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AP3 CIII 2017 1 gabarito

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AP3 - Ca´lculo III - Gabarito - 2017-1
ORIENTAC¸O˜ES PARA PROVA COM CORREC¸A˜O ONLINE
Orientac¸o˜es gerais
(1) Voceˆ esta´ recebendo do aplicador um Caderno com a Folha de Questo˜es e as Folhas de Res-
postas personalizadas para o registro das suas respostas.
(2) Confira se a Folha de Questo˜es corresponde a` disciplina em que devera´ realizar a prova e se nas
Folhas de Respostas constam corretamente o seu nome e nu´mero de matr´ıcula. Caso contra´rio,
verifique com o aplicador a soluc¸a˜o cab´ıvel.
(3) Voceˆ recebera´ o total de Folhas de Respostas de acordo com o indicado no canto superior
direito.
(4) Apo´s a confereˆncia e se estiver tudo certo, assine todas as Folhas de Respostas no local indicado
para este fim.
(5) E´ expressamente proibido o uso de aparelho celular dentro da sala de aplicac¸a˜o de prova.
(6) Ao te´rmino da prova, entregue ao aplicador todas as Folhas de Respostas devidamente assinadas
e a Folha de Questo˜es.
Orientac¸o˜es para o preenchimento das Folhas de Respostas
(1) Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta, para registro das resoluc¸o˜es
das questo˜es nas Folhas de Respostas.
(2) Apresente a resoluc¸a˜o de cada questa˜o no espac¸o previsto para ela nas Folhas de Respostas.
(3) As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado para correc¸a˜o. Portanto,
quaisquer anotac¸o˜es feitas fora delas, mesmo que em folha de rascunho, sera˜o ignoradas.
(4) As respostas devem vir acompanhadas de justificativas.
(5) E´ proibido o uso de corretivo nas respostas.
(6) NA˜O AMASSE, DOBRE OU RASURE as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar a
digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o.
Orientac¸o˜es espec´ıficas para esta disciplina:
(1) E´ expressamente proibido o uso de qualquer instrumento que sirva para ca´lculo assim como de
qualquer material que sirva de consulta.
ATENC¸A˜O: O descumprimento de quaisquer das orientac¸o˜es podera´ implicar em preju´ızo na sua
avaliac¸a˜o, o que sera´ de sua inteira responsabilidade.
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – Ca´lculo III – Gabarito – 2017-1
Nome: Matr´ıcula:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando nome e matr´ıcula. • Sua prova sera´ corrigida online. Siga as
• Resoluc¸o˜es feitas nesta folha ou no rascunho na˜o sera˜o corrigidas. instruc¸o˜es na capa deste caderno.
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao aplicador.
Questa˜o 1
Considere a func¸a˜o f : R2 −→ R, definida por
f(x, y) =
{
1, se xy > 0
−1, se xy ≤ 0.
(a) (1,0 ponto) Mostre que f na˜o e´ cont´ınua em (0,3);
(b) (1,0 ponto) Se existir, calcule lim
(x,y)→(3,3)
f(x, y);
(c) (1,0 ponto) Calcule lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y)(1− cos y)
y
;
(d) (1,0 ponto) Se existirem, calcule as derivadas parciais de f no ponto (0, 3).
Soluc¸a˜o:
(a) Vejamos que f na˜o e´ cont´ınua em (0,3). De fato, tomando o caminho α : R −→ R2, dado
por α(t) = (t, 3) (caminho passando pelo ponto (0, 3)!!!), temos
lim
t→0+
f(α(t)) = lim
t→0+
f(t, 3) = lim
t→0+
1 6= −1 = f(0, 3).
Portanto, f na˜o e´ cont´ınua em (0, 3).
(b) Observemos que f ≡ 1, em cada elemento do conjunto
D = { (x, y) ∈ R2; ‖(x, y)− (3, 3)‖ < 1}
(disco aberto de raio 1, centrado no ponto (3,3)). Uma vez que o limite de f , quando
(x, y) tende a (3, 3), refere-se ao comportamento da func¸a˜o f=f(x,y), quando (x, y) 6= (3, 3)
encontra-se bem pro´ximo de (3, 3), resulta que
lim
(x,y)→(3,3)
f(x, y) = lim
(x,y)→(3,3)
1 = 1.
Ca´lculo III AP3 3
(c) Do Ca´lculo de uma varia´vel, sabemos que
lim
(x,y)→(0,0)
1− cos y
y
= lim
y→0
1− cos y
y
= 0.
Uma vez que a imagem da func¸a˜o f e´ o conjunto finito {−1, 1}, segue que a func¸a˜o f e´
limitada. Portanto, pelo Teorema do Sandu´ıche, conclu´ımos que
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y)(1− cos y)
y
= 0.
(d) Observemos que
lim
h→0+
f(0 + h, 3)− f(0, 3)
h
= lim
h→0+
1− (−1)
h
= lim
h→0+
2
h
= +∞,
enquanto
lim
h→0−
f(0 + h, 3)− f(0, 3)
h
= lim
h→0−
−1− (−1)
h
= lim
h→0−
0
h
= 0.
