Provas(2010 11)

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Cálculo Infinitesimal I (M111)
1o Teste (12/10/2010)
Turmas TP3 e TP5 Duração total: 1 hora
Nome (completo e legível)
Curso
Cotação
1 2 3 4 Total
(1,5) (1) (1) (1,5) (5)
Nota. Todas as respostas devem ser justificadas!
1. Calcule a derivada da função f(x) =
3
1
x
lnx
.
2. Determine se a função
g(x) =
{
x2 − 1 se x ≤ 1
x3 − 1 se x > 1
é ou não derivável em x = 1.
3. Calcule lim
n→+∞
cosn
n2
.
4. Calcule
∫
sen
√
x√
x
+ 2e3x dx.
Resolução !
1.
f ′(x) =
(
3
1
x
)′
lnx− 3 1x (lnx)′
ln2 x
=
ln 3 · 3 1x · (− 1
x2
) · lnx− 3 1x · 1x
ln2 x
(x > 0).
2. Uma vez que
g′−(1) = lim
x→1−
g(x) − g(1)
x− 1 = limx→1
x2 − 1− 0
x− 1 = limx→1x+ 1 = 2
e
g′+(1) = lim
x→1+
g(x)− g(1)
x− 1 = limx→1
x3 − 1− 0
x− 1 = limx→1x
2 + x+ 1 = 3,
tem-se que g′−(1) $= g′+(1) e portanto g não é derivável em x = 1.
Em alternativa, notando previamente que g é contínua em x = 1 (caso contrário, poder-se-ia
concluir imediatamente que não seria derivável nesse ponto), pois g(1) = 0 = limx→0− x2−
1 = limx→0+ x3− 1 = 0, e tendo em conta que as funções x2− 1 e x3− 1 são deriváveis em
x = 1, as derivadas laterais de g podem ser calculadas directamente por
g′−(1) = (x
2 − 1)′|x=1 = 2x|x=1 = 2 e g′+(1) = (x3 − 1)′|x=1 = 3x2|x=1 = 3.
3. Sabe-se que, para todo o n ∈ N, −1 ≤ cosn ≤ 1. Logo,
∀n ≥ 1, − 1
n2
≤ cosn
n2
≤ 1
n2
.
Como limn→+∞− 1n2 = limn→+∞ 1n2 = 0, resulta pelo Teorema do Enquadramento de
Limites que também limn→+∞ cosnn2 = 0.
Em alternativa, um argumento análogo pode ser usado para justificar o valor deste limite
pela definição:
Seja ε > 0. Tomando um número natural p ≥ 1√
ε
, tem-se, para qualquer n > p, que
n2 > p2 ≥ 1ε , logo 1n2 < ε e portanto∣∣∣cosn
n2
− 0
∣∣∣ = ∣∣∣cosn
n2
∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣ 1n2
∣∣∣∣ < ε.
4.
∫
sen
√
x√
x
+ 2e3x dx = −2 cos√x+ 2
3
e3x(+c), pois
(
−2 cos√x+ 2
3
e3x
)′
= −2 cos′√x · (√x)′ + 2
3
(
e3x
)′
= −2 · (− sen√x) · 1
2
x−
1
2 +
2
3
· 3 · e3x = sen
√
x√
x
+ 2e3x.
Cálculo Infinitesimal I (M111)
1o Teste (12/10/2010)
Turmas TP2 e TP4 Duração total: 1 hora
Nome (completo e legível)
Curso
Cotação
1 2 3 4 Total
(1,5) (1) (1) (1,5) (5)
Nota. Todas as respostas devem ser justificadas!
1. Calcule a derivada da função f(x) = tg(x
4+3x
ex ).
2. Determine uma equação da recta normal ao gráfico da função g(x) = ex
2+2x no ponto de
abcissa x = 0.
3. Indique e justifique a partir da definição de limite lim
n→+∞
1√
n2 + 2
.
4. Calcule
∫ √
lnx
x
+ cos(2x)dx.
Resolução !
Cálculo Infinitesimal I (M111)
1o Teste (11/10/2010)
Turma TP1 Duração total: 1 hora
Nome (completo e legível)
Curso
Cotação
1 2 3 4 Total
(1,5) (1) (1) (1,5) (5)
Nota. Todas as respostas devem ser justificadas!
