. Então f ′(c) = f (b)−f (a)
b−a para algum
c ∈ ]a, b[.
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Teorema da Média de Lagrange
Como f ′(c) é o declive da recta tangente ao gráfico de f no ponto
(c, f (c)), o Teorema da Média de Lagrange ganha um significado
geométrico claro:
Há pelo menos um ponto do gráfico de f em que a recta tangente é
paralela ao segmento de extremidades (a, f (a)) e (b, f (b)).
c1 c2a b
f(a)
f(b)
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Teorema de Cauchy
Por sua vez, o Teorema da Média de Lagrange admite uma versão mais
geral:
Teorema de Cauchy
Sejam f , g : [a, b] → R deriváveis. Então
(g(b) − g(a))f ′(c) = (f (b)− f (a))g ′(c) para algum c ∈ ]a, b[.
De facto, se g(x) = x , esta igualdade equivale a
(b − a)f ′(c) = f (b)− f (a) e logo a f ′(c) = f (b)−f (a)
b−a . Note-se que, nos
casos em que a divisão é possível, a igualdade do Teorema de Cauchy
pode ser escrita como
f ′(c)
g ′(c)
=
f (b)− f (a)
g(b) − g(a) .
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Teorema de Cauchy
Demonstração: Seja h : [a, b] → R a função definida por
h(x) = (g(b) − g(a))f (x)− (f (b)− f (a))g(x).
É imediato que h é derivável e
h′(x) = (g(b)− g(a))f ′(x) − (f (b)− f (a))g ′(x).
Além disso,
h(a) = g(b)f (a)− f (b)g(a) = h(b).
Pelo Teorema de Rolle, temos h′(c) = 0 para algum c ∈ ]a, b[. Logo
(g(b) − g(a))f ′(c) − (f (b)− f (a))g ′(c) = 0 e portanto
(g(b) − g(a))f ′(c) = (f (b)− f (a))g ′(c).
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Aplicações dos teoremas da média
Derivada nula
Uma primeira aplicação do Teorema da Média de Lagrange é a
demonstração do seguinte facto:
Sejam I ⊆ R um intervalo e f : I → R derivável. Se f ′(x) = 0 para todo
x ∈ I, então f é uma função constante.
Suponhamos que f não é constante. Então existem a, b ∈ I tais que a < b
e f (a) 6= f (b). Mas então, pelo Teorema da Média de Lagrange, existe
c ∈ ]a, b[ ⊆ I tal que f ′(c) = f (b)−f (a)
b−a 6= 0, absurdo. Logo f é constante.
Nota: Este resultado já não é válido no caso geral em que o domínio da
função não é um intervalo. Por exemplo, seja f : R \ {0} → R definida por
f (x) =
{
−1 se x < 0
1 se x > 0.
Então f ′(x) = 0 para todo x ∈ R \ {0} mas f
não é constante.
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Aplicações dos teoremas da média
O regresso das primitivas
Podemos agora estabelecer facilmente o seguinte:
Sejam I ⊆ R um intervalo e f : I → R primitivável. Se F1,F2 são
primitivas de f , então existe uma constante C ∈ R tal que
F2(x) = F1(x) + C para todo x ∈ I.
De facto, tomemos G(x) = F2(x) − F1(x). Então G é derivável em I e
G ′(x) = F ′2(x)− F ′1(x) = f (x)− f (x) = 0
para todo x ∈ I, logo G(x) é uma função constante. Portanto existe uma
constante C ∈ R tal que F2(x) = F1(x) + C para todo x ∈ I.
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Aplicações dos teoremas da média
Intervalos de monotonia
Recordamos que f : D → R se diz:
◮ estritamente crescente sse ∀x1, x2 ∈ D, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2);
◮ estritamente decrescente sse ∀x1, x2 ∈ D, x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2);
◮ estritamente monótona se for estritamente crescente ou decrescente.
Sejam I ⊆ R um intervalo e f : I → R derivável.
◮ Se f ′(x) > 0 para todo x∈ I, então f é estritamente crescente.
◮ Se f ′(x) < 0 para todo x ∈ I, então f é estritamente decrescente.
Vamos mostrar o segundo caso (o primeiro é análogo). Suponhamos que f
não é estritamente decrescente. Então existem x1, x2 ∈ I tais que x1 < x2
e f (x1) ≤ f (x2). Como f é derivável em [x1, x2] ⊆ I, resulta do Teorema
da Média de Lagrange que existe c ∈ ]x1, x2[ ⊆ I tal que
f ′(c) = f (x2)−f (x1)
x2−x1 ≥ 0, contradizendo f ′(x) < 0 para todo x ∈ I.
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Aplicações dos teoremas da média
Intervalos de monotonia
O recíproco não é válido, mas verifica-se uma versão mais fraca:
Sejam I ⊆ R um intervalo e f : I → R derivável.
◮ Se f é uma função crescente, então f ′(x) ≥ 0 para todo x ∈ I.
◮ Se f é uma função decrescente, então f ′(x) ≤ 0 para todo x ∈ I.
