Derivadas Primitivas

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Derivadas e Primitivas
Derivada
Motivação geométrica
O conceito de derivada é um dos mais fundamentais do Cálculo, estando
associado a noções geométricas, como a de recta tangente a uma curva, à
descrição de fenómenos físicos e a várias ferramentas de cálculo.
Informalmente, uma função real de variável real f é derivável num ponto a
do domínio se o gráfico de f numa “vizinhança” de x0 é “suficientemente
suave” para que seja possível traçar uma “recta tangente” (não vertical)
ao gráfico de f nesse ponto.
1
1
2
2
gr
f
gr g
gr h
f é derivável em todos os pontos g não é derivável em x
x x x0
0 h não é derivável em x e em x
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Derivadas e Primitivas
Derivada
Motivação geométrica
Nesse caso, a recta tangente ao gráfico de f em (x0, f (x0)) fica
determinada pelo seu declive, que se representa por f ′(x0), e tem equação
y = f (x0) + f
′(x0)(x − x0).
Considerando outro ponto (x , f (x)), o declive da secante ao gr f que
passa em (x0, f (x0)) e (x , f (x)) é dado por m = tg θ =
f (x)−f (x0)
x−x0 .
f(x )
recta tangente a gr f em (x ,f(x ))
x0
0 0
0
θ
f(x)
x
Tomando
valores de x cada vez mais próximos
de x0, (|x − x0| cada vez menor) estas
secantes aproximam-se sucessivamente
da tangente. É assim natural definir
f ′(x0) = lim
x→x0
f (x)− f (x0)
x − x0 .
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Derivadas e Primitivas
Derivada
Significado físico
Em termos físicos, o conceito de derivada surge naturalmente associado ao
conceito de velocidade (instantânea), seja no contexto estrito do
movimento, seja no sentido mais lato de um qualquer processo (velocidade
de uma reacção química, por exemplo).
Tomemos o exemplo simples de um móvel M em movimento rectilíneo,
sem mudanças de sentido, cuja posição (em função do tempo t) é dada
pela função s(t). Então s(t)−s(t0)
t−t0 expressa a velocidade média de M entre
os instantes t0 e t, e
s ′(t) = lim
t→t0
s(t)− s(t0)
t − t0
expressará a velocidade instantânea v(t0) de M no instante t0.
Em Cálculo Infinitesimal II, aquando do estudo das curvas em Rn, será
aprofundado o significado físico da derivada.
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Derivadas e Primitivas
Derivada
Definição
Estamos agora em condições concretizar a definição de derivada.
Seja f uma função definida numa vizinhança de x0 ∈ dom f . Dizemos que
f é derivável (ou diferenciável) em x0 se existir limx→x0
f (x)−f (x0)
x−x0 . Nesse
caso, o número real
f ′(x0) = lim
x→x0
f (x) − f (x0)
x − x0
diz-se a derivada de f em x0. Fazendo a mudança de variável h = x − x0,
é imediato que x → x0 é equivalente a h → 0. Logo também podemos
escrever
f ′(x0) = lim
h→0
f (x0 + h)− f (x0)
h
.
Se f for derivável em todos os pontos do seu domínio, diz-se derivável (ou
diferenciável). Nesse caso, f ′ : x 7→ f ′(x) diz-se a função derivada de f .
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Derivadas e Primitivas
Derivada
Derivadas laterais
Se restringirmos a nossa atenção ao comportamento de f numa vizinhança
lateral de x0, obtemos as respectivas derivadas laterais:
f ′−(x0) = lim
x→x−
0
f (x) − f (x0)
x − x0
diz-se a derivada à esquerda de f em x0 e
f ′+(x0) = lim
x→x+
0
f (x)− f (x0)
x − x0
diz-se a derivada à direita de f em x0 (caso estes limites existam).
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Derivadas e Primitivas
Derivada
Exemplos
1. Vejamos que (x2)′ = 2x para todo x ∈ R. De facto, temos
limh→0
(x+h)2−x2
h
= limh→0 x
2+2hx+h2−x2
h
= limh→0 2hx+h
2
h
= limh→0(2x + h).
Como |h| < ε⇒ |(2x + h)− 2x | < ε para todo ε > 0, é imediato que
limh→0(2x + h) = 2x e logo (x2)′ = 2x para todo x ∈ R.
2. A função f (x) = |x | não é derivável em x0 = 0: apesar de existirem
ambas as derivadas laterais neste ponto, elas são diferentes:
declive
 =
 
-1 dec
liv
e =
 
1
f ′−(0) = lim
x→0−
|x | − |0|
x − 0 = limx→0−
−x
x
= −1
f ′+(0) = lim
x→0+
|x | − |0|
x − 0 = limx→0+
x
x
= 1
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Derivadas e Primitivas
Primitiva
Definição
A operação de derivação, que associa a uma função derivável f a sua
derivada f ′, admite uma operação inversa, dita primitivação. Dada uma
função g , dizemos que f é uma primitiva (também se usa o termo
anti-derivada) de g se f for derivável e f ′ = g .
Por razões que só ficarão claras mais adiante, é comum usar a notação∫
g(x) dx = f (x)
para exprimir que f é uma primitiva de g . O símbolo
∫
diz-se um integral
(indefinido), por isso a primitivação também é designada por integração.
Assim como nem todas as funções são deriváveis, nem todas as funções
admitem primitiva. Uma função que tem uma primitiva diz-se primitivável.
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Derivadas e Primitivas
Primitiva
Não há unicidade!
Como o limite de uma função, a existir, é único, a derivada de uma função
(a existir) também tem que estar unicamente determinada.
O mesmo não se passa com as primitivas, pois uma função primitivável
admite sempre uma infinidade de primitivas:
Se f (x) é uma primitiva de g(x) e C ∈ R, então f (x) + C também é uma
primitiva de g(x).
De facto, limh→0
(f (x+h)+C)−(f (x)+C)
h
= limh→0
f (x+h)−f (x)
h
= f ′(x) = g(x). Por isso é habitual escrever também∫
g(x) dx = f (x) + C (C ∈ R)
quando se procede ao cálculo de um integral. Veremos mais adiante que
em certas condições uma expressão deste tipo representa todas as
primitivas da função g .
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Derivadas e Primitivas
Derivadas e primitivas
Funções elementares
Apresentamos em seguida as derivadas das funções elementares mais
comuns, que são já conhecidas do ensino secundário, e das primitivas que
daí resultam directamente. Alguns casos serão analisados mais à frente.
Abaixo, C designa a função constante x 7→ C , α 6= 0, β 6= −1 e a > 0.
C ′ = 0
∫
C dx = Cx + K (K ∈ R)
(xα)′ = αxα−1
∫
xβ dx =
xβ+1
β + 1
+ K (K ∈ R)
(log x)′ =
1
x
∫
x−1 dx = log |x | + K (K ∈ R)
(loga x)
′ =
1
x log a
(ex )′ = ex
∫
ex dx = ex + K (K ∈ R)
(ax)′ = ax log a
∫
ax dx =
ax
log a
+ K (K ∈ R)
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Derivadas e Primitivas
Derivadas e primitivas
Funções elementares
(sen x)′ = cos x
∫
sen x dx = − cos x + K (K ∈ R)
(cos x)′ = − sen x
∫
cos x dx = sen x + K (K ∈ R)
(tg x)′ = 1
cos2 x
(cotg x)′ = − 1
sen2 x
Refira-se relativamente às potências, as funções do tipo f (x) = xα com
α ∈ R, que nem sempre são deriváveis em todo o domínio.
Especificamente, para 0 < α < 1, f (x) = xα não é derivável em 0, como
veremos adiante.
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Derivadas e Primitivas
Derivadas e primitivas
A derivada de sen x
Por exemplo, recordando que limx→0 sen xx = 1, podemos provar a
expressão indicada para a derivada do seno.
Como cos h−1
h
= (cos h−1)(cos h+1)
h(cos h+1) =
cos2 h−1
h(cos h+1) = −( sen hh )2 · hcos h+1 ,
conclui-se do limite anterior e da aritmética de limites que
lim
h→0
cos h − 1
h
=
(
lim
h→0
sen h
h
)2(
lim
h→0
h
cos h + 1
)
= 12 · 0 = 0.
