Caderno de Exercícios Resolvidos Microeconomia. II

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UNIVERSIDADE DA MADEIRA 
Departamento de Gestão e Economia 
 
 
 
 
 
 
 
MICROECONOMIA I 
1º Semestre 2005/2006 
 
 
 
 
 
CADERNO DE EXERCÍCIOS 
Resolução 
 1 
 
A. TEORIA DO CONSUMIDOR 
 
 
A.1. A RESTRIÇÃO ORÇAMENTAL DO CONSUMIDOR 
A.1.1. Defina os seguintes conceitos: 
a) Cabaz de bens 
Combinação de quantidades consumíveis de um conjunto de bens. 
b) Conjunto de possibilidades de consumo 
Conjunto de cabazes que podem ser comprados pelo consumidor num dado 
momento, gastando parcial ou totalmente o seu rendimento monetário. 
c) Restrição orçamental 
Lugar geométrico dos cabazes que podem ser comprados se todo o rendimento do 
consumidor for gasto. 
d) Custo de oportunidade de um bem 
Quantidade do outro bem que é preciso sacrificar para consumir mais uma 
unidade do bem. 
e) Bem numerário 
Bem em relação ao qual é medido o preço do outro bem e o rendimento do 
consumidor. 
 
 
A.1.2. Considere um consumidor que enfrenta os preços Px e Py e dispõe de um 
rendimento M. Para cada um dos casos seguintes, determine, analítica e 
graficamente, o conjunto de possibilidades de consumo e a restrição orçamental. 
a) 2Px = ; 4Py = ; 10M = 
CPC: 10y4x2 ≤+ 
RO: 10y4x2 =+ 
b) 3Px = ; 5Py = ; 15M = 
CPC: 15y5x3 ≤+ 
RO: 15y5x3 =+ 
c) 5Px = ; 1Py = ; 25M = 
CPC: 25yx5 ≤+ 
RO: 25yx5 =+ 
d) 5,1Px = ; 6Py = ; 45M = 
CPC: 45y6x5,1 ≤+ 
RO: 45y6x5,1 =+ 
e) 4Px = ; 7Py = ; 56M = 
CPC: 56y7x4 ≤+ 
RO: 56y7x4 =+ 
 
 
 
 2 
 
A.1.3. O que acontece à restrição orçamental se: 
a) o preço do bem X duplica e o do bem Y triplica 
A restrição orçamental torna-se menos inclinada e desloca-se para a esquerda 
b) o preço do bem X quadruplica e o do bem Y triplica 
A restrição orçamental torna-se mais inclinada e desloca-se para a esquerda 
c) ambos os preços duplicam 
A restrição orçamental desloca-se paralelamente para a esquerda 
d) ambos os preços duplicam e o rendimento triplica 
A restrição orçamental desloca-se paralelamente para a direita 
e) ambos os preços triplicam e o rendimento duplica 
A restrição orçamental desloca-se paralelamente para a esquerda 
f) o preço do bem X e o rendimento duplicam 
A restrição orçamental roda para a direita 
 
 
A.1.4. O Paulo tem uma mesada de 120 euros que lhe é paga pelos pais. A mesada é 
gasta exclusivamente em jantares e bilhetes de teatro. 
a) Identifique formalmente o conjunto de possibilidades de consumo do Paulo, 
sabendo que cada jantar custa 20 euros e cada bilhete de teatro custa 10 
euros. 
120b10j20 ≤+ 
b) No mês de Agosto, o Paulo será visitado pelos avós que lhe dão sempre 100 
euros. Durante esse mês, o Paulo pretende ir a 8 jantares e assistir a 8 
espectáculos de teatro. Será que vai conseguir? E se ele passar a ir jantar a 
restaurantes mais baratos, onde o preço médio da refeição é 15 euros? Qual é, 
neste caso, o custo de oportunidade para o Paulo de ir a um jantar? 
220100120M =+= 
( ) ( ) →>=×+×⇒= 2202408108208,8b,j não consegue consumir este cabaz. 
( ) ( ) →<=×+×⇒= 2202008108158,8b,j consegue consumir este cabaz. 
5,1
10
15
CO == 
c) Dadas as fracas notas obtidas nos exames, os pais do Paulo reduziram-lhe a 
mesada para metade e proibiram-no de ir a mais de 2 jantares no mês de 
Agosto (os avós não sabem de nada). Identifique o conjunto de possibilidades 
de consumo do Paulo nesta situação. 
16010060M =+= 
⎩⎨
⎧
≤
≤+
2j
160b10j20
 
 3 
 
d) Suponha que o Paulo pode beneficiar de 10% de desconto no preço dos 
bilhetes de teatro se adquirir o cartão jovem. Sabendo que o cartão jovem 
custa 10 euros, deverá o Paulo comprá-lo? 
1501010060M =−+= 
9109,0Pb =×=′ 
⎩⎨
⎧
≤
≤+
2j
150b9j20
 
Se adquirir o cartão, o Paulo expande o seu conjunto de possibilidades de 
consumo, logo deverá adquiri-lo. 
e) Descreva o conjunto de possibilidades de consumo do Paulo se o cartão jovem 
lhe possibilitar 2 entradas gratuitas em espectáculos de teatro, adicionalmente 
ao desconto mencionado na alínea anterior. 
168921010060M =×+−+= 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤
≤
≤+
2j
5,7j
168b9j20
 
f) Durante as férias, o Paulo fez um curso de Verão no qual tirou muito boas 
notas. Consequentemente, os pais decidiram levantar-lhe as restrições aos 
jantares e subsidiarem-lhe as idas ao teatro em 5 euros; no entanto, 
mantiveram a redução da mesada. Admitindo que o Paulo não tem cartão 
jovem, determine de novo, analítica e graficamente, o conjunto de 
possibilidades de consumo do Paulo. 
16010060M =+= 
5510Pb =−=′ 
160b5j20 ≤+ 
 
 
A.1.5. Suponha que a Companhia de Telefones cobra mensalmente 30 euros, o que 
garante aos seus assinantes o acesso à rede e a possibilidade de fazer 30 minutos 
de chamadas por mês. Chamadas acima deste limite pagam um preço unitário de 
15 cêntimos. 
a) Escreva e represente a restrição orçamental de um consumidor representativo 
que tem um rendimento M para gastar em minutos de chamadas telefónicas 
(T) e num bem compósito (C) cujo preço é igual a 1. 
⎩⎨
⎧
−≤
−=+⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−≤
×+−=+
30MC
5,25MC1T15,0
1
30M
C
15,03030MC1T15,0
 
 4 
 
bem compósito
ch
am
ad
as
 t
el
ef
ón
ic
as
 
b) Suponha que a companhia pondera duas alterações relativas à actual estrutura 
de preços: i) diminuir para 20 o número de minutos oferecidos com a 
assinatura mensal; ou ii) aumentar o preço unitário de chamadas acima dos 30 
minutos para 20 cêntimos. Represente graficamente as restrições orçamentais 
correspondentes às duas alternativas. 
i) 
⎩⎨
⎧
−≤
−=+⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−≤
×+−=+
30MC
27MC1T15,0
1
30M
C
15,02030MC1T15,0
 
ii) 
⎩⎨
⎧
−≤
−=+⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−≤
×+−=+
30MC
24MC1T20,0
1
30M
C
20,03030MC1T20,0
 
bem compósito
ch
am
ad
as
 te
le
fó
ni
ca
s
RO inicial alternativa i alternativa ii
 
 
 
A.1.6. A Ana consome dois bens, carne (C) e peixe (P), ambos adquiridos no 
hipermercado, aos preços 5,7Pc = e 10PP = . Para chegar ao hipermercado, a Ana 
demora 45 minutos. Para adquirir uma unidade de C demora mais 15 minutos, 
enquanto que para a aquisição de uma unidade de P são precisos mais 12 minutos. 
a) Represente o conjunto de possibilidades de escolha da Ana, admitindo que 
esta tem um rendimento de 150 unidades monetárias e o seu tempo disponível 
para compras é de 4 horas e meia. 
 5 
 
⎩⎨
⎧
≤+
≤+⇔
⎩⎨
⎧
−×≤+
≤+
225p12c15
150p10c5,7
455,460p12c15
150p10c5,7
 
0
5
10
15
20
0 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20 22,5
carne
pe
ix
e
RO
RT
 
b) A Ana muda de emprego e passa a não ter tempo para ir ao hipermercado. No 
seu prédio, há um supermercado onde a Ana não perde tempo e enfrenta os 
preços 10Pc = e 15Pp = . Neste novo emprego, além das 150 unidades 
monetárias, a Ana recebe 10,5 unidades de C, que não pode vender. 
Represente o novo conjunto de possibilidades de escolha. 
⎩⎨
⎧
≤
≤+⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤
×+≤+
10p
255p15c10
15
150
p
105,10150p15c10
 
0
2
4
6
8
10
12
0 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20 22,5 25 27,5
carne
pe
ix
e
 
 
A.1.7. O João vive em Santana e desloca-se todos os dias ao Funchal, onde tem uma 
pastelaria. O seu rendimento diário é de 200 euros, que é gasto em bilhetes de 
autocarro (B) e outros bens (X). O bilhete custa 2 euros, enquanto o preço dos 
outros bens é de 10 euros. O tempo útil diário do João é de 8 horas, gastando 1 
hora na viagem Santana – Funchal e 15 minutos para adquirir uma unidade de X. 
a) Represente o conjunto de possibilidades de escolha do João. 
⎩⎨
⎧
≤+
≤+
8x25,0b1
200x10b2
 
b) Nos dias em que o João tem de fazer mais deduas viagens entre Santana e o 
Funchal, fica de mau humor. Isto reduz-lhe a clientela da pastelaria, 
 6 
 
implicando uma redução do rendimento diário do João de 50 euros. 
Represente de novo o conjunto de possibilidades de escolha. 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤+
>≤+
≤≤+
8x25,0b1
2bse150x10b2
2bse200x10b2
 
c) Depois da quarta viagem, o João chega a casa depois do supermercado fechar. 
Isso obriga-o a fazer as compras num outro supermercado, onde o 
estacionamento custa 1 euro. 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤+
>≤+
≤<≤+
≤≤+
8x25,0b1
4bse149x10b2
4b2se150x10b2
2bse200x10b2
 
d) Suponha agora que, a partir da segunda passagem, o João passa a ir na 
carrinha da pastelaria. Nesse caso, o tempo necessário para a viagem é de 
meia hora e o custo do combustível 1 euro. Represente novamente o conjunto 
de possibilidades de escolha do João, considerando um rendimento de 200 
euros. 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>≤+
≤≤+
>≤+
≤≤+
2bse8x25,0b5,0
2bse8x25,0b1
2bse200x10b1
2bse200x10b2
 
 
 
 
 7 
 
A.2. UTILIDADE E PREFERÊNCIAS 
A.2.1. Defina os seguintes conceitos: 
a) Bem económico 
Produto (ou serviço) definidos pelas suas características físicas, de localização e 
tempo, e que proporciona a satisfação de uma necessidade do consumidor. 
b) Mal económico 
Produto (ou serviço) cujo consumo causa uma diminuição na satisfação do 
consumidor. 
c) Bem neutral 
Produto (ou serviço) cujo consumo não afecta a satisfação do consumidor. 
d) Utilidade 
Forma de medir a satisfação dos desejos do consumidor. Valor atribuído ao uso de 
um ou mais bens. 
e) Utilidade marginal de um bem 
Variação na utilidade total de um consumidor quando a quantidade consumida de 
um bem aumenta de uma forma infinitesimal, mantendo-se a quantidade 
consumida dos outros bens. 
f) Curva de indiferença 
Conjunto de cabazes de dois bens em relação aos quais o consumidor é 
indiferente, isto é, que proporcionam o mesmo nível de utilidade. 
g) Taxa marginal de substituição no consumo de Y por X 
Mede o número de unidades de Y que têm de ser sacrificadas por unidade 
infinitesimal a mais de X de forma a que o consumidor mantenha o nível de 
satisfação. 
 