1. Calcule a derivada da função f(x) = ln(sen2 x).
2. Determine uma equação da recta tangente ao gráfico da função g(x) = (x2 + 1)6 no ponto
de abcissa x = 1.
3. Indique e justifique a partir da definição de limite lim
n→+∞ 2
1
n .
4. Calcule uma primitiva F (x) da função e
x
cos2(ex−1) − 3
√
x que satisfaça a condição F (0) = 2.
Resolução !
Cálculo Infinitesimal I (M111)
1o Teste (8/11/2010)
Alunos da 2a fase Duração total: 1 hora
Nome (completo e legível)
Curso
Cotação
1 2 3 4 Total
(1,5) (1) (1) (1,5) (5)
Nota. Todas as respostas devem ser justificadas!
1. Calcule a derivada da função f(x) = ln( tg x
x2+1).
2. Determine uma equação da recta tangente ao gráfico da função g(x) = e2 senx no ponto de
abcissa x = 0.
3. Indique e justifique a partir da definição de limite lim
n→+∞
n
2n−√2 .
4. Calcule
∫
3
√
senx cos x− 3ex2 dx.
Resolução !
Cálculo Infinitesimal I (M111)
2o Teste (3/11/2010)
Turma TP1 Duração total: 1 hora
Nome (completo e legível)
Curso
Cotação
1 2a 2b 3 Total
(1) (2) (0,5) (1,5) (5)
Nota. Todas as respostas devem ser justificadas!
1. Calcule tg(arcsen 13 ).
2. (a) Calcule
∫ e
1
(x2 + 1) ln xdx.
(b) Verifique se a função inversa de f(x) = (x2 +1) ln x (definida para x ≥ 1) é derivável.
3. Calcule
∫
x2 − 2x+ 4
x3 + 4x
dx.
Resolução !
1.
tg(arcsen
1
3
) =
sen(arcsen 13 )
cos(arcsen 13)
∗
=
1
3√
1− (13)2 =
1
2
√
2
.
(*) Note-se que arcsen 1
3
∈ [−pi
2
, pi
2
] e portanto cos(arcsen 1
3
) ≥ 0.
2. (a) Calcule-se em primeiro lugar uma primitiva de f(x) = (x2+1) lnx usando primitivação
por partes:∫
(x2 + 1)︸ ︷︷ ︸
g′(x)
lnx︸︷︷︸
h(x)
dx =
(
x3
3
+ x
)
︸ ︷︷ ︸
g(x)
lnx︸︷︷︸
h(x)
−
∫ (
x3
3
+ x
)
︸ ︷︷ ︸
g(x)
· 1
x︸︷︷︸
h′(x)
dx =
(
x3
3
+ x
)
· lnx−
∫ (
x2
3
+ 1
)
dx
=
(
x3
3
+ x
)
· lnx− x
3
9
− x
Agora, pelo Teorema Fundamental do Cálculo,∫ e
1
(x2 + 1) ln xdxdx =
[(
x3
3
+ x
)
· lnx− x
3
9
− x
]e
1
=
(
e3
3
+ e
)
ln e︸︷︷︸
=1
−e
3
9
− e−
(
13
3
+ 1
)
ln 1︸︷︷︸
=0
+
13
9
+ 1 =
2e3 + 10
9
(b) Uma vez que f(x) = (x2+1) ln x, definida em [1,+∞[, é derivável (e invertível), sabe-se
pelo Teorema da Derivação da Função Inversa que f−1 é derivável em y = f(x) se e só se
f ′(x) $= 0. Ora, para qualquer x > 1,
f ′(x) = 2x︸︷︷︸
>0
lnx︸︷︷︸
≥0
+(x2 + 1)︸ ︷︷ ︸
>0
1
x︸︷︷︸
>0
> 0.
Logo, f−1 é derivável em todos os pontos y = f(x) do seu domínio.