Logo, usando a fórmula do seno da soma e a aritmética de limites,
obtemos
sen′ x = lim
h→0
sen(x + h)− sen x
h
= lim
h→0
sen x cos h + sen h cos x − sen x
h
= lim
h→0
(sen x
cos h − 1
h
+ cos x
sen h
h
)
= sen x · lim
h→0
cos h− 1
h︸ ︷︷ ︸
=0
+ cos x · lim
h→0
sen h
h︸ ︷︷ ︸
=1
= cos x .
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Derivadas e Primitivas
Derivadas
Derivabilidade e continuidade
Se f é derivável em x, então é contínua em x.
Demonstração:Suponhamos que f é derivável em x . Temos
( lim
h→0
f (x + h)) − f (x) = lim
h→0
(f (x + h)− f (x)) = lim
h→0
h
f (x + h)− f (x)
h
.
Como f é derivável em x , resulta da aritmética de limites que
( lim
h→0
f (x + h))− f (x) = ( lim
h→0
h)( lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
) = 0 · f ′(x) = 0,
logo limh→0 f (x + h) = f (x) e f é contínua em x .
Resulta imediatamente que:
Toda a função derivável é contínua.
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Derivadas e Primitivas
Derivadas
Derivabilidade e continuidade
O recíproco não é verdadeiro, como podemos ver pelo exemplo da função
módulo f (x) = |x |, já referido. Outro exemplo de características diferentes
é fornecido pela função
y=
x
y
=
-xf (x) =
{
x sen 1
x
, se x 6= 0
0 se x = 0
relativamente à qual já
mostrámos que limx→0 f (x) = 0 = f (0),
ou seja, que é contínua em 0. É claro
que é contínua nos restantes pontos.
No entanto, geometricamente percebe-se que os declives f (x)−f (0)
x−0 oscilam
sempre entre −1 e 1 quando x se aproxima de 0, pelo que não existe
limx→0
f (x)−f (0)
x−0 , i.e., f não é derivável em 0.
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Derivadas e Primitivas
Derivada da soma e do produto escalar
Passamos agora a estudar a relação da derivação e primitivação com as
operações entre funções, o que permitirá o cálculo de muitas derivadas e
primitivas, sem necessidade de recorrer à definição.
Resulta facilmente da aritmética de limites que:
Se f e g são deriváveis em x, e C ∈ R, então:
◮ f + g é derivável em x e (f + g)′(x) = f ′(x) + g ′(x);
◮ Cf é derivável em x e (Cf )′(x) = Cf ′(x).
No caso da soma, por exemplo, obtemos
limh→0
(f +g)(x+h)−(f +g)(x)
h
= limh→0
f (x+h)−f (x)+g(x+h)−g(x)
h
= limh→0
f (x+h)−f (x)
h
+ limh→0
g(x+h)−g(x)
h
= f ′(x) + g ′(x).
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Derivadas e Primitivas
Primitiva da soma e do produto escalar
Decorre imediatamente que:
Se f e g são primitiváveis e C ∈ R, então:
◮ f + g é primitivável e
∫
(f + g)(x) dx =
∫
f (x) dx +
∫
g(x) dx;
◮ Cf é primitivável e
∫
(Cf )(x) dx = C
∫
f (x) dx.
Exemplo:∫
3x + 1dx = 3
∫
x dx +
∫
1dx =
3
2
x2 + x .
Recorde-se que esta igualdade deve ler-se “unilateralmente”: significa que
f (x) = 32x
2 + x é uma primitiva de g(x) = 3x + 1; ou seja, que
(32x
2 + x)′ = 3x + 1.
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Derivadas e Primitivas
Derivada do produto e do quociente
Se f e g são deriváveis em x0, então
◮ f · g é derivável em x0 e
(f · g)′(x0) = f ′(x0) g(x0) + f (x0) g ′(x0);
◮ além disso, se g(x0) 6= 0, fg é derivável em x0 e
( f
g
)′
(x0) =
f ′(x0) g(x0)− f (x0) g ′(x0)
g2(x0)
.
(À frente veremos uma técnica de primitivação associada à derivada do produto.)
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Derivadas e Primitivas
Derivada do produto e do quociente
Demonstração: Suponha-se que f e g são deriváveis em x0. Então, f é
contínua em x0 e tem-se:
lim
x→x0
(f ·g)(x)−(f ·g)(x0)
x − x0 = limx→x0
f (x) g(x)−f (x) g(x0)+f (x) g(x0)−f (x0) g(x0)
x − x0
= lim
x→x0
f (x)
(
g(x)−g(x0)
)
+ g(x0)
(
f (x)−f (x0)
)
x − x0
= lim
x→x0
f (x)· lim
x→x0
g(x)−g(x0)
x − x0 + g(x0)· limx→x0
f (x)−f (x0)
x − x0
= f (x0) g
′(x0) + g(x0) f
′(x0)
A derivada do quociente pode ser obtida usando primeiro a definição para
a função 1
g
e depois derivando o produto f · 1
g
. Em alternativa, podemos
deduzir esta regra das do produto e derivada da potência de expoente −1,
escrevendo f (x)
g(x) = f (x) · (g(x))−1 e usando a regra da derivação da função
composta, que veremos a seguir.
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Derivadas e Primitivas
Derivada da função composta
Regra da derivação da função composta (ou Regra da Cadeia)
Sejam f e g funções reais de variável real tais que Im g ⊆ dom f .
Se g é derivável em x0 e f é derivável em g(x0) então f ◦ g é derivável em
x0 e
(f ◦ g)′(x0) = f ′(g(x0)) · g ′(x0).
Exemplos:
Seja f1(x) = sen(x2). Então, f1 = sen ◦g , onde g(x) = x2. Logo, pela
regra da cadeia,
f ′1(x) = (sen)
′(g(x)) · g ′(x) = (sen)′(x2) · (x2)′ = cos(x2) · 2x .
Agora, considerando f2(x) = sen2(x) temos f2 = g ◦ sen. Portanto,
f ′2(x) = g
′(sen x) · sen′(x) = 2 sen x · cos x .
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Derivadas e Primitivas
Derivada da função composta
Regra da derivação da função composta (ou Regra da Cadeia)
Demonstração (passos principais):
Suponhamos que g é derivável em x0 e f é derivável em g(x0).
Então, g é contínua em x0, i.e., limx→x0 g(x) = g(x0).
Verifica-se então que também é contínua em x0 a função
h(x) =
{
f (g(x))−f (g(x0))
g(x)−g(x0) , se g(x) 6= g(x0)
f ′(g(x0)), se g(x) = g(x0)
(para y = g(x) e y0 = g(x0), lim
x→x0
h(x) = lim
y→y0
f (y)− f (y0)
y − y0 = f
′(y0) = h(x0))
Assim,
lim
x→x0
f (g(x))− f (g(x0))
x − x0 = limx→x0 h(x)
g(x)− g(x0)
x − x0
= lim
x→x0
h(x) · lim
x→x0
g(x)− g(x0)
x − x0
= h(x0) · g ′(x0) = f ′(g(x0)) · g ′(x0)
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Derivadas e Primitivas
Derivada da função composta
Regra de primitivação associada
Da regra da derivação da função composta resulta imediatamente a
seguinte regra geral de primitivação:
Se f admite uma primitiva F , então (f ◦ g) · g ′ é primitivável e∫
f (g(x)) · g ′(x) dx = F (g(x)).
Prova:
Pela regra da cadeia, (F (g(x)))′ = F ′(g(x)) · g ′(x) = f (g(x)) · g ′(x).
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Derivadas e Primitivas
Derivada da função composta
Exemplos
1. Em geral, para qualquer número real α, pode definir-se
xα = eα log x , para x > 0.
Obtém-se então, da derivada da função exponencial e da regra da cadeia,
(xα)′ = eα log x · (α log x)′ = xα · α
x
= α · xα−1.
Daqui resulta, se α 6= −1 e para x > 0, a regra de primitivação já referida∫
xα dx = x
α+1
α+1 .
2.
∫ 2x
1+x2
dx = log(1 + x2), porque(
log(1 + x2)
)′
= log′(1 + x2) · (1 + x2)′ = 1
1+x2
· 2x .
