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AP3 - Ca´lculo III - Gabarito - 2017-1 ORIENTAC¸O˜ES PARA PROVA COM CORREC¸A˜O ONLINE Orientac¸o˜es gerais (1) Voceˆ esta´ recebendo do aplicador um Caderno com a Folha de Questo˜es e as Folhas de Res- postas personalizadas para o registro das suas respostas. (2) Confira se a Folha de Questo˜es corresponde a` disciplina em que devera´ realizar a prova e se nas Folhas de Respostas constam corretamente o seu nome e nu´mero de matr´ıcula. Caso contra´rio, verifique com o aplicador a soluc¸a˜o cab´ıvel. (3) Voceˆ recebera´ o total de Folhas de Respostas de acordo com o indicado no canto superior direito. (4) Apo´s a confereˆncia e se estiver tudo certo, assine todas as Folhas de Respostas no local indicado para este fim. (5) E´ expressamente proibido o uso de aparelho celular dentro da sala de aplicac¸a˜o de prova. (6) Ao te´rmino da prova, entregue ao aplicador todas as Folhas de Respostas devidamente assinadas e a Folha de Questo˜es. Orientac¸o˜es para o preenchimento das Folhas de Respostas (1) Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta, para registro das resoluc¸o˜es das questo˜es nas Folhas de Respostas. (2) Apresente a resoluc¸a˜o de cada questa˜o no espac¸o previsto para ela nas Folhas de Respostas. (3) As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado para correc¸a˜o. Portanto, quaisquer anotac¸o˜es feitas fora delas, mesmo que em folha de rascunho, sera˜o ignoradas. (4) As respostas devem vir acompanhadas de justificativas. (5) E´ proibido o uso de corretivo nas respostas. (6) NA˜O AMASSE, DOBRE OU RASURE as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar a digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o. Orientac¸o˜es espec´ıficas para esta disciplina: (1) E´ expressamente proibido o uso de qualquer instrumento que sirva para ca´lculo assim como de qualquer material que sirva de consulta. ATENC¸A˜O: O descumprimento de quaisquer das orientac¸o˜es podera´ implicar em preju´ızo na sua avaliac¸a˜o, o que sera´ de sua inteira responsabilidade. Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro AP3 – Ca´lculo III – Gabarito – 2017-1 Nome: Matr´ıcula: Atenc¸a˜o! • Identifique a Prova, colocando nome e matr´ıcula. • Sua prova sera´ corrigida online. Siga as • Resoluc¸o˜es feitas nesta folha ou no rascunho na˜o sera˜o corrigidas. instruc¸o˜es na capa deste caderno. • Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao aplicador. Questa˜o 1 Considere a func¸a˜o f : R2 −→ R, definida por f(x, y) = { 1, se xy > 0 −1, se xy ≤ 0. (a) (1,0 ponto) Mostre que f na˜o e´ cont´ınua em (0,3); (b) (1,0 ponto) Se existir, calcule lim (x,y)→(3,3) f(x, y); (c) (1,0 ponto) Calcule lim (x,y)→(0,0) f(x, y)(1− cos y) y ; (d) (1,0 ponto) Se existirem, calcule as derivadas parciais de f no ponto (0, 3). Soluc¸a˜o: (a) Vejamos que f na˜o e´ cont´ınua em (0,3). De fato, tomando o caminho α : R −→ R2, dado por α(t) = (t, 3) (caminho passando pelo ponto (0, 3)!!!), temos lim t→0+ f(α(t)) = lim t→0+ f(t, 3) = lim t→0+ 1 6= −1 = f(0, 3). Portanto, f na˜o e´ cont´ınua em (0, 3). (b) Observemos que f ≡ 1, em cada elemento do conjunto D = { (x, y) ∈ R2; ‖(x, y)− (3, 3)‖ < 1} (disco aberto de raio 1, centrado no ponto (3,3)). Uma vez que o limite de f , quando (x, y) tende a (3, 3), refere-se ao comportamento da func¸a˜o f=f(x,y), quando (x, y) 6= (3, 3) encontra-se bem pro´ximo de (3, 3), resulta que lim (x,y)→(3,3) f(x, y) = lim (x,y)→(3,3) 1 = 1. Ca´lculo III AP3 3 (c) Do Ca´lculo de uma varia´vel, sabemos que lim (x,y)→(0,0) 1− cos y y = lim y→0 1− cos y y = 0. Uma vez que a imagem da func¸a˜o f e´ o conjunto finito {−1, 1}, segue que a func¸a˜o f e´ limitada. Portanto, pelo