AP2 2014

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos II
Questa˜o 1: (3,0pts) Para a seguinte func¸a˜o f(x) = x
(x+1)2
fac¸a o seguinte:
a) Calcule o dom´ınio e a imagem de f(x);
b) Calcule as ass´ıntotas;
c) Calcule e estude o sinal de f ′(x);
d) Calcule e estude o sinal de f ′′(x);
e) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f(x);
Soluc¸a˜o: a) (0,4 dom´ınio e 0,1 pela imagem) Como a func¸a˜o e´ uma raza˜o entre polinoˆmios, esta
func¸a˜o estara´ bem definida desde que o denominador (x+1)2 seja diferente de zero, isto e´, x 6= −1.
Portanto, D(f) = {x ∈ R : x 6= −1}, ja´ a imagem e´ {y ∈ R : y ≤ 1
4
}
.
b) (cada limite vale 0,1pt se acertar apenas um limite ganha 0,2pt) Vamos calcular os limites para
determinar se o ponto x = −1 e´ uma ass´ıntotas
lim
x→−1+
f(x) = lim
x→0+
x
(x+ 1)2
= −∞
lim
x→−1−
f(x) = lim
x→0−
x
(x+ 1)2
= −∞,
Observe que, nos dois limites acima, quando x→ −1 o denominador
vai para −1 e o denominador vai para 0 com valores positivos.
lim
x→−∞
f(x)) = lim
x→−∞
x
(x+ 1)2
= 0
lim
x→+∞
f(x) = lim
x→+∞
x
(x+ 1)2
= 0.
Ambos os limites va˜o para zero, pois uma funca˜o do 2a grau sempre cresce mais ra´pido que uma do
1a grau. No entanto, o limite x → −∞ se aproxima de 0 com valores negativos e em x → +∞ o
limite se aproxima de 0 com valores positivos. Com tudo isso, conclu´ımos que a reta y = 0 e´ uma
reta ass´ıntota horizontal e x = −1 e´ uma ass´ıntota vertical.
c) (calculou correto ganha 0,5pt, fez a ana´lise do sinal correto 0,5pt) Vamos calcular
f ′(x) = (
x
(x+ 1)2
)′ =
1 · (x+ 1)2 − x · 2(x+ 1)
(x+ 1)4
=
x+ 1− 2x
(x+ 1)3
=
1− x
(x+ 1)3
.
Vamos fazer a ana´lise do sinal da f ′(x).
Portanto, a nossa func¸a˜o e´ crescente de (−1, 1), e no restante ela sempre e´ decrescente.
Vitor Bercot
Texto digitado
2014.1
Me´todos Determin´ısticos 2 AP2 2
d) (derivou corretamente ganha 0,5pt a ana´lise do sinal na˜o e´ pontuada) Vamos calcular a segunda
derivada
f ′′(x) =
−1 · (x+ 1)3 − (1− x) · 3(x+ 1)2
(x+ 1)6
=
−x− 1− 3 + 3x
(x+ 1)4
=
2x− 4
(x+ 1)4
.
Observe que o sinal da 2a derivada depende apenas do sinal do numerador 2x − 4, uma vez que o
denominador e´ (x+ 1)4 > 0 para todo x ∈ D(f). Logo f ′′(x) > 0 se x > 2 e f ′′(x) < 0 se x < 2.
Disso, segue que a concavidade da f(x) tem boca voltada para cima se x > 2 e boca voltada para
baixo se x < 2.
e) (vale 0,6pt assim distribu´ıdos: desenhou a ass´ıntota 0,1pt, a parte a` esquerda 0,2pt e 0,3pt a parte
da direita do gra´fico) Para fazer o esboc¸o do gra´fico comece marcando as retas y = 0 e x = −1
(veja gra´fico 1). Para fazer a porc¸a˜o direita do gra´fico, veja que f se aproxima de -1 pela direita
indo para menos infinito. Ale´m disso, a func¸a˜o e´ crescente ate´ 1 e depois se torna decrescente. Ale´m
disso, ela se aproxima de zero com valores positivos quando x→ +∞. Levando em considerac¸a˜o a
informac¸a˜o que a boca da func¸a˜o e´ para baixo ate´ ate´ x = 2 e depois de x = 2 e´ para cima temos
os elementos para fazer o esboc¸o 2.
Para terminar o esboc¸o do gra´fico, veja que no intervalo (−∞,−1) a func¸a˜o e´ decrescente, com boca
voltada para baixo, ale´m de que quando x→ −∞ a func¸a˜o se aproxima de 0 com valores negativos
e, para x→ −1−, a func¸a˜o vai para menos infinito, isso e´ suficiente para desenharmos gra´fico 3.
