GEX106 CÁLCULO II S1 2017 Aulas 27 a 32

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GEX106 CÁLCULO II  TURMAS 19A e 22A  S1 2017 AULAS 27 a 32 
1 
 
Lista 3.1  Para 07/06/2017   
Exercícios 13.1 (pg. 914)   1, 3, 5, 7, 19, 21, 51, 53 e 55. 
Lista 3.2   Para 14/06/2017  Exercícios 13.2 (pg. 925)  Ímpares de 1 a 15 
 
Revisão 
CAPÍTULO 13 – DERIVADAS PARCIAIS (Anton – 10ª Ed – Vol II – Pag 906) 
13.2   LIMITES E CONTINUIDADES  (página 917) 
LIMITES AO LONGO DE CURVAS 
  Seja  C  uma curva paramétrica representada por    x x t  e    y y t .  Se    0 0x x t   
e    0 0y y t , então        
    
0 0 0,
ao longo da curva 
,
lim , lim ,
y
C
x y x t t
f x y f x t y t
 
  
 
LIMITES GERAIS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 
  Define-se
   
 
0 0, ,
lim ,
x y x y
f x y L

   se,  para  qualquer  0  ,  existe  0    tal  que 
 ,f x y L    sempre que     
2 2
0 00 x x y y       
   
Valem as propriedades padrão do limite, ou seja, 
     lim lim limf g f g    
     lim lim limf g f g  
     lim lim limf g f g    desde que     lim 0g   
     
 
Teorema 14.2.2   (pg. 921) 
 a    Se  
   
 
0 0, ,
lim ,
x y x y
f x y L

 , então 
   
 
0 0, ,
lim ,
x y x y
f x y L

  ao longo de qualquer curva 
lisa que contenha   0 0,x y . 
 b   Se, para alguma curva lisa que contenha   0 0,x y , 
   
 
0 0, ,
lim ,
x y x y
f x y

 não existe, ou se, 
para duas curvas lisas que contenham   0 0,x y , os limites forem diferentes, então não 
existe também  
   
 
0 0, ,
lim ,
x y x y
f x y

. 
 
Definição 14.2.3  (pg. 922) 
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2 
 
  Uma função   ,f x y   é definida como contínua em   0 0,x y  se, e somente se,  
   
   
0 0
0 0
, ,
lim , ,
x y x y
f x y f x y

  
Fim da revisão 
 
Reconhecendo funções contínuas:   
  Composição de funções contínuas é uma função contínua. 
  Soma, diferença ou produto de funções contínuas é uma função contínua. 
  Quociente  de  funções  contínuas  é  uma  função  contínua,  exceto  nos  pontos  em  que  o 
denominador se anule. 
 
13.3   DERIVADAS PARCIAIS  (pg. 927) 
 
DERIVADAS PARCIAIS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 
  Recordando:  Se    y f x    então a derivada 
dy
dx
  é dada por 
       
00
lim lim
x
x
h
x
f x f xdy f x h f x
dx h  
   
 

 
  Observe que, se    0 0,x y  é um ponto no domínio de uma  função    ,f x y , fixando-se  
0y y ,  a  função   0,f x y torna-se uma função unicamente da variável x.   Sendo assim,  faz 
sentido falar-se da derivada 
 0,
d
f x y
dx
    
  De maneira semelhante, fixando-se   0x x , 
 0 ,
d
f x y
dy
    
Definição 13.3.1 
 
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Exemplo 1  (página 928)  Determinar   1,3xf   e   1,3yf  para a função 
                  3 2, 2 2 4f x y x y y x    
 
 
 
AS FUNÇÕES DERIVADAS PARCIAIS 
 
 
Exemplo 2  (página 928)  Considerando a função    3 2, 2 2 4f x y x y y x   , determinar 
 ,xf x y ,   ,yf x y  e calcular   1,3xf   e   1,3yf .               # 
 
  Se   ,z f x y  são comuns as notações: 
 ,x
f z
f x y
x x
 
 
 
     ,y
f z
f x y
y y
 
 
 