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Derivadas e Primitivas
Derivada da função composta
Regra de primitivação associada - exemplos
Ou, de forma equivalente,
∫ 2x
1+x2
dx =
∫
f (g(x)) · g ′(x) dx , onde
f (x) = 11+x , g(x) = x
2 e uma primitiva de f é log(1 + x). Logo,∫
2x
1+x2
dx = log(1 + x2).
3.
∫
x2
√
1 + x3 dx = 13
∫ √
1 + x3 · (3x2) dx = 13 · 23(1 + x3)3/2.
4.
∫
cos3 x sen x dx = − ∫ cos3 x · (cos x)′ dx = −14 cos4 x .
5. Para primitivar as funções sen2 e cos2, podem usar-se a igualdade
cos 2x = cos2 x − sen2 x e a fórmula fundamental da trigonometria para
escrever
cos2 x =
1 + cos 2x
2
e sen2 x =
1− cos 2x
2
.
Assim, por exemplo∫
sen2 x dx =
∫
1
2
dx − 1
2
∫
cos 2x dx =
1
2
x − sen 2x
4
.
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Derivadas e Primitivas
Derivada da função composta
Regra de primitivação associada - exemplos
Em muitos casos é possível primitivar produtos de potências das funções
sen e cos usando igualdades trigonométricas para escrever a função a
primitivar como soma de funções do tipo do exemplo 3 (que aparecem
directamente como derivadas de uma potência de sen ou cos) e das
funções sen, cos, sen2 e cos2.
Por exemplo,
6.
∫
cos3 x dx =
∫
cos x(1− sen2 x) dx = ∫ cos x dx − ∫ cos x sen2 x dx =
sen x − 13 sen3 x ;
7.
∫
sen4 x dx =
∫ (1−cos 2x
2
)2
dx =
1
4
( ∫
1dx − ∫ 2 cos 2x dx + ∫ cos2 2x dx) = 14(x − sen 2x + ∫ 1+cos 4x2 dx) =
= 14
(
x − sen 2x + 12(x + 14 sen 4x)
)
.
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Derivadas e Primitivas
Derivada da função inversa
Teoremada derivação da função inversa
Seja f uma função invertível e derivável em x0 = f
−1(y0) (para
x0 ∈ dom f , y0 ∈ Im f ). Então, f −1 é derivável em y0 = f (x0) sse
f ′(x0) = f ′(f −1(y0)) 6= 0. Além disso, no caso afirmativo,
declive = ___
declive = f´(x )0
0
x0 y0
x0
y0
-
1
1
f´(x )
y=f(x)
x
=
f (y
)
(f −1)′(f (x0)) =
1
f ′(x0)
ou, de forma equivalente,
(f −1)′(y0) =
1
f ′(f −1(y0))
.
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Derivadas e Primitivas
Derivada da função inversa
Teorema da derivação da função inversa
Demonstração: Para todo o x ∈ dom f temos (f −1 ◦ f )(x) = x , logo,
(f −1 ◦ f )′(x) = 1. Se f −1 é derivável em f (x0), pela regra da cadeia,
1 = (f −1 ◦ f )′(x0) = (f −1)′(f (x0)) · f ′(x0),
donde resulta que f ′(x0) 6= 0 e (f −1)′(f (x0)) = 1f ′(x0) .
Reciprocamente, suponhamos f ′(x0) 6= 0. Como f é bijectiva, qualquer
y ∈ dom f −1 é da forma y = f (x), para um único x ∈ dom f ; e, sendo f
contínua em x0 (porque é derivável nesse ponto), x → x0 exactamente
quando y = f (x) → y0 = f (x0). Podemos então escrever
lim
y→y0
f −1(y)− f −1(y0)
y − y0 = limx→x0
f −1(f (x)) − f −1(f (x0))
f (x)− f (x0)
= lim
x→x0
x − x0
f (x)− f (x0)
=
1
f ′(x0)
e portanto existe (f −1)′(y0) = 1f ′(x0) .
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Derivadas e Primitivas
Derivada da função inversa
Exemplos
1- A função f : R → R
x 7→ x3
é bijectiva, com inversa f −1 : R → R
y 7→ 3√y
;
e f é derivável em qualquer x ∈ R, com f ′(x) = 3x2.
Em x = 0, tem-se f ′(0) = 0 e portanto f −1 não é derivável em f (0) = 0;
f(x)=x3 f(x)=√x3
f não é derivável em 0
(tangente vertical)
-1f´(0)=0
(tangente horizontal)
-1
Se x 6= 0, então f ′(x) 6= 0 e f −1 é derivável em y = x3( ⇐⇒ x = 3√y),
sendo (
f −1
)′
(y) =
1
f ′(x)
=
1
3x2
=
1
3
(
3
√
y
)2 = 13y− 23 .
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 26
Derivadas e Primitivas
Derivada da função inversa
Exemplos
Analogamente se determinam as derivadas das funções do tipo x
1
n , com
n ∈ N+. Para n > 1, estas funções não são deriváveis em x = 0.
2- f (x) = ex (x ∈ R) e f −1(x) = log x (x ∈ R+) são mutuamente inversas
e portanto a derivada de uma pode ser obtida da outra.
Por exemplo, assumindo que f ′(x) = ex 6= 0, ∀x ∈ R conclui-se que
f −1(y) = log y é derivável em qualquer y = ex ∈ R+ e(
f −1
)′
(y) =
1
f ′(x)
=
1
ex
=
1
elog y
=
1
y
.
Consequentemente,
∫
1
x
dx = log x , para x ∈ R+. Como, para x < 0,
(log(−x))′ = 1−x · (−1), pode-se ainda afirmar que∫
1
x
dx = log |x |, em R \ {0}.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 27
Derivadas e Primitivas
Derivada da função inversa
Inversas das funções trigonométricas
Nenhuma das funções trigonométricas sen, cos, tg e cotg é invertível, uma
vez que nenhuma é injectiva. No entanto, podem-se considerar restrições
apropriadas destas funções que sejam invertíveis:
−pi/2
−pi/2
pi/2
pi/2
y=
x 
y=sen x
y=arcsen x
1
1
-1
-1
A função sen|[−pi
2
,pi
2
] : [−pi2 , pi2 ] → [−1, 1] é bijectiva.
A sua inversa é
arcsen : [−1, 1] → [−pi
2
,
pi
2
].
Assim, ∀x ∈ [−pi2 , pi2 ],∀y ∈ [−1, 1],
arcsen y = x ⇔ y = sen x ;
ou seja, para y ∈ [−1, 1], arcsen y é o único número entre −pi2 e pi2 cujo
seno é y .
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 28
Derivadas e Primitivas
Derivada da função inversa
Inversas das funções trigonométricas
pi/2 pi
pi/2
pi
y=
x 
y=cos x
y=arccos x
1
1
-1
-1
A inversa
da função cos|[0,pi] : [0, pi] → [−1, 1] é
arccos : [−1, 1] → [0, pi].
Assim, arccos y = x ⇔ y = cos x , ∀x ∈ [0, pi],∀y ∈ [−1, 1].
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 29
Derivadas e Primitivas
Derivada da função inversa
Inversas das funções trigonométricas
y=arctg x
pi/2
−pi/2
A função
arctg : R →]− pi
2
,
pi
2
[
é inversa
da restrição da função tangente
tg|]−pi
2
,pi
2
[ :]− pi2 , pi2 [→ R.
|
y=arcotg x
pi/2
pi A inversa
da função cotg|]0,pi[ : [0, pi] → R é
arcotg : R →]0, pi[.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 30
Derivadas e Primitivas
Derivada da função inversa
Inversas das funções trigonométricas
Por exemplo,
◮ arcsen 12 =
pi
6 (porque sen
pi
6 =
1
2 e
pi
6 ∈ [−pi2 , pi2 ]);
◮ arcsen 0 = 0 (porque sen 0 = 0 e 0 ∈ [−pi2 , pi2 ]);
◮ sen(arcsen 14) =
1
4 (porque sen e arcsen são mutuamente inversas);
◮ cos(arcsen 14 ) = +
√
1−
(
1
4
)2
=
√
15
4 (pois α = arcsen
1
4 ∈ [−pi2 , pi2 ], logo
cosα > 0, e cos2 α + sen2 α = 1);
◮ arccos x < pi2 ⇐⇒ x > 0 (uma vez que arccos 0 = pi2 e arccos é uma função
decrescente em [−1, 1]);
◮ arctg 0 = 0 e arctg x > 0 ⇐⇒ x > 0 (uma vez que arctg 0 = 0 e arctg é
uma função crescente).