Teorema do Sandu´ıche, conclu´ımos que lim (x,y)→(0,0) f(x, y)(1− cos y) y = 0. (d) Observemos que lim h→0+ f(0 + h, 3)− f(0, 3) h = lim h→0+ 1− (−1) h = lim h→0+ 2 h = +∞, enquanto lim h→0− f(0 + h, 3)− f(0, 3) h = lim h→0− −1− (−1) h = lim h→0− 0 h = 0. Portanto, na˜o existe ∂f ∂x (0, 3). Por outro lado, lim h→0 f(0, 3 + h)− f(0, 3) h = lim h→0 −1− (−1) h = lim h→0− 0 h = 0, isto e´, ∂f ∂y (0, 3) = 0. Questa˜o 2 Seja f : R2 −→ R uma func¸a˜o diferencia´vel, e defina g : R2 −→ R pondo g(s, t) = f(s2 + cos t− 9, s2 + t2 − 9) para cada (s, t) ∈ R2. (a) (2,0 pontos) Sabendo que gs(3,−pi2 ) = 0 e gt(−3, pi2 ) = pi − 1, calcule as duas derivadas parciais de f no ponto P = ( 0, pi24 ) . (b) (1,0 ponto) Supondo que a func¸a˜o fy na˜o se anule, calcule gt(2, pi) fy(−6, pi2 − 5) . Soluc¸a˜o: Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Ca´lculo III AP3 4 (a) Para cada (s, t) ∈ R2, ponhamos x = x(s, t) = s2 + cos t − 9 e y = y(s, t) = s2 + t2 − 9. Nesse caso, aplicando a Regra da Cadeia, obtemos gs(s, t) = fx(s2 + cos t− 9, s2 + t2 − 9)xs(s, t) + fy(s2 + cos t− 9, s2 + t2 − 9)ys(s, t) = fx(s2 + cos t− 9, s2 + t2 − 9)(2s) + fy(s2 + cos t− 9, s2 + t2 − 9)(2s) para todo (s, t) ∈ R2. Analogamente, gt(s, t) = fx(s2 + cos t− 9, s2 + t2 − 9)xt(s, t) + fy(s2 + cos t− 9, s2 + t2 − 9)yt(s, t) = fx(s2 + cos t− 9, s2 + t2 − 9)(−sen t) + fy(s2 + cos t− 9, s2 + t2 − 9)(2t). Com isso, 0 = gs ( 3,−pi2 ) = 6fx ( 0, pi 2 4 ) + 6fy ( 0, pi 2 4 ) = 6α + 6β e pi − 1 = gt ( −3, pi2 ) = −fx ( 0, pi 2 4 ) + pify ( 0, pi 2 4 ) = −α + piβ, onde α = fx ( 0, pi24 ) e β = fy ( 0, pi24 ) . Isto significa que fx ( 0, pi24 ) = α = 1−pi pi+1 e fy ( 0, pi24 ) = β = pi−1 pi+1 . (b) Pelo item (a), gt(2, pi) = fx(−6, pi2 − 5) · 0 + fy(−6, pi2 − 5) · (2pi), donde gt(2, pi) fy(−6, pi2 − 5) = 2pi. Questa˜o 3 Suponha que a func¸a˜o T : R2 −→ R, definida por T (x, y) = 2x + y, represente a temperatura em cada ponto P = (x, y) do plano xy. Nesse caso, identifique: (a) (1,0 ponto) as curvas de n´ıvel da func¸a˜o T ; (b) (1,0 ponto) a temperatura ma´xima atingida em um ponto do disco D = {(x, y) ∈ R2;x2 + y2 ≤ 1}; Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Ca´lculo III AP3 5 (c) (1,0 ponto) o ponto de D no qual tal temperatura ma´xima e´ atingida. Soluc¸a˜o: (a) As curvas de n´ıvel da func¸a˜o T sa˜o retas da forma 2x+ y = c, onde c ∈ R. Trata-se de uma fam´ılia de retas, paralelas duas a duas. (b) Uma vez que ∇T (x, y) = (2, 1) 6= (0, 0), para todo (x, y) ∈ R2, resuta que a func¸a˜o T na˜o possui extremantes locais no interior do disco D = {(x, y) ∈ R2;x2 + y2 ≤ 1}. Portanto, para encontrarmos o ponto de ma´ximo de T em D, garantido pelo Teorema de Weierstrass, maximizaremos a func¸a˜o T = T (x, y), restrita a` condic¸a˜o x2 + y2 − 1︸ ︷︷ ︸ g(x,y) = 0. Supondo que P = (x, y) ∈ R2 seja um ponto onde T , sujeita a` condic¸a˜o supracitada, assume um valor ma´ximo, o Me´todo dos Muliplicadores de Lagrange garante a existeˆncia de λ ∈ R tal que (2, 1) = ∇T (x, y) = λ∇g(x, y) = λ(2x, 2y). Nesse caso, λ 6= 0 e, consequentemente, x = 1 λ e y = 2 λ , donde x2 + y2 − 1 = 0 =⇒ 1 λ2 + 14λ2 =⇒ λ = ± √ 5 2 . Da´ı, os pontos nos quais T assume seus valores extremos sa˜o P1 = 2√ 5 , 1√5 e P2 =− 2√ 5 ,− 1√5 . Como T (P1) = 2 ( 2√ 5 ) + 1√ 5 = 5√ 5 > 0 e T (P2) = 2 ( − 2√ 5 ) − 1√ 5 = − 5√ 5 < 0 segue que T (P1) e´ a temperatura ma´xima em D. (c) Da resoluc¸a˜o do item (b), segue que P1 e´ o ponto de D no qual a temperatura ma´xima e´ atingida. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ RASCUNHO Nome: Matr´ıcula: Atenc¸a˜o! • Resoluc¸o˜es feitas nesta folha na˜o sera˜o corrigidas. • Devolver esta folha ao aplicador.
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