GEX106 CÁLCULO II S1 2017 Aulas 33 a 40

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Lista 3.1 Para 07/06/2017 
Exercícios 13.1 (pg. 914) 1, 3, 5, 7, 19, 21, 51, 53 e 55. 
Lista 3.2 Para 14/06/2017 
Exercícios 13.2 (pg. 925) Ímpares de 1 a 15 
Lista 3.3 Para 21/06/2017 
Exercícios 13.3 (pg. 936) Ímpares de 1 a 13 
Lista 3.4 Para 28/06/2017 
Exercícios 13.6 (pg. 968) Ímpares de 1 a 17 
 
Recordando GA: 
Equação do plano: Dados um ponto  0 0 0 0, ,P x y z e um vetor n ai b j c k  
 
, 
um plano que contenha 0P e seja normal a n

 é dado pelo conjunto dos pontos 
 , ,P x y z tais que o produto escalar 0 0.P P n 
 
 Isto é: 
 0 0P P n 
 
      0 0 0 0x x i y y j z z k ai a j ak             
     
 
      0 0 0 0a x x b y y c z z       
 0 0 0 0ax ax b y b y cz cz       
  0 0 0 0ax by cz ax by cz       
 0ax by cz d     em que  0 0 0d ax by cz    
 A equação 0ax by cz d    define o plano procurado. Significa que todo 
ponto do plano satisfaz a equação e todo ponto que satisfaz a equação pertence ao plano. 
 
Equação da reta: Dados um ponto  0 0 0 0, ,P x y z e um vetor 1 2 3u u i u j u k  
  
, 
uma reta que contenha 0P e seja paralela à direção de u

 é dada pelo conjunto dos 
pontos  , ,P x y z tais que 0P P t u 
  
, para todo t . Isto é: 
 xi y j zk 
  
  0 0 0 1 2 3x i y j z k t u i u j u k     
     
 
      0 1 0 2 0 3x tu i y tu j z tu k     
  
 
0 1
0 2
0 3
x x t u
y y t u
z z t u
 

  
  
 
Fim da recordação de GA 
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13.7 PLANO TANGENTE E VETOR NORMAL A SUFERFÍCIES DE NÍVEL 
 (pg. 971) 
Recordando: Se  ,z f x y representa uma superfície em 3 , a equação  ,f x y k 
determina uma curva de nível C no plano XY . Se o vetor gradiente 
 0 0, 0f x y  para  0 0,x y C então  0 0,f x y é normal à curva C no 
ponto  0 0,x y . # 
 
 De maneira semelhante, a equação  , ,F x y z k representa uma superfície de 
nível S em 3 . Se  0 0 0, , 0F x y z  para  0 0 0, ,x y z S então  0 0 0, ,F x y z é normal 
à superfície S no ponto  0 0 0, ,x y z . 
 Sendo assim: 
 a O plano tangente à superfície de nível  : , ,S F x y z k pelo ponto 
 0 0 0 0, ,P x y z S  é o conjunto dos pontos  
3, ,P x y z  tais que 
 0 0 0 0, , 0F x y z P P 

 , ou seja, 
            0 0 0 0 0 0 0x y zF P i F P j F P k x x i y y j z z            
   
 
          0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, , , , , , 0x y zF x y z x x F x y z y y F x y z z z      
 
 b A reta normal à superfície de nível  : , ,S F x y z k pelo ponto 
 0 0 0 0, ,P x y z S  é a reta que contém 0P é paralela à direção do vetor gradiente 
 0 0 0, ,F x y z . Parametricamente, a reta normal é dada por: 
        0 0 0 0, ,x t i y t j z t k P t F x y z    
 
 
  
   
   
   
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
, ,
, ,
, ,
x
y
z
x t x t F x y z
y t y t F x y z
z t z t F x y z
  

 

 
 
