AP2 metdet ii 2016.1

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP2 – Me´todos Determin´ısticos II – 22/05/2016
Questa˜o 1 [1,0pts] Considere a func¸a˜o f(x) = x
2+1
1−x2 . Calcule o dom´ınio e as suas assintotas.
Soluc¸a˜o: Como e´ uma func¸a˜o racional, os pontos que na˜o podem fazer parte do dom´ınio sa˜o os
mesmos que o denominador se anula. Da´ı, 1− x2 = 0⇔ x2 = 1⇔ x = ±1. Portanto,
D(f) = {x ∈ R : x 6= 1 e x 6= −1} .
Para determinar as assintotas precisamos calcular os seguintes limites lim
x→−1±
f(x), lim
x→1±
f(x) e
lim
x→±∞
f(x).
lim
x→−1−
x2 + 1
1− x2 = −∞ e limx→−1+
x2 + 1
1− x2 = +∞.
Pois, o numerador tende a 2 sempre com valores positivos e o denominador tende, no primeiro limite
tende a zero, com valores negativos, e no segundo limite, tende a zero, com valores positivos. Analise
similar se aplica aos outros dois limites e temos
lim
x→1−
x2 + 1
1− x2 = +∞ e limx→1+
x2 + 1
1− x2 = −∞.
Ja´
lim
x→−∞
x2 + 1
1− x2 = limx→−∞
x2
x2
(
1 + 1/x2
1/x2 − 1
)
= −1
e
lim
x→+∞
x2 + 1
1− x2 = limx→∞
x2
x2
(
1 + 1/x2
1/x2 − 1
)
= −1.
Portanto as assintotas verticais sa˜o x = −1 e x = 1 e a assintota horizontal e´ y = −1.
Questa˜o 2 [2,0pt] Considere f(x) a mesma func¸a˜o da questa˜o 1. Calcule e fac¸a a analise do sinal
de f ′(x) e f ′′(x).
Soluc¸a˜o: Vamos iniciar calculando a f ′ e f ′′. Depois faremos a analise do sinal de cada uma delas.
f ′(x) =
2x(1− x2)− (−2x)(x2 + 1)
(1− x2)2 =
4x
(1− x2)2 .
f ′′(x) =
4 (1− x2)2 − 2(1− x2)(−2x)(4x)
(1− x2)4 =
(1− x2) [4 (1− x2)− 2(−2x)(4x)]
(1− x2)4 =
4 (3x2 + 1)
(1− x2)3 .
A analisando a expressa˜o de f ′(x) vemos que o denominador e´ sempre positivo. Da´ı quem determina o
sinal e´ o numerador. Da´ı, temos que se x 6= −1, x < 0⇒ f ′(x) < 0 e se x 6= 1 e x > 0⇒ f(x) > 0
e f ′(0) = 0.
Analisando a expressa˜o de f ′′(x) vemos que o numerador e´ sempre positivo. Portanto, quem domina o
sinal e´ o termo (1−x2)3, mas este polinoˆmio tem o mesmo comportamento, do ponto de vista de sinal,
que o polinoˆmio 1− x2. Da´ı se x < −1 ou x > 1, enta˜o f ′′(x) < 0 e se −1 < x < 1⇒ f ′′(x) > 0.
Questa˜o 3 [1,0pt] Considere f(x) a mesma func¸a˜o da questa˜o 1. Fac¸a um esboc¸o do gra´fico e
explique o comportamento de f(x).
Soluc¸a˜o: Para fazermos o esboc¸o do gra´fico, iniciemos tracejando as retas assintotas, x = −1,
x = 1 e y = −1.
Me´todos Determin´ısticos 2 AP1 2
Figura 1: Esboc¸o do gra´fico de f(x) = x
2+1
1−x2
Vamos analisar como deve ser o gra´fico de f(x) quando x < −1. Veja que quando x → −∞ a
func¸a˜o se aproxima de y = −1 com valores menores que −1 e quando x → −1− a func¸a˜o tende
a −∞. Ale´m disso, neste intervalo, como f ′(x) < 0 e f ′′(x) < 0 enta˜o ela e´ decrescente e com a
boca voltada para baixo.