Vejamos por exemplo o caso crescente. Como numerador é nulo ou tem o
mesmo sinal do denominador em f (x)−f (x0)
x−x0 , o quociente é maior ou igual a
zero e logo f ′(x0) = limx→x0
f (x)−f (x0)
x−x0 ≥ 0.
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Aplicações dos teoremas da média
Intervalos de monotonia
f(x)=x3Note-se
que uma função estritamente monótona
pode ter pontos críticos, como é o caso
da função f (x) = x3, onde f ′(0) = 0.
Sejam I ⊆ R um intervalo e f : I → R derivável.
A determinação dos zeros de f ′, quando é possível, é fundamental para
compreender o comportamento de f . De facto, se f ′ for contínua (o que
acontece na generalidade dos casos estudados, pelo menos em
sub-intervalos do domínio), resulta do Teorema dos Valores Intermédios
que entre dois zeros consecutivos de f ′ a derivada f ′ é sempre positiva ou
sempre negativa... e logo f só pode ser crescente ou decrescente nesse
subintervalo, ditos intervalos de monotonia de f .
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Aplicações dos teoremas da média
Intervalos de monotonia
Isto permite a identificação de máximos e mínimos locais, ilustrada nas
seguintes tabelas:
x (x < c) c (x > c)
f ′ + 0 −
f ր . . . ց
c é um ponto de valor máximo local
x (x < c) c (x > c)
f ′ − 0 +
f ց . . . ր
c é um ponto de valor mínimo local
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Aplicações dos teoremas da média
Concavidade
Note-se que um ponto crítico pode não ser nem ponto de máximo nem
ponto de mínimo local: é o caso de x = 0 quando f (x) = x3.
E que informação nos pode fornecer a segunda derivada f ′′? Como
f ′′ = (f ′)′, resulta da discussão anterior que
f ′′ > 0 ⇒ f ′ é crescente
⇒ o declive da tangente ao gráfico de f é crescente.
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Aplicações dos teoremas da média
Concavidade
Caso f ′′ < 0, temos a situação oposta:
Pode provar-se que:
◮ Se f ′′ > 0 num intervalo I, então a concavidade do gráfico de f está
voltada para cima em I.
◮ Se f ′′ < 0 num intervalo I, então a concavidade do gráfico de f está
voltada para baixo em I.
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Aplicações dos teoremas da média
Pontos de inflexão
Um ponto em que a segunda derivada f ′′ é contínua e muda de sinal
diz-se um ponto de inflexão de f . A determinação dos pontos de inflexão e
sinal da segunda derivada é muito importante para o esboço do gráfico de
f , fazendo-se uso de tabelas tal como no caso da derivada. Por exemplo:
x (x < c) c (x > c)
f ′′ − 0 +
f ⌢ . . . ⌣
c é um ponto de inflexão
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Aplicações dos teoremas da média
O teste da segunda derivada
A segunda derivada pode permitir também determinar rapidamente (caso
seja não nula) a natureza de um ponto crítico da função:
Suponhamos que f ′(c) = 0 e f tem segunda derivada em c.
◮ Se f ′′(c) > 0, então f tem um mínimo local em c.
◮ Se f ′′(c) < 0, então f tem um máximo local em c.
Suponhamos por exemplo que f ′′(c) < 0. Como
f ′′(c) = lim
x→c
f ′(x) − f ′(c)
x − c = limx→c
f ′(x)
x − c ,
resulta do Princípio da Permanência do Sinal que existe δ > 0 tal que
f ′(x)
x−c < 0 em ]c − δ, c + δ[. Logo f ′(x) > 0 quando x ∈]c − δ, c[ e
f ′(x) < 0 quando x ∈]c, c + δ[. Concluimos assim que f tem um máximo
local em c.
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Teoremas fundamentais do cálculo diferencial e aplicações
Aplicações dos teoremas da média
Esboço do gráfico
Podemos agora combinar todas estas ferramentas:
◮ cálculo da função em determinados pontos,
◮ eventual determinação dos zeros e variação do sinal da função,
◮ análise do sinal da derivada,
◮ análise do sinal da segunda derivada,
para nos ajudar a esboçar o gráfico de uma função f : [a, b] → R duas
vezes derivável.
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Aplicações dos teoremas da média
Esboço do gráfico
Seja f : [−4, 6] → R definida por
f (x) = x3 − 2x2 − 15x = x(x + 3)(x − 5). Logo f tem zeros em −3, 0 e
5. Por outro lado,
f ′(x) = 3x2 − 4x − 15 = 3(x + 53 )(x − 3),
f ′′(x) = 6x − 4 = 6(x − 23 )
o que nos conduz à tabela seguinte:
x −53 23 3
f ′ + 0 − − − 0 +
f ′′ − − − 0 + + +
f ր⌢ ց⌢ ց⌣ ր⌣
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Teoremas fundamentais do cálculo diferencial e aplicações
Aplicações dos teoremas da média
Esboço do gráfico
Note-se que, para determinar o sinal de f ′ num dos seus intervalos de
monotonia, basta conhecer o sinal de f ′ num dos pontos do intervalo
(desde que f ′ seja contínua, o que é o caso). O mesmo se aplica a f ′′.