 
A.2.2. Enumere e explique os axiomas e hipóteses das relações de preferência e as 
propriedades das curvas de indiferença. 
Axioma da exaustão ou da relação completa 
Uma ordem de preferências é completa se permite ao consumidor ordenar todas as 
combinações possíveis de bens e serviços. 
Axioma da transitividade 
Dizer que uma ordem de preferências é transitiva significa que, relativamente a três 
cabazes A, B e C, se o consumidor prefere A a B e B a C, então gostará mais de A que 
de C. 
Hipótese da não saciedade ou monotocidade 
Esta hipótese significa simplesmente que, quando todo o resto se mantém constante, 
uma maior quantidade de um bem é melhor que uma menor quantidade desse mesmo 
bem. 
 8 
 
Hipótese da convexidade 
Sejam 3 cabazes, A, B e C tais que B é pelo menos tão bom como A e C é estritamente 
preferido a A. A hipótese da convexidade implica que qualquer combinação linear dos 
cabazes B e C é preferível a A. Economicamente, esta hipótese relaciona-se com a 
necessidade de um consumidor ser compensado com maiores quantidades de um bem, 
à medida que sacrifica sucessivas unidades de outro. Ou seja: a taxa marginal de 
substituição no consumo entre dois bens é decrescente. 
Hipótese da continuidade 
Os cabazes que são preferidos ou indiferentes a um determinado cabaz e os cabazes 
que são menos preferidos ou indiferentes formam conjuntos fechados. Esta hipótese é 
meramente técnica. 
Propriedade 1: As curvas de indiferença têm inclinação negativa. 
Propriedade 2: As curvas de indiferença nunca se intersectam. 
Propriedade 3: Curvas de indiferença para NE representam níveis de satisfação mais 
elevados. 
Propriedade 4: As curvas de indiferença são convexas em relação à origem. 
Propriedade 5: As curvas de indiferença são densas em todo o espaço de bens. 
 
 
A.2.3. Diga, de entre as situações seguintes, aquelas que violam os axiomas e hipóteses 
que regem as preferências. 
a) A Isabel gosta mais de chocolates que de caramelos e prefere caramelos a 
rebuçados; mas entre rebuçados e chocolates, escolhe os primeiros. 
Viola o axioma da transitividade 
b) O Francisco não sabe se gosta mais de duas horas de vela ou três de natação. 
Viola o axioma da exaustão 
c) Quanto mais toca piano, mais a Catarina gosta de tocar. 
Viola a hipótese da convexidade 
d) Depois de quatro horas de estudo, o Diogo já não estuda mais nenhuma. 
Viola a hipótese da monotocidade 
e) A Beatriz começou a gostar mais de ir à praia depois de ir muitas vezes. 
Viola a hipótese da convexidade 
 
 
A.2.4. Represente graficamente os mapas de indiferença para os seguintes casos: 
a) Dois bens económicos 
 9 
 
bem
be
m
 
b) Um bem e um mal económico 
mal
be
m
 
c) Um bem económico e um neutro 
neutro
be
m
 
d) Existência de um ponto de saciedade 
 10 
 
x
y
 
e) Bens complementares 
x
y
 
f) Bens substitutos 
x
y
 
 
 
A.2.5. Represente as preferências dos consumidores para os seguintes casos, verificando 
em cada um se se tratam de preferências bem comportadas. 
a) O Gonçalo bebe sempre um café com um copo de água. 
 11 
 
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6
cafés
co
po
s 
de
 á
gu
a
 
b) A Graça é indiferente entre utilizar papel A4 pautado e papel A4 liso. 
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6
pautado
lis
o
 
c) Ao almoço, a Maria não consegue comer mais de 220 gramas de carne, mas 
bebe toda a Coca-Cola que lhe servirem. 
0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440
carne
co
ca
-c
ol
a
 
d) O Pedro é indiferente entre jogar uma hora de futebol ou duas horas de ténis. 
 12 
 
0
1
2
3
4
5
0 0,5 1 1,5 2 2,5
futebol
té
ni
s
 
e) A D. Carlota bebe sempre cada chávena de chá com meio pacote de açúcar. 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 1 2 3 4 5 6
chá
aç
úc
ar
 
f) A Joaninha adora leite com torradas. Ao lanche, não consegue comer mais de 
4 torradas, mas bebe todo o leite que lhe servirem. 
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8
torradas
le
it
e
 
 
 
A.2.6. Considere as seguintes funções utilidade: 
i. 5,05,0 yxU = 
ii. yx3U ++−= 
iii. { }y,xminU = 
 13 
 
iv. yxU += 
Para cada uma delas: 
a) Indique o tipo de preferências. 
b) Represente o mapa de indiferença. 
c) Calcule as utilidades marginais. 
d) Determine a taxa marginal de substituição de y por x. 
e) Encontre uma função que represente as mesmas preferências. 
 5,05,0 yxU = yx3U ++−= { }y,xminU = yxU += 
a) Cobb-Douglas Substitutos perfeitos Complementares Quasi-lineares 
b) 
bem
be
m
U1
U2
U3
 bem
be
m
U1
U2
U3
 
bem
be
m
U1
U2
U3
 
U1
U2
U3
 
c) 
5,05,0 yx5,0xUmg −= 
5,05,0 yx5,0yUmg −= 
1xUmg = 
1yUmg = 
0xUmg = 
0yUmg = 
1xUmg = 
5,0y5,0yUmg −= 
d) 
x
y
TMS x,y = 1TMS x,y = Não tem y2TMS x,y = 
e) 5,05,0 yx2V = yxV ++= { }y3,x3minV = yyx2xV 2 ++= 
 
 
 
A.2.7. A utilidade que um consumidor retira da utilização de gás e de electricidade é 
dada pela função 5,05,0 yx2U = em que =x n.º de litros gás/dia e =y n.º Kw/hora. 
a) Identifique as diferentes combinações de x e y que permitem ao consumidor 
atingir o nível de utilidade de 2 e 4. Qual o conceito subjacente? 
x
1
y2yx22U 5,05,0 =⇔=⇔= 
x
4
y4yx24U 5,05,0 =⇔=⇔= 
O conceito aqui subjacente é o de curva de indiferença. 
b) Admita que este consumidor se encontraactualmente a consumir 5 litros de 
gás por dia e 0,2 Kw/hora. Qual a quantidade de electricidade que teria de 
sacrificar, se quisesse consumir um litro adicional de gás, de forma a manter o 
mesmo nível de satisfação? 
( ) 22,052U2,0;5 5,05,0 =××=⇒ 
61yy622 5,05,0 =⇔××= 
 
 
 
 
 14 
 
A.2.8. O António tem uma função de utilidade yxU = . 
a) Suponha que inicialmente consome 4 unidades do bem x e 12 unidades do bem 
y. Se passar a consumir 8 unidades do bem y, quantas unidades terá de 
consumir do bem x de modo a que a sua utilidade de mantenha constante? 
( ) ( ) 48124U12,4y,x =×=⇒= 
6xx848 =⇔= 
b) Calcule a y,xTMS . O que acontece ao valor desta taxa quando o António 
aumenta o consumo do bem x? 
0
x
TMS
y
x
xUmg
yUmg
TMS y,xy,x >∂
∂→== 
c) Responda novamente às alínea a) e b) admitindo que as preferências do 
António são descritas por ylnxU += . 
( ) ( ) 48,612ln4U12,4y,x ≈+=⇒= 
41,4x8lnx48,6 ≈⇔+= 
0
x
TMS
y
1
1
y1
xUmg
yUmg
TMS
1
2,1
y,x =∂
∂→=== 
O consumo do bem x não influencia a taxa a que o António se dispõe a trocar os 
bens. 
d) De entre os seus amigos, quem tem as mesmas preferências que o António? 
Considere o quadro abaixo e a função utilidade inicial. 
Ana xy1000V = 
Filipa xyW = 
Sofia ( )1xy/1Z +−= 
Margarida 10000xyF −= 
Teresa y/xG = 
Bernardo ( )1yxH += 
 
Ana 
y
x
y1000
x1000
TMS y,x == 
Filipa 
y
x
TMS y,x = 
Sofia 
( )
( ) y
x
yxy1
yxx1
TMS
2
2
y,x =−
−= −
−
 
Margarida 
y
x
TMS y,x = 
Teresa 
y
x
y1
yx
TMS
2
y,x −=−= 
Bernardo 
1y
x
TMS 1,2 += 
A Teresa e o Bernardo não têm as mesmas preferências do António. 
 
 15 
 
A.2.9. Comente as seguintes afirmações: 
a) Não é possível que duas curvas de indiferença «bem comportadas» se cruzem. 
A frase é verdadeira. Para prová-lo assumamos que a frase é falsa ou seja que 
duas curvas de indiferença bem comportadas se podem cruzar, conforme 
mostrado na figura. 
A
B=D
C
U1
U0
 
Por definição, diferentes curvas de indiferença representam diferentes níveis de 
utilidade. E uma curva de indiferença bem comportada é aquela que respeita, 
entre outros, o axioma da transitividade e a hipótese da monoticidade. Se, no 
gráfico, as preferências não violarem o axioma da monoticidade, então C será 
preferido a A porque tem o mesmo de um dos bens, mas mais do outro. Como C e 
B estão na mesma curva de indiferença são, por definição, indiferentes entre si. 
Então B deveria, sendo as preferências transitivas, ser preferível a A. Mas B e A 
estão sobre a mesma curva de indiferença, significando isso que são indiferentes. 
Ou seja, duas curvas de indiferença que se intersectem violam o axioma da 
transitividade e a hipótese da monotocidade, logo não podem ser bem 
comportadas. 
b) Se as preferências forem monotónicas, então a linha diagonal (no espaço dos 
bens) que passa pela origem cruza cada curva de indiferença apenas 1 vez. 
Consideremos que a frase é falsa. Se é falsa é porque a linha diagonal (no espaço 
dos bens) que passa pela origem pode cruzar cada curva de indiferença mais que 
1 vez. Vamos admitir que a cruza em dois pontos distintos, A e B. Se A e B estão 
sobre a diagonal, então um destes pontos tem de estar acima e à direita do outro. 
Mas se está acima e à direita, então representa um cabaz com mais de ambos os 
bens o que, pela hipótese da monotocidade, implica uma utilidade superior. Mas 
se tem utilidade superior não pode, por definição, estar sobre a mesma curva de 
indiferença. Então, a frase tem de ser verdadeira. 
c) Se dois bens forem substitutos perfeitos então a taxa marginal de substituição 
ou é igual a zero ou é infinito. 
Se dois bens são substitutos perfeitos, então a utilidade marginal associada a cada 
um deles é constante. Logo, também é constante a taxa marginal de substituição. 
 16 
 
Se esta for zero ou infinito é porque uma das utilidades marginais é zero ou 
infinito. Mas isso não faz sentido. Portanto, a frase é falsa. 
d) A convexidade estrita das preferências pode ser entendida como uma 
expressão formal de uma preferência dos consumidores por diversificação. 
A convexidade das curvas de indiferença decorre da hipótese de taxa marginal de 
substituição (TMS) decrescente. Esta hipótese estabelece que, ao longo de 
qualquer curva de indiferença, quanto maior a quantidade de um bem um 
consumidor possuir, tanto mais exige receber desse bem, para renunciar a uma 
unidade do outro bem. Ou seja, os consumidores estão, geralmente, dispostos a 
prescindir de bens que já possuem em grande quantidade, para obterem mais 
unidades daqueles que, naquele momento, detêm em menor quantidade. Mas isso 
significa uma preferência dos consumidores por diversificação. 
e) Para que a taxa marginal de substituição no consumo seja decrescente, é 
preciso que a utilidade marginal seja decrescente. 
Frase falsa como facilmente se constata pela análise do seguinte contra-exemplo. 
yUmg
xUmg
TMS x,y = . Se x tiver uma utilidade marginal constante, para que a taxa 
marginal de substituição seja decrescente a utilidade marginal de y terá de ser 
crescente. 
 