3. Factorizando o polinómio x3+4x em polinómios irredutíveis, obtém-se x3+4x = x(x2+4).
Sabe-se então que existem (únicos) A,B,C ∈ R tais que
x2 − 2x+ 4
x3 + 4x
=
A
x
+
Bx+ C
x2 + 4
=
(A+B)x2 + Cx+ 4A
x(x2 + 4)
,
que são determinados por 

A+B = 1
C = −2
4A = 4
⇐⇒


A = 1
B = 0
C = −2
Assim, ∫
x2 − 2x+ 4
x3 + 4x
dx =
∫
1
x
− 2
x2 + 4
dx =
∫
1
x
dx− 1
2
∫
1(
x
2
)2
+ 1
dx
= ln |x|− arctg
(x
2
)
Cálculo Infinitesimal I (M111)
2o Teste (2/11/2010)
Turmas TP2 e TP4 Duração total: 1 hora
Nome (completo e legível)
Curso
Cotação
1 2 3a 3b Total
(1) (1,5) (2) (0,5) (5)
Nota. Todas as respostas devem ser justificadas!
1. Mostre que f(x) = arctg(x3) + x é crescente, e calcule (f−1)′(pi4 + 1).
2. Calcule
∫
lnx
(1 + lnx)x
dx.
3. (a) Calcule
∫ 1
0
x− 3
x2 + 2x+ 1
dx.
(b) Qual é o valor da área compreendida entre as rectas x = 0, x = 1, y = 0 e o gráfico
da função x−3
x2+2x+1?
Resolução !
Cálculo Infinitesimal I (M111)
2o Teste (2/11/2010)
Turmas TP3 e TP5 Duração total: 1 hora
Nome (completo e legível)
Curso
Cotação
1 2a 2b 3 Total
(1) (0,5) (1,5) (2) (5)
Nota. Todas as respostas devem ser justificadas!
1. Mostre que f(x) = −x5 − x é decrescente, e calcule (f−1)′(2).
2. (a) Calcule o valor em x = 1√
2
de f(x) = x2 arcsen(x2).
(b) Calcule
∫
x2 arcsen(x2)dx.
3. Determine a área da região compreendida entre as rectas x = 0, x = 1, y = 1 e o gráfico
da função 1ex+2 .
Resolução !
Cálculo Infinitesimal I (M111)
2o Teste (substituição das perguntas 2b e 3) (8/11/2010)
Turmas TP3 e TP5 Duração total: 40 minutos
Nome (completo e legível)
Curso
Cotação
2b 3
(1,5) (2)
Nota. Todas as respostas devem ser justificadas!
2. (b) Calcule
∫
ln(
√
1 + x2)dx usando primitivação por partes.
3. Determine a área limitada pelo gráfico de f(x) = 2
x2+x e a recta y = 1 entre x =
1
2 e x = 2.
Resolução !
Cálculo Infinitesimal I (M111)
3o Teste (22/11/2010)
Turmas TP3 e TP5 Duração total: 1 hora
Nome (completo e legível)
Curso
Cotação
1 2 3 4 Total
(1) (1) (1) (2) (5)
Nota. Todas as respostas devem ser justificadas!
1. Determine se
∫ +∞
1
1
x lnx
dx é ou não convergente e calcule o seu valor em caso afirmativo.2. Mostre que não existe lim
x→+∞(sen x+ cos x).
3. Calcule lim
x→0+
(
1
cos x− 1 +
1
x
).
4. Esboce o gráfico da função e
x
x .
Resolução !
Cálculo Infinitesimal I (M111)
3o Teste (22/11/2010)
Turmas TP2 e TP4 Duração total: 1 hora
Nome (completo e legível)
Curso
Cotação
1 2 3 4 Total
(1) (1) (2) (1) (5)
Nota. Todas as respostas devem ser justificadas!
1. Mostre que a equação cos(x2) = senx tem solução.
2. Calcule ddx(
∫ 0
cos x
et
2
dt).
3. Esboce o gráfico da função lnxx .
4. Calcule lim
x→+∞(x
2 + 1)
1
x .
Resolução !
1. Considere-se a função f(x) = cos(x2)−senx que é contínua em todo o domínio, R. Tem-se
f(0) = cos 0− sen 0 = 1;
f
(pi
2
)
= cos
(
pi2
4
)
− sen
(pi
2
)
< 0 (pois cos
(
pi2
4
)
< 1 = sen
(pi
2
)
)
Como f(0) e f
(
pi
2
)
têm sinais opostos e f é contínua em todo o intervalo [0, pi2 ], o Teorema
de Bolzano garante que existe c ∈]0, pi2 [ tal que f(c) = 0. Um tal c é solução da equação dada.
2.
d
dx
(
∫ 0
cos x
et
2
dt) = − d
dx
(
∫ cos x
0
et
2
dt) = −ecos2 x · (cos x)′ = ecos2 x · senx.
