1.ITN

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P1 - INTRODUC¸A˜O A` TEORIA DOS NU´MEROS
Instituto Noroeste Fluminense de Ensino Superior - UFF
Nome: Matr´ıcula:
Questa˜o 1.(Valor: 10 pontos) Verifique, por induc¸a˜o a seguinte fo´rmula para n ≥ 1:
1 + 23 + 33 + ... + n3 =
[
n(n + 1)
2
]2
Questa˜o 2.(Valor: 40 pontos) Verifique se as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas, dando
a demontrac¸a˜o em caso de verdadeiras e um contra-exemplo no caso de falsas.
a) Se a|b, enta˜o (a + c)|(b + c).
b) Se a|b e b|c, enta˜o a|c.
c) mdc(a, b + c) = mdc(a, b) + mdc(a, c).
d) mdc(a, bc) = b.mdc(a, c).
e) Se a|bc e mcd(a, b) = 1, enta˜o a|c.
Questa˜o 3.(Valor: 10 pontos) Verifique, usando os crite´rios de divisibilidade se os nu´meros
abaixo sa˜o divis´ıveis por 9, por 7 ou por 11.
a) 27092604.
b) 5261625.
Questa˜o 4.(Valor: 10 pontos)
a) Enuncie o teorema do algoritmo da divisa˜o de Euclides.
b) Encontre q e r na divisa˜o de a = 47 por b = −12 que satisfac¸am as condic¸o˜es do algoritmo da
divisa˜o.
c) Idem para a = −352 e b = 13.
Dentre as treˆs questo˜es abaixo escolha apenas DUAS.
Questa˜o 5.(Valor: 15 pontos) Use o PBO para mostrar que existe um inteiro positivo n tal que
na ≥ b, para a e b dois inteiros quaisquer.
Questa˜o 6.(Valor: 15 pontos) Mostre que o cubo de um inteiro qualquer e´ de uma das formas
9k, 9k + 1 ou 9k + 8.
Questa˜o 7.(Valor: 15 pontos) Mostre que se a e´ um inteiro ı´mpar, enta˜o 24|a(a2 − 1).
Questa˜o Extra.(Valor: 5 pontos) Mostre que PBO ⇒ PIM1.