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AP2 2015 2

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP2 – Me´todos Determin´ısticos II – 14/11/2015
Questa˜o 1 [2,0 pts] Fac¸a um estudo da func¸a˜o f(x) = x
3
3
− x2
2
− 6x+6, isto e´, calcule: dom´ınio,
a 1a e 2a derivada, intervalos de crescimento/decrescimento e pontos de inflexa˜o (se houver), limites
de x→ ±∞. Utilize estas informac¸o˜es para fazer um esboc¸o do gra´fico.
Soluc¸a˜o: Como e´ uma func¸a˜o polinomial o dom´ınio Df = R; derivando obtemos f ′(x) = x2−x−6
e, derivando novamente, f ′′(x) = 2x− 1. Calculando as ra´ızes de f ′(x) obtemos x = −2 e x = 3.
Enta˜o, a func¸a˜o e´ crescente em (−∞,−2)∪(3,+∞) e decrescente no complementar deste intervalo.
Por outro lado, se f ′′(1
2
) = 0 e f ′′ e´ uma func¸a˜o linear, donde x < 1
2
a concavidade e´ voltada para
baixo e para x > 1
2
a concavidade e´ voltada para cima e, x = 1
2
e´ um ponto de inflexa˜o.
Como f e´ de terceiro grau e o coeficiente que acompanha o termo x3 e´ positivo temos limx→−∞ f(x) =
−∞ e limx→+∞ f(x) = +∞. Portanto, na˜o ha´ ass´ıntotas. Para esboc¸armos o gra´fico e´ importante
saber alguns valores de f(x), por isso calculando f(−2) = 45
3
e f(3) = −15
2
. Enta˜o, temos os
elementos ba´sicos necessa´rios para fazer um esboc¸o do gra´fico desta func¸a˜o. Com e´ uma func¸a˜o do
3o grau, enta˜o vem de −∞ do −∞ e vai para +∞ para o +∞. Marcando os pontos que a func¸a˜o
passa e recordando das concavidades obtemos
Questa˜o 2 [2,0 pts] Um banco oferece juros anual I(t), em %, dependendo do tempo t, em anos,
que o investidor esteja disposto a manter o investimento. I(t) e´ dado por:
I(t) =
180t+ 12
t2 + 3
.
Determine quantos anos deve manter o investimento para ter lucro ma´ximo. Se o investimento e´
aplicado indeterminadamente, os juros podem ser negativos?
Soluc¸a˜o: Derivando
I ′(t) = −12 (15t
2 + 2t− 45)
(t2 + 3)2
Queremos encontrar os valores t ≥ 0 que anulam a derivada, enta˜o resolvendo, 15t2 + 2t− 45 = 0,
obtemos t = −9
5
e t = 5
3
. Portanto, o u´nico valor que nos interessa e´ t = 5
3
que e´ aproximadamente
1, 666. Em meses corresponde aproximadamente 20 meses.
Me´todos Determin´ısticos 2 AP3 2
Com respeito, a pergunta se os juros podem ser negativos, vamos calcular
lim
t→+∞
180t+ 12
t2 + 3
= lim
t→+∞
t
t
· 180 + 12/t
t+ 3/t
== lim
t→+∞
180 + 12/t
t+ 3/t
= 0.
Enta˜o a resposta e´ na˜o, pois por mais tempo que o valor esteja investido, sempre tera´ uma taxa
positiva.
Questa˜o 3 [2,0 pts] Calcule a derivada das func¸o˜es abaixo:
a) f(x) = 4x+5
x2+x
+ 1
x2+1
b) g(t) =
(
e−t + et
2
)3
Soluc¸a˜o: (Cada item vale 1,0pt)
a) Aplicando a Regra do quociente em cada um dos termos
f ′(x) =
4(x2 + x)− (4x+ 5)(2x+ 1)2
(x2 + x)
+
−1(2x)
(x2 + 1)2
= − 2x
(x2 + 1)2
− 4x
2 + 10x+ 5
(x+ 1)2x2
.
b) Aplicamos a regra da cadeia, no termo todo e nas derivadas (e−t)′ = −e−t e
(
et
2
)′
= 2tet
2
e
obtemos
g′(t) = 3
(
e−t + et
2
)2 (
2tet
2 − e−t
)
Questa˜o 4 [2,0 pts] Calcule as integrais abaixo:
a)
∫
x2
1+x3
dx
b)
∫ t
1
x ln(x) dx
Soluc¸a˜o: (cada item vale 1,0pt)
a) Usamos a te´cnica de substituic¸a˜o de varia´vel, chame y = 1+ x3 ⇒ dy = 3x2 dx e dy/3 = x2 dx,
da´ı ∫
x2
1 + x3
dx =
∫
1
3y
dy =
1
3
ln(y) +K,∫
x2
1 + x3
dx =
1
3
ln
(
x3 + 1
)
+K.
b) Usamos a te´cnica de integrac¸a˜o por partes, para isso considere xdx = dv ⇒ x2
2
= v e u = ln x⇒
du = dx
x
, da´ı ∫ t
1
x ln(x) dx =
[
x2
2
lnx
]t
1
−
∫ t
1
x2
2x
dx
=
[
1
2
x2 ln(x)− x
2
4
]t
1
=
1
2
t2 ln(t)− t
2
4
+
1
4
.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos 2 AP3 3
Questa˜o 5 [2,0 pts] Considere a regia˜o delimitada pela para´bola y = x2 e pela curva y =
√
x
quando 0 ≤ x ≤ 4. Fac¸a um esboc¸o da regia˜o e calcule a a´rea dessa regia˜o.
Soluc¸a˜o: (Encontrar os pontos de intersec¸a˜o 0,5pt, fazer um esboc¸o da regia˜o 0,5pt, montar as
integrais corretamente 0,5pt e resolver corretamente 0,5pt)
Iniciemos encontrando os pontos que os dois gra´ficos se encontram. Para isso, fac¸a x2 =
√
x,
elevando ao quadrado, x4 − x = x(x3 − 1) = 0, da´ı que x = 0 ou x = 1. Observe que para
0 ≤ x ≤ 1 temos que x2 ≤ √x e para 1 ≤ x ≤ 4 temos √x ≤ x2, veja o esboc¸o abaixo.
Portanto a a´rea A e´ dada por
A =
∫ 1
0
√
x− x2 dx+
∫ 3
1
x2 −√x dx =
[
2x3/2
3
− x
3
3
]1
0
+
[
x3
3
− 2x
3/2
3
]4
1
,
e aplicando os limites laterais obtemos
A =
1
3
+
49
3
=
50
3
.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ

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