Ja´ no intervalo x > 1 vemos que f(x)→ −1 quando x→ +∞, tambe´m com valores menores que
-1. E quando x → 1+ f(x) → −∞. Ale´m disso, neste intervalo f ′(x) > 0 e f ′′(x) < 0. Portanto,
a func¸a˜o e´ crescente com concavidade voltada para baixo.
No restante, isto e´, quando −1 < x < 1, podemos dividir este intervalo nos seguinte subintervalos:
−1 < x < 0 e 0 < x < 1. Em −1 < x < 0 temos que f ′(x) < 0, isto e´ f(x) e´ decrescente. Ja´ em
0 < x < 1, f ′(x) > 0, isto e´, f(x) e´ crescente. Em todo −1 < x < 1, f ′′(x) > 0, isto quer dizer
que a boca e´ voltada para cima. E em x = 0 temos um ponto cr´ıtico, que como ja´ percebemos deve
ser um ponto de m´ınimo local. Com todos estes detalhes temos condic¸o˜es de fazer um belo esboc¸o.
Questa˜o 4 [2,0pts] Suponha que o custo, em Reais, para uma companhia produzir x calc¸as de
jeans seja
c(x) = 2000 + 3x+ 0, 01x2 + 0, 0002x3.
a) Encontre a func¸a˜o marginal; b) Calcule o valor de c′(100) e explique o seu significado.
Soluc¸a˜o: a) a func¸a˜o custo marginal e´
c′(x) = 3 + 0, 02x+ 0, 0006x2.
b) c′(100) = 3+ 2× 10−2× 102 +6× 10−4× 104 = 3+ 2+ 6 = 11. Isto quer dizer que produzindo
100 calc¸as de jeans a fa´brica tem um custo aproximado de 11 Reais por calc¸a.
Questa˜o 5 [1,5pt] Resolva as seguintes integrais: a)
∫
(1− t)(2 + t2) dt, b) ∫ x√1 + x2 dx e
c)
∫ 2
1
3
t4
dt.
Soluc¸a˜o: a) ∫
(1− t)(2 + t2) dt =
∫
2− 2t+ t2 − t3 dt = 2t− t2 + t
3
3
− t
4
4
+K.
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Me´todos Determin´ısticos 2 AP1 3
b) chamando u = 1 + x2 ⇒ du = 2xdx⇒ du
2
= xdx da´ı∫
x
√
1 + x2 dx =
∫ √
u
2
du =
1
2
∫
u1/2 du =
(
1
2
)(
2
3
)
u3/2 + k =
1
3
√
(1 + x2)3 + k.
c) ∫ 2
1
3
t4
dt =
[
− 1
t3
]2
1
= −1
8
− (−1
1
) =
7
8
Questa˜o 6 [1,5pt] Fac¸a o esboc¸o da regia˜o entre as curvas y = x e y = x3 quando −1 ≤ x ≤ 1 e
calcule a a´rea.
Soluc¸a˜o: Iniciamos encontrando os valores em que o gra´fico da reta y = x encontra o gra´fico da
cu´bica y = x3. Para fazer isso precisamos resolver, x = x3 ⇒ x3−x = x(x2−1) = (x+1)x(x−1).
Portanto, os pontos de encontro sa˜o x = −1, x = 0 e x = 1. Fazendo um esboc¸o da regia˜o,
Vemos do esboc¸o que no intervalo −1 ≤ x ≤ 0 a cu´bica e´ maior que a reta e no intervalo 0 ≤ x ≤ 1
e´ a reta que e´ maior que a cu´bica. Portanto, a a´rea e´ dada por
A =
∫ 0
−1
x3 − x dx+
∫ 1
0
x− x3 dx =
[
x4
4
− x
2
2
]0
−1
+
[
x2
2
− x
4
4
]1
0
=
1
4
+
1
4
=
1
2
.
Questa˜o 7 [1,0pt] Calcule a derivada de: a) g(x) = x
2−2√x
x
e b) h(x) = x
√
2x− 1 + 1
x2
√
x
.
Soluc¸a˜o: a)
g(x) = x− 2x−1/2 ⇒ g′(x) = 1 + x1/2 = 1 +√x.
b)
h′(x) =
3x− 1√
2x− 1 −
5
2x7/2
==
3x− 1√
2x− 1 −
5
2x3
√
x
.
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