 
Exemplo 3  (pg. 929)  Determinar  
z
x


   e  
z
y


   para   4 3sinz x xy   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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DERIVADAS PARCIAIS COMO  TAXAS DE VARIAÇÃO OU INCLINAÇÕES   (pág. 929) 
  Se   ,z f x y   e      20 0,x y D f   , então: 
 i    O  conjunto  de  pontos          , , | ,   e   ,x y z x y D f z f x y  ,  representa  uma 
superfície em  3 . 
 ii   A  derivada  parcial   
   0 0
0 0
, ,
,x
x y x y
f
f x y
x 



  e  a  taxa  de  variação  instantânea  de 
 ,f x y , no ponto   0 0,x y ,  na direção do eixo x; geometricamente, é a inclinação da 
tangente ao gráfico de   ,f x y , pelo ponto   0 0,x y  e paralela ao plano xz. 
 iii   A  derivada  parcial   
   0 0
0 0
, ,
,x
x y x y
f
f x y
y 



  e  a  taxa  de  variação  instantânea  de 
 ,f x y , no ponto   0 0,x y , na direção do eixo y; geometricamente, é a inclinação da 
tangente ao gráfico de   ,f x y , pelo ponto   0 0,x y  e paralela ao plano yz. 
 
 
Exemplo 5  (pg. 930)    2 3, 5f x y x y y      
 a    Obter a inclinação da superfície   ,z f x y  na direção do eixo x e no ponto   1, 2)   
 b   Obter a inclinação da superfície   ,z f x y  na direção do eixo x e no ponto   1, 2)  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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DERIVAÇÃO PARCIAL IMPLÍCITA    (pg. 931) 
Recordando o caso univariado:  A expressão  0x ye x y  , com  0x  , define, implicitamente, 
a variável y como uma função da variável x. Mas não permite que se explicite essa função. Ainda 
assim é possível obter uma expressão para 
dy
dx
 . Vejamos: 
0xye xy              x yd e x y
dx
    0
d
dx
      
                 xyd de xy
dx dx
   0                     x y
d d
e x y x y
dx dx
   0  
              1x y de x y
dx
   0                1x y d de y x x y
dx dx
 
   
  0  
        1x y dye y x
dx
 
   
  0        
dy
y x
dx
   0  
                   
dy
dx
 
y
x
   
 
O caso bivariado:  Sabe-se  que  z é  função  de  x e  y  e  se  conhece  uma  expressão 
 , , 0D x y z  .  É possível se obter 
z
x


  ou  
z
y


? 
Exemplo 7  Determinar a  inclinação da esfera  2 2 2 1x y z   , na direção do eixo y, nos 
pontos 
2 1 2
, ,
3 3 3
 
 
 
  e  
2 1 2
, ,
3 3 3
 
 
 
. 
 
DERIVADAS PARCIAIS E CONTINUIDADE. 
Recordando o caso univariado:  Se   0f x L    então   f x  é contínua em  0x . Vejamos: 
 0f x L       
   
0
0
0
lim
x x
f x f x
L
x x



        
0
0lim 0x x
f x f x

     
            
0 0
0 0lim limx x x x
f x f x f x
 
               # 
 
No caso bivariado:  A existência das derivadas parciais não implica em continuidade. 
 
 
 
 
 
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Exemplo 9  (pg. 932) 
       
   
   
2 2 , 0,0
,
0 , 0,0
xy
x y
x yf x y
x y

   
 
  
 a    Mostrar que   ,xf x y  e   ,yf x y  existem em todos os pontos   ,x y . 
 b    Mostrar que   ,f x y  não é contínua no ponto    0,0 . 
 
DERIVADAS PARCIAIS DE FUNÇÕES COM MAIS DE DUAS VARIÁVEIS  (pág. 932) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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DERIVADAS PARCIAIS DE ORDENS SUPERIORES  (pág. 933) 
 
 
Exemplo 13    (pág. 953) 
 
Exemplo 14 
 
 
IGUALDADE DAS DERIVADAS PARCIAIS MISTAS  (pág. 934) 
 
 
 
A EQUAÇÃO DA ONDA 
Exemplo 14    (pág. 935) 
  Mostrar  que     , sinu x t x ct      é  solução  da  equação  da  onda  unidimensional  
2 2
2 2
2u uc
t x
 

 
 . 
 
