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APOSTILA SOBRE LOGARITMOS-ELABORADA PELO PROFESSOR CARLINHOS 
 
1 
 
 
 
 
ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI 
 
 
UNITAU 
 
APOSTILA 
 
LOGARITMOS 
 
 
PROF. CARLINHOS 
 
 
 
NOME: NO: 
 
APOSTILA SOBRE LOGARITMOS-ELABORADA PELO PROFESSOR CARLINHOS 
 
2 
 
LOGARITMOS = logos(razão) + arithmos(números) 
 DEFINIÇÃO 
Sejam a e b números reais positivos diferentes de zero e b 1. Chama-se logaritmo de 
a na base b o expoente x tal que bx = a: 
logb a = x bx = a 
Na sentença logb a = x temos: 
a) a é o logaritmando; 
b) b é a base do logaritmo; 
c) x é o logaritmo de a na base b. 
Exemplos: 
a) log5 25 é o expoente x tal que 5x = 25. Temos: 5x = 25 5x = 52 \ x = 2. 
Assim, log5 25 = 2. 
b) log9 1 é o expoente x tal que 9x = 1. Temos: 9x = 1 9x = 90 \ x = 0. Assim, log91= 0. 
CAMPO DE EXISTÊNCIA OU DOMÍNIO 
a) A base tem de ser um número real positivo e diferente de 1.(b>0 e b≠1) 
b) O logaritmando tem de ser um número real positivo. ( a>0) 
Observação : 
a) Quando a base não vier expressa, fica subentendido que esta vale 10. São os 
chamados logaritmos decimais ou de Brigs. 
Exemplos: log 2 = log10 2 log 3 = log10 3 
b) Temos também os chamados logaritmos neperianos (John Napier), a base 
desses logaritmos é o número irracinonal e = 2,71828... 
 
Exemplos: loge 2 = ln 2 loge 3 = ln 3 
 
CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO 
Sendo a>0 ,b>0 e b≠1 e m um número real qualquer, temos a seguir algumas 
consequências da definição de logaritmo: 
01log =b1log =bb mbmb =log ab ab =logcaca bb =⇔= loglog
APOSTILA SOBRE LOGARITMOS-ELABORADA PELO PROFESSOR CARLINHOS 
 
3 
 
Exemplos: 
a) log8 8 = 1 b) log9 1 = 0 c) log3 34 = 4 log x = log 3 e) 7log7 13 = 13 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) Calcule o valor expressão S = 3.log 0,001 + 2. log1/39 – log5625. 
2) Encontre o domínio ( campo de existência ) das funções: 
a) y = log3( 2x – 8 ) b) y = logx – 410 c) f(x) = logx (x+1) 
3) Sabendo que 2 = 100,301 e 7 = 100,845, calcule log 1,4. 
4) Dados log 2 = 0,301 e log 5 = 0,699, resolva a equação 2x = 5. 
 
 PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS 
a) Logaritmo de um produto: 
logb (m . n) = logb m + logb n, sendo m > 0, n > 0 e 0 < b 1. 
Exemplo: 
log2 (4 . 3) = log2 4 + log2 3 
b) Logaritmo de um quociente: 
logb = logb m – logb n, sendo m > 0, n > 0 e 0 < b 1. 
Exemplo: 
log3 = log3 8 – log3 7 
c) Logaritmo de uma potência 
logb mn = n. logb m, sendo m > 0, n e 0 < b 1. 
Caso particular: 
 
 
Exemplo: log 
a
n
m
aa b
n
m
b
n m
b log.loglog ==
APOSTILA SOBRE LOGARITMOS-ELABORADA PELO PROFESSOR CARLINHOS 
 
4 
 
d) Cologaritmo 
Chamamos de cologaritmo de um número positivo a numa base b (b>0, b≠1) e 
indicamos cologb a o logaritmo inverso desse número a na base b. 
 