 17 
 
A.3. A ESCOLHA ÓPTIMA DO CONSUMIDOR 
A.3.1. Para cada um dos consumidores 
i. deduza as funções procura de ambos os bens; 
ii. determine a escolha óptima; 
iii. calcule o nível de satisfação; e 
iv. avalie a taxa marginal de substituição no ponto óptimo. 
a) Consumidor A: 5,05,0 yx5U = ; 2Px = ; 10Py = ; 100m = 
FUNÇÕES PROCURA 
( )yPxPmy5x
myPxP.a.s
yx5Umax
yx
5,00,5
yx
5,05,0
y,x −−λ+=Γ→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
 
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
λ=
λ=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−−
=λ−×
=λ−×
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂
=∂Γ∂
=∂Γ∂
−
−
−
−
myPxP
Pyx5,2
Pyx5,2
0yPxPm
0Pyx5,05
0Pyx5,05
0
0y
0x
yx
y
5,05,0
x
5,05,0
yx
y
5,05,0
x
5,05,0
 
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λ
λ=−
−
myPxP
x
P
P
y
myPxP
P
P
x
y
myPxP
P
P
yx5,2
yx5,2
yx
y
x
yx
y
x
yx
y
x
5,05,0
5,05,0
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=
x
y
xx
y
x
y
x
yx
y
x
P
m5,0
x
P
m5,0
y
mxPxP
x
P
P
y
mx
P
P
PxP
x
P
P
y
 
ESCOLHA ÓPTIMA 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=×=
=×=
⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
25
2
1005,0
x
5
10
1005,0
y
100m
10P
2P
y
x
 
NÍVEL DE SATISFAÇÃO 
9,555255U 5,05,0 ≈××= 
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO 
( ) ( )
2,0
25
5
yUmg
xUmg
TMS
5;25
5;25x,y
=== 
b) Consumidor B: 6,04,0 yx2U = ; 1Px = ; 6Py = ; 50m = 
FUNÇÕES PROCURA 
( )yPxPmy2x
myPxP.a.s
yx2Umax
yx
6,00,4
yx
6,04,0
y,x −−λ+=Γ→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
 
 18 
 
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
λ=
λ=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−−
=λ−×
=λ−×
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂
=∂Γ∂
=∂Γ∂
−
−
−
−
myPxP
Pyx2,1
Pyx8,0
0yPxPm
0Pyx6,02
0Pyx4,02
0
0y
0x
yx
y
4,04,0
x
6,06,0
yx
y
4,04,0
x
6,06,0
 
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λ
λ=−
−
myPxP
x
P
P
5,1y
myPxP
P
P
x3
y2
myPxP
P
P
yx2,1
yx8,0
yx
y
x
yx
y
x
yx
y
x
4,04,0
6,06,0
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=
x
y
xx
y
x
y
x
yx
y
x
P
m4,0
x
P
m6,0
y
mxP5,1xP
x
P
P
5,1y
mx
P
P
5,1PxP
x
P
P
5,1y
 
ESCOLHA ÓPTIMA 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=×=
=×=
⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
20
1
504,0
x
5
6
506,0
y50m
6P
1P
y
x
 
NÍVEL DE SATISFAÇÃO 
4,175202U 6,04,0 ≈××= 
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO 
( ) ( ) 6
1
203
52
yUmg
xUmg
TMS
5;20
5;20x,y
=×
×== 
c) Consumidor C: 23yxU = ; 5,1Px = ; 4Py = ; 45m = 
FUNÇÕES PROCURA 
( )yPxPmyx
myPxP.a.s
yxUmax
yx
23
yx
23
y,x −−λ+=Γ→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
 
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
λ=
λ=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−−
=λ−
=λ−
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂
=∂Γ∂
=∂Γ∂
myPxP
Pyx2
Pyx3
0yPxPm
0Pyx2
0Pyx3
0
0y
0x
yx
y
3
x
22
yx
y
3
x
22
 
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λ
λ=
myPxP
x
P3
P2
y
myPxP
P
P
x2
y3
myPxP
P
P
yx2
yx3
yx
y
x
yx
y
x
yx
y
x
3
22
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=
x
y
xx
y
x
y
x
yx
y
x
P
m6,0
x
P
m4,0
y
mxp
3
2
xP
x
P3
P2
y
mx
P3
P2
pxP
x
P3
P2
y
 
ESCOLHA ÓPTIMA 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=×=
=×=
⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
18
5,1
456,0
x
5,4
4
454,0
y
45m
4P
5,1P
y
x
 
NÍVEL DE SATISFAÇÃO 
1180985,418U 23 =×= 
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO 
 19 
 
( ) ( )
375,0
182
5,43
yUmg
xUmg
TMS
5,4;18
5,4;18x,y
=×
×== 
d) Consumidor E: y3x2U += ; 1Px = ; 4Py = ; 60m = 
FUNÇÕES PROCURA 
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
<
=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
>
=
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
<
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
>
=→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
+=
y
x
y
y
x
y
y
x
y
x
y
x
x
y
x
x
yx
y,x
P
P
3
2
P
m
P
P
3
2
P
m
;0
P
P
3
2
0
y
P
P
3
2
0
P
P
3
2
P
m
;0
P
P
3
2
P
m
x
myPxP.a.s
y3x2Umax
ESCOLHA ÓPTIMA 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
==⇒=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
0y
60
1
60
x
25,0
P
P
60m
4P
1P
y
x
y
x
 
NÍVEL DE SATISFAÇÃO 
12003602U =×+×= 
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO 
( ) ( ) 3
2
yUmg
xUmg
TMS
0;60
0;60x,y
== 
e) Consumidor F: y2x5U += ; 3Px = ; 1Py = ; 12m = 
FUNÇÕES PROCURA 
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
<
=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
>
=
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
<
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
>
=→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
+=
y
x
y
y
x
y
y
x
y
x
y
x
x
y
x
x
yx
y,x
P
P
2
5
P
m
P
P
2
5
P
m
;0
P
P
2
5
0
y
P
P
2
5
0
P
P
2
5
P
m
;0
P
P
2
5
P
m
x
myPxP.a.s
y2x5Umax
ESCOLHA ÓPTIMA 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
=
⇒=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
12
1
12
y
0x
3
P
P
12m
1P
3P
y
x
y
x
 
NÍVEL DE SATISFAÇÃO 
2412205U =×+×= 
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO 
( ) ( ) 2
5
yUmg
xUmg
TMS
12;0
12;0x,y
== 
f) Consumidor G: y4x3U += ; 6Px = ; 8Py = ; 150m = 
FUNÇÕES PROCURA 
 20 
 
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
<
=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
>
=
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
<
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
>
=→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
+=
y
x
y
y
x
y
y
x
y
x
y
x
x
y
x
x
yx
y,x
P
P
4
3
P
m
P
P
4
3
P
m
;0
P
P
4
3
0
y
P
P
4
3
0
P
P
4
3
P
m
;0
P
P
4
3
P
m
x
myPxP.a.s
y4x3Umax
ESCOLHA ÓPTIMA 
[ ]
[ ]⎩⎨
⎧
∈
∈⇒=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
75,18;0y
25;0x
4
3
P
P
150m
8P
6P
y
x
y
x
 
NÍVEL DE SATISFAÇÃO 
75253U =×= 
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO 
4
3
yUmg
xUmg
TMS x,y == 
g) Consumidor H: { }y5,x2minU = ; 2Px = ; 10Py = ; 72m = 
FUNÇÕES PROCURA { }
⇔
⎩⎨
⎧
=+
=⇔
⎩⎨
⎧
=+
=→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
myPxP
y5,2x
myPxP
y5x2
myPxP.a.s
y5,x2minUmax
yxyxyx
y,x 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
+=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
=
⇔
⎩⎨
⎧
=+
=
xy
yx
xy
yx
P5,2p
m
y
P4,0P
m
x
P5,2p
m
y
y5,2x
myPyP5,2
y5,2x
 
ESCOLHA ÓPTIMA 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=×+=
=×+=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
8,4
25,210
72
y
12
104,02
72
x
72m
10P
2P
y
x
 
NÍVEL DE SATISFAÇÃO { } 248,45;122minU =××= 
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO 
Não faz sentido 
h) Consumidor I: { }y,x3minU = ; 6Px = ; 2Py = ; 48m = 
FUNÇÕES PROCURA { }
⇔
⎩⎨
⎧
=+
=⇔
⎩⎨
⎧
=+
=→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
mxP3xP
x3y
myPxP
yx3
myPxP.a.s
y,x3minUmax
yxyxyx
y,x 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
+=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
=
yx
yx
yx P3p
m
x
P3P
m3
y
P3p
m
x
x3y
 
ESCOLHA ÓPTIMA 
 21 
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=×+=
=×+
×=
⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
4
236
48
x
12
236
483
y
48m
2P
6P
y
x
 
NÍVEL DE SATISFAÇÃO { } 1212;43minU =×= 
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO 
Não faz sentido 
i) Consumidor H: { }y,x2minU = ; 4Px = ; 2Py = ; 100m = 
FUNÇÕES PROCURA { }
⇔
⎩⎨
⎧
=+
=⇔
⎩⎨
⎧
=+
=→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
mxP2xP
x2y
myPxP
yx2
myPxP.a.s
y,x2minUmax
yxyxyx
y,x 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
+=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
=
yx
xy
yx P2p
m
x
P5,0P
m
y
P2p
m
x
x2y
 
ESCOLHA ÓPTIMA 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=×+=
=×+=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
5,12
224
100
x
25
45,02
100
y
100m
2P
4P
y
x
 
NÍVEL DE SATISFAÇÃO { } 2525;5,122minU =×= 
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO 
Não faz sentido 
j) Consumidor K: ylnx4U += ; 10Px = ; 1Py = ; 5,62m = 
FUNÇÕES PROCURA 
( )yPxPmyln4x
myPxP.a.s
ylnx4Umax
yx
yx
y,x −−λ++=Γ→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
+=
 
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λ=
λ=
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−−
=λ−
=λ−
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂
=∂Γ∂
=∂Γ∂
−−
myPxP
Py
P4
0yPxPm
0Py
0P4
0
0y
0x
yx
y
1
x
yx
y
1
x
 
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λ
λ=−
myPxP
P4
P
y
myPxP
P
P
y4
myPxP
P
P
y
4
yx
y
x
yx
y
x
yx
y
x
1 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
−
=
=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=
x
x
y
x
x
x
y
x
y
x
yx
y
x
P
4
P
m
x
P4
P
y
m
4
P
xP
P4
P
y
m
P4
P
pxP
P4
P
y
 
ESCOLHA ÓPTIMA 
 22 
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
−
=
=×=
⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
6
10
4
10
5,62
x
5,2
14
10
y
5,62m
1P
10P
y
x
 
NÍVEL DE SATISFAÇÃO 
9,245,2ln64U ≈+×= 
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO 
( ) ( )
10
5,2
4
yUmg
xUmg
TMS
1
5,2;6
5,2;6x,y
=== − 
k) Consumidor L: 2x5,0yU += ; 6Px = ; 2Py = ; 28m = 
FUNÇÕES PROCURA 
( ) ( )0yPmxPmy0x:cantodesolução
myPxP.a.s
x5,0yUmax
xy
yx
2
y,x =∧=∨=∧=→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
+=
y
1
y P
m
u
Pmy
0x =⇒
⎩⎨
⎧
=
=
 