4. lim
x→+∞(x
2 + 1)
1
x = lim
x→+∞ e
1
x
ln(x2+1) (∗)= elimx→+∞
1
x
ln(x2+1) (∗∗)= e0 = 1.
A igualdade (*) decorre da continuidade da função exponencial. Em (**) usa-se o valor do
limx→+∞ 1x ln(x
2+1) que, conduzindo a uma indeterminação do tipo +∞+∞ , pode ser determinado
com o auxílio da Regra de L’Hôpital (R.H.):
lim
x→+∞
ln(x2 + 1)
x
R.H.
= lim
x→+∞
(ln(x2 + 1))′
x′
= lim
x→+∞
2x
x2 + 1
= 0.
3. Seja f(x) = lnxx .
Domínio: domf = {x ∈ R : x ∈ dom(ln) ∧ x $= 0} = R+.
Zeros e sinal de f : f(x) = 0 ⇐⇒ lnx = 0 ⇐⇒ x = 1. Além disso, para x > 0,
f(x) < 0 ⇐⇒ lnx < 0 ⇐⇒ x < 1.
Assímptotas:
De limx→0+ f(x) = limx→0+ lnxx =
−∞
0+ = −∞ conclui-se que a recta x = 0 é uma assímptota
vertical do gráfico de f (à direita). Como f é contínua e tendo em conta que o domínio é R+,
esta é a única possível assímptota vertical.
Quanto a assímptotas horizontais, basta analisar o limite de f(x) quando x tende para +∞
(uma vez que o domínio de f é ilimitado superiormente mas não inferiormente). Este limite
conduz a uma indeterminação do tipo +∞+∞ e portanto pode-se usar a R.H. para o determinar:
limx→+∞ lnxx
R.H.
= limx→+∞
1
x
1 = limx→+∞
1
x = 0.
Portanto, a recta y = 0 é a única assímptota horizontal do gráfico de f .
Monotonia e extremos locais: Tem-se f ′(x) = 1−lnx
x2
, para todo o x ∈ R+.
Assim, f ′(x) = 0 ⇐⇒ 1 − lnx = 0 ⇐⇒ x = e; e f ′(x) < 0 ⇐⇒ 1 − lnx <
0 (porque x2 > 0) ⇐⇒ lnx > e. Conclui-se então que f é decrescente no intervalo ]0, e] e
crescente em [e,+∞[. Portanto, x = e é um ponto de valor máximo local de f .
Concavidades e pontos de inflexão: Tem-se f ′′(x) = 2 lnx−3
x3
, para todo o x ∈ R+. As-
sim, f ′′(x) = 0 ⇐⇒ 2 ln x − 3 = 0 ⇐⇒ x = e 32 ; e f ′′(x) < 0 ⇐⇒ 2 lnx − 3 <
0 (porque x3 > 0 para x ∈ R+) ⇐⇒ x < e 32 . O gráfico de f tem então a concavidade voltada
para baixo em ]0, e
3
2 ] e voltada para cima a partir de x = e
3
2 ; tem um ponto de inflexão em
x = e
3
2 .
0 1 e e
3
2
f ′(x) X X + + 0 - - - -
f ′′(x) X X - - - - 0 + +
f(x) X X - ↗ # 0 + ↗ # 1e + ↘ # 32e 32 + ↘ $
max local pto inflexão
Gráfico:
1 3/2
1/e
e e
Cálculo Infinitesimal I (M111)
3o Teste (22/11/2010)
Turmas TP1 Duração total: 1 hora
Nome (completo e legível)
Curso
Cotação
1 2 3 4 Total
(1) (1,5) (1,5) (1) (5)
Nota. Todas as respostas devem ser justificadas!
1. Determine se
∫ 1
0
e
1
x
x2
dx é ou não convergente e calcule o seu valor em caso afirmativo.
2. Mostre que x+ ln(1 +
√
x) ≥ ln(1 + x) para todo x > 0.
3. Mostre que a função 2x+ cotg x− 3 tem exactamente uma raíz no intervalo ]pi4 , 3pi4 [.
4. Calcule lim
x→0+
√
x lnx.
Resolução !