Exemplo 1 (pg. 972) Considerando o elipsoide 2 2 24 18x y z   , determinar 
 a Uma equação do plano tangente ao elipsoide no ponto  1, 2,1 
 b As equações paramétricas da reta normal ao elipsoide no ponto  1,2,1 
 
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O CASO DE SUPERFÍCIES DA FORMA  ,z f x y (pg. 872) 
 É possível tratar o caso como o caso das superfícies de nível, considerando 
   , , , 0F x y z z f x y   e o ponto     0 0 0 0 0 0 0 0, , , , ,P x y z x y f x y  . 
Sendo assim: 
  0 0 0, ,xF x y z  0 0,xf x y  
  0 0 0, ,yF x y z  0 0,yf x y  
  0 0 0, ,zF x y z 1 
 O plano tangente: 
         0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, , , , , , 0x y zF x y z x x F x y z y y F x y z z z      
          0 0 0 0 0 0 0 0, , 1 , 0x yf x y x x f x y y y z f x y       
         0 0 0 0 0 0 0 0, , ,x yz f x y f x y x x f x y y y     
 
 A reta normal: 
 
   
   
   
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
, ,
, ,
, ,
x
y
z
x t x t F x y z
y t y t F x y z
z t z t F x y z
  

 

 
  
   
   
 
0 0 0
0 0 0
0
,
,
x
y
x t x t f x y
y t y t f x y
z t z t
  

 

 
 
 
 
Exemplo 2 (pg. 973) Dados a superfície 2z x y e o ponto  0 2,1,4P  determinar: 
 a A equação do plano no ponto 0P 
 b As equações paramétricas da reta normal por 0P 
 
Lista 3.5.a Para 05/07/2017 
 Exercícios 13.7 (pg. 975) ímpares de 3 a 11 
 
13.8 MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 
Recordando: O caso das funções de uma variável: 
- Se  0' 0f x  e  0'' 0f x  ,  f x tem mínimo relativo em 0x . 
- Se  0' 0f x  e  0'' 0f x  ,  f x tem máximo relativo em 0x . 
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- Se  0' 0f x  e  0'' 0f x  então nada se pode afirmar. O ponto 
  0 0,x f x pode ser um mínimo, um máximo ou um ponto de inflexão. É 
preciso estudar o sinal de  'f x em valores próximos de 0x . 
Exemplos:   4f x x ,   3g x x e   4h x x . 
 
PONTOS EXTREMOS DE  ,f x y . (pg. 977) 
 Seja    0 0,x y dom f . 
 a A função  ,f x y tem máximo relativo em  0 0,x y se    0 0, ,f x y f x y 
para todo    ,x y dom f que esteja em algum círculo centrado em  0 0,x y . O 
maior dentre os máximos relativos é chamado de máximo absoluto. 
 
 b A função  ,f x y tem mínimo relativo em  0 0,x y se    0 0, ,f x y f x y para 
todo    ,x y dom f que esteja em algum círculo centrado em  0 0,x y . O menor 
dentre os mínimos relativos é chamado de mínimo absoluto. 
 