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 31
Derivadas e Primitivas
Derivada da função inversa
Inversas das funções trigonométricas
Para determinar a derivada de cada uma das inversas das funções
trigonométricas, usa-se o Teorema da Derivação da função inversa:
A função arcsen é inversa de f = sen|[−pi/2,pi/2], que é derivável. Pelo
referido teorema, f −1 = arcsen é derivável em todos os pontos y ∈ [−1, 1]
tais que f ′(f −1(y)) 6= 0. Ora,
f ′(f −1(y)) = cos(arcsen y) 6= 0⇔ arcsen y 6= ±pi/2⇔ y 6= ±1.
Assim, arcsen é derivável em ]− 1, 1[ e, para y ∈]− 1, 1[,(
f −1
)′
(y) =
1
f ′(f −1(y))
=
1
cos(arcsen y)
.
Pode-se escrever esta expressão com outro aspecto: se x = arcsen y então
sen x = y e cos x =
√
1− sen2 x =
√
1− y2. Portanto,
arcsen′(y) =
1√
1− y2 , ∀y ∈]− 1, 1[.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 32
Derivadas e Primitivas
Derivada da função inversa
Inversas das funções trigonométricas
Quanto à função arctg, verifica-se analogamente que é derivável em todo
o domínio e
arctg′(y) =
1
1 + y2
, ∀y ∈ R.
Resultam imediatamente as correspondentes primitivas:
∫
1√
1− x2 dx = arcsen x e
∫
1
1 + x2
dx = arctg x .
Exemplo:
∫
x2
1+x2
dx =
∫ 1+x2−1
1+x2
dx =
∫
1dx − ∫ 1
1+x2
dx = x − arctg x .
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 33
Derivadas e Primitivas
Técnicas de primitivação
Primitivação por substituição
Nos exemplos que vimos até agora, a determinação de primitivas surgiu
naturalmente como “aplicação inversa” das regras de derivação. Iremos
agora estudar algumas técnicas de primitivação específicas que muito vão
auxiliar em casos menos evidentes.
Em particular, no que se refere à regra de primitivação associada à
derivada da função composta, nem sempre a função a primitivar aparece
de maneira óbvia na forma (f ◦ g) · g ′. Muitas vezes ajudará fazer o que se
chama uma mudança de variável ou substituição.
Mas antes de apresentarmos o método de primitivação por substituição,
vamos introduzir a notação de diferenciais desenvolvida por Leibniz que
simplifica imenso a aplicação desse método e será sempre usada.
(Leibniz terá dito:“é como se a notação fizesse todo o trabalho sozinha”).
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 34
Derivadas e Primitivas
Primitivação por substituição
Notação de diferenciais (de Leibniz)
A notação de diferenciais, como dx , aparece já na representação usada
para o integral indefinido,
∫
f (x) dx , e indica a variável relativamente à
qual se está a primitivar (ou derivar).
Em geral, se y = f (x), f ′ pode representar-se por
df
dx
ou
dy
dx
podendo-se acrescentar a menção explícita ao ponto onde é calculada: por
exemplo, f ′(x) = df
dx
∣∣∣
x
e f ′(1) = df
dx
∣∣∣
1
.
Pode também escrever-se, com o mesmo sentido de dy
dx
= f ′(x),
dy = f ′(x) dx .
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 35Derivadas e Primitivas
Primitivação por substituição
Notação de diferenciais (de Leibniz)
Nesta notação, a regra da cadeia escreve-se com o seguinte aspecto,
bastante simples e formalmente semelhante ao produto de fracções
(embora não se trate aqui de fracções!!): se y = f (x) e z = g(y), então a
composta z = g(f (x)) tem derivada
dz
dx
∣∣∣∣
x
=
dz
dy
∣∣∣∣
y(x)
· dy
dx
∣∣∣∣
x
.
A derivada da função inversa também se escreve facilmente: se f é
invertível e y = f (x), então x = f −1(y) e
dx
dy
∣∣∣∣
y(x)
=
1
dy
dx
∣∣∣
x
.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 36
Derivadas e Primitivas
Primitivação por substituição
Notação de diferenciais (de Leibniz) - exemplo
Por exemplo, se y = ex , então dy
dx
∣∣∣
x
= ex , ou ainda, dy = ex dx .
Como a função exponencial é invertível com inversa log, pode também
escrever-se x = log y e portanto dx
dy
∣∣∣
y
= 1
y
ou dx = 1
y
dy .
Considerando agora z = y2, tem-se dz
dy
∣∣∣
y
= 2y , e a função composta
z(y(x)) = (ex )2 tem derivada
dz
dx
∣∣∣∣
x
=
dz
dy
∣∣∣∣
y(x)
· dy
dx
∣∣∣∣
x
. = 2ex · ex = 2e2x .
De forma equivalente, dz = 2y dy e y = ex , logo dy = ex dx e
dz = 2ex · ex dx .
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 37
Derivadas e Primitivas
Primitivação por substituição
Teorema da Mudança de Variável
(Teorema da mudança de variável)
Seja y = g(x) uma função bijectiva e derivável, com inversa x = g−1(y)
derivável. Se f for primitivável, então uma primitiva de f ,
∫
f (x) dx, é
dada por ∫
f (g−1(y)) · (g−1)′(y) dy
calculada em y = g(x).
Demonstração: Seja G(y) =
∫
f (g−1(y)) · (g−1)′(y) dy . Pretende-se
mostrar que
(
G(g(x))
)′
= f (x). Ora,
(
G(g(x))
)′
=
dG
dy
∣∣∣∣
g(x)
· dy
dx
∣∣∣∣
x
= f (g−1(g(x))) · (g−1)′(g(x)) · dy
dx
∣∣∣∣
x
= f (x) · dx
dy
∣∣∣∣
g(x)
· dy
dx
∣∣∣∣
x
= f (x).
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 38
Derivadas e Primitivas
Primitivação por substituição
Teorema da Mudança de Variável - aplicação
Suponhamos que se pretende calcular
∫
f (x) dx usando a mudança de
variável y = g(x), ou seja x = g−1(y) (“substitui-se a variável x pela
variável y”). Escreve-se então dx = (g−1)′(y) dy . Substituindo x e dx
em
∫
f (x) dx , obtém-se∫
f (x) dx =
∫
f (g−1(y))︸ ︷︷ ︸
f (x)
· (g−1)′(y) dy︸ ︷︷ ︸
dx
como no enunciado do teorema. Prossegue-se então determinando uma
primitiva G(y) =
∫
f (g−1(y)) · (g−1)′(y) dy , voltando por fim a substituir
y por g(x) para obter a primitiva procurada:
∫
f (x) dx = G(g(x)).
Evidentemente, o sucesso na aplicação deste método depende de se
encontrar uma mudança de variável adequada de forma a que consigamos
primitivar a função resultante f (g−1(y)) · (g−1)′(y) (em ordem a y).
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 39
Derivadas e Primitivas
Primitivação por substituição
Exemplos
1. Para primitivar a função f (x) =
√
2x + 3 · x , vamos usar a mudança de
variável y =
√
2x + 3. Então, x = y
2−3
2 e dx =
(
y2−3
2
)′
dy = y dy .
Fazendo a substituição:
∫
f (x) dx =
∫ √
2x + 3 · x dx
x =
y2−3
2
dx = y dy
=
∫
y · (y2 − 3
2
)
︸ ︷︷ ︸
f (x)
· y dy︸︷︷︸
dx
=
1
2
∫
y4 − 3y2 dy = 1
2
(y5
5
− y3)
y=
√
2x+3
=
1
2
(
(
√
2x + 3)5
5
− (√2x + 3)3
)
.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 40
Derivadas e Primitivas
Primitivação por substituição
Exemplos
2. Para calcular
∫
1
1 +
√
x
dx faça-se a mudança de variável y =
√
x , ou
seja, x = y2. Então dx = 2y dy e, substituindo,∫
1
1 +
√
x
dx =
∫
1
1 + y
· 2y dy .
