GEX106 CÁLCULO II S1 2017 Aulas 5 a 10 i

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GEX106 – CÁLCULO II – S1 2017 
Turmas 19A e 22A - Aulas 5 a 10 
 
 
6.1 ÁREA ENTRE DUAS CURVAS 
UMA REVISÃO DE SOMA DE RIEMANN (pg. 413) 
 Seja  y f x uma função contínua e não negativa em um intervalo  ,a b . 
Queremos calcular (definir) a área A compreendida entre o eixo dos x’s, o gráfico da 
função  y f x e as retas x a e x b . Receita em quatro passos: 
 Dividir o intervalo  ,a b em n subintervalos e usá-los para dividir a região sob a 
curva  y f x em n faixas verticais; 
 
 Chamando de kx a largura do k-ésimo intervalo, aproximar a área da k-ésima 
faixa por  *k kf x x , em que *kx é qualquer ponto no k-ésimo intervalo; 
 Aproximar a área total pela soma das aproximações das áreas de cada faixa (essa 
soma é chamada de soma de Riemann): 
 
1
*
n
k k
k
A f x x

  
 O limite dessa soma, quando o número de intervalos cresce  n  e o tamanho 
da cada intervalo diminui  max 0kx  é, por definição, a área procurada: 
   
1
*
max 0
lim
k
bn
k kx k a
A f x x f x dx
  
    
 O problema é calcular  
1
*
max 0
lim
k
n
k kx k
f x x
  
 , que, se existir, deve ser invariante 
para diferentes escolhas da partição inicial e diferentes escolhas dos valores de *kx . 
2 
 
Não está no livro: 
 Sabemos que se    
d
F x f x
dx
     f x dx F x C  
Suponha que exista uma função  G x que, para cada  ,x a b , forneça a área 
sob a função  f x no intervalo  ,a x . Claramente,   0G a  e  G b A . 
Além disso, para 0h  , a área no intervalo  ,x x h é dada por    G x h G x  
e pode ser aproximada por  h f x� . Então: 
  h f x    G x h G x   
  f x 
   G x h G x
h
 
 
Fazendo 0h   f x 
   
 
0
lim
h
G x h G x d
G x
h dx
 
 � 
   G x    f x dx F x C   
    0G a     0F a C    C F a  
       G x F x F a  
   G b A       
b
a
F b F a A f x dx    
 
ÁREA ENTRE  f x e  g x (pg. 414) 
 
O PRIMEIRO PROBLEMA DE ÁREA 
Suponha  f x e  g x funções contínuas em um intervalo  ,a b , com 
   g x f x . Queremos a área A compreendida entre os gráficos de  g x e  f x , no 
intervalo  ,a b . O problema pode ser resolvido de maneira semelhante ao problema da 
área sob uma função não negativa. Considere as figuras (a) e (b) abaixo: 
 
 
3 
 
Observe que    g x f x      0f x g x  . Então: 
   
1
* *
n
k k k
k
A f x g x x

   
   A    
1
* *
max 0
lim
k
n
k k kx
k
f x g x x
 

   
  
    
b
a
f x g x dx    
 
6.1.2 FÓRMULA PARA A ÁREA (pg. 415) 
 Se  f x e  g x funções contínuas em um intervalo  ,a b , com 
   g x f x em cada  ,x a b , então a área da região delimitada acima por  y f x , 
abaixo por  y g x , à esquerda por x a e à direita por x b é dada por: 
   
b
a
A f x g x dx    
Lista 2.1 Para 10/05/2017 
Exercícios 6.1 (pg. 419) ímpares de 1 a 17 
 
Exemplo 1 Determine a área da região limitada acima por 6y x  , abaixo por 
2y x , à esquerda por 0x  e à direita por 2x  . 
 
 
 
 
4 
 
Exemplo 2 Encontre a área da região englobada pelas curvas 2y x e 6y x  . 
 
 
 
Exemplo 4 (pg. 417) Encontre a área da região englobada por 2x y e 2y x  . 
 
 
REVERTENDO OS PAPÉIS DE x e y (pg. 418) 
Exemplo 5 A área da região englobada por 2x y e 2y x  , integrando em 
relação a y. 
 