 c A função  ,f x y tem extremo relativo (absoluto) em  0 0,x y caso tenha 
máximo relativo (absoluto) ou mínimo relativo (absoluto). 
Definição: um conjunto   2,C x y  (ou   3, ,x y z  ) é dito limitado caso 
exista algum retângulo (ou caixa) que contenha todos os seus pontos. 
Teorema 13.8.3 Teorema do valor extremo (pg. 978) 
 Se  ,f x y é contínua em um conjunto fechado e limitado C, então  ,f x y 
tem máximo absoluto e mínimo absoluto em C. 
Teorema 13.8.4 Se  0 0,x y é um ponto de extremo relativo de  ,f x y e se 
 0 0,xf x y e  0 0,yf x y existem, então  0 0, 0xf x y  e  0 0, 0yf x y  . 
Exemplo de que a volta não é verdadeira:   2 2,f x y y x  em  0,0 . 
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Definição 13.8.5 Um ponto    0 0,x y dom f é ponto crítico de  ,f x y se 
 0 0, 0xf x y  e  0 0, 0yf x y  ou  0 0,xf x y não existe ou  0 0,yf x y não existe. 
TESTE DA DERIVADA SEGUNDA 
 Seja       
2
0 0 0 0 0 0, , ,xx yy xyD f x y f x y f x y  , com as derivadas parciais de 
segunda ordem contínuas em algum círculo centrado em  0 0,x y . 
a) Se 0D e  0 0, 0xxf x y  , então  0 0,x y é ponto de mínimo relativo; 
b) Se 0D e  0 0, 0xxf x y  , então  0 0,x y é ponto de máximo relativo; 
c) Se 0D , então  0 0,x y é ponto de sela. 
d) Se 0D o teste não é conclusivo. 
Exemplo 3 (pg. 980) Localizar todos osextremos relativos e pontos de sela da 
função   2 2, 3 2 8f x y x xy y y    
 
Exemplo 4 (pg. 981) Localizar todos os extremos relativos e pontos de sela da 
função   4 4, 4f x y xy x y   
 
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EXTREMOS ABSOLUTOS DE FUNÇÃO CONTÍNUA EM CONJUNTO FECHADO 
E LIMITADO R 
Receita: 
 1 Encontre os pontos críticos de  ,f x y situados no interior de R 
 2 Encontre todos os extremos situados em pontos de fronteira 
 3 Calcule  ,f x y nesses pontos. O maior é máximo absoluto e o menor é mínimo 
absoluto. 
Exemplo 5 (pg. 982) Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de
 , 3 6 3 7f x y xy x y    , na região triangular fechada R de vértices  0,0 , 
 3,0 e  0,5 . 
 
Exemplo 6 (pg. 983) Determinar as dimensões de uma caixa retangular aberta no topo, 
com volume de 332 m que utilize uma quantidade mínima de material. 
 
 
Lista 3.5.b Para 05/07/2017 
 Exercícios 13.8 (pg. 986) ímpares de 13 a 19 
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14.9 MULTIPLICADOR DE LAGRANGE 
PROBLEMAS DE EXTREMOS COM RESTRIÇÃO 
Um exemplo: 
 Trata-se de resolver problemas do tipo: Maximizar a função objetivo 
 ,f x y xy 
 considerando a restrição 6x y  
 Neste caso específico, a solução é: Faz-se 6y x  , na restrição, e substitui-se na 
função objetivo:     2, 6 6f x y xy x x x x     . Derivando em relação a x e 
igualando a zero: 6 2 0 3 3x x y      . 
O problema é: e quando não se consegue explicitar uma variável na restrição? É nesse 
caso que se utilizam os multiplicadores de Lagrange. 
 
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 
 Considere uma função objetivo  ,f x y e uma função restrição  , 0g x y  . 
Queremos maximizar ou minimizar a função objetivo, restrita aos valores de  ,x y que 
satisfazem  , 0g x y  . Observe que  , 0g x y  é uma curva de nível da função 
 , .g x y Os pontos de tangência entre  , 0g x y  e as curvas de nível de  ,f x y são 
os candidatos a otimizar a função objetivo. As figuras abaixo ilustram essa afirmação:
 
 
 Observe que, se  0 0,x y é um ponto de tangência, então existe, por  0 0,x y , 
uma reta  ,L x y que é, ao mesmo tempo, tangente a alguma curva de nível de  ,f x y 
e à curva de nível da restrição  , 0g x y  . Como  0 0,f x y e  0 0,g x y são 
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vetores normais a essa reta, segue que são vetores paralelos, isto é, existe  tal que 
   0 0 0 0, ,f x y g x y   . 
Teorema 14.9.3 Princípio do extremo restrito para duas variáveis e uma restrição 
 Se a função objetivo tem extremo restrito em  0 0,x y na curva de restrição, então 
existe  tal que    0 0 0 0, ,f x y g x y   . O real  é chamado de multiplicador 
de Lagrange. 
O exemplo inicial:    , ,f x y xy f x y yi x j    
 
 
    , 6 0 ,g x y x y g x y i j       
 
 
 A equação de Lagrange:   xyi x j i j x y
y




     

   
 
 Como 
3
6
3
x
x y
y

   

 é ponto de extremo restrito de  ,f x y xy , na 
restrição  , 6 0g x y x y    . 
 