Cálculo Infinitesimal I (M111)
4o Teste (15/12/2010)
Duração total: 1 hora
Nome (completo e legível)
Curso
Cotação
1a 1b 2 3 Total
(1) (1) (1) (2) (5)
Nota. Todas as respostas devem ser justificadas!
1. Seja f(x) = 11+x3 .
(a) Calcule P12,0,f (x).
(b) Indique um majorante para o erro |f(x)− P1,0,f (x)| quando x ∈ [0, 10−1].
2. Determine se a série
∞∑
n=2
1
n(lnn)2
é ou não convergente.
3. Calcule o raio e o intervalo de convergência da série de potências
∞∑
n=0
(x− 3)n
1 +
√
n
.
Resolução !
1. (a) Sabe-se que, para todo o x ∈ R \ {1} e n ∈ N,
1 + x+ x2 + · · · + xn = 1− x
n+1
1− x ou seja,
1
1− x = 1 + x+ x
2 + · · · + xn + x
n+1
1− x.
Em particular, substituindo x por −x3 (para x $= −1) e considerando n = 4, obtém-se
1
1 + x3
= 1− x3 + x6 − x9 + x12 − x
15
1 + x3
.
Pode-se então afirmar que P12,0,f (x) = 1− x3 + x6 − x9 + x12, uma vez que
lim
x→0
1
1+x3 − (1− x3 + x6 − x9 + x12)
x12
= lim
x→0
− x151+x3
x12
= lim
x→0−
x3
1 + x3
= 0.
Em alternativa, para obter P12,0,f (x) basta notar que
1
1−x =
∑∞
n=0 x
n para |x| < 1 e logo
1
1+x3 =
∑∞
n=0(−1)nx3n para |x| < 1. Em particular,
∑∞
n=0(−1)nx3n é a série de Taylor de
1
1+x3 e daí se tira imediatamente o polinómio de Taylor pretendido eliminando os termos de grau
superior a 12.
(b) Tal como na alínea anterior, tem-se 11+x3 = 1 − x
3
1+x3 e P1,0,f (x) = 1. Logo, para
x ∈ [0, 10−1],
|R1,0,f (x)| = |f(x)− P1,0,f (x)| = x
3
1 + x3
(x3≥0)
≤ x3
(x≤10−1)
≤ 1
103
.
Em alternativa, determina-se directamente P1,0,f (x) = f(0) + f ′(0)x = 1 (= P0,0,f (x)) e
usa-se a fórmula de Lagrange para o resto: R1,0,f (x) = R0,0,f (x) = f ′(c) · x = −3c2(1+c3)2 · x, para
algum c ∈ [0, x]. Obtém-se então a majoração
|f(x)− P1,0,f (x)| = |R0,0,f (x)| = 3c
2
(1 + c3)2
· x ≤ 3c2x ≤ 3
103
.
2. Considere-se a função f : [2,+∞[→ R+0 dada por f(x) = 1x(lnx)2 , que é decrescente (pois
as funções x e lnx são crescentes e positivas neste domínio e a função 1x é decrescente em R
+;
ou, em alternativa, vê-se que a derivada é negativa) e é integrável (porque é contínua) em todos
os sub-intervalos limitados de [2,+∞[. Pelo critério do integral, a série ∑+∞n=2 f(n) converge sse
o integral impróprio
∫ +∞
2 f(x)dx converge. Ora,∫ +∞
2
f(x)dx = lim
M→+∞
∫ M
2
f(x)dx = lim
M→+∞
[
− 1
lnx
]M
2
= lim
M→+∞
− 1
lnM
+
1
ln 2
=
1
ln 2
.
Portanto,
∫ +∞
2 f(x)dx é convergente e a série
∑∞
n=2
1
n(lnn)2 também o é.
4. Se x = 3, a série
∑∞
n=0
(x−3)n
1+
√
n
converge (é nula a partir de n = 1). Se x $= 3,
lim
n→+∞
|x−3|n+1
1+
√
n+1
|x−3|n
1+
√
n
= |x− 3| lim
n→+∞
1 +
√
n
1 +
√
n+ 1
+∞
+∞
;R.H.
= |x− 3| lim
n→+∞
√
n+ 1√
n
= |x− 3| lim
n→+∞
√
n+ 1
n
= |x− 3|
√
lim
n→+∞(1 +
1
n
) = |x− 3|.
Pelo critério da razão, a série
∑∞
n=0
∣∣∣ (x−3)n1+√n ∣∣∣ converge se |x − 3| < 1 e diverge se |x − 3| > 1.