5 
 
6.2 VOLUMES POR FATIAMENTO; DISCOS E ARRUELAS (pg. 421) 
VOLUMES POR FATIAMENTO 
 Sabemos que um cilindro circular reto de raio r e altura h tem volume V dado por: 
    2área de uma seção transversal alturaV r h   
 Supondo uma área plana e um eixo x, perpendicular a essa área, sabemos que o 
sólido gerado pelo deslocamento dessa área na direção do eixo é o que se denomina 
cilindro reto. 
Alguns cilindros retos: 
 
 deslocamento de deslocamento de deslocamento de deslocamento de 
 um retângulo um disco um anel triângulo 
 
O volume de um cilindro reto é sempre dado por: 
   área de uma seção transversal alturaV   
 
O PROBLEMA (pg. 422) 
 Suponha um sólido que se estende ao longo do eixo x, limitado à esquerda pelo 
plano x a e à direita pelo plano x b . Determinar o volume V desse sólido, supondo 
que se conheça a área  A x da seção transversal do sólido por qualquer ponto  , .x a b 
 A solução: 
 Dividir o intervalo  ,a b em n subintervalos. Significa dividir o sólido em n fatias. 
O volume da k-ésima fatia é próximo de  *k kA x x , em que kx é a largura da k-ésima 
fatia e  *kA x é a área da seção transversal por um ponto qualquer *kx no k-ésimo 
subintervalo. O volume total pode então ser aproximado por uma soma de Riemann: 
 
1
*
n
k k
k
V A x x

  
 Tomando-se o limite: 
   
1
*
max 0
lim
k
bn
k kx k a
V A x x A x dx
  
    
6 
 
 Caso o sólido que se estende ao longo do eixo y, limitado abaixo e acima, 
respectivamente, por y c e y d , e se conheça a área  A y da seção transversal por 
qualquer ponto  ,y c d , o volume V é dado por: 
   
1
*
max 0
lim
k
dn
k ky k c
V A y y A y dy
  
    
 
 
 
Exemplo 1 (pg. 423) A fórmula para o volume de uma pirâmide reta de altura h e base 
quadrada de lado a. 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO (pg. 424) 
 São os sólidos gerados pela revolução de uma região plana ao redor de uma reta 
(eixo de revolução) que esteja no mesmo plano da região. Exemplos: 
 
 
Cilindro circular reto Esfera sólida Cone sólido cilindro circular reto oco 
 
6.3 VOLUME POR DISCOS PERPENDICULARES AO EIXO x (pg. 424) 
O PROBLEMA 
 Trata-se de determinar o volume do sólido gerado pela revolução em torno do eixo 
x da região delimitada acima por uma função contínua e não negativa  f x , à esquerda 
pela reta x a e à direita pela reta x b . 
 
 
 Por qualquer  ,x a b a seção transversal é um círculo cuja área é: 
   
2
A x f x    . 
O volume de revolução é dado, então, por: 
   
2
b b
a a
V A x dx f x dx      
8 
 
Exemplo 2 (pg. 425) O volume do sólido gerado pela revolução em torno do 
eixo x, da região delimitada acima pela curva y x , à esquerda pela reta 1x  e à 
direita pela reta 4x  . 
 
 
 
Exemplo 3 O volume da esfera de raio r. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
VOLUME POR ARRUELAS PERPENDICULARES AO EIXO x (pg. 425) 
O PROBLEMA 
Considere as funções  f x e  g x , ambas  f x , abaixo por outra  g x , à 
esquerda pela reta x a e à direita pela reta x b . 
 
 
Por qualquer  ,x a b a seção transversal é uma arruela raio maior igual a 
 f x e raio menor  g x , cuja área é, então: 
          2 2 2 2A x f x g x f x g x                    . 
O volume de revolução é dado, então, por: 
      2 2
b b
a a
V A x dx f x g x dx          
 
Exemplo 4 (pg. 428) Determinar o volume do sólido gerado pela revolução, em 
torno do eixo x, da região delimitada pelos gráficos das funções   2
1
2
f xx  e 
 g x x , acima do intervalo  0,2 . 
 
Região definida por  f x e  g x O sólido de revolução resultante 
10 
 
VOLUME POR DISCOS OU ARRUELAS PERPENDICULARES AO EIXO y (pg. 426) 
 
 
 Discos Arruelas 
  
2
d
c
V u y dy        2 2
d
c
V w y v y dy        
 
Exemplo 5 (pg. 427) Determinar o volume do sólido gerado pela rotação em 
torno do eixo y, da região limitada por y x , 2y  e 0x  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
OUTROS EIXOS DE REVOLUÇÃO (pg. 427) 
Exemplo 6 Determinar o volume do solido gerado quando a região abaixo da curva 
2y x e acima do intervalo  0,2 for girada em torno da reta 1y   . 
 