2
x
2
2
x
P
m5,0
u
0y
Pmx =⇒
⎩⎨
⎧
=
=
 
m5,0
P
P
P
m5,0
P
m
uu
y
2
x
2
x
2
y
21 >⇔>⇔> 
⎩⎨
⎧=
0
Pm
x x 
se
se
 
m5,0PP
m5,0PP
y
2
x
y
2
x
≥
≤
 
⎩⎨
⎧=
xPm
0
y 
se
se
 
m5,0PP
m5,0PP
y
2
x
y
2
x
≥
≤
 
ESCOLHA ÓPTIMA 
⎩⎨
⎧
=
=⇒=>=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
14y
0x
14m5,018
P
P
28m
2P
6P
y
2
x
y
x
 
NÍVEL DE SATISFAÇÃO 
1405,014U 2 =×+= 
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO 
( ) ( )
0
1
0
yUmg
xUmg
TMS
14;0
14;0x,y
=== 
l) Consumidor M: 5,0y12x3U += ; 2Px = ; 5,0Py = ; 100m = 
FUNÇÕES PROCURA 
( )yPxPmy123x
myPxP.a.s
y12x3Umax
yx0,5
yx
5,0
y,x −−λ++=Γ→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
+=
 
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λ=
λ=
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−−
=λ−
=λ−
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂
=∂Γ∂
=∂Γ∂
−−
myPxP
Py6
P3
0yPxPm
0Py6
0P3
0
0y
0x
yx
y
5,0
x
yx
y
5,0
x
 
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λ
λ= −−
myPxP
P
P
4y
myPxP
P
P
y5,0
myPxP
P
P
y6
3
yx
2
y
x
yx
y
x5,0
yx
y
x
5,0 
 23 
 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
−
=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
⇔
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=+
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
⇔
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
x
y
2
x
2
y
x
y
2
x
x
2
y
x
2
y
x
yx
2
y
x
P
P
P
4m
x
P
P
4y
m
P
P
4xP
P
P
4y
m
P
P
P4xP
P
P
4y
 
ESCOLHA ÓPTIMA 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=
−
=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
34
2
5,0
2
4100
x
64
5,0
2
4y
100m
5,0P
2P
2
2
y
x
 
NÍVEL DE SATISFAÇÃO 
1986412343U 5,0 =×+×= 
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO 
( ) ( )
4
646
3
yUmg
xUmg
TMS
5,0
64;34
64;34x,y
=×== − 
 
 
A.3.2. A Joana tem a seguinte função de utilidade: 5,05,0 yx10U = e aufere 100 euros por 
semana que gasta no consumo dos bens X e Y, cujos preços são, respectivamente, 
2Px = e 1Py = , ambos denominados em euros. 
a) Suponha que a Joana detém hoje 12,5 unidades do bem X e 75 unidades do 
bem Y. Qual a X,YTMS nesse cabaz de dotações iniciais? Como se compara com 
os preços relativos? Se a Joana puder realizar trocas no mercado, que trocas 
tenderá ela a fazer? Explique a lógica do seu raciocínio. 
( ) ( ) ( )
2
P
P
6
x
y
yUmg
xUmg
TMS
Y
X
75;5,1275;5,12
75;5,12x,y
=>=== 
A Joana dispõe-se a trocar 6 unidades de Y por 1 de X. No mercado, para ter 1 
unidade adicional de X, exigem 2 unidades de Y. Logo, a Joana trocará Y por X. 
b) Qual o cabaz semanal óptimo da Joana? 
( )yx2100y10x
100yx2.a.s
yx10Umax
5,00,5
5,05,0
y,x −−λ+=Γ→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
 
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
λ=
λ=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−−
=λ−
=λ−
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂
=∂Γ∂
=∂Γ∂
−
−
−
−
100yx2
yx5
2yx5
0yx2100
0yx5
02yx5
0
0y
0x
5,05,0
5,05,0
5,05,0
5,05,0
 
⇔
⎩⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λ
λ=−
−
100yx2
x2y
100yx2
2
x
y
100yx2
2
yx5
yx5
5,05,0
5,05,0
 
⎩⎨
⎧
=
=⇔
⎩⎨
⎧
=
=⇔
⎩⎨
⎧
=+
=
25x
50y
25x
x2y
100x2x2
x2y
 
 24 
 
c) Qual a utilidade marginal do rendimento da Joana? 
m
U
54,3250255
50y
25x
2yx5
5,05,0
5,05,0
∂
∂=≈λ⇔λ=××⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
λ=
−
−
 
 
 
A.3.3. Suponha que, para um determinado consumidor, a taxa marginal de substituição 
avaliada na combinação de consumo x0 é ( ) 5,0xTMS 02,1 = . Sabendo que 
1p/p 21 = , diga se este cabaz será escolhido pelo consumidor. Em caso de 
resposta negativa, indique que tipo de trocas estará ele disposto a efectuar. 
Se para este consumidor os bens 1 e 2 forem substitutos perfeitos, então x0 pode ser a 
escolha do consumidor desde que corresponda a um cabaz em que todo o rendimento 
é gasto no bem 1. Caso contrário, x0 não será o cabaz óptimo e este consumidor 
dispõe-se a trocar o bem 2 pelo bem 1. 
 
 
A.3.4. Um consumidor tem preferências descritas pela função utilidade y25,0xU += , 
adquire os bens aos preços 1Px = e 2Py = e dispõe de 100 unidades monetárias 
de rendimento. 
a) Indique, sem efectuar cálculos, a escolha óptima de consumo. 
Para este consumidor, os bens x e y são substitutos. O bem x tem maior utilidade 
marginal e tem menor custo, logo o cabaz óptimo será afectar todo o rendimento 
ao consumo do bem x: ( ) ( )0,100y,x = . 
b) Suponha que uma guerra obriga a um esquema de racionamento do bem X, de 
acordo com o qual cada consumidor só pode adquirir 50 unidades desse bem. 
Qual é a escolha óptima do consumidor? 
O consumidor continua a escolher o máximo que puder de x, portanto o cabaz 
óptimo será ( ) ( )25,50y,x = . 
c) Responda de novo à questão anterior admitindo que, em vez do esquema de 
racionamento, o preço do bem X sobe para 3 unidades monetárias. 
5,1
2
3
P
P
4
25,0
1
TMS
y
x
x,y ==>== 
A solução óptima continua a ser gastar todo o rendimento em 1: ( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= 0,
3
100
y,x 
A.3.5. Seja o José Pedro com a seguinte função de utilidade yx2U = . 
a) Determine os consumos óptimos de X e Y, sujeitos à restrição orçamental 
100y4x5 ≤+ . 
 25 
 
( )y4x5100y2x
100y4x5.a.s
yx2Umax
y,x −−λ+=Γ→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
 
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λ
λ=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λ=
λ=
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−−
=λ−
=λ−
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂
=∂Γ∂
=∂Γ∂
100y4x5
4
5
x2
y2
100y4x5
4x2
5y2
0y4x5100
04x2
05y2
0
0y
0x
⎩⎨
⎧
=
=⇔
⎩⎨
⎧
=
=⇔
⎩⎨
⎧
=×+
=⇔
⎩⎨
⎧
=+
=
10x
5,12y
10x
x25,1y
100x25,14x5
x25,1y
100y4x5
x25,1y
 
b) Suponha, agora, que o José Pedro está sujeito a um sistema de racionamento. 
Os preços das senhas de X e Y são 3 e 6, respectivamente, existindo um 
racionamento total de 80 senhas. Determine os novos consumos óptimos. 
Poderá resolver-se a questão pelo método dos multiplicadores de Lagrange? 
Porquê? Serão ambas as restrições activas no cabaz óptimo? 
( ) ( )yx80y6x3100y2x
80yx
100y6x3
.a.s
yx2Umax
y,x
−−μ+−−λ+=Γ→
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎩⎨
⎧
≤+
≤+
=
 
As restrições sobre as variáveis não se podem exprimir com equações. Assim, não 
se pode recorrer ao método dos multiplicadores de Lagrange. Tem de se fazer uso 
das condições de Kuhn-Tucker: 
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
≥μ
≥λ
=−−μ
=−−λ
≤+
≤+
=μ−λ−
=μ−λ−
0:8
0:7
0yx80:6
0y6x3100:5
80yx:4
100y6x3:3
06x2:2
03y2:1
 
ƒ Se 0=λ 
( )
( ) ⎩⎨
⎧
μ=
μ=⇔
⎩⎨
⎧
μ=
μ=⇔
⎩⎨
⎧
=μ−
=μ−
5,0x
5,0y
x2
y2
0x2:2
0y2:1
 
Substituindo em (6) vem: 
( ) 80005,05,080 =μ∨=μ⇔=μ−μ−μ 
→==⇒=μ 0yx0 não é solução 
→=×+×⇒==⇒=μ 36040640340yx80 viola (3), não é solução. 
ƒ Se 0=μ 
( )
( ) ⎩⎨
⎧
λ=
λ=⇔
⎩⎨
⎧
λ=
λ=⇔
⎩⎨
⎧
=λ−
=λ−
3x
5,1y
6x2
3y2
06x2:2
03y2:1
 
Substituindo em (5) vem: 
( ) 181000099100 =λ∨=λ⇔=λ−λ−λ 
→=λ=μ 0 não é solução, já se viu anteriormente 
 26 
 
→=+⇒
⎩⎨
⎧
=
=⇒=λ 25
3
25
3
50
325y
350x
18
100
 não viola (4) 
ƒ 0, >μλ 
( ) ( )
( ) ( ) ⎩⎨
⎧
−=
=⇔
⎩⎨
⎧
=−−
=−−⇔
⎩⎨
⎧
=−−μ
=−−λ
3140y
3380x
0yx80
0y6x3100
0yx80:6
0y6x3100:5
 
Também não é solução. 
Portanto, ( ) ( )325,350y,x = e 0=μ , ou seja, a restrição do racionamento total 
de 80 senhas não é activa. 
c) Faça a representação gráfica dos dois equilíbrios. 
X0
X1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
0 20 40 60 80 100
x
y
RO a)
RO b)
RO b)
U=250
U=277,78
 
 
 
A.3.6. Comente as seguintes afirmações: 
a) A escolha óptima do consumidor caracteriza-se pela igualdade entre a taxa 
marginal de substituição e o rácio dos preços. 
A frase é falsa. Embora seja verdadeira para preferências bem comportadas, não 
se aplica, por exemplo, a bens substitutos perfeitos. 
b) Dois indivíduos com cabazes de consumo idênticos têm certamente 
preferências idênticas. 
Considerem-se dois consumidores cujas preferências são dadas por y2xU += e 
y3xU += e que dispõem ambos de 100 u.m. Os preços são 2Px = e 1Py = . Para 
ambos os consumidores a escolha óptima será 0x = e 0y = . Ou seja, eles 
escolhem o mesmocabaz. No entanto, não apresentam a mesma TMS pelo que as 
suas preferências não são idênticas. Portanto, este exemplo demonstra que a 
frase é falsa. 
c) Se a função utilidade de um consumidor é do tipo ( ) βα= yxy,xU , a 
percentagem de rendimento gasta no consumo do bem Y é sempre igual a β . 
 27 
 
A frase é falsa, pois com uma função utilidade do tipo ( ) βα= yxy,xU a 
percentagem de rendimento gasta no consumo do bem Y será sempre igual a 
β+α
β
. Passando a demonstrar: 
( )yPxPmyx
myPxP.a.s
yxUmax
yx
yx
y,x −−λ+=Γ→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
= βα
βα
 
