14 Produto misto volume paralelepipedo

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PRODUTO MISTO 
Dados os vetores �⃗� , 𝑣 e �⃗⃗� , o produto misto destes três vetores é o 
escalar representado por: (�⃗� ⨯ 𝑣 ) . �⃗⃗� 
 Quanto à ordem das operações: primeiro o produto externo e 
em seguida o produto interno. 
 Indica-se o produto misto por ( �⃗� , 𝑣,⃗⃗⃗ �⃗⃗� ) 
 Os sinais · e ⨯ permutam entre si no produto misto. Logo: 
(�⃗� ⨯ 𝑣 ). �⃗⃗� = �⃗� . (𝑣 ⨯ �⃗⃗� ) 
 
Nulidade do produto misto: (�⃗⃗� ⨯ �⃗⃗� ). �⃗⃗⃗� = 𝟎 se: 
 Pelos menos um dos vetores for nulo; 
 �⃗� for paralelo a 𝑣 , pois (�⃗� ⨯ 𝑣 ) = 0; 
 os três vetores forem coplanares. 
 
Interpretação Geométrica do produto misto: 
VOLUME DE UM PARALELEPÍPEDO 
 
Geometricamente o produto misto entre 3 vetores representa o 
volume de um paralelepípedo de arestas �⃗� , 𝑣 e �⃗⃗� . 
Sejam os vetores não coplanares �⃗� , 𝑣 e �⃗⃗� , que representam as 
arestas de um paralelepípedo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O volume do paralelepípedo, determinado por �⃗� , 𝑣 e �⃗⃗� é igual ao 
produto da área da base pela altura. 
 Lembrar que, o vetor (�⃗� ⨯ 𝑣 ) é ortogonal a base, logo θ é o 
ângulo entre o vetor �⃗⃗� e (�⃗� ⨯ 𝑣 ). 
 Pela definição do produto vetorial a área da base é igual a 
|�⃗� ⨯ 𝑣 |, então, o volume será dado por: Volumep = 
|�⃗� ⨯ 𝑣 | · h 
Mas, como vemos na figura, a altura é 
 cos 𝜃 = 
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
  cos 𝜃 = 
ℎ
|�⃗⃗� | 
 
 Logo, a altura é: h = |w| cos θ, o que implica: 
Volumep = |�⃗� ⨯ 𝑣 | ·|�⃗⃗� | cos θ 
 É um vetor 
 
Mas, o módulo de um vetor |�⃗� ⨯ 𝑣 | pelo módulo de outro vetor 
|�⃗⃗� | multiplicado pelo cos θ é a definição de ângulo entre dois 
vetores, ou seja, definição de produto interno: 
�⃗� . 𝑣 = |�⃗� |. |𝑣 | cos θ , ou melhor: 𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
�⃗⃗� . �⃗� 
|�⃗⃗� |.|�⃗� |
 
Logo, temos o produto interno do primeiro vetor pelo segundo 
vetor: (�⃗� ⨯ 𝑣 ). (�⃗⃗� ) 
Para este caso: cos θ = 
(�⃗⃗� ⨯ �⃗� ) . (�⃗⃗� )
|�⃗⃗� ⨯ �⃗� | ·|�⃗⃗� |
 
então: |�⃗� ⨯ 𝑣 | ·|�⃗⃗� | · cos θ = (�⃗⃗� ⨯ �⃗⃗� ) · �⃗⃗⃗� 
Assim, Volumep = (�⃗⃗� ⨯ �⃗⃗� ) · �⃗⃗⃗� 
 
O produto misto pode ser calculado fazendo-se: 
(�⃗⃗� , 𝒗,⃗⃗⃗ �⃗⃗⃗� ) = (�⃗⃗� ⨯ �⃗⃗� ). �⃗⃗⃗� 
 
Ou pelo cálculo de determinante 
 O produto misto, bem como o cálculo do volume de um 
paralelepípedo pode ser escrito na forma de um determinante: 
 (�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ) = |
𝑥1 𝑦1 𝑧1 
𝑥2 𝑦2 𝑧2
𝑥3 𝑦3 𝑧3
| 
 
Isso é o produto interno entre dois vetores 
Obs.: 
 quando nos referirmos ao volume consideramos o módulo: 
(�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ) ⩾ 0 
 quando nos referirmos ao produto misto: 0 ⩽ (�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ) ⩽ 0 
 
Propriedades do produto misto 
 
(PM1)      wvuwvuwvuu  ,,,,,, 2121  
      wvuwvuwvvu  ,,,,,, 2121  
      2121 ,,,,,, wvuwvuwwvu   
 
 
(PM2)        wvuwvuwvuwvu  ,,,,,,,,  
 
(PM3) O produto misto  wvu  ,, muda de sinal permutando-se 
dois vetores: 
     uwvwuvwvu  ,,,,,,  
     vuwuvwwvu  ,,,,,,  
     vuwvwuwvu  ,,,,,,  
 