Para calcular a primitiva obtida (veremos à frente uma abordagem sistemática
à primitivação de funções racionais), podemos proceder da seguinte forma:∫
1
1 + y
· 2y dy = 2
∫
y
1 + y
dy = 2
∫
1 + y − 1
1 + y
dy
= 2
(∫
1 dy −
∫
1
1 + y
dy
)
= 2(y − log(1 + y))
Finalmente, volta-se a substituir y =
√
x para obter∫
1
1 +
√
x
dx = 2
√
x − 2 log(1 +√x).
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 41
Derivadas e Primitivas
Primitivação por substituição
Exemplos
3. Determine-se uma primitiva da função f (x) =
√
1− x2 usando a
mudança de variável x = sen y , ou seja, y = arcsen x (∈ ]− pi2 , pi2 [).
Desta forma,
√
1− x2 = √1− sen2 y = cos y︸ ︷︷ ︸
≥0
e dx = cos y dy .
Fazendo a substituição,
∫ √
1− x2 dx
x = sen y
dx = cos y dy
=
∫
cos2 y dy =
∫
cos 2y + 1
2
dy =
sen 2y
4
+
y
2
y=arcsen x
=
1
2
(
arcsen x +
1
2
sen(2 arcsen x)
)
=
1
2
arcsen x +
1
2
sen(arcsen x) cos(arcsen x)
=
1
2
arcsen x +
1
2
x ·
√
1− x2.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 42
Derivadas e Primitivas
Primitivação por partes
Da regra de derivação do produto resulta imediatamente a seguinte
técnica de primitivação, conhecida por primitivação por partes:
Suponhamos que uma função da forma f ′ · g é primitivável. Então, f · g ′
também é primitivável e∫
f · g ′ = f · g −
∫
f ′ · g .
Prova: Basta notar que se f ′ · g admite uma primitiva ∫ f ′ · g então,
(f · g − ∫ f ′ · g)′ = (f · g)′ − f ′ · g = f ′ · g + f · g ′ − f ′ · g = f · g ′.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 43
Derivadas e Primitivas
Primitivação por partes
Exemplos
1. Vamos usar primitivação por partes para determinar
∫
x ex dx . Para
tal, precisamos de escrever esta função como um produto f (x)g ′(x) de
forma a que conheçamos uma primitiva g de g ′. Teremos posteriormente
de calcular
∫
f ′(x)g(x) dx e por isso convém escolher f e g de forma a
que f ′g seja mais fácil de primitivar do que a função inicial fg ′.
Neste caso, podemos escolher f (x) = x e g ′(x) = ex , sendo g(x) = ex :∫
x ex dx =
∫
f (x)g ′(x) dx = f (x)g(x) −
∫
f ′(x)g(x) dx
= x ex −
∫
ex dx = ex(x − 1).
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 44
Derivadas e Primitivas
Primitivação por partes
Exemplos
Se, pelo contrário, escolhermos f (x) = ex e g(x) = x
2
2 (de forma a que
g ′(x) = x), obtemos, usando primitivação por partes,
∫
x ex dx =
x2
2
ex −
∫
x2
2
ex dx
relacionando assim a primitiva procurada,
∫
x ex dx , com outra ainda mais
difícil de determinar,
∫
x2
2 e
x dx . Não conseguimos então qualquer
vantagem na aplicação do método.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 45
Derivadas e Primitivas
Primitivação por partes
Exemplos
2. Para determinar
∫
x2e−x dx , primitivando por partes, considere-se
f (x) = x2 e g ′(x) = e−x = −g(x). Obtém-se então∫
x2e−x dx = −x2e−x + 2
∫
xe−x dx .
Agora pode-se usar novamente primitivação por partes para determinar∫
xe−x dx = −xe−x +
∫
e−x dx = −xe−x − e−x .
Substituindo na equação anterior, vem finalmente∫
x2e−x dx = −x2e−x − 2xe−x − 2e−x = −e−x(x2 + 2x + 2).
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 46
Derivadas e Primitivas
Primitivação por partes
Exemplos
3. Calcule-se agora uma primitiva de h(x) = ex sen x , usando primitivação
por partes e aproveitando a “circularidade” nas derivadas das funções
trigonométricas sen e cos. Em primeiro lugar, obtém-se∫
ex︸︷︷︸
g ′
1
(x)
sen x︸ ︷︷ ︸
f1(x)
dx = ex︸︷︷︸
g1(x)
sen x︸ ︷︷ ︸
f1(x)
−
∫
ex︸︷︷︸
g1(x)
cos x︸ ︷︷ ︸
f ′
1
(x)
dx .
Por sua vez, ∫
ex︸︷︷︸
g ′
2
(x)
cos x︸ ︷︷ ︸
f2(x)
dx = ex cos x +
∫
ex sen x dx .
Substituindo acima, resulta a equação∫
ex sen x dx = ex sen x − ex cos x −
∫
ex sen x dx
que se pode resolver em ordem a
∫
ex sen x dx para concluir que∫
ex sen x dx =
1
2
ex (sen x − cos x).
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 47
Derivadas e Primitivas
Primitivaçãopor partes
Exemplos
4. Em certos casos, o método de primitivação por partes é eficaz para
calcular primitivas de funções que não aparecem explicitamente como um
produto. Por exemplo, não conhecemos uma primitiva da função log mas
sabemos derivá-la. Pode-se escrever log x = 1 · log x = g ′(x) · f (x), onde
g(x) = x e f (x) = log x . Obtém-se então∫
log x dx = x log x −
∫
x · 1
x
dx = x log x − x = x(log x − 1).
5. O mesmo método resulta para determinar∫
arctg x dx =
∫
1 · arctg x dx = x arctg x −
∫
x · 1
1 + x2
dx
= x arctg x − 1
2
log(1 + x2).
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 48
Derivadas e Primitivas
Primitivação de funções racionais
Faremos agora uma abordagem geral e sistemática ao problema de
determinar primitivas de funções racionais.
Considere-se então f (x) =
p(x)
q(x)
, onde p e q são funções polinomiais.
Em primeiro lugar note-se que se grau p ≥ grau q, pode-se dividir o
polinómio p(x) por q(x) para obter p(x) = d(x) q(x) + r(x), para certos
polinómios d(x) e r(x) com grau r < grau q. Assim,
f (x) = d(x) +
r(x)
q(x)
e portanto para primitivar f bastará primitivar a função polinomial d(x),
(o que é sempre fácil) e a função racional r(x)
q(x) .
Por exemplo,∫
x2
x − 1 dx =
∫
(x+1)+
1
x − 1 dx =
∫
x+1 dx+
∫
1
x − 1 dx =
x2
2
+x+log |x−1|.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 49
Derivadas e Primitivas
Primitivação de funções racionais
Funções p(x)
q(x)
com grau p < grau q e grau q ≥ 1
Tendo isto em conta, no que se segue considera-se sempre f (x) =
p(x)
q(x)
com grau p < grau q e grau q ≥ 1.
O método para primitivar estas funções consiste em decompô-las como
soma de fracções (“parciais”) dos tipos
A
(x − a)n ou
Bx + C
(x2 + bx + c)n
em que x2 + bx + c é um polinómio irredutível (i.e., sem raízes reais) e
A,B,C , a, b, c ∈ R e n ∈ N.
Começamos então por ver (ou recordar) como primitivar estas funções,
que podem ser obtidas como combinação linear de funções das seguintes
formas, quase todas com primitivas já conhecidas:
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 50
Derivadas e Primitivas
Primitivação de funções racionais
i) Funções do tipo
1
(x − a)n , (a ∈ R, n ∈ N)
◮ Se n = 1,
∫
1
x − a dx = log |x − a|;
◮ e, se n > 1,
∫
1
(x − a)n dx =
(x − a)−n+1
−n + 1 .
Exemplos:
◮
∫
2
3x + 1
dx =
2
3
∫
1
x + 13
dx =
2
3
log |x + 1
3
|
ou
∫
2
3x + 1
dx = 2
∫
1
3x + 1
dx =
2
3
log |3x + 1|
(as duas primitivas diferem de uma constante!);
◮
∫
1
(3x + 1)3
dx = −1
6
1
(3x + 1)2
.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 51
Derivadas e Primitivas
Primitivação de funções racionais
ii) Funções do tipo
2x + b
(x2 + bx + c)n
, (b, c ∈ R, b2 − 4c < 0, n ∈ N)
◮ Se n = 1,
∫
2x + b
x2 + bx + c
dx = log |x2 + bx + c|;
◮ e, se n > 1,
∫
2x + b
(x2 + bx + c)n
dx =
(x2 + bx + c)−n+1
−n + 1 .