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
λ=β
λ=α
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−−
=λ−β
=λ−α
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂
=∂Γ∂
=∂Γ∂
−βα
β−α
βα
β−α
myPxP
Pyx
Pyx
0yPxPm
0Pyx
0Pyx
0
0y
0x
yx
y
1
x
1
yx
y
x
1
 
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
α
β=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=β
α
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λ
λ=β
α
−βα
β−α
myPxP
x
P
P
y
myPxP
P
P
x
y
myPxP
P
P
yx
yx
yx
y
x
yx
y
x
yx
y
x
1
1
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
α
β+
α
β=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=α
β+
α
β=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=α
β+
α
β=
mxP1
x
P
P
y
mxpxP
x
P
P
y
mx
P
P
pxP
x
P
P
y
x
y
x
xx
y
x
y
x
yx
y
x
 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
β+α
α
=
β+α
β
=
⇔
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
β+α
α
=
α
β=
⇔
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
α
β+α=
α
β=
⇔
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
α
β+
=
α
β=
x
y
x
y
x
x
y
x
x
y
x
P
m
x
P
m
y
P
m
x
x
P
P
y
P
m
x
x
P
P
y
P1
m
x
x
P
P
y
 
d) Se dois bens são complementares perfeitos, o consumidor vai sempre escolher 
comprar igual quantidade de ambos. 
Se dois bens são complementares perfeitos serão consumidos sempre na mesma 
proporção o que não significa que se consuma igual quantidade de ambos. Como 
exemplo tomem-se as alíneas g)-i) do exercício A.3.1. A frase é, então, falsa. 
e) Quando as preferências são quasi-lineares, a escolha do consumidor é sempre 
uma solução de canto. 
Uma solução de canto é aquela em que o rendimento é gasto em apenas um dos 
bens. A frase é, obviamente, falsa: basta ver o exemplo das alíneas j)-l) do 
exercício A.3.1. 
f) Se dois bens são substitutos perfeitos e yxy,x PPTMS > , o consumo de X é 
nulo. 
A frase é verdadeira. Se a y,xTMS é maior que o preço relativo de x, então x,yTMS 
é menor que o preço relativo de x. Como x,yTMS é o rácio da utilidade marginal 
de x e de y, dizer que aquela é menor que o rácio dos preços de x e de y significa 
que x tem um custo relativo superior à satisfação relativa que proporciona. E, 
como tal, não compensa comprá-lo. 
 
 28 
 
A.4. ANÁLISE DE ESTÁTICA COMPARADA 
A.4.1. Defina os seguintes conceitos: 
a) Curva consumo-rendimento 
Lugar geométrico dos cabazes de equilíbrio do consumidor correspondentes a 
diferentes níveis de rendimento. 
b) Bem normal 
Bem cujo consumo varia proporcionalmente menos ou na mesma proporção do 
rendimento monetário. 
c) Bem inferior 
Bem cujo consumo varia inversamente com o rendimento. 
d) Curva de Engel 
Representação da relação entre a quantidade consumida de um bem e o 
rendimento do consumidor. 
e) Curva consumo-preço 
Lugar geométrico dos cabazes de equilíbrio de um consumidor que resultam de 
variações no preço de um bem. 
f) Bem de Giffen 
Bem cuja procura varia directamente com o seu preço. 
g) Efeito substituição 
Variação na quantidade procurada de um bem, resultante da variação no preço 
desse bem, mantendo-se constante o rendimento real do consumidor (se esse 
rendimento real estiver expresso em termos de poder de compra(nível de 
satisfação), tem-se a abordagem à Slutsky(Hicks)). 
h) Efeito rendimento 
Variação na quantidade procurada de um bem, resultante da alteração do 
rendimento real do consumidor (se esse rendimento real estiver expresso em 
termos de poder de compra(nível de satisfação), tem-se a abordagem à 
Slutsky(Hicks)). 
 
 
A.4.2. Mostre que um bem de Giffen é necessariamente inferior. 
A variação no consumo de um bem devida a uma alteração do respectivo preço pode 
ser desdobrada em dois efeitos, o substituição e o rendimento: 
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]m,pxm,pxm,pxm,pxm,pxm,pxxxx ns ′′−′+−′′=−′⇔Δ+Δ=Δ 
Enquanto o efeito substituição tem de ser negativo – isto é, por efeito substituição, a 
variação no consumo tem sinal oposto ao da variação no preço – o efeito rendimento 
pode ser negativo ou positivo. 
 29 
 
Um bem de Giffen é aquele cuja procura ordinária varia directamente com o seu 
preço, ceteris paribus. Portanto, a variação total tem de ter sinal positivo. Ora, para 
que a soma de uma parcela negativa com outra seja positiva, esta outra parcela tem 
de ser positiva. Logo, para que um bem seja de Giffen, o efeito rendimento tem de 
ter sinal positivo. Mas um bem só tem efeito rendimento de sinal positivo se for 
inferior. Concluindo: um bem de Giffen tem de ser necessariamente inferior. 
 
 
A.4.3. Considere o espaço de consumo de 2 bens, X e Y, relativo a um determinado 
consumidor. Apresente uma interpretação gráfica dos efeitos substituição e 
rendimento numa situação em que o preço do bem X diminui. O bem X é um bem 
normal. Efectue as explicações que entender necessárias para acompanhar a 
leitura do gráfico. Reporte-se às abordagens de Hicks e Slutsky. 
ABORDAGEM DE HICKS 
Para decompor a variação total em efeito substituição e efeito rendimento, Hicks 
determina a quantidade consumida de X num cenário em que o preço deste bem 
diminui, mas o bem-estar do consumidor mantém-se. Ou seja, Hicks encontra uma 
restrição orçamental (a verde) com o mesmo declive que a restrição orçamental final 
(a azul claro) mas que seja tangente à curva de indiferença que também o é à 
restrição orçamental inicial (a azul escuro). 
E1 E2
EI
x
y
RO inicial
RO final
RO intermédia
CI
ES
ER
 
ABORDAGEM DE SLUTSKY 
Para decompor a variação total em efeito substituição e efeito rendimento, Slutsky 
determina a quantidade consumida de X num cenário em que o preço deste bem 
diminui, mas o poder de compra do consumidor mantém-se. Ou seja, Slutsky encontra 
uma restrição orçamental (a verde) com o mesmo declive que a restrição orçamental 
final (a azul claro) mas que passa pelo cabaz inicial. Dada essa restrição orçamental 
(a verde), Slutsky calcula a quantidade óptima de X. 
 30 
 
E1 E2
EI
x
y
RO inicial
RO final
RO intermédia
ES
ER
 
 
A.4.4. Determine e represente as curvas 
i. consumo-rendimento 
ii. consumo-preço do bem X 
iii. consumo-preço do bem Y 
iv. de Engel do bem X 
v. de Engel do bem Y 
para as seguintes situações: 
a) 5,05,0 yx5U = ; 2Px = ; 10Py = ; 100m = 
CURVA CONSUMO-RENDIMENTO 
x2,0y
10
2
x
y
P
P
TMS
y
x
x,y =⇔=⇔= 
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X 
⇔
⎩⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
100y10xP
y10xP
100y10xP
10
P
x
y
myPxP
P
P
TMS
x
x
x
x
yx
y
x
x,y
 
5y
100y10y10
y10xPx =⇔
⎩⎨
⎧
=+
=
 
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y 
⇔⎪⎩
⎪⎨⎧ =+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=
100yPx2
x2yP
100yPx2
P
2
x
y
myPxP
P
P
TMS
y
y
y
y
yx
y
x
x,y
 
25x
100x2x2
x2yPy =⇔
⎩⎨
⎧
=+
=
 
CURVA DE ENGEL DO BEM X 
m25,0x
2
m5,0
x
P
m5,0
x
x
=⇔=⇔= 
CURVA DE ENGEL DO BEM Y 
 31 
 
m05,0y
10
m5,0
y
P
m5,0
y
y
=⇔=⇔= 
b) 6,04,0 yx2U = ; 1Px = ; 6Py = ; 50m = 
CURVA CONSUMO-RENDIMENTOx25,0y
6
1
x6,0
y4,0
P
P
TMS
y
x
x,y =⇔=⇔= 
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X 
⇔
⎩⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
50y6xP
y4xP
50y6xP
6
P
x6,0
y4,0
myPxP
P
P
TMS
x
x
x
x
yx
y
x
x,y
 
5y
50y6y4
y4xPx =⇔
⎩⎨
⎧
=+
=
 
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y 
⇔⎪⎩
⎪⎨⎧ =+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=
50yPx
x5,1yP
50yPx
P
1
x6,0
y4,0
myPxP
P
P
TMS
y
y
y
y
yx
y
x
x,y
 
20x
50x5,1x
x5,1yPy =⇔
⎩⎨
⎧
=+
=
 
CURVA DE ENGEL DO BEM X 
m4,0x
1
m4,0
x
P
m4,0
x
x
=⇔=⇔= 
CURVA DE ENGEL DO BEM Y 
m1,0y
6
m6,0
y
P
m6,0
y
y
=⇔=⇔= 
c) 23yxU = ; 5,1Px = ; 4Py = ; 45m = 
CURVA CONSUMO-RENDIMENTO 
x25,0y
4
5,1
x2
y3
P
P
TMS
y
x
x,y =⇔=⇔= 
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X 
⇔
⎩⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
45y4xP
y6xP
45y4xP
4
P
x2
y3
myPxP
P
P
TMS
x
x
x
x
yx
y
x
x,y
 
5,4y
45y4y6
y6xPx =⇔
⎩⎨
⎧
=+
=
 
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y 
⇔⎪⎩
⎪⎨⎧ =+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=
45yPx5,1
xyP
45yPx5,1
P
5,1
x2
y3
myPxP
P
P
TMS
y
y
y
y
yx
y
x
x,y
 
18x
45xx5,1
xyPy =⇔
⎩⎨
⎧
=+
=
 
CURVA DE ENGEL DO BEM X 
m4,0x
5,1
m6,0
x
P
m6,0
x
x
=⇔=⇔= 
CURVA DE ENGEL DO BEM Y 
 32 
 
m1,0y
4
m4,0
y
P
m4,0
y
y
=⇔=⇔= 
d) y3x2U += ; 1Px = ; 4Py = ; 60m = 
CURVA CONSUMO-RENDIMENTO 
0yTMS
3
2
4
1
P
P
x,y
y
x =⇒=<= 
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X 
se 0y38Px =⇒< 
se x3215y38Px −=⇒= 
se 0x38Px =⇒> 
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y 
se 0x5,1Py =⇒< 
se x3240y5,1Py −=⇒= 
se 0y5,1Py =⇒> 
CURVA DE ENGEL DO BEM X 
mx
1
m
x
P
m
x
x
=⇔=⇔= 
CURVA DE ENGEL DO BEM Y 
0y = 
e) y2x5U += ; 3Px = ; 1Py = ; 12m = 
CURVA CONSUMO-RENDIMENTO 
0xTMS
2
5
1
3
P
P
x,y
y
x =⇒=>= 
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X 
se 0y5,2Px =⇒< 
se x5,212y5,2Px −=⇒= 
se 0x5,2Px =⇒> 
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y 
se 0x2,1Py =⇒< 
se x5,210y2,1Py −=⇒= 
se 0y2,1Py =⇒> 
CURVA DE ENGEL DO BEM X 
0x = 
CURVA DE ENGEL DO BEM Y 
my
1
m
y
P
m
y
y
=⇔=⇔= 
f) y4x3U += ; 6Px = ; 8Py = ; 150m = 
CURVA CONSUMO-RENDIMENTO 
É todo o espaço dos bens. 
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X 
se 0y6Px =⇒< 
se x75,075,18y6Px −=⇒= 
se 0x6Px =⇒> 
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y 
se 0x8Py =⇒< 
 33 
 