Tendo em conta o valor de f em todos os pontos especiais (zeros,
extremos, pontos críticos, pontos de inflexão), é agora possível esboçar o
gráfico de f :
-3-4
2/3
-5/3 3 6
54
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Teoremas fundamentais do cálculo diferencial e aplicações
Infinito e limites
Limites no infinito
E se o domínio de f não for um intervalo limitado? Ou se não for contínua
em todos os pontos? Para ajudar a responder a estas perguntas, temos
que iniciar a discussão dos limites infinitos e no infinito, e das
indispensáveis assímptotas.
Seja f : D → R uma função, com D ⊆ R.
De forma análoga ao que fizemos para sucessões, se o domínio de f não é
limitado superiormente podemos definir o limite de f (x) quando x tende
para +∞.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 5. 24
Teoremas fundamentais do cálculo diferencial e aplicações
Infinito e limites
Limites no infinito
Mais precisamente, diremos que limx→+∞ f (x) = b se
∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀x ∈ D (x > N ⇒ |f (x)− b| < ε),
(
(
b
b-ε
b+ε
|
lim f(x) = b
x→ +∞
N
Analogamente, se D não é minorado, (substituindo x > N por x < −N)
definimos limx→−∞ f (x) = b.
Em alternativa, podemos usar a igualdade
limx→−∞ f (x) = limx→+∞ f (−x).
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Teoremas fundamentais do cálculo diferencial e aplicações
Infinito e limites
Assímptotas horizontais
Do ponto de vista geométrico, o significado de limx→+∞ f (x) = b é de
que o gráfico da função se aproxima tanto quanto nós quisermos da recta
de equação y = b quando x se torna suficientemente grande. O mesmo
acontece relativamente a limx→−∞ f (x) = b, para x suficientemente
negativo.
(
(
b
b-ε
b+ε
|
lim f(x) = b
x→ -∞
-N
Dizemos então que f tem uma assímptota horizontal y = b. Note-se que
uma função pode ter no máximo duas assímptotas horizontais!Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 5. 26
Teoremas fundamentais do cálculo diferencial e aplicações
Infinito e limites
Assímptotas horizontais
Exemplo: A função f (x) = x1+|x | tem assímptotas horizontais y = −1 e
y = 1.
1
−1
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Teoremas fundamentais do cálculo diferencial e aplicações
Infinito e limites
Assímptotas oblíquas
Os limites em ±∞ podem produzir também outro tipo de assímptotas,
quando o gráfico da função se aproxima tanto quanto nós quisermos de
uma recta de declive m 6= 0. São as assímptotas oblíquas. Mais
precisamente, dizemos que f tem uma assímptota y = mx + b se
limx→+∞(f (x)−mx) = b (ou limx→−∞(f (x)−mx) = b). Se m = 0,
obtemos uma assímptota horizontal, caso contrário é oblíqua.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 5. 28
Teoremas fundamentais do cálculo diferencial e aplicações
Infinito e limites
Assímptotas oblíquas
Como podemos identificar uma assímptota oblíqua? A chave reside na
identificação do possível valor do declive m. De facto, se
limx→+∞(f (x)−mx) = b (é análogo para x → −∞), então
f (x)
x
=
mx + (f (x)−mx)
x
= m +
f (x)−mx
x
,
logo limx→+∞
f (x)
x
= m.
Portanto, só pode existir uma assímptota oblíqua se existir limx→+∞
f (x)
x
.
Determinado assim o candidato a m, o processo conclui-se com o cálculo
do limite limx→+∞(f (x)−mx).
ATENÇÃO: a existência de limx→+∞
f (x)
x
não garante que exista
limx→+∞(f (x)−mx) (nem consequentemente assímptota).
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 5. 29
Teoremas fundamentais do cálculo diferencial e aplicações
Infinito e limites
Exemplo
Seja f (x) = x
2+x−1
x−1 . Vejamos se f (x) tem uma assímptota quando x → −∞:
lim
x→−∞
f (x)
x
= lim
x→−∞
x2 + x − 1
x2 − x = limx→−∞
1 + 1
x
− 1
x2
1− 1
x
= 1,
logo uma eventual assímptota (quando x → −∞) terá declive m = 1. Ora
limx→−∞(f (x)− x) = limx→−∞( x2+x−1x−1 − x
2
−x
x−1 ) = limx→−∞
2x−1
x−1
= limx→−∞(2 + 1x−1 ) = 2,
logo f tem uma assímptota oblíqua y = x + 2 quando x → −∞.
Na realidade, obtemos esta mesma assímptota quando x → +∞.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 5. 30
Teoremas fundamentais do cálculo diferencial e aplicações
Infinito e limites
Limites infinitos no infinito
As assímptotas oblíquas são na realidade um caso particular de limites
infinitos no infinito: dizemos que limx→+∞ f (x) = +∞ se, para x
suficientemente grande, f (x) for tão grande quanto for requerido.