Exemplo 1 (pg. 991) Determinar em que pontos do círculo 
2 2 1x y  a função 
 ,f x y xy tem máximo absoluto e qual é esse máximo. 
 
Solução: A função objetivo:  ,f x y xy 
 A restrição:   2 2, 1 0g x y x y    
 Lagrange:  
2 2
2 2
2
2
y
y x x
yi x j xi y j
xx y
y






 
     
  

   
 
 Uma solução:    , 0,0x y  não satisfaz 2 2 1x y  
 Outra solução: 
2 2
2 2
y x
y x
x y
   
 Substituindo na restrição: 
2 2 22 1
2 2
x x y     
 Os pontos de extremo relativo restrito e o correspondente valor da função 
objetivo: 
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 
2 2 2 2 2 2 2 2
, , , , ,
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
x y
xy
       
          
       
 
 
Os máximos absolutos: 
2 2 1
,
2 2 2
f
 
 
 
 e 
2 2 1
,
2 2 2
f
 
   
 
 
 Os mínimos absolutos: 
2 2 1
,
2 2 2
f
 
   
 
 e 
2 2 1
,
2 2 2
f
 
   
 
 
 
Exemplo 2 pg. 993 Use Multiplicador de Lagrange para determinar as 
dimensões de um retângulo de perímetro p e área máxima. 
 
Solução: Chamando as dimensões do retângulo de b (base) e h (altura), queremos 
maximizar a área A b h restritos a 2 2 0b h p   . Usando o multiplicador de 
Lagrange, queremos  tal que    2 2bh b h p     
 
   bh bh
i j
h b
 

 
 
 
   2 2 2 2b h p b h p
i j
h b

      
  
  
 
 
 bi h j
 
 2 2i j    
 
  
2
2
b
h





  b h 
Substituindo na restrição: 2 2 0b b p    4b p h  
 
O CASO DE FUNÇÕES DE TRÊS VARIÁVEIS 
 A função objetivo:  , ,f x y z ; a restrição:  , , 0g x y z  
 Lagrange:    , , , ,f x y z g x y z   
 
Exemplo 3 (pg. 993) Determinar, sobre a esfera 2 2 2 36x y z   , o ponto mais 
próximo e o ponto mais afastado do ponto  1,2, 2 . 
 
Exemplo 4 (pg. 1013) 
Uma caixa retangular sem tampa deve ter volume de 232m . Determinar as 
dimensões que minimizam o consumo de material. 
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Resolução: Se x e y são as dimensões da base da caixa e z é a altura, o problema 
é minimizar  , , 2 2f x y z xy xz yz   sujeito a  , , 32 0g x y z xyz   . 
Os gradientes:        , , 2 2 2 2f x y z y z i x z j x y k      
  
 
  , ,g x y z yzi xz j xyk   
  
 
Lagrange:        2 2 2 2y z i x z j x y k yzi xz j xyk       
     
 
As equações: 2y z yz  2x z xz  2 2x y xy  
 
1 2
z y
  1 2
z x
  
2 2
y x
  
Igualando as duas primeiras: 
2 2
x y
y x
   
Igualando as duas últimas: 
1 2
2
y
z
z y
   
Substituindo na restrição: 
3
3 432 64 4
22
xy
y y
z

     

 
Lista 3.6 Para 12/07/2017 
Exercícios 13.9 (pg. 995) ímpares de 5 a 11