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UFF - Universidade Federal Fluminense IC - Instituto de Computac¸a˜o Fundamentos Matema´ticos da Computac¸a˜o Prof. Luis Antonio Kowada 2017/2 - turma A1 Lista 2 - Relac¸o˜es 1. Classifique cada relac¸a˜o R ⊆ S × T , onde S = T = N como um-para-um, um-para-va´rios, va´rios- para-um ou va´rios-para-va´rios: (a) R = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 3), (4, 3)} (b) R = {(9, 7), (6, 5), (3, 6), (8, 5)} (c) R = {(12, 5), (8, 4), (6, 3), (7, 12)} (d) R = {(2, 7), (8, 4), (2, 5), (7, 6), (10, 1)} 2. Classifique cada uma das relac¸o˜es R ⊆ S × S como um-para-um, um-para-va´rios, va´rios-para-um ou va´rios-para-va´rios: (a) S = N; (x, y) ∈ R ⇐⇒ x = y + 1 (b) S = {conjunto de todas as mulheres de Nova Friburgo}; (x, y) ∈ R ⇐⇒ x e´ filha de y (c) S = R; (x, y) ∈ R ⇐⇒ x = 5. 3. Sejam ρ e σ relac¸o˜es bina´rias em N definidas por (x, y) ∈ ρ ⇐⇒ x divide y e (x, y) ∈ σ ⇐⇒ 5x ≤ y. Determine quais dos pares ordenados satisfazem a`s relac¸o˜es dadas: (a) ρ ∪ σ : (2, 6), (3, 17), (2, 1), (0, 0). (b) ρ ∩ σ : (3, 6), (1, 2), (2, 12). (c) ρ : (1, 5), (2, 8), (3, 15). (d) σ : (1, 1), (2, 10), (4, 8). 4. Seja S = {0, 1, 2, 4, 6}. Verifique se as relac¸o˜es bina´rias em S sa˜o reflexivas, sime´tricas, anti- sime´tricas e/ou transitivas: (a) R = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (4, 4), (6, 6), (0, 1), (1, 2), (2, 4), (4, 6)}. (b) R = {(0, 1), (1, 0), (2, 4), (4, 2), (4, 6), (6, 4)}. (c) R = {(0, 1), (1, 2), (0, 2), (2, 0), (2, 1), (1, 0), (0, 0), (1, 1), (2, 2)}. (d) R = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (4, 4), (6, 6), (4, 6), (6, 4)}. (e) R = ∅. 5. Para cada caso abaixo, apresente um conjunto S e uma relac¸a˜o bina´ria R ⊆ S (diferente das apresentadas anteriormente) que satisfac¸a a`s condic¸o˜es pedidas. (a) R e´ reflexiva e anti-sime´trica, mas na˜o e´ transitiva. (b) R e´ reflexiva e transitiva, mas na˜o e´ sime´trica. (c) R na˜o e´ reflexiva nem sime´trica, mas e´ transitiva. (d) R e´ reflexiva, mas na˜o e´ sime´trica nem transitiva. 6. Sejam R e S relac¸o˜es bina´rias em um conjunto A. (a) Se R e S forem reflexivas, a unia˜o R ∪ S sera´ reflexiva? E a intersec¸a˜o R ∩ S? (b) Se R e S forem sime´tricas, a unia˜o R ∪ S sera´ sime´trica? E a intersec¸a˜o R ∩ S? (c) Se R e S forem anti-sime´tricas, a unia˜o R ∪ S sera´ anti-sime´trica? E a intersec¸a˜o R ∩ S? (d) Se R e S forem transitivas, a unia˜o R ∪ S sera´ transitiva? E a intersec¸a˜o R ∩ S? 1
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