Mais precisamente, diremos que limx→+∞ f (x) = +∞ se
∀M ∈ N ∃N ∈ N ∀x ∈ Df (x > N ⇒ f (x) > M),
onde assumimos naturalmente que Df não é limitado superiormente.
N
M
Analogamente (substituindo f (x) > M por f (x) < −M, definimos
limx→+∞ f (x) = −∞.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 5. 31
Teoremas fundamentais do cálculo diferencial e aplicações
Infinito e limites
Limites infinitos no infinito
Com as adaptações previsíveis, definimos limx→−∞ f (x) = +∞ se
∀M ∈ N ∃N ∈ N ∀x ∈ Df (x < −N ⇒ f (x) > M),
quando Df não está limitado inferiormente.
-N
M
Em alternativa, podemos usar a igualdade
lim
x→−∞ f (x) = limx→+∞ f (−x).
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 5. 32
Teoremas fundamentais do cálculo diferencial e aplicações
Infinito e limites
Limites infinitos no infinito
Finalmente, substituindo f (x) > M por f (x) < −M, definimos
limx→−∞ f (x) = −∞.
Exemplos:
◮ limx→+∞ sen xx = 0 (por enquadramento de limites, pois−1
x
≤ sen x
x
≤ 1
x
para x > 0);
◮ limx→+∞ e
√
x = +∞ (pois limx→+∞
√
x = +∞ e
limx→+∞ ex = +∞);
◮ limx→−∞ x
2
x+1 = limx→−∞
x
1+ 1
x
= −∞.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 5. 33
Teoremas fundamentais do cálculo diferencial e aplicações
Infinito e limites
Limites infinitos num ponto
Discutimos em seguida o caso de limites infinitos num ponto. Os casos mais
frequentes são os de limites laterais. Dizemos que limx→x+
0
f (x) = +∞ se, para x
suficientemente próximo de x0 (por excesso), f (x) for tão grande quanto for
requerido. Mais precisamente, diremos que limx→x+
0
f (x) = +∞ se
∀M > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D (x ∈ ]x0, x0 + δ[ ⇒ f (x) > M),
onde assumimos naturalmente que x0 é um ponto de acumulação de D, à direita.
((
x +δx0 0
M
Analogamente (substituindo ]x0, x0 + δ[ por ]x0 − δ, x0[), definimos
limx→x−
0
f (x) = +∞. Se ambos os limites laterais forem +∞, podemos escrever
limx→x0 f (x) = +∞.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 5. 34
Teoremas fundamentais do cálculo diferencial e aplicações
Infinito e limites
Assímptotas verticais
De forma análoga se definem os limites iguais a −∞. Por exemplo,
limx→x−
0
f (x) = −∞ se
∀M > 0 ∃δ > 0 (x ∈ ]x0 − δ, x0[ ⇒ f (x) < −M).
Do ponto de vista geométrico, o significado destes limites é de que o
gráfico da função se aproxima tanto quanto nós quisermos da recta de
equação x = x0 quando x tende para x0 (pela esquerda ou pela direita).
Dizemos então que f tem uma assímptota vertical x = x0. Note-se que
uma função pode ter uma infinidade de assímptotas verticais. Além do
mais, se algum destes pontos fizer parte do domínio da função, será
necessariamente um ponto de descontinuidade.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 5. 35
Teoremas fundamentais do cálculo diferencial e aplicações
Infinito e limites
Exemplo
A função tg x tem assímptotas verticais x = pi2 + Kπ para todo K ∈ Z.
| | | | | || |
y=tg x
pi/2−pi/2 pi−pi 3pi/2−3pi/2 2pi−2pi
De facto, se x0 =
pi
2 + Kπ, temos limx→x−0 tg x = +∞ e
limx→x+
0
tg x = −∞.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 5. 36
Teoremas fundamentais do cálculo diferencial e aplicações
Infinito e limites
Esboço do gráfico
Estas generalizações do conceito de limite, e a determinação de eventuais
assímptotas, são as ferramentas que nos faltavam para poder esboçar o gráfico de
uma função definida num domínio arbitrário de R:
Exemplo: Vamos esboçar o gráfico da função f (x) = 2x
2+x−1
x2
= 2 + 1
x
− 1
x2
.
O domínio é R \ {0} e resolvendo a equação 2x2 + x − 1 = 0 concluimos que os
zeros de f são −1 e 12 . Também é claro que
lim
x→+∞
f (x) = lim
x→+∞
(2 +
1
x
− 1
x2
) = 2 = lim
x→−∞
f (x),
logo f tem uma assímptota horizontal y = 2. Como a função não está definida
em 0, é importante calcular os limites laterais nesse ponto. Temos
lim
x→0+
f (x) = lim
x→0+
(2 +
x − 1
x2
) = −∞ = lim
x→0−
f (x),
logo f tem uma assímptota vertical x = 0.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 5. 37
Teoremas fundamentais do cálculo diferencial e aplicações
Infinito e limites
Esboço do gráfico
Finalmente, calculamos
f ′(x) = − 1
x2
+
2
x3
=
2− x
x3
, f ′′(x) =
2
x3
− 6
x4
=
2x − 6
x4
,
pelo que 2 é ponto crítico e 3 ponto de inflexão de f .
