GEX106 CÁLCULO II S1 2017 Aulas 23 a 26

Prévia do material em texto

GEX106 CÁLCULO II TURMAS 19A e 22A S1 2017 AULAS 23 a 26 
1 
 
Lista 3.1 Para 07/06/2017 
Exercícios 13.1 pg. 914 
 Ímpares de 1, 3, 5, 7, 19, 21, 51, 53 e 55. 
 
Aulas 23 e 24 - Resolução da Prova 1 
Revisão 
CAPÍTULO 13 – DERIVADAS PARCIAIS (Anton – 10ª Ed – Vol II – Pag 906) 
 
13.1 FUNCÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS 
 
Definição 13.1.1 (pág. 907) 
 Uma função f de duas variáveis é uma regra que associa um único número 
 ,f x y a todo ponto   2,x y D  
 
Definição 13.1.2 
 Uma função f de três variáveis é uma regra que associa um único número 
 , ,f x y z a todo ponto   3, ,x y z D  
 
 Diz-se que o conjunto D é o domínio da função f. Caso o conjunto D não seja 
explicitado, toma-se o chamado domínio natural: o conjunto de todos os pontos para os 
quais o valor da função existe. 
 
CURVAS DE NÍVEL (Pág. 909) 
Dada uma função de duas variáveis  ,f x y , uma curva de nível de altura k é 
o conjunto dos pontos do plano xy tais que  ,z f x y k  
Fim da revisão 
 Se as curvas de nível têm diferenças constantes de altura, então curvas mais 
próximas representam inclinações maiores e curvas mais distantes representam 
inclinações menores. 
Exemplo 5:   2 2, 4f x y x y  (pág. 910) 
 
 
GEX106 CÁLCULO II TURMAS 19A e 22A S1 2017 AULAS 23 a 26 
2 
 
13.2 LIMITES E CONTINUIDADES (página 917) 
Sabemos que, dada uma função de uma variável,  f x , o  
0
lim
x x
f x L

 se, e somente 
se,    
0 0
lim lim
x x x x
f x f x L
  
  . Esse teorema reflete o fato de que há apenas duas maneiras 
de se aproximar de 0x no eixo X. Nós gostaríamos de fazer coisa semelhante no caso de se 
querer 
   
 
0 0,,
lim ,
yx y x
f x y L

 
O problema das funções de duas (ou mais) variáveis é que existem infinitas maneiras de 
se aproximar do ponto  0 0,x y . 
 
 
LIMITES AO LONGO DE CURVAS 
 Vamos definir o limite de  ,f x y quando  ,x y se aproxima de  0 0,x y ao longo 
de uma curva paramétrica lisa C, representada pelas equações paramétricas  x x t e 
 y y t . 
 Seja C uma curva paramétrica, no plano XY , representada pelas equações paramétricas 
 x x t e  y y t . Se  0 0x x t e  0 0y y t , então      0 0,
ao longo da curva 
,
lim ,
y
C
x y x
f x y

 é definido 
como 
   
      
0 0 0,
ao longo da curva 
,
lim , lim ,
y
C
x y x t t
f x y f x t y t
 
 
 
 
 
 
GEX106 CÁLCULO II TURMAS 19A e 22A S1 2017 AULAS 23 a 26 
3 
 
Exemplo 1 (pg. 918)   2 2,
xy
f x y
x y
 

    , 0,0x y  
 
 
 Queremos os limites ao longo: 
 a do eixo x  b do eixo y  c da reta y x 
 d da reta y x   e da parábola 2y x 
 
CONJUNTOS ABERTOS OU FECHADOS (pg. 919) 
Disco aberto, de raio  , centrado em  0 0,x y : 
       2 22 0 0, | , 0x y x x y y        
Disco fechado, de raio  , centrado em  0 0,x y : 
       2 22 0 0, | , 0x y x x y y        
 Considere um conjunto 2D   . Definem-se: 
Ponto interior: 
Um ponto  0 0,x y é um ponto interior de D se existe algum disco aberto centrado em 
 0 0,x y que contenha unicamente pontos de D. 
Ponto de fronteira: 
Um ponto  0 0,x y é um ponto de fronteira de D se qualquer disco aberto centrado em 
 0 0,x y contem pontos de D e pontos que não pertencem D. 
Conjunto fechado ou aberto: 
D é um conjunto fechado se contém todos os seus pontos de fronteira e é um conjunto 
aberto se não contém nenhum dos seus pontos de fronteira. 
 