se x75,075,18y8Py −=⇒= 
se 0y8Py =⇒> 
CURVA DE ENGEL DO BEM X 
É todo o espaço dos bens. 
CURVA DE ENGEL DO BEM Y 
É todo o espaço dos bens. 
g) { }y5,x2minU = ; 2Px = ; 10Py = ; 72m = 
CURVA CONSUMO-RENDIMENTO 
x4,0yy5x2 =⇔= 
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X 
x4,0yy5x2 =⇔= 
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y 
x4,0yy5x2 =⇔= 
CURVA DE ENGEL DO BEM X 
6
m
x
104,02
m
x
P4,0P
m
x
yx
=⇔×+=⇔+= 
CURVA DE ENGEL DO BEM Y 
15
m
y
25,210
m
y
P5,2P
m
y
xy
=⇔×+=⇔+= 
h) { }y,x3minU = ; 6Px = ; 2Py = ; 48m = 
CURVA CONSUMO-RENDIMENTO 
x3y = 
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X 
x3y = 
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y 
x3y = 
CURVA DE ENGEL DO BEM X 
12
m
x
236
m
x
P3P
m
x
yx
=⇔×+=⇔+= 
CURVA DE ENGEL DO BEM Y 
m25,0y
236
m3
y
P3P
m3
y
yx
=⇔×+=⇔+= 
i) { }y,x2minU = ; 4Px = ; 2Py = ; 100m = 
CURVA CONSUMO-RENDIMENTO 
x2y = 
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X 
x2y = 
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y 
x2y = 
CURVA DE ENGEL DO BEM X 
m125,0x
224
m
x
P2P
m
x
yx
=⇔×+=⇔+= 
CURVA DE ENGEL DO BEM Y 
m25,0y
45,02
m
y
P5,0P
m
y
xy
=⇔×+=⇔+= 
j) ylnx4U += ; 10Px = ; 1Py = ; 5,62m = 
CURVA CONSUMO-RENDIMENTO 
 34 
 
5,2y
1
10
y
4
P
P
TMS
1
y
x
x,y =⇔=⇔= − 
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X 
⇔
⎩⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
−
5,62´yxP
y4P
5,62yxP
1
P
y
4
myPxP
P
P
TMS
x
x
x
x
1
yx
y
x
x,y
 
x41
5,62
y
5,62yyx4
y4Px
+=⇔⎩⎨
⎧
=+
=
 
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y 
⇔⎪⎩
⎪⎨⎧ =+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
= −
5,62yPx10
5,2yP
5,62yPx10
P
10
y
4
myPxP
P
P
TMS
y
y
y
y
1
yx
y
x
x,y
 
6x
5,625,2x10
5,2yPy =⇔
⎩⎨
⎧
=+
=
 
CURVA DE ENGEL DO BEM X 
25,0m1,0x
10
5,2m
x
P
4
P
m
x
x
x
−=⇔−=⇔
−
= 
CURVA DE ENGEL DO BEM Y 
5,2y
14
10
y
P4
P
y
y
x =⇔×=⇔= 
k) 2x5,0yU += ; 6Px = ; 2Py = ; 28m = 
CURVA CONSUMO-RENDIMENTO 
Se 18y00x36m ≤<∧=⇒≤ 
Se 0y6x36m =∧≥⇒≥ 
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X 
Se 0y28x28Px =∧≥⇒≤ 
Se 14y0x28Px =∧=⇒≥ 
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y 
Se 998y0x718Py ≥∧=⇒≤ 
Se 0y314x718Py =∧=⇒≥ 
CURVA DE ENGEL DO BEM X 
Se 0x36m =⇒≤ 
Se 6mx36m =⇒≥ 
CURVA DE ENGEL DO BEM Y 
Se m5,0y36m =⇒≤ 
Se 0y36m =⇒≥ 
l) 5,0y12x3U += ; 2Px = ; 5,0Py = ; 100m = 
CURVA CONSUMO-RENDIMENTO 
64y
5,0
2
y6
3
P
P
TMS
5,0
y
x
x,y =⇔=⇔= − 
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X 
⇔⎪⎩
⎪⎨⎧ =+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
−
100´y5,0xP
y25,0P
100y5,0xP
5,0
P
y6
3
myPxP
P
P
TMS
x
5,0
x
x
x
5,0
yx
y
x
x,y
 
 35 
 
5,05,0
5,0
x
y25,0
y5,0100
x
100y5,0xy25,0
y25,0P −=⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
 
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y 
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
= −
100yPx2
y
4
P
100yPx2
P
2
y6
3
myPxP
P
P
TMS
y
5,0y
y
y
5,0
yx
y
x
x,y
 
( )2
5,0
5,0y x5,025y
100y4x2
y
4
P −=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
 
CURVA DE ENGEL DO BEM X 
16m5,0x
P
P
P
4m
x
x
y
2
x
−=⇔
−
= 
CURVA DE ENGEL DO BEM Y 
64y
5,0
2
4y
P
P
4y
22
y
x =⇔⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⇔⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= 
 
 
 
A.4.5. Calcule: 
i. efeito substituição e efeito rendimento à Slutsky 
ii. efeito substituição e efeito rendimento à Hicks 
iii. variação no excedente 
iv. variação compensatória 
v. variação equivalente 
para as seguintes situações: 
a) 5,05,0 yx5U = ; 2Px = ; 10Py = ; 100m = ; 5Px =′ 
5
10
1005,0
y25
2
1005,0
x
100m
10P
2P
iiy
x
=×==×=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
 
5
10
1005,0
y10
5
1005,0
x
100m
10P
5P
ffy
x
=×==×=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
=′
 
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY 
175510255yPxPm iyix =×+×=+′=′ 
5,17
5
1755,0
x
170m
10P
5P
y
x
=×=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′
=
=′
 
5,7255,17ES −=−= 
5,75,1710ER −=−= 
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS 
 36 
 
⇔⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′′⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′′=××⇔⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ′′
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
′
′′=
5,05,0
5,05,0
5,0
y
5,0
x
i 10
m5,0
5
m5,0
55255
P
m5,0
P
m5,0
5U 
158m
50
m25,0
125
2
≈′′⇔′′= 
8,15
5
1585,0
x
158m
10P
5P
y
x
=×=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′′
=
=′
 
2,9258,15ES −=−= 
8,58,1510ER −=−= 
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE 
x
50
P
P
50
x x
x
=⇔= 
25x2Px =⇒= 
10x5Px =⇒= 
[ ] [ ] =−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×−−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×−=−=Δ ∫∫ 250100
25
0
10
0
if xln50xln50225dxx
50
510dx
x
50
XCXCXC 
( ) ( )[ ] 81,450ln25ln0ln10ln50 −≈−−−= 
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA 
58100158mmVC =−=−′′= 
VARIAÇÃO EQUIVALENTE 
⇔⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′′′⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′′′=××⇔⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ′′′
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ′′′=
5,05,0
5,05,0
5,0
y
5,0
x
f 10
m5,0
2
m5,0
55105
P
m5,0
P
m5,0
5U 
63m
20
m25,050
2
≈′′′⇔′′′= 
3710063mmVE −=−=−′′′= 
b) 6,04,0 yx2U = ; 1Px = ; 6Py = ; 50m = ; 4Py =′ 
5
6
506,0
y20
1
504,0
x
50m
6P
1P
iiy
x
=×==×=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
 
5,7
4
506,0
y20
1
504,0
x
50m
4P
1P
ffy
x
=×==×=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=′
=
 
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY 
4054201yPxPm iyix =×+×=′+=′ 
6
4
406,0
y
40m
4P
1P
y
x
=×=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′
=′
=
 
156ES =−= 
5,165,7ER =−= 
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS 
 37 
 
⇔⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′′⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′′=××⇔⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
′
′′
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ′′=
6,04,0
6,04,0
6,0
y
4,0
x
i 4
m6,0
1
m4,0
25202
P
m6,0
P
m4,0
2U 
39mm15,04,0520 6,04,06,04,0 ≈′′⇔′′×=× 
85,5
4
396,0
y
39m
4P
1P
y
x
=×=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′′
=′
=
 
85,0585,5ES =−= 
65,185,55,7ER =−= 
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE 
y
30
P
P
30
y y
y
=⇔= 
5y6Py =⇒= 
5,7y4Py =⇒= 
[ ] [ ] =−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×−−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×−=−=Δ ∫∫ 505,70
5
0
5,7
0
if yln30yln3065dyy
30
45,7dy
y
30
XCXCXC 
( ) ( )[ ] 16,120ln5ln0ln5,7ln30 ≈−−−= 
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA 
115039mmVC −=−=−′′= 
VARIAÇÃO EQUIVALENTE 
⇔⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′′′⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′′′=××⇔⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ′′′
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ′′′=
6,04,0
6,04,0
6,0
y
4,0
x
f 6
m6,0
1
m4,0
25,7202
P
m6,0
P
m4,0
2U
63mm1,04,05,720 6,04,06,04,0 ≈′′′⇔′′′×=× 
135063mmVE =−=−′′′= 
c) 23yxU = ; 5,1Px = ; 4Py = ; 45m = ; 3Px =′ 
5,4
4
454,0
y18
5,1
456,0
x
45m
4P
5,1P
iiy
x
=×==×=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
 
5,4
4
454,0
y9
3
456,0
x
45m
4P
3P
ffy
x
=×==×=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
=′
 
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY 
725,44183yPxPm iyix =×+×=+′=′ 
8,10
4
726,0
x
72m
4P
3P
y
x
=×=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′
=
=′
 
2,7188,10ES −=−= 
8,18,109ER −=−= 
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS 
⇔⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′′⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′′=×⇔⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ′′
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
′
′′=
23
23
2
y
3
x
i 4
m4,0
3
m6,0
5,418
P
m4,0
P
m6,0
U 
 38 
 
68mm1,02,05,418 52323 ≈′′⇔′′×=× 
6,13
3
686,0
x
68m
4P
3P
y
x
=×=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′′
=
=′
 
4,4186,13ES −=−= 
6,46,139ER −=−= 
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE 
x
27
P
P
27
x x
x
=⇔= 
18x5,1Px =⇒= 
9x3Px =⇒= 
[ ] [ ] =−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×−−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×−=−=Δ ∫∫ 18090
18
0
9
0
if xln27xln275,118dxx
27
39dx
x
27
XCXCXC 
( ) ( )[ ] 71,180ln18ln0ln9ln27 −≈−−−= 
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA 
234568mmVC =−=−′′= 
VARIAÇÃO EQUIVALENTE 
⇔⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′′′⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′′′=×⇔⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ′′′
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ′′′=
23
23
2
y
3
x
f 4
m4,0
5,1
m6,0
5,49
P
m4,0
P
m6,0
U
30mm1,04,05,49 52323 ≈′′′⇔′′×=× 
154530mmVE −=−=−′′′= 
d) y3x2U += ; 1Px = ; 4Py = ; 60m = ; 3Px =′ 
0y60
1
60
x
60m
4P
1P
iiy
x
===⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
 
15
4
60
y0x
60m
4P
3P
ffy
x
===⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
=′
 
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY 
18004603yPxPm iyix =×+×=+′=′ 
0x
180m
4P
3P
y
x
=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′
=
=′
 
60600ES −=−= 
000ER =−= 
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS 
160m
4
m
30203602
P
m
302U
y
i =′′⇔′′×+×=×+×⇔′′×+×= 
0x
160m
4P
3P
y
x
=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′′
=
=′
 
