LK-Fund.CC-conjuntos.pdf

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Fundamentos Matema´ticos para Computac¸a˜o
Sistemas de Informac¸a˜o
Luis Antonio Kowada
UFF-Instituto de Computac¸a˜o
2017-2
Luis Antonio Kowada (UFF-IC) Fundamentos Matema´ticos para Computac¸a˜o 2017-2 1 / 21
Conjuntos
Conceitos importantes
O que e´ um conjunto?
Conjunto e´ um conceito fundamental, portanto na˜o pode ser definido a
partir de outros conceitos.
Sera´ considerada uma ide´ia intuitiva de agrupamento, colec¸a˜o de
objetos,...
Os objetos que compo˜e um conjunto sa˜o chamados de elementos.
Um conjunto pode ser representado enumerando seus elementos ou
atrave´s de uma propriedade que todos seus elementos possuam e
outros na˜o.
exemplos: A={1,2,3,4}, B={Maria,Joa˜o,Jose´}, C={letras do
alfabeto}, R ={nu´meros reais}
Luis Antonio Kowada (UFF-IC) Fundamentos Matema´ticos para Computac¸a˜o 2017-2 2 / 21
Conjuntos
Observac¸o˜es importantes
Dois conjuntos que possuam os mesmos elementos sa˜o considerados
iguais.
A ordem entre os elementos e´ irrelevante.
Elementos redundantes (iguais) podem ser ignorados.
Exemplo:
Sejam A={1,2,3}, B={3,2,1}, C={1,1,2,3}, enta˜o A = B = C .
Luis Antonio Kowada (UFF-IC) Fundamentos Matema´ticos para Computac¸a˜o 2017-2 3 / 21
Conjuntos
Conceitos importantes
A quantidade de elementos de um conjunto e´ chamada de tamanho
ou cardinalidade do conjunto.
O tamanho de um conjunto S e´ representado por |S |.
Um conjunto pode ser finito ou infinito, dependendo da sua
cardinalidade.
Exemplos:
Dado um conjunto A = {1, 2, 3, 4}, tem-se que |A| = 4
Dado um conjunto B={Maria,Joa˜o,Jose´}, tem-se que |B| = 3
Dado um conjunto C={letras do alfabeto portugueˆs}, tem-se que
|C | = 26
Luis Antonio Kowada (UFF-IC) Fundamentos Matema´ticos para Computac¸a˜o 2017-2 4 / 21
Conjuntos
Relac¸a˜o de pertenceˆncia
Dado um elemento x de um conjunto A, dizemos que x pertence a A. A
notac¸a˜o que usamos para isto e´ x ∈ A. Caso x na˜o fac¸a parte de A,
dizemos que x na˜o pertence a A, denotado por x 6∈ A.
Exemplo:
Seja A = {1, 2, 3, 4},enta˜o 1 ∈ A, 2 ∈ A mas 5 6∈ A.
Seja B={Maria,Joa˜o,Jose´},enta˜o Maria ∈ B mas Pedro 6∈ B.
Seja C={letras do alfabeto portugueˆs}, enta˜o a ∈ C , b ∈ C ,...
Luis Antonio Kowada (UFF-IC) Fundamentos Matema´ticos para Computac¸a˜o 2017-2 5 / 21
Conjuntos
Subconjuntos e relac¸a˜o de inclusa˜o
Se A e B sa˜o conjuntos e todo elemento de A pertence a B, dizemos que
A e´ um subconjunto de B, ou que A esta´ contido em B, e como notac¸a˜o
temos que A ⊆ B, caso contra´rio,A * B . Se, ale´m disso, houver elemento
de B que na˜o pertenc¸a a A, dizemos que A esta´ propriamente contido em
B, denotado por A ⊂ B, caso contra´rio, A 6⊂ B.
Exemplo: Seja A = {1, 2, 3, 4} enta˜o
A ⊆ R , A ⊂ R
{1, 2, 3} ⊂ A, {1} ⊂ A, {1} 6∈ A
1 * A, 1 ∈ A
Luis Antonio Kowada (UFF-IC) Fundamentos Matema´ticos para Computac¸a˜o 2017-2 6 / 21
Conjuntos
Propriedades das relac¸o˜es de inclusa˜o
Propriedades: Para quais conjuntos A, B e C , temos que:
A ⊆ A.
A 6⊂ A.
Se A ⊂ B enta˜o A ⊆ B.
Se A ⊆ B e B ⊆ A enta˜o A = B.
Se A ⊂ B enta˜o B 6⊆ A.
Se A ⊆ B e B ⊆ C enta˜o A ⊆ C (transitividade).
Se A ⊂ B e B ⊂ C enta˜o A ⊂ C (transitividade).
Se A ⊆ B enta˜o |A| ≤ |B|.
Se A ⊂ B enta˜o |A| ≤ |B|.
Luis Antonio Kowada (UFF-IC) Fundamentos Matema´ticos para Computac¸a˜o 2017-2 7 / 21
Conjuntos
Conjuntos especiais
Conjunto vazio Na˜o possui nenhum elemento. Notac¸a˜o: ∅.
Conjunto universo Possui todos os elementos poss´ıveis em um
determinado contexto. Notac¸a˜o: U .
Conjunto complementar de um determinado conjunto A, denotado por A,
e´ formado por todos os elementos do conjunto
universo que na˜o pertenc¸am a A.
Conjunto das Partes de um determinado conjunto A, denotado por
P(A), e´ formado por todos os sub-conjuntos de A.