ATENÇÃO: na tradicional tabela é essencial assinalar, para além dos
pontos críticos e de inflexão, os pontos de descontinuidade ou que
interrompem o domínio da função, pois a persistência do sinal só se
verifica em intervalos.
x 0 2 3
f ′ − X + 0 − − −
f ′′ − X − − − 0 +
f ց⌢ X ր⌢ ց⌢ ց⌣
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 5. 38
Teoremas fundamentais do cálculo diferencial e aplicações
Infinito e limites
Esboço do gráfico
Temos agora informação suficiente para produzir o seguinte esboço do
gráfico de f :
| |
|
|| |
11/2−1 2
2
3
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 5. 39
Teoremas fundamentais do cálculo diferencial e aplicações
Infinito e limites
Cálculo de limites
Mas como é que se calculam limites afinal? Vimos anteriormente algumas
técnicas que se revelam úteis em muitos casos simples:
◮ A aritmética de limites
◮ Se f é contínua e limx→a g(x) = L, então limx→a f (g(x)) = f (L)
◮ Enquadramento de limites◮ Teorema de Heine.
Estas propriedades mantêm-se análogas para limites do tipo
limx→±∞ f (x) = L ∈ R. Se considerarmos também limites infinitos, as
propriedades aritméticas mantêm-se válidas apenas em certos casos,
mediante algumas convenções já conhecidas:
Se L ∈ R, +∞+ L = L + (+∞) = +∞+ (∞) = +∞;
Se L ∈ R+, +∞ · L = L · (+∞) = (+∞) · (+∞) = (−∞) · (−∞) = +∞
e −∞ · L = L · (−∞) = (+∞) · (−∞) = (−∞) · (+∞) = −∞;
Se L ∈ R−, +∞ · L = L · (+∞) = −∞ e −∞ · L = L · (−∞) = +∞;
Se L ∈ R, L
±∞
= 0.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 5. 40
Teoremas fundamentais do cálculo diferencial e aplicações
Regra de L’Hôpital
Mas como proceder em casos mais complicados, nomeadamente no caso
de indeterminações? Uma indeterminação é um caso prático de cálculo de
limite que não se pode resolver através da aritmética de limites,
usualmente por se ter encontrado uma das seguintes situações: 00 ,
∞
∞ ,
0×∞, +∞−∞, ∞0, 1∞ e 00.
Nestes casos não é possível convencionar resultados para estas “operações
aritméticas” de forma a que se possam aplicar sempre resultados análogos
aos do slide 1.8. O auxílio chega da famosa
Regra de L’Hôpital (Cauchy)
Se limx→a f (x) = limx→a g(x) = 0 e existe limx→a
f ′(x)
g ′(x) = L, então
também limx→a
f (x)
g(x) = L.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 5. 41
Teoremas fundamentais do cálculo diferencial e aplicações
Regra de L’Hôpital
Demonstração
A Regra pode ser demonstrada com a ajuda do Teorema de Cauchy.
Assumindo que f (a) = g(a) = 0, podemos escrever
lim
x→a
f (x)
g(x)
= lim
x→a
f (x)− f (a)
g(x) − g(a) = limx→a
f ′(cx )
g ′(cx )
,
onde cx está entre a e x .
Como limx→a
f ′(x)
g ′(x) = L, resulta que
lim
x→a
f ′(cx )
g ′(cx )
= lim
x→a
f ′(x)
g ′(x)
= L,
e a Regra é válida.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 5. 42
Teoremas fundamentais do cálculo diferencial e aplicações
Regra de L’Hôpital
Variantes
A Regra de L’Hôpital mantém-se válida com diversas variantes:
◮ limx→a f (x) = limx→a g(x) = ±∞;
◮ L = ±∞;
◮ limites laterais (x → a− ou x → a+);
◮ limites no infinito (x → −∞ ou x → +∞).
Além disso, pode ser aplicada sucessivamente, nas diversas versões... por
exemplo:
Se limx→a f (x) = limx→a g(x) = limx→a f ′(x) = limx→a g ′(x) = 0 e existe
limx→a
f ′′(x)
g ′′(x) = L, então também limx→a
f (x)
g(x) = L.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 5. 43
Teoremas fundamentais do cálculo diferencial e aplicações
Regra de L’Hôpital
Exemplos
1. limx→+∞ log xx é uma indeterminação do tipo
+∞
+∞ . Como
limx→+∞
(log x)′
x ′ = limx→+∞
1
x
1 = 0, resulta que limx→+∞
log x
x
= 0.
2. limx→+∞ x
2
2x é uma indeterminação do tipo
+∞
+∞ . Como
limx→+∞
(x2)′
(2x )′ = limx→+∞
2x
2x log 2 é ainda uma indeterminação do mesmo
tipo, podemos tentar aplicar a Regra de L’Hôpital uma segunda vez,
obtendo desta vez limx→+∞
(x2)′′
(2x )′′ = limx→+∞
2
2x (log 2)2
= 0. Logo
limx→+∞ x
2
2x = 0.