Exemplos:
◮
∫
x + 1
x2 + 2x + 2
dx =
1
2
log |x2 + 2x + 2|;
◮
∫
x + 1
(x2 + 2x + 2)2
dx = − 1
2(x2 + 2x + 2)
.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 52
Derivadas e Primitivas
Primitivação de funções racionais
iii) Funções do tipo
1
x2 + bx + c
, (b, c ∈ R, b2 − 4c < 0)
Uma vez que o polinómio x2 + bx + c é irredutível (e só nesse caso!) é
possível escrevê-lo na forma C · ((Ax + B)2 + 1), com A,B,C ∈ R e
A,C 6= 0. Então,
∫
1
x2 + bx + c
dx =
1
C
∫
1(
(Ax + B)2 + 1
) dx = 1
C · A arctg(Ax + B).
Exemplo:
◮ x2 − 2x + 5 = (x − 1)2 + 4 = 4(( x−12 )2 + 1), logo∫
1
x2 − 2x + 5 dx =
1
4
∫
1(
x−1
2
)2
+ 1
dx =
1
2
arctg
(x − 1
2
)
.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 53
Derivadas e Primitivas
Primitivação de funções racionais
iv) Funções do tipo
1
(x2 + bx + c)n
, (b, c ∈ R, b2 − 4c < 0, n ∈ N+)
(Este é o caso mais trabalhoso!)
Para n > 1, reduz-se o cálculo da primitiva
∫
1
(x2 + bx + c)n
dx ao
cálculo de
∫
1
(x2 + bx + c)n−1
dx usando primitivação por partes ;
aplicando este processo n − 1 vezes, reduz-se ao caso n = 1 visto atrás.
Para isso, começa-se também por escrever x2 + bx + c na forma
C · ((Ax + B)2 + 1) já indicada atrás. Simplificando, admita-se que este
polinómio é x2 + 1; a resolução no caso geral terá os devidos ajustes mas
pode ser reduzida a este com a substituição y = Ax + B. Tem-se∫
1
(x2 + 1)n
dx =
∫
x2 + 1
(x2 + 1)n
− x
2
(x2 + 1)n
dx
=
∫
1
(x2 + 1)n−1
dx −
∫
x2
(x2 + 1)n
dx
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 54
Derivadas e Primitivas
Primitivação de funções racionais
iv) Funções do tipo
1
(x2 + bx + c)n
, (b, c ∈ R, b2 − 4c < 0, n ∈ N+)
Por sua vez,
∫
x2
(x2 + 1)n
dx =
∫
x
2︸︷︷︸
f (x)
· 2x
(x2 + 1)n︸ ︷︷ ︸
g ′(x)
dx primitiva-se por partes,
onde g(x) =
∫
2x
(x2 + 1)n
dx é uma primitiva do tipo ii). Obtém-se o
resultado em função de
∫
1
(x2 + 1)n−1
dx .
Exemplo:
∫
1
(x2 + 1)2
dx =
∫
1
x2 + 1
dx −
∫
x2
(x2 + 1)2
dx
= arctg x −
(x
2
·
∫
2x
(x2 + 1)2
dx −
∫
1
2
g(x) dx
)
= arctg x −
(x
2
· −1
x2 + 1
+
1
2
∫
1
x2 + 1
dx
)
=
1
2
arctg x +
1
2
x
x2 + 1
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 55
Derivadas e Primitivas
Primitivação de funções racionais
De volta ao caso geral das funções f (x) = p(x)
q(x)
, com grau p < grau q 6= 0
Estudados estes casos, para resolver o problema geral de primitivar de
f (x) = p(x)
q(x) , com grau p < grau q 6= 0, basta agora ver como se decompõe
esta função numa combinação linear de funções dos tipos já considerados.
Começa-se por (tentar!) factorizar q(x) em polinómios do primeiro grau e
polinómios do segundo grau irredutíveis. Isto é sempre possível pelo
teorema que se enuncia a seguir - Teorema Fundamental da Álgebra - mas
não há algoritmos que garantam que o consigamos sempre fazer na prática.
(De facto, prova-se que para polinómios de grau ≥ 5, não existe uma “fórmula
resolvente”, envolvendo apenas as operações aritméticas básicas e radicais.)
Usa-se então essa factorização para escrever p(x)
q(x) como combinação linear
de funções dos tipos i),ii), iii) e iv). Essa possibilidade é garantida pelo
resultado que se enuncia depois, também sem prova.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 56
Derivadas e Primitivas
Primitivação de funções racionais
Teorema Fundamental da Álgebra
Todo o polinómio de coeficientes reais q(x) = anx
n + · · ·+ a0 se
decompõe de maneira única (a menos da ordem dos factores) como um
produto de polinómios do primeiro grau e do segundo grau irredutíveis,
q(x) = an(x−α1)r1 · · · · ·(x−αk)rk ·(x2+b1x +c1)l1 · · · · ·(x2+bmx +cm)lm
em que α1, . . . , αk são as raízes reais distintas de q(x) (de multiplicidades
r1, . . . , rk respectivamente), os polinómios x
2 + bix + ci , i = 1, . . . ,m são
irredutíveis, e r1 + · · · + rk + 2 (l1 + · · ·+ lm) = n.
(Nota: Os polinómios x2 + bix + ci correspondem às raízes complexas conjugadas de
q(x): em C, x2 + bix + ci = (x − zi )(x − z¯i ), em que os números complexos conjugados
zi e z¯i são raízes de q(x).)
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 57
Derivadas e Primitivas
Primitivação de funções racionais
Decomposição em combinação linear dos tipos A
(x−a)n e
Bx+C
(x2+bx+c)n
, A,B,C , a, b, c ∈ R,
b2 − 4c < 0 e n ∈ N.
Se p(x) e q(x) são polinómios tais que grau p < grau q 6= 0 e
q(x) = an(x−α1)r1 · · · · ·(x−αk)rk ·(x2+b1x +c1)l1 · · · · ·(x2+bmx +cm)lm
está factorizado nas condições do teorema anterior, então p(x)
q(x) escreve-se
de maneira única (a menos da ordem das parcelas) na forma[ a1,1
x − α1 +
a1,2
(x − α1)2 + · · ·+
a1,r1
(x − α1)r1
]
+ · · ·+[ ak,1
x − αk + · · ·+
ak,rk
(x − α1)rk
]
+
[ b1,1x + c1,1
x2 + b1x + c1
+ · · ·+ b1,l1x + c1,l1
(x2 + b1x + c1)l1
]
+ · · ·
· · ·+
[ bm,1x + cm,1
x2 + bmx + cm
+ · · ·+ bm,lmx + cm,lm
(x2 + bmx + cm)lm
]
para certos ai,ji ∈ R, com i ∈ {1, . . . , k}, ji ∈ {1, . . . , ki} e bi′,j′i , ci′,j′i ∈ R, com
i ′ ∈ {1, . . . ,m}, j ′i ∈ {1, . . . , li}.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 58
Derivadas e Primitivas
Primitivação de funções racionais
Resumo
Resumindo, para primitivar uma função racional f (x) =
p(x)
q(x)
, procede-se
sucessivamente da seguinte forma:
1 No caso de grau p ≥ grau q divide-se o polinómio p(x) por q(x) de
forma a obter∫
f (x) dx =
∫
d(x) dx +
∫
r(x)
q(x)
dx com grau r < grau q;
2 Factoriza-se (quando o conseguirmos...) o polinómio q(x) em
polinómios irredutíveis;
3 Usa-se essa factorização para escrever r(x)
q(x) como combinação linear
de funções racionais dos tipos i) - iv);
4 Primitiva-se f (x) como combinação linear de primitivas de d(x) e das
funções dos tipos i) - iv) obtidas.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 59
Derivadas e Primitivas
Primitivação de funções racionais
Exemplos
1. Para primitivar
p(x)
q(x)
=
x3 − x + 1
x2 − 1 , começa-se por dividir p(x) por
q(x) obtendo x3 − x + 1 = x .(x2 − 1) + 1; logo,∫
x3 − x + 1
x2 − 1 dx =
∫
x dx +
∫
1
x2 − 1 dx .