Luis Antonio Kowada (UFF-IC) Fundamentos Matema´ticos para Computac¸a˜o 2017-2 8 / 21
Conjuntos
Conjuntos nume´ricos especiais
Nu´meros Naturais : N = {0, 1, 2, ...}
Nu´meros Inteiros : Z = {0,±1,±2, ...}
Nu´meros Racionais : Q = {pq , tal que p ∈ Z, q ∈ Z∗ e mdc(p, q) = 1}
Nu´meros Reais : R
Nu´meros Complexos : C
Luis Antonio Kowada (UFF-IC) Fundamentos Matema´ticos para Computac¸a˜o 2017-2 9 / 21
Conjuntos
Operac¸o˜es Elementares
Unia˜o
Dados dois conjuntos A e B, o conjunto formado por todos os elementos
que pertenc¸am a A ou a B e´ chamado de unia˜o, denotado por A
⋃
B.
Luis Antonio Kowada (UFF-IC) Fundamentos Matema´ticos para Computac¸a˜o 2017-2 10 / 21
Conjuntos
Operac¸o˜es Elementares
Intersec¸a˜o
Dados dois conjuntos A e B, o conjunto formado por todos os elementos
que pertenc¸am simultaneamente a A e a B e´ chamado de intersec¸a˜o,
denotado por A
⋂
B.
Se A
⋂
B = ∅, dizemos que A e B sa˜o disjuntos.
Luis Antonio Kowada (UFF-IC) Fundamentos Matema´ticos para Computac¸a˜o 2017-2 11 / 21
Conjuntos
Operac¸o˜es Elementares
Diferenc¸a
Dados dois conjuntos A e B, o conjunto formado por todos os elementos
que pertenc¸am a A e na˜o pertenc¸am a B e´ chamado de diferenc¸a,
denotado por A\B.
Luis Antonio Kowada (UFF-IC) Fundamentos Matema´ticos para Computac¸a˜o 2017-2 12 / 21
Conjuntos
Operac¸o˜es Elementares
Complementac¸a˜o
Dados um conjunto A, o conjunto formado por todos os elementos que
pertenc¸am ao conjunto universo e na˜o pertenc¸am a A e´ chamado de
complementar de A, denotado por A.
Luis Antonio Kowada (UFF-IC) Fundamentos Matema´ticos para Computac¸a˜o 2017-2 13 / 21
Conjuntos
Operac¸o˜es Elementares
Produto Cartesiano
Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A com B o
conjunto formado por todos os pares ordenados (a, b), onde a ∈ A e
b ∈ B. Este conjunto e´ denotado por A× B.
Os elementos de A× B na˜o pertencem ao mesmo conjunto universo que
conte´m elementos de A ou de B.
Luis Antonio Kowada (UFF-IC) Fundamentos Matema´ticos para Computac¸a˜o 2017-2 14 / 21
Conjuntos
Representac¸a˜o Visual de conjuntos - Diagrama de Venn
Diagrama de Venn - Forma visual de representar relac¸a˜o entre elementos
de conjuntos.
Todo espac¸o no retaˆngulo representa o conjunto universo U .
O espac¸o dentro do c´ırculo representa o conjunto A.
O espac¸o fora do c´ırculo representa o complementar de A, A = U\A.
A
Luis Antonio Kowada (UFF-IC) Fundamentos Matema´ticos para Computac¸a˜o 2017-2 15 / 21
Conjuntos
Diagrama de Venn
Representac¸a˜o de dois conjuntos A e B. Ha´ 4 possibilidades (a´reas
distintas):
A ∩ B, A ∩ B, A ∩ B e A ∩ B.
A B
Luis Antonio Kowada (UFF-IC) Fundamentos Matema´ticos para Computac¸a˜o 2017-2 16 / 21
Conjuntos
Diagrama de Venn
Forma gra´fica de representar treˆs conjuntos.
A B
C
A B
C
Luis Antonio Kowada (UFF-IC) Fundamentos Matema´ticos para Computac¸a˜o 2017-2 17 / 21
Contagem
Combinato´ria
O problema de contagem se refere a encontrar a cardinalidade de um
conjunto que satisfac¸a determinadas propriedades desejadas.
Exemplo:
Seja A={nu´meros primos menores do que 20}.
Qual e´ a cardinalidade de A?
resposta:
Como A={2,3,5,7,11,13,17,19}, enta˜o |A| = 8.
Luis Antonio Kowada (UFF-IC) Fundamentos Matema´ticos para Computac¸a˜o 2017-2 18 / 21
Contagem
Alguns casos especiais
Sejam conjuntos A e B, quais as cardinalidades dos conjuntos abaixo?
Conjuntos das partes: P(A)
Unia˜o: A ∪ B
Intersec¸a˜o: A ∩ B
Diferenc¸a: A− B
Produto cartesiano: A× B
Luis Antonio Kowada (UFF-IC) Fundamentos Matema´ticos para Computac¸a˜o 2017-2 19 / 21
Contagem
Usando produto cartesiano
Princ´ıpio da Multiplicac¸a˜o
Se existirem n1 resultados para um primeiro evento e n2 para um segundo,
enta˜o existira˜o n1 · n2 resultados poss´ıveis para a sequeˆncia dos dois
eventos.
Luis Antonio Kowada (UFF-IC) Fundamentos Matema´ticos para Computac¸a˜o 2017-2 20 / 21
Contagem
Usando unia˜o
Princ´ıpio da adic¸a˜o
Se A e B forem eventos
disjuntos com n1 e n2 resultados poss´ıveis,
respectivamente, enta˜o o nu´mero total de possibilidades para o evento A
ou B sera´ n1 + n2.
Luis Antonio Kowada (UFF-IC) Fundamentos Matema´ticos para Computac¸a˜o 2017-2 21 / 21
	Conjuntos
	Conceitos elementares
	Operações entre conjuntos
	Contagem