(PM4) O produto misto não se altera se permutarmos os símbolos 
 
 e
 : 
wvu

 = wvu   
 
Exercício 
1. Sejam os vetores �⃗� = (2, 3, 5) , 𝑣 = (-1, 3, 3) e �⃗⃗� = (4, -3, 2), 
calcule (�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ). R: 27 
2. Os vetores 𝑎 = (2, -1, -3) �⃗� = (-1, 1, -4) e 𝑐 = (m+1, m, -1) 
determinam um paralelepípedo de volume igual a 42. Calcular 
m. R: m = 2 e m = 
−8
3
 
3. Dados os vetores �⃗� = (x, 5, 0), 𝑣 = (3, -2, 1) e �⃗⃗� = (1, 1, -1) 
calcule x para que o volume determinado por �⃗� , 𝑣 e �⃗⃗� seja de 
24 u. v. R: 4 
4. Calcule ( �⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ), sendo �⃗� = 2𝑖 − 𝑗 + 3𝑘 , 𝑣 ⃗⃗⃗ = −𝑖 + 4𝑗 + 𝑘 e 
𝑤 ⃗⃗⃗⃗ = 5𝑖 + 𝑗 − 2𝑘. 𝑅: ( �⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ) = −84 
5. Sejam 𝑣 = 4𝑖, 𝑤 ⃗⃗⃗⃗ = 2𝑖 + 5𝑗 e 𝑢 ⃗⃗ ⃗ = 3𝑖 + 3𝑗 + 4𝑘, calcule o 
volume do paralelepípedo com um vértice na origem e as 
arestas determinadas por 𝑣 , �⃗⃗� e �⃗� . 𝑅: ( 𝑣 x �⃗⃗� ). �⃗� = 80 
 
 
Resolução: 
 
1. Calcular o produto misto dos vetores �⃗� = (2, 3, 5) , 𝑣 = (-1, 3, 3) 
e �⃗⃗� = (4, -3, 2) 
(�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ) = |
2 3 5
−1 3 3
4 −3 2
|  
|
|
2 3 5
−1 3 3
4 −3 2 
2 3 5
−1 3 3
|
|
 = 27 
 
2. Os vetores 𝑎 = (2, -1, -3) �⃗� = (-1, 1, -4) e 𝑐 = (m+1, m, -1) 
determinam um paralelepípedo de volume igual a 42. Calcular 
m. 
(𝑎 , �⃗� , 𝑐 ) = |
2 −1 −3
−1 1 −4
m + 1 m −1
|  
|
|
2 −1 −3
−1 1 −4
m + 1 m −1
2 −1 −3
−1 1 −4
|
|
 
= -2 + 3m + 4m + 4 + 3m + 3 + 3 + 8m +1 = 18m + 6 
 Vp = |18 m + 6 | 
42 = 18 m + 6 42 = - 18 m - 6 
 m = 2 m = 
−8
3
 
3. Dados os vetores �⃗� = (x, 5, 0) , 𝑣 = (3, -2, 1) e �⃗⃗� = (1, 1, -1) 
calcule x para que o volume determinado por �⃗� , 𝑣 e �⃗⃗� seja de 
24 u. v. 
(�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ) = |
x 5 0
3 −2 1
1 1 −1
|  
|
|
x 5 0
3 −2 1
1 1 −1
𝑥 5 0
3 −2 1
|
|
 = 24 
 
2x + 0 + 5 + 0 – x + 15 = 24 
x = 24 – 20 
x = 4 
 
4. Calcule ( �⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ), sendo �⃗� = 2𝑖 − 𝑗 + 3𝑘 , 𝑣 ⃗⃗⃗ = −𝑖 + 4𝑗 + 𝑘 e 
𝑤 ⃗⃗⃗⃗ = 5𝑖 + 𝑗 − 2𝑘. 𝑅: ( �⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ) = −84 
(�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ) = |
2 −1 3
−1 4 1
5 1 −2
| = [
2 −1 3 | 2 −1
−1 4 1 | −1 4
5 1 −2 | 5 1
] 
−16 − 5 − 3 − 60 − 2 + 2 = −84 
𝑅: ( �⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ) = −84 
 
5. Sejam 𝑣 = 4𝑖, 𝑤 ⃗⃗⃗⃗ = 2𝑖 + 5𝑗 e 𝑢 ⃗⃗ ⃗ = 3𝑖 + 3𝑗 + 4𝑘, calcule o 
volume do paralelepípedo com um vértice na origem e as 
arestas determinadas por 𝑣 , �⃗⃗� e �⃗� . 𝑅: ( 𝑣 x �⃗⃗� ). �⃗� = 80 
 
(𝑣 , �⃗⃗� , �⃗� ) = |
4 0 0
2 5 0
3 3 4
| = | [
4 0 0 | 4 0
2 5 0 | 2 5
3 3 4 | 3 3
]| = 80 
(𝑣 , �⃗⃗� , �⃗� ) = 80 
 
Referências Bibliográficas 
 
BOULOS, P. e CAMARGO, I. de. Geometria analítica: um tratamento vetorial. São Paulo: McGraw-
Hill, 1987. 
 
NUNES, Luiz Fernando. Notas de aula: Matemática 1. Professor do Departamento de Matemática da 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR. 
 
STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Geometria analítica. São Paulo: Pearson-Makron Books, 2010. 
 
VALLADARES, R. J. C. Geometria analítica do plano e do espaço. Rio de Janeiro: LTC, 1990.