Figura 1: As Ass´ıntotas Figura 2: parte a` direita Figura 3: f(x) =
x
(x+1)2
Questa˜o 2: (2,0pts) A receita R para uma quantidade q vendida, 0 ≤ q ≤ 30, e´ dada por
R(q) = −q3 + 30q2. Determine:
i) Os intervalos de crescimento e de decrescimento da receita.
ii) Os pontos de ma´xima e de m´ınima receita e os valores ma´ximo e m´ınimo dessa receita.
Soluc¸a˜o: i) (vale 1,0pt) Para determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento de R(q)
vamos derivar e fazer o estudo do sinal de R′(q). Enta˜o, R′(q) = −3q2 + 60q = −3q(q − 20) que
e´ uma para´bola com ra´ızes 0 e 20 e com a boca voltada para baixo. Logo, R(q) e´ crescente se
0 ≤ x ≤ 20 e decrescente se 20 < x ≤ 30.
ii) (vale 1,0pt) Para determinarmos os valores de receita ma´xima e m´ınima precisamos calcular a
func¸a˜o nos pontos cr´ıticos e o valor da func¸a˜o nos extemos. Enta˜o, R(0) = 0, R(20) = 4000, 00 e
R(30) = 0. Portanto, R tem receita ma´xima em q = 20 e o valor da receita e´ 4000, 00, e a receita
m´ınima em q = 0 e q = 30 e nesse valor a receita e´ 0.
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Me´todos Determin´ısticos 2 AP2 3
Questa˜o 3: (2,5pts) Calcule as seguintes integrais.
a)
∫
(1− 3x)4 dx
b)
∫
x11 +
1
x4
+ 3
√
x dx
c)
∫
x3ex dx
Soluc¸a˜o: a) (vale 0,5pt) Chamando u = 1− 3x⇒ du = −3dx, enta˜o∫
(1− 3x)4 dx =
∫
−u
4
3
du = −3
5
u5 +K = −(1− 3x)
5
15
+K
b) (vale 1,0pt) ∫
x11 +
1
x4
+ 3
√
x dx =
∫
x11 + x−4 + x
1
3 dx
=
x12
12
+
3x4/3
4
− 1
3x3
+K.
c) (vale 1,0pt) Essa integral se faz por partes. Seja u = x3 ⇒ du = 3x2 dx e dv = ex dx⇒ v = ex,
logo ∫
x2e−x dx = x3ex −
∫
3x2ex dx
. Precisamos aplicar a integrac¸a˜o por partes mais uma vez, seja u = 3x2 ⇒ du = 6x dx e dv =
ex dx⇒ v = ex,∫
x2e−x dx = x3ex −
∫
3x2ex dx = x3ex − (3x2ex −
∫
6xex dx)
Aplicando mais uma vez, u = 6x⇒ du = 6 dx e dv = ex dx⇒ v = 6 e temos∫
x2e−x dx = x3ex−3x2ex+
∫
6xex dx = x3ex−3x2ex+6xex−
∫
6ex dx = ex
(
x3 − 3x2 + 6x− 6)+K.
Questa˜o 4 (2,5pts) Considere a regia˜o limitada por y = (x2− 1)(x− 3) e a reta do eixo dos x e no
itervalo [−1, 3]. Fac¸a um esboc¸o do gra´fico e calcule a a´rea dessa regia˜o.
Soluc¸a˜o: (Viu que era uma equac¸a˜o do 3a grau e que tem ra´ızes −1, 1 e 3 (1,0pt), montou a
integral corretamente (1,0pt) integrou e achou o resultado correto 0,5pt) Como y = (x2− 1)(x− 3)
e´ uma equac¸a˜o de 3a-grau com ra´ızes −1, 1 e 3. Logo o esboc¸o de y e´
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Me´todos Determin´ısticos 2 AP2 4
Figura 4: Esboc¸o da regia˜o entre y = (x2 − 1)(x− 3)
Enta˜o, para calcularmos a integral devemos integrar de
∫ 1
−1 (x
2 − 1)(x− 3) dx e depois subtrair∫ 3
1
(x2 − 1)(x− 3) dx.
∫ 1
−1
(x2 − 1)(x− 3) dx−
∫ 3
1
(x2 − 1)(x− 3) dx =
∫ 1
−1
x3 − 3x2 − x+ 3 dx−
∫ 3
1
x3 − 3x2 − x+ 3 dx
= 4− (−4) = 8 u2.
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