Nota: NUNCA, em caso algum, deve a Regra de L’Hôpital ser aplicada a
quocientes que não sejam indeterminações! Por exemplo, limx→0 x
2+1
x+1 = 1
mas limx→0
(x2+1)′
(x+1)′ = limx→0
2x
1 = 0.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 5. 44
Teoremas fundamentais do cálculo diferencial e aplicações
Regra de L’Hôpital
Produtos e diferenças
Procuramos reduzir indeterminações do tipo 0×∞ ou +∞−∞ a
indeterminações do tipo 00 ou
∞
∞ por manipulações algébricas, aplicando
em seguida a Regra de L’Hôpital.
Exemplos:
3. limx→0+(x log x) é uma indeterminação do tipo 0× (−∞). Escrevendo
x log x = log x1
x
, obtemos uma indeterminação do tipo −∞+∞ e podemos
aplicar a Regra. Como
lim
x→0+
(log x)′
( 1
x
)′
= lim
x→0+
1
x
− 1
x2
= lim
x→0+
(−x) = 0,
obtemos limx→0+(x log x) = 0.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 5. 45
Teoremas fundamentais do cálculo diferencial e aplicações
Regra de L’Hôpital
Produtos e diferenças
4. limx→0+(cotg x − 1x ) é uma indeterminação do tipo +∞−∞.
Escrevendo
cotg x − 1
x
=
1
tg x
− 1
x
=
x − tg x
x tg x
,
obtemos uma indeterminação do tipo 00 e podemos aplicar a Regra. Como
lim
x→0+
(x − tg x)′
(x tg x)′
= lim
x→0+
1− 1
cos2 x
tg x + x
cos2 x
= lim
x→0+
cos2 x − 1
sen x cos x + x
é ainda uma indeterminação do tipo 00 , podemos tentar aplicar a Regra de
L’Hôpital uma segunda vez, obtendo desta vez
lim
x→0+
(x − tg x)′′
(x tg x)′′
= lim
x→0+
−2 sen x cos x
cos2 x − sen2 x + 1 =
0
2
= 0.
Logo limx→0+(cotg x − 1x ) = 0.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 5. 46
Teoremas fundamentais do cálculo diferencial e aplicações
Regra de L’Hôpital
Potências
Procuramos reduzir indeterminações do tipo ∞0, 1∞ e 00 a
indeterminações do tipo 00 ou
∞
∞ usando a igualdade
f (x)g(x) = eg(x) log(f (x)), aplicando em seguida a Regra de L’Hôpital.
Exemplos:
5. Para calcular o limite da sucessão ( n
√
n)n, vamos calcular limx→+∞ x
1
x ,
que é uma indeterminação do tipo (+∞)0. Logo
limx→+∞ x
1
x = limx→+∞ e
1
x
log x = elimx→+∞
log x
x (pois a função ex é
contínua) e uma simples aplicação da Regra fornece-nos
limx→+∞ log xx = 0 e logo limx→+∞ x
1
x = e0 = 1.
6. limx→0+ xx é uma indeterminação do tipo 00. Logo
limx→0+ xx = limx→0+ ex log x = elimx→0+ x log x (pois a função ex é
contínua). Pelo exemplo 4., obtemos limx→0+ xx = e0 = 1.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 5. 47
Teoremas fundamentais do cálculo diferencial e aplicações
Regra de L’Hôpital
Potências
7. limx→+∞(1 + 1x )
x é uma indeterminação do tipo 1+∞. Logo
lim
x→+∞
(1 +
1
x
)x = lim
x→+∞
ex log(1+
1
x
) = e limx→+∞(x log(1+
1
x
)).
Ora limx→+∞(x log(1 + 1x )) é uma indeterminação do tipo (+∞)× 0, logo
lim
x→+∞
(x log(1 +
1
x
)) = lim
x→+∞
log(1 + 1
x
)
1
x
,
que é do tipo 00 . Aplicando a regra, obtemos
lim
x→+∞
(log(1 + 1
x
))′
( 1
x
)′
= lim
x→+∞
−
1
x2
1+ 1
x
− 1
x2
= lim
x→+∞
1
1 + 1
x
= 1.
Logo limx→+∞(x log(1 + 1x )) = 1 e limx→+∞(1 +
1
x
)x = e1 = e.
Daqui se conclui também o famoso limite limn→+∞(1 + 1n )
n = e.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 5. 48
Teoremas fundamentais do cálculo diferencial e aplicações Exercícios
Exercícios
Máximos e mínimos
66 Determine:
a) Dois números positivos cuja soma é 100 e cujo produto é o maior possível.
b) Três números não negativos cujo produto seja o maior possível, a sua soma é 60
e a soma do primeiro com o dobro do segundo mais o triplo do terceiro é 120.
c) O volume máximo de um cilindro (circular e recto) que pode ser inscrito numa
esfera de raio R.
67 Justifique que as funções definidas nas alíneas seguintes atingem valores máximo e
mínimo nos intervalos indicados e calcule-os, assim como os pontos onde são
atingidos. Verifique quais das funções admitem máximo e mínimo em R.
a) f (x) = −x3 + 1, no intervalo [−1, 8].
b) f (x) =
√
3 cos(x − pi/3), no intervalo [0, pi].
c) f (x) = 6x4/3 − 3x1/3, no intervalo [−1, 1].