Tendo em conta que a convergência de uma série de potências é absoluta no interior do intervalo
de convergência, conclui-se que r = 1 é o raio de convergência da série
∑∞
n=0
(x−3)n
1+
√
n
. Para x = 2,
i.e., para x − 3 = −1, obtém-se a série ∑+∞n=0 (−1)n1+√n que converge pelo critério de Leibniz (a
sucessão
(
1
1+
√
n
)
n
é decrescente e tem limite 0); para x − 3 = 1, obtém-se a série ∑+∞n=0 11+√n
que, pelo critério de comparação, é divergente: para qualquer n ≥ 1, 1
1+
√
n
≥ 1
2
√
n
e
∑+∞
n=0
1
2
√
n
=
1
2
∑+∞
n=0
1
n
1
2
diverge.
Assim, o intervalo de convergência desta série é [2, 4[.
Cálculo Infinitesimal I (M111)
Exame (10/01/2011)
Duração total: 3 horas
Observações:
(1) As respostas deverão ser devidamente justificadas e os cálculos relevantes apresentados;
(2) A cotação de cada alínea está indicada na margem;
(3) As resoluçõesdas partes I e II devem ser apresentadas em folhas diferentes.
Parte I
1. Seja f(x) = x2 + senx.
a) Mostre que a função f é injectiva na vizinhança de 0 e calcule (f−1)′(0).(1,5)
b) Esboce o gráfico de f para x ∈ [−pi,pi].(1,5)
2. Calcule
∫
arcsen(2x)dx.(1,5)
3. Calcule
∫ √
x+ 1
x
dx.(2)
4. Verifique se existe limx→+∞
sen(x2)
cos(x2) + 2
.(1,5)
5. Calcule a área da região do plano limitada pelas curvas y = x4 e y = 2− x4.(2)
Parte II
6. Mostre que a equação cos2 x =
√
x tem exactamente uma solução.(2)
7. Calcule lim
n→+∞
n
√
1
n
.(2)
8. Determine o polinómio de Taylor de ordem 2 no ponto 0 da função esen x.(1,5)
9. a) Calcule a soma da série
+∞∑
n=3
(−1)n
n
.(1)
b) Determine o intervalo de convergência I da série de potências
+∞∑
n=1
2n
n
xn.(2)
c) Sendo f(x) =
+∞∑
n=1
2n
n
xn, (x ∈ I), determine uma série de potências convergente para f ′,(1,5)
bem como uma expressão analítica para f ′(x).
Cálculo Infinitesimal I (M111)
Exame (31/01/2011)
Duração total: 3 horas
Observações:
(1) As respostas deverão ser devidamente justificadas e os cálculos relevantes apresentados;
(2) A cotação de cada alínea está indicada na margem;
(3) As resoluções das partes I e II devem ser apresentadas em folhas diferentes.
Parte I
1. Determine a primitiva F de f(x) =
{
3x2 − 1 se x ≤ 1
2x3 se x > 1
que verifica F (1) = 0.(1,5)
2. Calcule
∫
x2 + 7x+ 8
x3 + 4x2 + 4x
dx.(1,5)
3. Esboce o gráfico da função f(x) = e
x−1
x .(2)
4. Determine F ′(x) e (F−1)′(0) para F (x) =
∫ √x
1
et
2
dt.(2)
5. a) Mostre que arcsen x > x, para todo o x ∈]0, 1[.(1,5)
b) Determine a área limitada entre o gráfico de arcsenx e as rectas y = x e y = pi4 .(2)
Parte II
6. Determine se existe lim
n→+∞
senn
n+ cosn
e calcule-o em caso afirmativo.(1,5)
7. Calcule lim
x→0+
1
x2
− senx
x3
.(2)
8. a) Determine o polinómio de Taylor de ordem 3 da função f(x) = ex senx no ponto(1,5)
x0 = 0.
b) Verifique que o erro |f(x)− P3,0,f (x)| não excede 12 quando x ∈ [−1, 1].(1,5)
9. Determine se a série
∞∑
n=1
(−1)n
n+ lnn
é absolutamente convergente, condicionalmente conver-(1,5)
gente ou divergente.
10. Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências(1,5)
∞∑
n=0
(x+ 2)n
(2n)!
.