Agora, factorizando x2 − 1 = (x − 1) (x + 1), sabe-se que
1
x2 − 1 =
A
x − 1 +
B
x + 1
=
A(x + 1) + B(x − 1)
x2 − 1 , ∀x 6= ±1,
para certos A,B ∈ R, que são determinados univocamente pela condição
1 = (A + B)x + (A− B), ∀x ∈ R. Daqui resulta o sistema linear{
A + B = 0
A− B = 1
cuja solução é A = 1/2 e B = −1/2.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 60
Derivadas e Primitivas
Primitivação de funções racionais
Exemplos
(ex. 1 - continuação)
Alternativamente, para determinar A e B, note-se que de
1 = (A + B)x + (A− B), ∀x ∈ R resulta em particular para x = −1,
1 = −2B e para x = 1, 1 = 2A.
Assim,
1
x2 − 1 =
1/2
x − 1 −
1/2
x + 1
e logo
∫
x3 − x + 1
x2 − 1 dx =
∫
x dx +
∫
1/2
x − 1 dx −
∫
1/2
x + 1
dx
=
x2
2
+
1
2
log |x − 1| − 1
2
log |x + 1|.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 61
Derivadas e Primitivas
Primitivação de funções racionais
Exemplos
2. O polinómio (x − 1)2(x2 + 1) está já factorizado como produto de polionómios
irredutíveis. Tem-se então
1
(x − 1)2(x2 + 1) =
A
x − 1 +
B
(x − 1)2 +
Cx + D
x2 + 1
,
para certos A,B,C ,D ∈ R que se determinam por
1 = A(x − 1)(x2 + 1) + B(x2 + 1) + (Cx + D)(x − 1)2, ∀x ∈ R
⇔1 = (A + C)x3+(−A + B − 2C + D)x2+(A− 2D + C)x+(−A + B + D), ∀x ∈R
⇔


A + C = 0
−A + B − 2C + D = 0
A− 2D + C = 0
−A + B + D = 1
⇔


A = −1/2
B = 1/2
C = 1/2
D = 0
. Portanto,
∫
1
(x − 1)2(x2 + 1) dx = −
1
2
∫
1
x − 1 dx +
1
2
∫
1
(x − 1)2 dx +
1
2
∫
x
x2 + 1
dx
= −1
2
log |x − 1| − 1
2
1
x − 1 +
1
4
log(x2 + 1).
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 62
Derivadas e Primitivas
Primitivação de funções racionais
Exemplos
3. Como x7 + 2x5 + x3 = x3(x2 + 1)2, então
x5 + 2x3 + 1
x7 + 2x5 + x3
=
A1
x
+
A2
x2
+
A3
x3
+
B1x + C1
x2 + 1
+
B2x + C2
(x2 + 1)2
,
para certos números reais A1,A2,A3,B1,B2,C1,C2 que se determinam tal
como nos exemplos anteriores. Obtém-se então∫
x5 + 2x3 + 1
x7 + 2x5 + x3
dx =
=
∫ −2
x
dx +
∫
0
x2
dx +
∫
1
x3
dx +
∫
2x + 1
x2 + 1
dx +
∫
1x + 1
(x2 + 1)2
dx
= −2 log |x | − 1
2x2
− log(x2 + 1) + arctg x − 1
x2 + 1
+
(1
2
arctg x +
1
2
x
x2 + 1
)
︸ ︷︷ ︸∫
1
(x2+1)2
dx (já calculada)
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 63
Derivadas e Primitivas
Primitivação de funções racionais
Exemplos
4. Determine-se uma primitiva de f (x) = x
3
x2+x+1
. Usando o algoritmo da
divisão, obtém-se
x3
x2 + x + 1
= x − 1 + 1
x2 + x + 1
.
Por outro lado, o polinómio x2 + x + 1 (irredutível!) escreve-se na forma
x2 + x + 1 =
(
x +
1
2
)2
+
3
4
=
3
4
[(x + 1/2√
3/2
)2
+ 1
]
.
Logo,∫
x3
x2 + x + 1
dx =
∫
x − 1 + 4/3(
2x+1√
3
)2
+ 1
dx =
x2
2
− x + 2√
3
arctg
(
2x + 1√
3
)
.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 64
Derivadas e Primitivas Exercícios
Exercícios
Derivadas
31 Determine:
a) a recta tangente à curva de equação y = 2x2 − 1 no ponto (−1, 1);
b) uma equação da recta tangente ao gráfico de f (x) = x + 1
x
no ponto (1, 2);
c) a recta normal ao gráfico de f (x) = 2x + 3
x2
no ponto de abcissa x = 1.
32 Mostre que a recta y = −x é tangente à curva y = x3 − 6x2 + 8x . Qual é o ponto
de tangência? Essa recta corta a curva noutros pontos?
33 Calcule, directamente a partir da definição de derivada num ponto:
a) f ′(−1), para f (x) = 3x2 − 1; b) f ′(x0), para f (x) = x3;
c) f ′(2), para f (x) = 1
x−1 ; d) f
′(0) para f (x) = sen x .
34 Calcule, usando regras de derivação, as derivadas das seguintes funções:
a) f (x) = (x2 + 3x − 1)4 b) f :]− π/2, π/2[ −→ R
x 7→ tg x
c) f (x) =
√
x + x−1 d) f (x) = (2x + 1)3
√
1− x2
e) f (x) =
√
1+
√
1+ x f) f (x) =
1− 3x2√
x2 − 4x + 1
g) f (x) = (x2 + 4)
√
2 h) f (x) =
√
sen x
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 65
Derivadas e Primitivas Exercícios
Exercícios
Derivadas e primitivas
i) f (x) = sen
(
x2
)
. (sen x)3 j) f (x) = sen(cos x)
k) f (x) = x
√
x l) f (x) =
√
1+ e2x
m) f (x) =
√
1+ 22x n) f (x) = ex sen x + e1/x
o) f (x) = log(x2 + 1) p) f (x) =
1− 3x
cos x
q) f (x) = log(
ex + 1
ex − 1 ) r) f (x) = log2(
√
x)
s) f (x) = log 1
2
(
1
x
)
t) (x2 + 1)sin 2x
35 Verifique que não é derivável no ponto x = 0 a função f : R → R dada por
x 7→
{
−x2 se x ≥ 0
1− x3 se x < 0 .
36 Sejam f e g funções de R em R tais que f (x) = xg(x), ∀x ∈ R. Mostre que se g
é contínua em zero, então f é derivável em zero e f ′(0) = g(0).
37 Mostre que a função f : R −→ R dada por f (x) = 1, se x ≥ 0, e f (x) = 0, se
x < 0, não tem nenhuma primitiva em R, isto é, não existe F : R −→ R, derivável,
com F ′(x) = f (x).
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 66
Derivadas e Primitivas Exercícios
Exercícios
Primitivas
38 Determine:
a)
∫
1+ x2 dx b)
∫
z + z5 dz c)
∫
2
x4
− 3
x5
dx d)
∫ (√
x2 +
1
x2
)′
dx
e) f (x), sabendo que
∫
f (x) dx = x7 + 10;
f) g(t), sabendo que
∫
g(t)dt = (t2 + 4t + 1)3/2 + C ;
g) F (6), sabendo que F ′(t) = t − 1 e F (0) = 4;
h) G(−1), sabendo que G ′′(u) = u2 − 3u e G(0) = 1,G(1) = 7
12
;
i) uma primitiva, que se anule em 1, da função f (u) = 2u2/3 − u5;
j) uma primitiva, que em 2 tome o valor 1, da função f (z) = z(z2 − 5)6.