68 Diga, justificando, se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira ou falsa:
a) Se f é uma função contínua cujo domínio é um intervalo limitado, então f é
limitada.
b) Se I é um intervalo fechado e limitado e f : I −→ R é uma função contínua,
então f (I) é um intervalo fechado e limitado.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 5. 49
Teoremas fundamentais do cálculo diferencial e aplicações Exercícios
Exercícios
Máximos e mínimos
69 Considere a função f (x) = arctg
(
1
1−x2
)
.
a) Verifique que não é possível prolongar f a uma função contínua com domínio R.
b) Verifique que f (0) > 0, f (
√
1 +
√
3) < 0 e no entanto não existe
x ∈ R \ {−1, 1} tal que f(x) = 0. Justifique que este facto não contradiz o
Teorema dos valores intermédios.
c) Justifique que f atinge valores máximo e mínimo (absolutos) no intervalo[
−
√
1− 1√
3
,
√
1− 1√
3
]
e determine-os.
70 (P) Seja y = f (x) uma função derivável definida em R, P um ponto do plano que
não pertence ao gráfico Gf da função e Q = (x0, f (x0)) ∈ Gf um ponto que
minimiza a distância de P a Gf , isto é, para todo x ∈ R,
‖P − (x , f (x))‖ ≥ ‖P − Q‖. Mostre que a recta que passa pelos pontos P e Q é
perpendicular à tangente a Gf no ponto Q.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 5. 50
Teoremas fundamentais do cálculo diferencial e aplicações Exercícios
Exercícios
Teoremas da Média
71 Mostre que, para qualquer a ∈ R, a função de R em R definida por
f (x) = x3 − 3x + a nunca tem dois zeros em [0, 1].
72 Mostre que p(x) = x3 − 6x2 + 9x − 1 possui exactamente uma raíz em ]1, 3[.
73 Confirme que as conclusões do Teorema da Média de Lagrange não se verificam
para as seguintes funções. Explique que isto não contradiz o Teorema.
a) f (x) = |x |, x ∈]− 1, 3[ b) f (x) = x + 1
x
, x ∈]− 1, 2[ c) f (x) = x2
x−1 , x ∈]0, 2[.
74 Deduza do Teorema da Média de Lagrange que:
a) ∀x ∈ R+0 ,
√
x ≤ x + 1
2
b) ∀x ∈ R, | sen x | ≤ |x | c) 1
9
<
√
66− 8 < 1
8
75 (*) Seja f : [a, b] → R (a < b ∈ R) uma função contínua. Use o Teorema de
Lagrange para mostrar que
∫ b
a
f (t) dt = (b − a)f (c), para algum c ∈ [a, b].
76 (*) Mostre que uma função f : I −→ R, derivável no intervalo I, satisfaz, para um
certo C ∈ R, a condição de Lipschitz
∀x , y ∈ I, |f (x)− f (y)| ≤ C |x − y |
se e só se ∀x ∈ I, |f ′(x)| ≤ C .
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 5. 51
Teoremas fundamentais do cálculo diferencial e aplicações Exercícios
Exercícios
Monotonia e extremos
77 Para cada uma das seguintes propriedades, dê exemplo de uma função derivável
f : D −→ R, com D ⊆ R, que a verifique ou explique porque não existe tal
exemplo:
a) f ′(x) = 0 para todo x ∈ D, mas f não é constante;
b) f ′(x) > 0 para todo x ∈ D, mas f não é estritamente crescente;
c) f tem um extremo local em x0 e f
′(x0) 6= 0;
d) f é estritamente crescente, mas não verifica f ′(x) > 0 para todo x ∈ D;
e) f é estritamente decrescente, mas não verifica f ′(x) ≤ 0 para todo x ∈ D.
78 Considere a função f (x) = ex sen x .
a) Verifique que f (−pi/2) < −e−pi < f (0).
b) Justifique que existe x ∈ [−pi/2, 0] tal que f (x) = −e−pi.
c) Verifique que f ′(−pi/4) = 0 e f ′′(−pi/4) > 0. Pode concluir daqui que x = pi/4
é extremo local de f ? De que tipo?
d) Justifique que f atinge valores máximo e mínimo (absolutos) no intervalo
[−pi/2, 0] e calcule-os, assim como os pontos onde são atingidos.
e) A função f tem máximo (absoluto) em R?
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 5. 52
Teoremas fundamentais do cálculo diferencial e aplicações Exercícios
Exercícios
Monotonia e extremos
79 Faça o estudo de cada uma das seguintes funções, determinando o domínio, os
zeros e a variação do sinal, as assímptotas, os intervalos de monotonia e os
máximos mínimos locais, pontos de inflexão e variação da concavidade do gráfico.