 (b>0, b≠1 e a>0) 
 
 
EXEMPLO: 
 colog24 = -log24 = -2 
e) Mudança de base 
Em algumas situações podemos encontrar no cálculo vários logaritmos em bases 
diferentes. Como as propriedades logarítmicas só valem para logaritmos numa mesma 
base, é necessário fazer, antes, a conversão dos logaritmos de bases diferentes para 
uma única base conveniente. Essa conversão chama-se mudança de base. Para fazer 
a mudança de uma base b para uma outra base c usa-se: 
 
 
 
EXEMPLO 
Passando para a base 5, log27, temos: 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) Dados log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477. Calcule: 
a) log 6 b) log 5 c) log 2,5 d) log 7,2 e) log 
2) Sendo log a = 4, log b = 6 e log c = -1, calcule log . 
3) Encontre o valor de m,sabendo que log m = 3.log 2 + log 5 – log 4. 
4) Sendo log = 0,3 e log 3 = 0,4 , calcule log26 
a
a bb
1logcolog =
:escrever tambémpodemos ,loglog0log1log1log Como aaa
a
bbbbb −=−=−=
aa bb logcolog −=
b
a
a
c
c
b log
loglog =
2log
7log7log
5
5
2 =
APOSTILA SOBRE LOGARITMOS-ELABORADA PELO PROFESSOR CARLINHOS 
 
5 
 
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS 
São as equações que apresentam a incógnita envolvida com logaritmos. 
Para resolver equações logarítmicas, devemos aplicar as propriedades e, em seguida, 
verificar se os valores obtidos para a incógnita estão de acordo com as condições de 
existência estabelecidas. 
Exemplo: 
Resolver a equação log2 x + log2 2x = 3. 
Solução: 
Condições de existência: 
 
Aplicando a propriedade do logaritmo do produto, e a definição de logaritmo, temos: 
log2 x + log2 2x = 3 log2 (x . 2x) = 3 
log2 2x2 = 3 23 = 2x2 8 = 2x2 x2 = 4 x = 2 ou x = -2 
Testando os valores obtidos nas condições de existência estabelecidas, verificamos 
que – 2 não satisfaz o campo de existência. 
Logo: 
V = {2} 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
É toda função f: *+ que associa a cada x o logaritmo, na base b, de x: 
f(x) = logb x 
Exemplos: 
a) f(x) = log3 x 
b) g(x) = log1/3 x 
Gráficos da função logarítmica 
a) Função crescente (a > 1) 
 
APOSTILA SOBRE LOGARITMOS-ELABORADA PELO PROFESSOR CARLINHOS 
 
6 
 
b) Função decrescente (0 < a < 1) 
 
Observações: 
a) O gráfico da função logarítmica passa sempre pelo ponto (1,0). 
b) O gráfico nunca toca o eixo y e não ocupa pontos dos quadrantes II e III. 
c) Quando a > 1, a função logarítmica é crescente, pois: 
 x1 > x2 loga x1 > loga x2 
d) Quando 0 < a <1, a função logarítmica é decrescente, pois: 
 x1 > x2 loga x1 < loga x2 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) Construa o gráfico e classifique as funções em crescente e decrescente: 
a) f(x) = x b) y = x 
2) Observe o gráfico a seguir. Nesse gráfico está representado o gráfico de f(x)= logb x. 
 