60600ES −=−= 
 39 
 
000ER =−= 
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE 
[ ]
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>=
=∈
<=
38Pse0x
38Pse5,22;0x
38PseP60x
x
x
xx
 
60x1Px =⇒= 
0x3Px =⇒= 
[ ] ( ) 85,585,22ln60ln60xln60160dx
x
60
3
8
5,220XCXCXC 60 5,22
60
5,22
if −≈−−=−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×−+×−=−=Δ ∫
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA 
10060160mmVC =−=−′′= 
VARIAÇÃO EQUIVALENTE 
5,22m03
1
m
21530203
P
m
2U
x
f =′′⇔×+′′×=×+×⇔×+′′×= 
5,37605,22mmVE −=−=−′′′= 
e) y2x5U += ; 3Px = ; 1Py = ; 12m = ; 8,0Py =′ 
12
1
12
y0x
12m
1P
3P
iiy
x
===⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
 
15
8,0
12
y0x
12m
8,0P
3P
ffy
x
===⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=′
=
 
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY 
6,9128,003yPxPm iyix =×+×=′+=′ 
12
8,0
6,9
y
6,9m
8,0P
3P
y
x
==′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′
=′
=
 
01212ES =−= 
31215ER =−= 
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS 
6,9m
8,0
m
20512205
P
m
205U
y
i =′′⇔′′×+×=×+×⇔′′×+×= 
12
8,0
6,9
y
6,9m
8,0P
3P
y
x
==′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′
=′
=
 
01212ES =−= 
31215ER =−= 
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE 
[ ]
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>=
=∈
<=
2,1Pse0y
2,1Pse10;0y
2,1PseP12y
x
x
xy
 
12y1Py =⇒= 
15y8,0Py =⇒= 
 40 
 
( ) ( ) [ ] ( ) 68,212ln15ln12xln128,01128,01215dy
y
12
XCXCXC 1512
15
12
if ≈−==−×+×−−=−=Δ ∫
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA 
4,2126,9mmVC −=−=−′′= 
VARIAÇÃO EQUIVALENTE 
15m
1
m
20515205
P
m
205U
y
f =′′⇔′′×+×=×+×⇔′′×+×= 
31215mmVE =−=−′′′= 
f) y4x3U += ; 6Px = ; 8Py = ; 150m = ; 10Py =′ 
[ ] [ ]75,18;0y25;0x
150m
8P
6P
iiy
x
∈∈⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
 
0y25
6
150
x
150m
10P
6P
ffy
x
===⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=′
=
 
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY 
Indeterminado 
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS 
Indeterminado 
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE 
Indeterminada 
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA 
Indeterminada 
VARIAÇÃO EQUIVALENTE 
Indeterminada 
g) { }y5,x2minU = ; 2Px = ; 10Py = ; 72m = ; 5Py =′ 
8,4
25,210
72
y12
104,02
72
x
72m
10P
2P
iiy
x
=×+==×+=⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
 
2,7
25,25
72
y18
54,02
72
x
72m
5P
2P
ffy
x
=×+==×+=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=′
=
 
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY 
488,45122yPxPm iyix =×+×=′+=′ 
8,4
25,25
48
y
48m
5P
2P
y
x
=×+=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′
=′
=
 
08,48,4ES =−= 
4,28,42,7ER =−= 
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS 
 41 
 
48m
54,02
m
2122
P5,2P
m
5,
P4,0P
m
2minU
xyyx
i =′′⇔×+
′′×=×⇔
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
′′
′+
′′= 
8,4
25,25
48
y
48m
5P
2P
y
x
=×+=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′
=′
=
 
08,48,4ES =−= 
4,28,42,7ER =−= 
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE 
5
y
72
P
5P
72
y y
y
−=⇔+= 
8,4y10Py =⇒= 
2,7y5Py =⇒= 
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×−−−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×−−=−=Δ ∫∫
8,4
0
2,7
0
if 108,4dy5y
72
52,7dy5
y
72
XCXCXC 
[ ] [ ] [ ] [ ] =++−−−= 48y5yln7236y5yln72 8,408,402,702,70 
( ) ( ) 2,29128,42,758,4ln2,7ln72 ≈+−−−= 
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA 
247248mmVC −=−=−′′= 
VARIAÇÃO EQUIVALENTE 
108m
104,02
m
2182
P5,2P
m
5,
P4,0P
m
2minU
xyyx
f =′′′⇔×+
′′′×=×⇔⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
′′′
+
′′′=
3672108mmVE =−=−′′′= 
h) { }y,x3minU = ; 6Px = ; 2Py = ; 48m = ; 4Px =′ 
12
236
483
y4
236
48
x
48m
2P
6P
iiy
x
=×+
×==×+=⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
 
4,14
234
483
y8,4
234
48
x
48m
2P
4P
ffy
x
=×+
×==×+=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
=′
 
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY 
4012244yPxPm iyix =×+×=+′=′ 
4
234
40
x
40m
2P
4P
y
x
=×+=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′
=
=′
 
044ES =−= 
8,048,4ER =−= 
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS 
40m
234
m3
12
P3P
m3
,
P3P
m
3minU
yxyx
i =′′⇔×+
′′=⇔
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+′
′′
+′
′′= 
 424
234
40
x
40m
2P
4P
y
x
=×+=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′
=
=′
 
044ES =−= 
8,048,4ER =−= 
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE 
6
x
48
P
6P
48
x x
x
−=⇔+= 
4x6Px =⇒= 
8,4x4Px =⇒= 
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×−−−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×−−=−=Δ ∫∫
4
0
8,4
0
if 64dx6x
48
48,4dx6
x
48
XCXCXC 
[ ] [ ] [ ] [ ] =++−−−= 24x6xln482,19x6xln48 40408,408,40 
( ) ( ) 75,88,448,464ln8,4ln48 ≈+−−−= 
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA 
84840mmVC −=−=−′′= 
VARIAÇÃO EQUIVALENTE 
6,57m
236
m
38,43
P3P
m3
,
P3P
m
3minU
yxyx
f =′′′⇔×+
′′′×=×⇔⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
′′′
+
′′′=
6,9486,57mmVE =−=−′′′= 
i) { }y,x2minU = ; 4Px = ; 2Py = ; 100m = ; 5Px =′ 
25
45,02
100
y5,12
224
100
x
100m
2P
4P
iiy
x
=×+==×+=⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
 
9
200
55,02
100
y
9
100
225
100
x
100m
2P
5P
ffy
x
=×+==×+=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
=′
 
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY 
5,1122525,125yPxPm iyix =×+×=+′=′ 
5,12
225
5,112
x
5,112m
2P
5P
y
x
=×+=′⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=′
=
=
 
05,125,12ES =−= 
18255,129100ER −=−= 
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS 
5,112m
55,02
m
25
P5,0P
m
,
P2P
m
2minU
xyyx
i =′′⇔×+
′′=⇔
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
′+
′′
+′
′′= 
5,12
225
5,112
x
5,112m
2P
5P
y
x
=×+=′⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=′
=
=
 
05,125,12ES =−= 
 43 
 
18255,129100ER −=−= 
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE 
4
x
100
P
4P
100
x x
y
−=⇔+= 
5,12x4Px =⇒= 
9100x5Px =⇒= 
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×−−−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×−−=−=Δ ∫∫
5,12
0
9100
0
if 45,12dx4x
100
5
9
100
dx4
x
100
XCXCXC 
[ ] [ ] [ ] [ ] =++−−−= 50x4xln1009500x4xln100 5,1205,1209100091000 
( ) ( ) ≈+−−−= 9505,12910045,12ln9100ln100 
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA 
5,121005,112mmVC =−=−′′= 
VARIAÇÃO EQUIVALENTE 
9
800
m
45,02
m
9
200
P5,0P
m
,
P2P
m
2minU
xyyx
f =′′′⇔×+
′′′=⇔⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
′′′
+
′′′=
9
100
100
9
800
mmVE −=−=−′′′= 
j) ylnx4U += ; 10Px = ; 1Py = ; 5,62m = ; 2Py =′ 
5,2
14
10
y6
10
1025,05,62
x
5,62m
1P
10P
iiy
x
=×==
×−=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
 
25,1
24
10
y6
10
1025,05,62
x
5,62m
2P
10P
ffy
x
=×==
×−=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=′
=
 
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY 
655,22610yPxPm iyix =×+×=′+=′ 
25,1
24
10
y
65m
2P
10P
y
x
=×=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′
=′
=
 
25,15,225,1ES −=−= 
025,125,1ER =−= 
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS 
23,64m25,1ln1m4,05,2ln64
24
10
ln
10
5,2m
4Ui ≈′′⇔+−′′=+×⇔×+
−′′= 
25,1
24
10
y
23,64m
2P
10P
y
x
=×=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′′
=′
=
 
25,15,225,1ES −=−= 
025,125,1ER =−= 
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE 
y
5,2
P
P4
10
y y
y
=⇔= 
 44 
 
5,2y1Py =⇒= 
25,1y2Py =⇒= 
[ ] [ ] =−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×−−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×−=−=Δ ∫∫ 5,2025,10
5,2
0
25,1
0
if yln5,2yln5,215,2dyy
5,2
225,1dy
y
5,2
XCXCXC
( ) ( )[ ] 73,10ln5,2ln0ln25,1ln5,2 −≈−−−= 
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA 
73,15,6223,64mmVC =−=−′′= 
VARIAÇÃO EQUIVALENTE 
77,60m5,2ln1m4,025,1ln64
14
10
ln
10
5,2m
4Uf ≈′′⇔+−′′=+×⇔×+
−′′= 
73,15,6277,60mmVE −=−=−′′′= 
k) 2x5,0yU += ; 6Px = ; 2Py = ; 28m = ; 4Px =′ 
14y0x
28m
2P
6P
iiy
x
==⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
 
0y7x
28m
2P
4P
ffy
x
==⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
=′
 
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY 
2814204yPxPm iyix =×+×=′+=′ 
7x
28m
2P
4P
y
x
=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′
=
=′
 
707ES =−= 
077ER =−= 
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS 
448m
4
m
5,005,014
4
m
5,0oU
2
2
2
i =′′⇔⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′′=×+⇔⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′′+= 
3,5x
448m
2P
4P
y
x
≈′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′′
=
=′
 
3,503,5ES =−= 
7,13,57ER =−= 
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE 
⎩⎨
⎧=
0
P28
x x 
se
se
 
28P
28P
x
x
≥
≤
 
0x6Px =⇒= 
7x4Px =⇒= 
( ) [ ] ( ) 14287xln2804287dx
x
28
XCXCXC 7
28
7
28
if ≈×−−=−×−−=−=Δ ∫ 
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA 
83,628448mmVC −=−=−′′= 
 45 
 
VARIAÇÃO EQUIVALENTE 
42m
6
m
5,075,00
6
m
5,00U
2
2
2
f =′′′⇔⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′′′=×+⇔⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′′′+= 
142842mmVE =−=−′′′= 
l) 5,0y12x3U += ; 2Px = ; 5,0Py = ; 100m = ; 1Px =′ 
64
5,0
2
4y34
2
5,024100
x
100m
5,0P
2P 2
i
2
iy
x
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==×−=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
 
16
5,0
1
4y92
1
5,014100
x
100m
5,0P
1P 2
i
2
iy
x
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==×−=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
=′
 
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY 
66645,0341yPxPm iyix =×+×=+′=′ 
58
1
5,01466
x
66m
5,0P
1P 2
iy
x
=×−=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′
=
=′
 
243458ES =−= 
345892ER =−= 
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS 
58m4824m36412343
5,0
1
412
1
5,014m
3U 5,0
5,022
i =′′⇔+−′′=×+×⇔⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×+×−′′=
50
1
5,01458
x
58m
5,0P
1P 2
iy
x
=×−=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′′
=
=′
 