Use a informação obtida para fazer um esboço do gráfico.
a) f (x) = 1
3
x3 + x + 2 b) f (x) = −x4 + 6x2 + 2 c) f (x) = x + 1
x
d) f (x) = x
2+2x+1
x2+1
e) f (x) = ln(x2 + 2x + 2) f) f (x) =
(
1
2
)1/x
g) f (x) =


21/x , se x < 0
0, se x = 0
(x−1)2
x
, se x > 0
h) f (x) =


x
(x−1)2 , se x < 1
arctgx , se x ≥ 1
80 a) Calcule a derivada da função dada por f (x) = x + x2 sin 1
x
, se x 6= 0, e f (0) = 0.
b) Mostre que f não é monótona em nenhum intervalo centrado em 0.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 5. 53
Teoremas fundamentais do cálculo diferencial e aplicações Exercícios
Exercícios
Regra de L’Hôpital
81 Calcule os seguintes limites:
A. Indeterminações do tipo 0
0
:
a) lim
x−→2
3x2 − 5x − 2
3x2 − 7x + 2 b) limx−→1
x3 − x2 − x + 1
x3 + x2 − 5x + 3 c) limx−→0
1− cos x
sen x
d) lim
x−→0
x − sen x
1− cos x e) limx−→0
arctg x
arcsen x
f) lim
x−→0
(arctg x)2
ln(1 + x2)
g) lim
x−→+∞
sen 4
x
1
x
h) lim
x−→+∞
arctg 1
x
sen 1
x
i) lim
x−→1/2+
√
2x − 1
ln 2x
B. Indeterminações do tipo ∞∞ :
a) lim
x−→+∞
x3 + 2x + 2
2x3 + x2 − 3x + 1 b) limx−→(pi/2)−
tg x
ln(cos x)
c) lim
x−→(pi/2)−
ln(tg x)
tg x
d) lim
x−→1+
ln(x − 1)
ln(x2 − 1) e) limx−→0+
ln x
e1/x
f) lim
x−→+∞
x ln x
(x + 1)2
g) lim
x−→+∞
ln(x + ex )
x
h) lim
x−→+∞
ex + ln x
ex + x
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 5. 54
Teoremas fundamentais do cálculo diferencial e aplicações Exercícios
Exercícios
Regra de L’Hôpital
C. Indeterminações de outro tipo:
a) lim
x−→0+
(sen x)(ln x) b) lim
x−→0+
x
3
e
1/x c) lim
x−→0+
(
1
ex − 1 −
1
x
)
d) lim
x−→0+
(
1
x
− 1
sen x
)
e) lim
x−→1
(
1
ln x
− x
x − 1
)
f) lim
x−→+∞
x
1/x
g) lim
x−→0
(
1 +
1
x2
)x2
h) lim
x−→0+
(cos x)1/x i) lim
x−→0+
(ex + x)
1/x
j) lim
x−→0+
x
x k) lim
x−→0+
(sen x)x l) lim
x−→0+
(ln(1 + x))x
82 Seja f : R → R contínua. Calcule lim
x→0
1
x
∫ x
0
f (t) dt.
83 Considere a função f (x) =
√
pi
2
− 2|arctgx |.
a) Mostre que lim
x→0
arctgx
x
= 1 e conclua que f não é derivável em 0.
b) Justifique que f atinge valores máximo e mínimo (absolutos) no intervalo
[− 1√
3
, 1] e calcule-os, assim como os pontos onde são atingidos.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 5. 55
Teoremas fundamentais do cálculo diferencial e aplicações Exercícios
Exercícios
84 (*) a) Mostre que se f : R → R é uma função derivável tal que limx→+∞ f (x) = a
e limx→+∞ f
′(x) = b, para certos a ∈ R e b ∈ R ∪ {±∞}, então necessariamente
b = 0. Interprete geometricamente este resultado.
(Sugestão: Mostre que existe uma sucessão (xn)n∈N tal que f ′(xn) = f (n + 1) − f (n))
b) Mais geralmente, mostre que se f tem uma assímptota em +∞ de equação
y = mx + b e existe o limite da derivada em +∞ , então limx−→+∞ f ′(x) = m.
c) Mostre, construindo um exemplo adequado, que a existência de uma assímptota
nas condições de a) não implica a existência de limx−→+∞ f
′(x); e que, nos casos
em que este limite não existe, se existir f ′′ não pode ser limitada.
85 (*) O resultado a estabelecer neste exercício, chamado o Teorema de Darboux,
pode ser enunciado simplesmente por: “A derivada de uma função num intervalo
verifica a propriedade dos valores intermédios.” (Nota: existem funções deriváveis com derivada
descontínua, pelo que o Teorema dos Valores Intermédios não é aplicável, em geral, para a garantir esta propriedade.)
a) Mostre que se f : [a, b]−→ R é derivável e f ′(a) · f ′(b) < 0, então existe
c ∈]a, b[ tal que f ′(c) = 0.
(Sugestão: use o Teorema de Weierstrass e mostre que os extremos de f são atingidos no interior do intervalo).
b) Mostre o caso geral: se u é um qualquer valor entre f ′(a) e f ′(b), existe
c ∈]a, b[ tal que f ′(c) = u.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 5. 56
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