Lista 2.2 Para 17/05/2017 
Exercícios 6.2 (pg. 428...) Exercícios 1, 3, 5, 7, 11, 13 e 15. 
 Exercícios 6.3 (pg. 436...) Exercícios ímpares de 1 a 15 
6.3 VOLUMES POR CAMADAS CILÍNDRICAS (pg. 432) 
CAMADA CILÍNDRICA 
 Dois cilindros retos concêntricos determinam um sólido chamado de camada 
cilíndrica. 
 
 O volume de uma camada cilíndrica pode ser calculado por: 
 [área da seção transversal]*[altura] 
       1 1 2 12 1 2 1 2 1 2 12
2
r r
r r h r r r r h r r h   
 
       
 
 
   2 raio médio r h  
12 
 
 Um corte vertical na camada cilíndrica permite que o mesmo volume possa ser 
aberto sobre um plano e aproximado por: 
  2 r r h   1 2r r r  
 Esta última aproximação é que será usada para resolver o seguinte problema: 
 
O PROBLEMA 
 Sejam  f x e  g x funções contínuas e não negativas, com    g x f x para 
todo  ,x a b . Considere a região R contida entre  f x e  g x , no intervalo  ,a b . 
Queremos o volume V gerado pela rotação dessa região em torno do eixo y. 
 
A SOLUÇÃO 
 A partição do intervalo  ,a b em n subintervalos resulta na partição da região R 
em n faixas. A rotação cada uma dessas faixas em torno do eixo y, resulta em um sólido 
que pode ser aproximado por uma camada cilíndrica de espessura kx e altura 
   * *k kf x g x , em que *kx é qualquer ponto no k-ésimo subintervalo. Portanto, o volume 
desse sólido pode ser aproximado pelo volume da cama cilíndrica, dado por 
   * * *2 k k k kx f x g x x     
 O volume V pode, então, ser aproximado pela soma de Riemann: 
   
1
* * *2
n
k k k k
k
V x f x g x x

   
  
 Tomando o limite: 
 V    
1
* * *
max 0
lim 2
k
n
k k k kx
k
x f x g x x
 

   
  
    2
b
a
x f x g x dx    
 
 
 
 
13 
 
Exemplo 1 (pg. 434) Usar o método de camadas cilíndricas para determinar o volume do 
sólido gerado pela rotação em torno do eixo dos y da região envolta por y x , 1x  , 
4x  e o eixo x. 
 
 
 A região 
 
 Corte do sólido resultante 
 
Exemplo 2 (pg. 435) Usar o método de camadas cilíndricas para determinar o volume do 
sólido gerado pela rotação em torno do eixo dos y da região R delimitada por y x e 
2y x , no primeiro quadrante. 
 
 
 
 
 
 
14 
 
Exemplo 3 (pg. 435) Usar o método de camadas cilíndricas para determinar o volume do 
sólido gerado pela rotação em torno da reta 1y   da região R abaixo de 2y x e acima 
do intervalo  0,2 
 
 
6.4 COMPRIMENTO DE UMA CURVA PLANA (pg. 438) 
 O gráfico da função  y f x é chamado de uma curva lisa ou curva suave no 
intervalo  ,a b se  f x é contínua em  ,a b . 
 
O PROBLEMA DO COMPRIMENTO DE ARCO 
 Queremos obter uma fórmula para o comprimento de uma curva lisa  y f x 
em um intervalo  ,a b . 
 
A SOLUÇÃO 
 Suponha o intervalo  ,a b dividido em n subintervalos e que o comprimento da 
curva no subintervalo 
1
,k k kx x x     possa ser aproximado pelo comprimento do 
segmento de reta secante kL : 
15 
 
 
 
 Observe que      
2
22 2 *1 1kk k k k k k
k
y
L x y x f x x
x
 
               
, 
porque o Teorema do Valor Médio garante que existe 
1
* ,k k kx x x   tal que 
 *k k
k
y
f x
x



. Então o comprimento total L pode ser aproximado por uma soma de 
Riemann: 
 L  
2
*
1 1
1
k k
n n
k k kL f x x
 
    
   
 Tomando o limite: 
 L    
2 2*
max 0 1
lim 1 1
k k
bn
k kx
a
f x x f x dx

 
            
Exemplo 1 (pg. 440) Determinar o comprimento do arco da curva 3 2y x no 
intervalo  1,2 .