163450ES =−= 
425092ER =−= 
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE ( )
16
3200xx
P
P
P8100
x
5,02
x
x
2
x ++−=⇔−= 
34x2Px =⇒= 
92x1Px =⇒= ( ) ( ) ( ) =−×+×−−++−=−=Δ ∫ 123413492dx16 3200xxXCXCXC
92
34
5,02
if
=−⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++++⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−= 243200xxln16003200xx5,02
x
16
1 92
34
22
92
34
2
 
31,57≈ 
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA 
4210058mmVC −=−=−′′= 
VARIAÇÃO EQUIVALENTE 
 46 
 
184m9648m5,11612923
5,0
2
412
2
5,024m
3U 5,0
5,022
f =′′⇔+−′′=×+×⇔⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×+×−′′=
84100184mmVE =−=−′′′= 
 
 
A.4.6. Comente as seguintes afirmações: 
a) A curva de Engel de um bem de Giffen é positivamente inclinada. 
Um bem de Giffen é necessariamente inferior. Um bem inferior é aquele cuja 
quantidade consumida varia inversamente com o rendimento. Logo, a curva que 
representa a relação entre quantidade consumida e rendimento, a curva de 
Engel, é negativamente inclinada. Portanto, a frase é falsa. 
b) A probabilidade de um bem ser inferior para um dado consumidor aumenta à 
medida que aumenta o seu nível de rendimento. 
Preferências quasi-lineares implicam que a procura de um dos bens não dependa 
do rendimento. Se não depende do rendimento, também não tem efeito 
rendimento. E se não tem efeito rendimento não pode ser inferior. Portanto, a 
frase é falsa. 
c) A curva consumo-preço de um bem normal nunca pode ser decrescente. 
A curva consumo-preço de um bem é o lugar geométrico dos cabazes de equilíbrio 
que resultam de variações no preço desse bem. Admitamos, sem perda de 
generalidade, que o bem em questão é o X e é normal. Se é normal, terá de ser 
ordinário. Um bem ordinário é aquele cuja quantidade consumida varia 
inversamente com o seu preço. Portanto, à medida que o preço de X baixa, a 
quantidade consumida vai estar cada vez mais à direita. Dizer que a curva 
consumo-preço não pode ser decrescente significa, neste contexto, que a 
quantidade consumida de Y ou não varia ou aumenta. Mas não há nada que 
garanta que assim seja. Logo, a frase é falsa. 
d) Para um orçamento inteiramente gasto em dois bens, um aumento no preço de 
um deles causará necessariamente um descréscimo no consumo de ambos, a 
não ser que pelo menos um dos bens seja inferior. 
Falso. Basta pensar em preferências Cobb-Douglas. Nenhum dos bens é inferior e, 
no entanto, quando o preço de um deles aumenta, o consumo do outro não se 
altera. Portanto,apenas um dos bens vê o seu consumo reduzido. 
e) Quando o efeito rendimento é superior ao efeito substituição mas de sentido 
contrário a este, estamos na presença de um bem de Giffen. 
A variação no consumo de um bem devida a uma alteração do respectivo preço 
pode ser desdobrada em dois efeitos, o substituição e o rendimento: 
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]m,pxm,pxm,pxm,pxm,pxm,pxxxx ns ′′−′+−′′=−′⇔Δ+Δ=Δ 
O efeito substituição tem sempre sinal negativo. Se o efeito rendimento for 
positivo e de maior magnitude que o efeito substituição, o efeito total – que é a 
 47 
 
soma dos dois – será positivo. Mas um efeito total positivo significa que a 
quantidade consumida varia positivamente com o preço. E isso é a definição de 
um bem de Giffen. A frase é, pois, verdadeira. 
f) Um bem inferior é necessariamente um bem de Giffen. 
A frase é falsa. A variação no consumo de um bem devida a uma alteração do 
respectivo preço pode ser desdobrada em dois efeitos, o substituição e o 
rendimento: 
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]m,pxm,pxm,pxm,pxm,pxm,pxxxx ns ′′−′+−′′=−′⇔Δ+Δ=Δ 
Um bem inferior é aquele cuja quantidade consumida varia inversamente com o 
rendimento. Para estes bens, o efeito rendimento é positivo. Ou seja, tem sinal 
oposto ao do efeito substituição. Obviamente, o sinal do efeito total dependerá 
da magnitude dos dois efeitos referidos, podendo o bem ser de ordinário ou de 
Giffen. 
g) Se um bem é normal para qualquer nível de rendimento, então a curva de 
Engel é negativamente inclinada. 
Um bem normal é aquele cuja quantidade consumida varia positivamente com o 
rendimento. Logo, a curva que representa a relação entre quantidade consumida 
e rendimento, a curva de Engel, é positivamente inclinada. Portanto, a frase é 
verdadeira. 
h) A variação compensatória é, em termos absolutos, sempre superior à variação 
equivalente. 
Embora geralmente a variação compensatória seja, em termos absolutos, superior 
à variação equivalente, tal não sucede, por exemplo, com as preferências quasi-
lineares, caso em que as duas medidas têm sempre o mesmo valor absoluto. Logo, 
a frase é falsa. 
 48 
 
A.5. PROCURA DE MERCADO 
A.5.1. Determine a função procura do mercado do bem X dadas as seguintes funções 
procura individuais: 
p1,010x i −= 10,,1i K= 
jx230p −= 5,,1j K= 
p06,325xt −= 25,,1t K= 
100p0xp1,010x ii =⇔=→−= 
30p0xp5,015xx230p jjj =⇔=→−=⇔−= 
17,806,325P0xp06,325x tt ≈=⇔=→−= 
⇔
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
≤<
≤<+
≤≤++
=
∑
∑∑
∑∑∑
=
==
===
100p30sex
30p06,325sexx
06,325p0sexxx
X
10
1i
i
10
1i
i
5
1j
j
10
1i
i
5
1j
j
25
1t
t
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤<−
≤<−+−
≤≤−+−+−
=
100p30sep1,01010
30p06,325sep1,01010p5,0155
06,325p0sep1,01010p5,0155p06,32525
X 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤<−
≤<−+−
≤≤−+−+−
=
100p30sep100
30p06,325sep100p5,275
06,325p0sep1005,275p5,76625
X 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤<−
≤<−
≤≤−
=
100p30sep100
30p06,325sep5,3175
06,325p0sep80800
X 
 
 
A.5.2. O Pedro e o Carlos são irmãos com preferências musicais idênticas. A procura 
individual de CDs pode ser expressa pela função ix15p −= . 
a) Determine a função procura agregada dos dois. 
p15xx15p ii −=⇔−= 
( ) p230p152xX i −=−== ∑ 
Suponha que cada CD custa 3 u.m. 
b) Calcule a elasticidade-preço da procura individual 
( )
p15
p
1
p15
p
dp
dx
x
p i
i −
=−×−==ε 
25,03p =ε⇒= 
c) Calcule a elasticidade-preço da procura agregada 
( )
p15
p
2
p230
p
dp
dX
X
p
−=−×−==ε 
25,03p =ε⇒= 
 49 
 
d) Compare e analise os resultados obtidos nas alíneas b) e c). 
A elasticidade-preço da procura individual é a mesma da procura agregada. 
 
 
A.5.3. Considere a seguinte função procura linear: p210y −= . 
a) Represente a função e indique em que zonas a procura é elástica, rígida e 
unitária. 
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
y
p
elástica
rígida
unitária
 
( ) 5,2p1
p210
p2
12
p210
p
1
dp
dy
y
p
1 =⇔=−⇔=−×−⇔=⇔=ε
15,2p >ε⇒> 15,2P <ε⇒< 
b) Identifique o ponto da recta que corresponde ao máximo da despesa total. 
( ) 10p2p210pypDT 2 +−=−=×= 
5,2p0p4100pDTDTmax =⇔=−⇔=∂∂⇒ 
 
 
A.5.4. Seja a função de utilidade 25,025,0 yxU = . Para a compra de X e Y, o consumidor 
individual dispõe de um nível de rendimento M. Calcule: 
a) A elasticidade procura-preço do bem X. 
1
P
m5,0
m5,0
P
P
m5,0
Pm5,0
P
dP
dx
x
P
2
x
2
x
2
xx
x
x
x
xx −=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−×=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−×==ε 
b) A elasticidade procura-preço do bem Y. 
1
P
m5,0
m5,0
P
P
m5,0
Pm5,0
P
dP
dy
y
P
2
y
2
y
2
yy
y
y
y
yy −=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−×=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−×==ε 
c) A elasticidade procura-preço cruzada do bem X em relação ao bem Y. 
00
Pm5,0
P
dP
dx
x
P
x
y
y
y
xy =×==ε 
d) A elasticidade procura-preço cruzada do bem Y em relação ao bem X. 
00
Pm5,0
P
dP
dy
y
P
y
x
x
x
yx =×==ε 
e) A elasticidade procura-rendimento do bem X. 
1
P
5,0
Pm5,0
m
dm
dx
x
m
xx
x =×==η 
f) A elasticidade procura-rendimento do bem Y. 
 50 
 
1
P
5,0
Pm5,0
m
dm
dy
y
m
yy
y =×==η 
g) Verifique que 0xxyxx =η+ε+ε , onde xxε , xyε e xη representam, 
respectivamente, a elasticidade procura-preço directa do bem X, a 
elasticidade procura-preço cruzada entre o bem X e o bem Y e a elasticidade 
procura-rendimento do bem X. 
0101Xxyxx =++−=η+ε+ε 
 
 51 
 
B. TEORIA DO PRODUTOR 
 
 
B.1. TECNOLOGIA 
B.1.1. Defina os seguintes conceitos: 
a) Factor produtivo 
 
b) Produtividade média 
Produto total por unidade de factor. 
c) Produtividade marginal 
Acréscimo do produto total por unidade adicional do factor, mantendo-se o outro 
constante. 
d) Lei dos rendimentos marginais decrescentes 
Lei segundo a qual se aumentarmos a quantidade de um dos factores produtivos, 
mantendo fixas as quantidades dos restantes, os resultantes acréscimos do 
produto são cada vez menores, podendo atingir-se uma região de acréscimos do 
produto negativos. 
e) Rendimentos crescentes à escala 
Tecnologia em que o acréscimo de x% na utilização de todos os factores 
produtivos permite obter um acréscimo do produto superior a x%. 
f) Rendimentos constantes à escala 
Tecnologia em que o acréscimo de x% na utilização de todos os factores 
produtivos permite obter um acréscimo do produto igual a x%. 
g) Rendimentos decrescentes à escala 
Tecnologia em que o acréscimo de x% na utilização de todos os factores 
produtivos permite obter um acréscimo do produto inferior a x%. 
 
 
B.1.2. Determinada empresa tem a seguinte função de produção: 32 LKLQ −= , em que K 
e L são factores de produção e Q é a quantidade produzida. A empresa encontra-
se a produzir na dimensão 18K = . 
a) Determine a expressão analítica do produto total, produtividade média e 
produtividade marginal do factor L. 
Produto total: 32 LL18Q −= 
Produtividade média: 2LL18
L
Q −= 
Produtividade marginal: 2L3L36
L
Q −=∂
∂
 
 52 
 
b) Represente graficamente as funções mencionadas, acompanhadas do 
respectivo estudo, e explicando os zeros e andamento de tais funções. 
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 L
PT
PMe
PMg
 
A função produto total apresenta dois zeros, para 0L = e 18L = . É crescente até 
12L = ; neste ponto tem um máximo e a partir daí é decrescente. 
Os zeros da produtividade média são também os da função produto total ( 0L