Lista 3.3  Para 21/06/2017   
Exercícios 13.3 (pg. 936)  Ímpares de 1 a 13 
 
 
 
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14.6  DERIVADASDIRECIONAIS E GRADIENTE   (pg. 960) 
  Seja  o  vetor  unitário    1 2u u i u j 
 
    e  um  ponto  qualquer     0 0,x y   pertencente  ao 
domínio de uma função    ,f x y .  Queremos a taxa de variação instantânea da função  , ,f x y  
no ponto   0 0,x y   e na direção do vetor  u

. 
  Observe que o vetor    0 0v x i y j 
 
    se confunde com o ponto     0 0,x y    e a  soma  
 v su s 
 
   determina, no plano  XY, uma reta L que passa pelo ponto    0 0,x y   e tem 
direção  “paralela”  à direção do vetor u

.  Para cada valor de s, o ponto  0 1 0 2,x su y su   está 
sobre  a  reta  L,  e  para  cada  ponto   ,x y   sobre  a  reta  L  existe  um  valor  de  s   tal  que 
   0 1 0 2, , .x y x su y su     Para  cada  valor  de  s ,  a  função  
      0 1 0 2, ,f x s y s f x su y su   passa a ser uma função unicamente da variável  s  e 
representa um ponto da superfície   ,f x y  sobre a reta L. 
  Sendo assim, a taxa de variação média da função      ,f x s y s  entre os valores  s  e  
s s   é dada por 
         
      0 1 0 2 0 1 0 2
, ,
, ,
f x s s y s s f x s y s
s
f x s s u y s s u f x su y su
s
  


      

 
e a taxa de variação instantânea 
         
      
0
0 1 0 2 0 1 0 2
0
, ,
lim
, ,
lim
s
s
f x s s y s s f x s y s
s
f x s s u y s s u f x su y su
s




  


      

 
que, tomada em   0s  , é exatamente o que se procura, ou seja, a taxa de variação instantânea 
da função   ,f x y , no ponto   0 0,x y   e na direção da reta L, isto é, na direção do vetor u

.  
 
Definição 13.6.1       0 0 0 1 0 2
0
, ,u
s
d
D f x y f x su y su
ds 
      
 
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  Geometricamente,   0 0,uD f x y  representa a inclinação da superfície    ,z f x y , no 
ponto     0 0 0 0, , ,x y f x y   e na direção e sentido do vetor u

. Analiticamente, representa a taxa 
de  variação  instantânea  da  função     ,f x y ,  no  ponto      0 0 0 0, , ,x y f x y   e  na  direção  e 
sentido do vetor u

.        
Exemplo 1  (pg. 960)   ,f x y x y  
3 1
2 2
u i j 
  
   1,2 ?uD   
    0 1
3
2
1x s x su s          0 2
1
2
2y s y su s     
                           ,f x s y s       23 1
2
1 3
1 2 2 3
2 42
x s y s s s s s
    
                
 
         ,d f x s y s
ds
    
21 3 1 32 3 3
2 4 2 2
d
s s s
ds
  
        
  
 
                 1,2uD        0
1
, 3
2s
d
f x s y s
ds 
           # 
 
O caso da derivada direcional da função   , ,f x y z , no ponto   0 0 0, ,x y z  e na direção 
do vetor unitário  1 2 3u u i u j u k  
   
: 
   0 0 0 0 1 0 2 0 3
0
, , , ,u
s
d
D f x y z f x su y su z su
ds 
       
   
Considerando    que        ,f x s y s     é  a  composição  da  função     ,f x y     com  as 
funções    0 1x x s x su     e     0 2y y s y su   ,  a derivada direcional    0 0,uD f x y   
pode ser escrita como 
 
Teorema 13.6.3   (pg. 961) 
    0 0,uD f x y  
       0 0 0 0, , , ,0 0x y x y x y x ys s
f dx f dy
x ds y ds  
 
 
 
 
       0 0 1 0 0 2, ,x yf x y u f x y u   
 
 
 