Calcule o valor de f(1/27). 
EXERCICIOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM 
1) Calcule: 
a) log3 27 resp: 3 b) log5 125 resp: 3 c) log 10000 resp: 4 d) log ½ 32 resp: -5 
 d) log 0,01 resp: -2 e) log2 0,5 resp: -1 f) log4 32 resp: 5/4 g) log 0,5 16 resp: -4 
APOSTILA SOBRE LOGARITMOS-ELABORADA PELO PROFESSOR CARLINHOS 
 
7 
 
2) Calcule o valor de a: 
a) log a 81= 4 resp: 3 b) loga 4= -2 resp: -2 c) loga 1/3=-1 resp: 3 d) loga 8=3 resp: 2 
3) Calcule o valor de S: 
a) S = log2 1024 + log1/5 625 resp: 6 
b) S = 4.log2 2 - 6.log 0,001+2.log1/3 1/27 resp: 14 
4) Determine o domínio das funções: 
a) y = log (-x2+5x-4) resp: D={x∈ℜ/ 1<x<4} b) y = logx-510 resp: D={x∈ℜ/ x>5 e x≠6} 
c) y = log x-2(x2-4x-5) resp: D={ x∈ℜ/ x >5} d) y = log2(x2-4) resp: D={x∈ℜ/x<-2 ou x>2} 
e) y = log3x-5 2 resp: D = { x∈ℜ/ x>5/2 e x≠2 f) y = logx(x2-4) resp: D = { x∈ℜ/ x > 2} 
5) Sabendo que a equação para obtenção da magnitude de um terremoto é 
dada por Ms=log (Af )+3,30, em que A é a amplitude da onda e f a freqüência. 
Calcule: 
a) a magnitude de um terremoto com amplitude de 1000 mícrons e 0,1 Hz de 
freqüência. resp: 5,3 na escala Richter 
 b) a amplitude registrada no sismógrafo para um terremoto de 6,3 na escala 
Richter com freqüência de 1 Hz. resp: 1000 mícrons 
6) Resolva as equações: Use log 2 = 0,3 , log 5 = 0,7 e log 7 = 0,8 
a) 4x = 25 resp: 2,83 b) 5x = 343 resp: 3,43 c) 10x = 70 resp: 1,8 
7) Dados log 2 = 0,30 , log 3 = 0,48 e log 5 = 0,70 , calcule: 
a)log 15 resp: 1,18 b) log 20 resp: 1,3 c) log 0,0002 resp: -3,7 d) log 30000 resp: 4,48 
d)log 500 resp: 2,7 f) log 18 resp: 1,26 g) log 72 resp: 1,86 h) log 14,4 resp: 1,16 
8) Calcule o valor da expressão A = 2.log 5 + log 20 – log 5. resp: 2 
9) Sabendo que log 2 = 0,3 , log 3 = 0,5 e log 5 = 0,7. Calcule: 
a) 152Log resp: 4 b) 306Log resp: 15/8 
10) Resolva as equações: 
a) log2 (2x+5) = log2 7 resp: 1 b) log2 (3x – 1 ) = 4 resp: 17/3 
c) (log4 x)2- 3.log4x – 4 = 0 resp: ¼ e 256 d) log3 (x + 1) +log3 (x – 1) = 1 resp: 2 
e) log2 ( 3x + 5) – log2 (2x – 1) = 3 resp: 1 f) log ( 2x + 3 ) + log ( x + 2 ) = 2log x resp: ∅ 
g) log3 x + logx 3 = -2 resp: 1/3 h) log x = log 25 + colg 5 + log 2 resp: 10 
APOSTILA SOBRE LOGARITMOS-ELABORADA PELO PROFESSOR CARLINHOS 
 
8 
 
11) (UNESP) Numa fábrica, o lucro originado pela produção de x peças é dado, em 
milhares de reais, pela função L(x) = log ( 100 + x ) + k, com k constante real. 
 
a) Sabendo-se que não havendo produção não há lucro, determine k. resp: - 2 
b) Determine o número de peças que é necessário produzir para que o lucro seja igual 
a mil reais. resp: 900 
12) Construa o gráfico das funções e classifique-as em crescente ou decrescente. 
a) y = x
3
1log 
b) f(x) = log5 x 
 
 
 
 
Bibliografia: 
Curso de Matemática – Volume Único 
Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna 
Matemática Fundamental - Volume Único 
Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. 
FTD 
Contexto&Aplicações – Volume Único

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