GEX106 CÁLCULO II TURMAS 19A e 22A S1 2017 AULAS 23 a 26 
4 
 
LIMITES GERAIS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 
Recordando a definição de limite em funções de uma variável: Se  
0
lim
x x
f x L

 então 
para todo 0  existe 0  tal que, se 00 x x    então  f x L   . 
 
Definição 14.2.1 (pg. 939) 
 Suponha que a função de duas variáveis  ,f x y esteja definida em todos os pontos de 
algum disco aberto centrado em  0 0,x y , exceto, eventualmente, em  0 0,x y . Define-se
   
 
0 0, ,
lim ,
x y x y
f x y L

 se, para qualquer 0  , existe 0  tal que  ,f x y L   sempre 
que    
2 2
0 00 x x y y      
 
 
Valem as propriedades padrão do limite, ou seja, 
     lim lim limf g f g   
     lim lim limf g f g 
     lim lim limf g f g desde que  lim 0g  
 
Exemplo 2 (pág. 921) 
 
   
3 2
, 1,4
lim 5 9
x y
x y

          
 3 2
, 1,4 , 1,4
lim 5 lim 9
x y x y
x y
 
    
 
   
 
   
 
, 1,4 , 1,4
3 2
5 lim lim 9
x y x y
x y
 
   
    
   
 
    
3 2
5 1 4 9 71   
 
GEX106 CÁLCULO II TURMAS 19A e 22A S1 2017 AULAS 23 a 26 
5 
 
Teorema 14.2.2 (pg. 921) 
 a Se 
   
 
0 0, ,
lim ,
x y x y
f x y L

 , pelo critério estabelecido na definição 14.2.1, então 
   
 
0 0, ,
lim ,
x y x y
f x y L

 ao longo de qualquer curva lisa que contenha  0 0,x y . 
 b Se, para alguma curva lisa que contenha  0 0,x y , 
   
 
0 0, ,
lim ,
x y x y
f x y

 não existe, ou se, 
para duas curvas lisas que contenham  0 0,x y , os limites forem diferentes, então não 
existe também 
   
 
0 0, ,
lim ,
x y x y
f x y

 no sentido da definição 14.2.1. 
 Exemplo 3 
 Vimos no exemplo 1 que 
   
 0
2 2, 0,0
lim 0
aolongode x
x y
xy
x y


 
   
 e 
   
 
2 2, 0,0
1
lim
2
aolongode y x
x y
xy
x y


 
    
, então não existe
    2 2, 0,0
lim
x y
xy
x y
 
  
. 
 
CONTINUIDADE 
Definição 14.2.3 (pg. 922) 
 Uma função  ,f x y é definida como contínua em  0 0,x y se, e somente se, 
   
   
0 0
0 0
, ,
lim , ,
x y x y
f x y f x y

 
 Além disso, se  ,f x y é contínua em todo conjunto aberto D, então diz-se que  ,f x y 
é contínua em D; se  ,f x y é contínua em todos os pontos do plano xy, então diz-se que 
 ,f x y é contínua em toda parte. 
Reconhecendo funções contínuas: 
 Composição de funções contínuas é uma função contínua. 
 Soma, diferença ou produto de funções contínuas é uma função contínua. 
 Quociente de funções contínuas é uma função contínua, exceto nos pontos em que o 
denominador se anule. 
Exemplo 5 Calcular 
    2 2, 1,2
lim
x y
xy
x y 
 
  
 
 
Lista 3.2 Para 14/06/2017 Exercícios 13.2 (pág. 925) Ímpares de 1 a 15