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  De maneira semelhante: 
         
 0 0 0, ,uD f x y z  
     0 0 0 0 0 00 0 0, , , ,, ,0 0 0x y y x y yx y ys s s
f dx f dy f dy
x ds y ds z ds  
  
  
  
 
             0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 3, , , , , ,x y zf x y z u f x y z u f x y z u    
 
Exemplo 2  (pg. 962) (V)   , xyf x y e           0 0, 2,0x y             
u

  tem inclinação /3  em relação ao eixo x.     0  0 , ?uD f x y    
 
 
 
 
Exemplo 3  Obter  a derivada direcional  da  função    2 3, ,f x y z x y yz z   ,  pelo ponto 
   0  0 0, , 1, 2,0x y z     e na direção do vetor   2 2a i j k  
 
. 
      
 
O GRADIENTE  (pg. 963) 
  A derivada direcional         0 0 0 0 1 0 0 2, , ,x yuD f x y f x y u f x y u    pode ser escrita 
como  
        0 0,uD f x y         0 0 0 0 1 2, ,x yf x y i f x y j u i u j  
   
  
            0 0 0 0, ,x yf x y i f x y j u 
  
  
  O vetor       0 0 0 0, ,x yf x y i f x y j
 
    é denominado  o gradiente da  função   .f   no 
ponto   0 0,x y , com notação     
     0 0 0 0 0 0, , ,x yf x y f x y i f x y j  
 
 
em que o símbolo     se designa  “nabla”.  Então: 
        0 0,uD f x y    0 0,f x y u 

  
  Como o ponto   0 0,x y   é um ponto qualquer do domínio, pode-se  excluir o  índice e 
escrever:             ,f x y      , ,x yf x y i f x y j 
 
 
                       ,uD f x y    ,f x y u

  
GEX106 CÁLCULO II  TURMAS 19A e 22A  S1 2017 AULAS 27 a 32 
11 
 
 O caso de    , ,f x y z : 
       , , , , , , , ,x y zf x y z f x y z i f x y z j f x y z k   
  
 
 
PROPRIEDADES DO VETOR GRADIENTE 
Teorema 14.6.5   (pg. 964) 
  Considere a função   ,f x y  diferenciável em     0 0, domx y f . 
a) Se    , 0f x y 

 em    0 0,x y  então    0 0, 0uD f x y   em qualquer direção. 
b) Se    , 0f x y 

 em    0 0,x y  então o maior valor de   0 0,uD f x y  é   ,f x y  
e acontece na direção e sentido de   ,f x y . 
 
Exemplo 4       2, yf x y x e   Determinar o maior valor de   2,0uD f   e o 
vetor  u

 na direção da inclinação máxima. 
 
 
GRADIENTES SÃO NORMAIS ÀS CURVAS DE NÍVEL  (pg. 965) 
  Suponha uma função    ,f x y   e um ponto      0 0,x y dom f .   Se    0 0,f x y k
então       , | ,kC x y f x y k    é a curva de nível de altura k.  Suponha que   kC  admita uma 
parametrização     x x t  e   y y t .  Afirmação:  O vetor  unitário   
2 2
dx dy dx dy
T i j
dt dt dt dt
     
       
     
  
 
é tangente à curva   kC .   A taxa de variação de    ,f x y   na direção de   T

 é   
     , ,
T
D f x y f x y T t 

  
  Derivando ambos os lados da igualdade   ,f x y k , em relação a t: 
          , 0
d
f x y
dt

  0 0
f dx f dy f f dx dy
i j i j
x dt y dt x y dt dt
      
              
   
      
     , 0f x y T t  

 . 
  O resultado acima demonstra que: 
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Teorema 13.6.6:  Suponha que     ,xf x y     e     ,yf x y   sejam contínuas em um disco 
aberto centrado em   0 0,x y .   Se    0 0, 0f x y    então    0 0,f x y    é normal à curva de 
nível de   ,f x y   por    0 0,x y . 
 
Lista 3.4  Para 28/06/2017   
Exercícios 13.6   pg. 968  Ímpares de 1 a 17