39 Calcule directamente as seguintes primitivas:
a)
∫
(5x4 − 4x3)dx b)
∫
3dx c)
∫
5
8x6
dx
d)
∫ √
16x5 dx e)
∫
(R +
1
R
)2 dR f)
∫
eu
eu + 1
du
g)
∫
y
y2 + 1
dy h)
∫
1
x2 + 2x + 1
dx i)
∫
x2 + 2x − 3
x − 1 dx
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 67
Derivadas e Primitivas Exercícios
Exercícios
Primitivas e derivada da inversa
j)
∫
sen u cos u du k)
∫
cos θ sen4 θ dθ l)
∫
e
5x+1
dx
m)
∫
xe
−x2
dx n)
∫
log x
x
dx o)
∫
1
x
√
1− (log x)2
dx
p)
∫
log(cos x). tg x dx q)
∫
e2x√
1− e2x dx r)
∫
cos2 x dx
40 Seja f (x) = x3 + 2. Determine f −1 e calcule f ′(f −1(2)). Conclua que f −1 não é
derivável em 2 e interprete geometricamente a situação.
41 a) Justifique que a função f (x) = x3 + 2x é estritamente crescente. Calcule
(f −1)′(0) e (f −1)′(3).
b) Justifique que a função f (x) = 3− x − 2x3é estritamente decrescente.
Determine (f −1)′(3) e (f −1)′(0).
c) Verifique que a função h(z) = z2 − z + 1 é estritamente crescente para z > 1/2.
Se k é a função inversa de h
∣∣
]1/2,+∞[ , calcular k
′(3) e k ′(7).
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 68
Derivadas e Primitivas Exercícios
Exercícios
Inversas das funções trigonométricas
42 Determine:
a) sen(arcsen
√
3
2
) b) cos(arcsen 4
5
) c) tg(arcotg 3
4
)
d )
(
arctg
(
1
x
))′
e)
(
arcsen (x2 − 1)
)′
f)
(
1
arcos(x2 − 1)
)′
g)
∫
dt
t2 + 16
h)
∫
v√
1− v4 dv i)
∫
arctg x
1+ x2
dx
43 Considere a função f (x) = π − 2 arcsen(√x).
a) Determine o domínio e contradomínio de f .
b) Resolva a equação f (x) = π/2.
c) Calcule f ′(1/2) e (f −1)′(π/2), sem usar a expressão de f −1.
d) Determine a função f −1.
44 Considere a função f (x) = arcsen 1√
x
.
a) Determine o domínio e contradomínio de f .
b) Resolva a equação f (x) = pi
4
.
c) Calcule f ′(2) e determine uma equação da recta tangente ao gráfico de f no
ponto de abcissa 2.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 69
Derivadas e Primitivas Exercícios
Exercícios
Notação de diferenciais
d) Justifique que f −1 é derivável em pi
4
e calcule (f −1)′(pi
4
) sem usar a expressão
de f −1.
e) Determine a função f −1.
45 a) Calcule d(5x3).
b) Se y =
√
x3 − 3x2 + 1, a que é igual dy?
c) Se y = 3 sen(x − 2), para x ∈]− pi
2
+ 2, pi
2
+ 2[, a que é igual dx?
d) Se dy = x1/2 dx e y = 0 para x = 9, escreva y como função de x .
e) Se d(2
√
x + x4 − 1) = f (x)dx , a que é igual f (1) ?
f) Se x2 df = (x3 − 1) dx e f (1) = 0, a que é igual f (2) ?
g) Se f é derivável em R e d(xf ) = (2+ 3
√
x)dx , a que é igual f (0) ?
h) Se d(f + g) = x dx , d(f − g) = (1− x) dx e f (0) = g(0) = 1, determine f (x)
e g(x).
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 70
Derivadas e Primitivas Exercícios
Exercícios
Primitivação por substituição
46 Calcule as seguintes primitivas, por substituição.
a)
∫
x√
1+ x
dx b)
∫
e3x + e2x + 1
ex − e−x dx c)
∫
x +
√
2x + 1
1+ 2
√
2x + 1
dx
d)
∫
x
(x − 1)6 dx e)
∫
1√
x + 3
√
x
dx f)
∫
1√
x + 4
dx
g)
∫
e2x
ex + 4
dx h)
∫
x
√
x2 − 9dx i)
∫
sen
√
x√
x
dx
j)
∫
1√
x + 4
dx l)
∫
x
√
1+ x dx m)
∫
x2√
1− x2 dx
n)
∫
(1+ x)
√
1− x2 dx
(Sugestão para m) e n): fazer a substituição x = sen y)
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 71
Derivadas e Primitivas Exercícios
Exercícios
Primitivação por partes
47 Calcule, usando primitivação por partes:
a)
∫ √
x log x dx b)
∫
x log x dx c)
∫
x
2
e
x
dx
d)
∫
log2 x dx e)
∫
arcsen x dx f)
∫
x sen x dx
g)
∫
x tg2 x dx h)
∫
x3x dx i)
∫
e
ax cos bx dx
j)
∫
cos(log x) dx k)
∫
x log(x2)dx l)
∫
x log(
√
x) dx
m)
∫
x arctg x dx
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 72
Derivadas e Primitivas Exercícios
Exercícios
Primitivas de funções racionais
48 Calcule as seguintes primitivas de funções racionais:
a)
∫
1+ x2
1+ x
dx b)
∫
x3
x2 + x + 1
dx c)
∫
1
x3 + 1
dx
d)
∫
x3
x2 − 2x − 3 dx e)
∫
x2 + x + 1
(2x + 1)(x2 + 1)
dx f)
∫
x3 − 3x2 + 2x − 3
(x2 + 1)2
dx
g)
∫
x
(x − 1)2 dx h)
∫
2x2 + 1
(x − 2)3 dx i)
∫
x2 + x + 1
(x − 1)(x − 2)(x − 3) dx
j)
∫
x3
x2 + x + 1
dx k)
∫
x3
(x + 1)(x2 + 1)
dx l)
∫
1
(x2 + x − 2)(x − 1) dx
m)
∫
1
(x2 + 2x + 1)(x2 + 1)
dx
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Derivadas e Primitivas Exercícios
Exercícios
49 Enquadramento de derivadas:
Mostre, com exemplos adequados, que as condições g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) e
g ′(x0) = h
′(x0) = m não implicam necessariamente a existência de f ′(x0) ou que,
no caso de existir, seja f ′(x0) = m. E com alguma condição adicional?
50 a) Seja α > 1. Mostre que se f : R → R satisfaz a condição ∀x ∈ R,
|f (x)| ≤ |x |α, para algum α > 1, então f é derivável em 0. E se α for igual a 1?
b) Seja 0 < β < 1. Mostre que se f satisfaz |f (x)| ≥ |x |β e f (0) = 0, então f não
é derivável em 0.
51 (⋆) Construa exemplos de funções que são r vezes mas não r + 1 vezes deriváveis,
por primitivação, a partir da função módulo.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2011/2012 2. 74
Derivadas e Primitivas Exercícios
Exercícios
52 (⋆) Uma equação diferencial (numa incógnita f ) é uma equação que relaciona uma
função f com as suas derivadas (num determinado domínio); uma solução da
equação diferencial será então uma função f que verifica a condição dada pela
equação.
a) Mostre que se f : R −→ R é duas vezes derivável, com f ′′ + f = 0 e
f (0) = 0 = f ′(0), então f = 0. (Sugestão: começar por mostrar que
d
dx
[
(f ′(x))2 + (f (x))2
]
= 0)
b) Mostre que se f : R −→ R é duas vezes derivável, com f ′′ + f = 0 e f (0) = a ,
f ′(0) = b, então f = a cos x + b sin x .
c) Mostre que, para uma constante ω ∈ R, as soluções f da equação diferencial
f ′′ + ω2f = 0 são as funções da forma f (x) = a cosωx + b sinωx , para certos
a, b ∈ R.
(Sugestão: considerar F (x) = f (x/ω))
d) Deduza, usando a alínea b), as identidades trigonométricas:
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y
cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y
(Sugestão: para cada y ∈ R (fixo), considere a função f (x) = sin(x + y)).
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Derivadas e Primitivas Exercícios
Exercícios
53 (∗) (Comece por recordar (ou deduzir) a equação do movimento num plano
inclinado, sob a acção apenas da gravidade e sem atrito.)
Considere a figura abaixo. Mostre que o tempo de queda ao longo do plano
inclinado cor- respondente a uma corda PA da circunferência (do ponto P ao
ponto base A) não depende do ponto P considerado na circunferência.
A
P
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