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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Gabarito da AP2 – Me´todos Determin´ısticos II – 14/11/2015 Questa˜o 1 [2,0 pts] Fac¸a um estudo da func¸a˜o f(x) = x 3 3 − x2 2 − 6x+6, isto e´, calcule: dom´ınio, a 1a e 2a derivada, intervalos de crescimento/decrescimento e pontos de inflexa˜o (se houver), limites de x→ ±∞. Utilize estas informac¸o˜es para fazer um esboc¸o do gra´fico. Soluc¸a˜o: Como e´ uma func¸a˜o polinomial o dom´ınio Df = R; derivando obtemos f ′(x) = x2−x−6 e, derivando novamente, f ′′(x) = 2x− 1. Calculando as ra´ızes de f ′(x) obtemos x = −2 e x = 3. Enta˜o, a func¸a˜o e´ crescente em (−∞,−2)∪(3,+∞) e decrescente no complementar deste intervalo. Por outro lado, se f ′′(1 2 ) = 0 e f ′′ e´ uma func¸a˜o linear, donde x < 1 2 a concavidade e´ voltada para baixo e para x > 1 2 a concavidade e´ voltada para cima e, x = 1 2 e´ um ponto de inflexa˜o. Como f e´ de terceiro grau e o coeficiente que acompanha o termo x3 e´ positivo temos limx→−∞ f(x) = −∞ e limx→+∞ f(x) = +∞. Portanto, na˜o ha´ ass´ıntotas. Para esboc¸armos o gra´fico e´ importante saber alguns valores de f(x), por isso calculando f(−2) = 45 3 e f(3) = −15 2 . Enta˜o, temos os elementos ba´sicos necessa´rios para fazer um esboc¸o do gra´fico desta func¸a˜o. Com e´ uma func¸a˜o do 3o grau, enta˜o vem de −∞ do −∞ e vai para +∞ para o +∞. Marcando os pontos que a func¸a˜o passa e recordando das concavidades obtemos Questa˜o 2 [2,0 pts] Um banco oferece juros anual I(t), em %, dependendo do tempo t, em anos, que o investidor esteja disposto a manter o investimento. I(t) e´ dado por: I(t) = 180t+ 12 t2 + 3 . Determine quantos anos deve manter o investimento para ter lucro ma´ximo. Se o investimento e´ aplicado indeterminadamente, os juros podem ser negativos? Soluc¸a˜o: Derivando I ′(t) = −12 (15t 2 + 2t− 45) (t2 + 3)2 Queremos encontrar os valores t ≥ 0 que anulam a derivada, enta˜o resolvendo, 15t2 + 2t− 45 = 0, obtemos t = −9 5 e t = 5 3 . Portanto, o u´nico valor que nos interessa e´ t = 5 3 que e´ aproximadamente 1, 666. Em meses corresponde aproximadamente 20 meses. Me´todos Determin´ısticos 2 AP3 2 Com respeito, a pergunta se os juros podem ser negativos, vamos calcular lim t→+∞ 180t+ 12 t2 + 3 = lim t→+∞ t t · 180 + 12/t t+ 3/t == lim t→+∞ 180 + 12/t t+ 3/t = 0. Enta˜o a resposta e´ na˜o, pois por mais tempo que o valor esteja investido, sempre tera´ uma taxa positiva. Questa˜o 3 [2,0 pts] Calcule a derivada das func¸o˜es abaixo: a) f(x) = 4x+5 x2+x + 1 x2+1 b) g(t) = ( e−t + et 2 )3 Soluc¸a˜o: (Cada item vale 1,0pt) a) Aplicando a Regra do quociente em cada um dos termos f ′(x) = 4(x2 + x)− (4x+ 5)(2x+ 1)2 (x2 + x) + −1(2x) (x2 + 1)2 = − 2x (x2 + 1)2 − 4x 2 + 10x+ 5 (x+ 1)2x2 . b) Aplicamos a regra da cadeia, no termo todo e nas derivadas (e−t)′ = −e−t e ( et 2 )′ = 2tet 2 e obtemos g′(t) = 3 ( e−t + et 2 )2 ( 2tet 2 − e−t ) Questa˜o 4 [2,0 pts] Calcule as integrais abaixo: a) ∫ x2 1+x3 dx b) ∫ t 1 x ln(x) dx Soluc¸a˜o: (cada item vale 1,0pt) a) Usamos a te´cnica de substituic¸a˜o de varia´vel, chame y = 1+ x3 ⇒ dy = 3x2 dx e dy/3 = x2 dx, da´ı ∫ x2 1 + x3 dx = ∫ 1 3y dy = 1 3 ln(y) +K,∫ x2 1 + x3 dx = 1 3 ln ( x3 + 1 ) +K. b) Usamos a te´cnica de integrac¸a˜o por partes, para isso considere xdx = dv ⇒ x2 2 = v e u = ln x⇒ du = dx x , da´ı ∫ t 1 x ln(x) dx = [ x2 2 lnx ]t 1 − ∫ t 1 x2 2x dx = [ 1 2 x2 ln(x)− x 2 4 ]t 1 = 1 2 t2 ln(t)− t 2 4 + 1 4 . Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos 2 AP3 3 Questa˜o 5 [2,0 pts] Considere a regia˜o delimitada pela para´bola y = x2 e pela curva y = √ x quando 0 ≤ x ≤ 4. Fac¸a um esboc¸o da regia˜o e calcule a a´rea dessa regia˜o. Soluc¸a˜o: (Encontrar os pontos de intersec¸a˜o 0,5pt, fazer um esboc¸o da regia˜o 0,5pt, montar as integrais corretamente 0,5pt e resolver corretamente 0,5pt) Iniciemos encontrando os pontos que os dois gra´ficos se encontram. Para isso, fac¸a x2 = √ x, elevando ao quadrado, x4 − x = x(x3 − 1) = 0, da´ı que x = 0 ou x = 1. Observe que para 0 ≤ x ≤ 1 temos que x2 ≤ √x e para 1 ≤ x ≤ 4 temos √x ≤ x2, veja o esboc¸o abaixo. Portanto a a´rea A e´ dada por A = ∫ 1 0 √ x− x2 dx+ ∫ 3 1 x2 −√x dx = [ 2x3/2 3 − x 3 3 ]1 0 + [ x3 3 − 2x 3/2 3 ]4 1 , e aplicando os limites laterais obtemos A = 1 3 + 49 3 = 50 3 . Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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