Portanto, na˜o existe
∂f
∂x
(0, 3). Por outro lado,
lim
h→0
f(0, 3 + h)− f(0, 3)
h
= lim
h→0
−1− (−1)
h
= lim
h→0−
0
h
= 0,
isto e´,
∂f
∂y
(0, 3) = 0.
Questa˜o 2
Seja f : R2 −→ R uma func¸a˜o diferencia´vel, e defina g : R2 −→ R pondo
g(s, t) = f(s2 + cos t− 9, s2 + t2 − 9)
para cada (s, t) ∈ R2.
(a) (2,0 pontos) Sabendo que gs(3,−pi2 ) = 0 e gt(−3, pi2 ) = pi − 1, calcule as duas derivadas
parciais de f no ponto P =
(
0, pi24
)
.
(b) (1,0 ponto) Supondo que a func¸a˜o fy na˜o se anule, calcule
gt(2, pi)
fy(−6, pi2 − 5) .
Soluc¸a˜o:
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo III AP3 4
(a) Para cada (s, t) ∈ R2, ponhamos x = x(s, t) = s2 + cos t − 9 e y = y(s, t) = s2 + t2 − 9.
Nesse caso, aplicando a Regra da Cadeia, obtemos
gs(s, t) = fx(s2 + cos t− 9, s2 + t2 − 9)xs(s, t)
+ fy(s2 + cos t− 9, s2 + t2 − 9)ys(s, t)
= fx(s2 + cos t− 9, s2 + t2 − 9)(2s)
+ fy(s2 + cos t− 9, s2 + t2 − 9)(2s)
para todo (s, t) ∈ R2. Analogamente,
gt(s, t) = fx(s2 + cos t− 9, s2 + t2 − 9)xt(s, t)
+ fy(s2 + cos t− 9, s2 + t2 − 9)yt(s, t)
= fx(s2 + cos t− 9, s2 + t2 − 9)(−sen t)
+ fy(s2 + cos t− 9, s2 + t2 − 9)(2t).
Com isso,
0 = gs
(
3,−pi2
)
= 6fx
(
0, pi
2
4
)
+ 6fy
(
0, pi
2
4
)
= 6α + 6β
e
pi − 1 = gt
(
−3, pi2
)
= −fx
(
0, pi
2
4
)
+ pify
(
0, pi
2
4
)
= −α + piβ,
onde α = fx
(
0, pi24
)
e β = fy
(
0, pi24
)
. Isto significa que fx
(
0, pi24
)
= α = 1−pi
pi+1 e fy
(
0, pi24
)
=
β = pi−1
pi+1 .
(b) Pelo item (a),
gt(2, pi) = fx(−6, pi2 − 5) · 0 + fy(−6, pi2 − 5) · (2pi),
donde
gt(2, pi)
fy(−6, pi2 − 5) = 2pi.
Questa˜o 3
Suponha que a func¸a˜o T : R2 −→ R, definida por T (x, y) = 2x + y, represente a temperatura em
cada ponto P = (x, y) do plano xy. Nesse caso, identifique:
(a) (1,0 ponto) as curvas de n´ıvel da func¸a˜o T ;
(b) (1,0 ponto) a temperatura ma´xima atingida em um ponto do disco D = {(x, y) ∈ R2;x2 +
y2 ≤ 1};
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo III AP3 5
(c) (1,0 ponto) o ponto de D no qual tal temperatura ma´xima e´ atingida.
Soluc¸a˜o:
(a) As curvas de n´ıvel da func¸a˜o T sa˜o retas da forma 2x+ y = c, onde c ∈ R. Trata-se de uma
fam´ılia de retas, paralelas duas a duas.
(b) Uma vez que
∇T (x, y) = (2, 1) 6= (0, 0),
para todo (x, y) ∈ R2, resuta que a func¸a˜o T na˜o possui extremantes locais no interior do
disco
D = {(x, y) ∈ R2;x2 + y2 ≤ 1}.
Portanto, para encontrarmos o ponto de ma´ximo de T em D, garantido pelo Teorema de
Weierstrass, maximizaremos a func¸a˜o T = T (x, y), restrita a` condic¸a˜o
x2 + y2 − 1︸ ︷︷ ︸
g(x,y)
= 0.
Supondo que P = (x, y) ∈ R2 seja um ponto onde T , sujeita a` condic¸a˜o supracitada, assume
um valor ma´ximo, o Me´todo dos Muliplicadores de Lagrange garante a existeˆncia de λ ∈ R tal
que
(2, 1) = ∇T (x, y) = λ∇g(x, y) = λ(2x, 2y).
Nesse caso, λ 6= 0 e, consequentemente, x = 1
λ
e y = 2
λ
, donde
x2 + y2 − 1 = 0 =⇒ 1
λ2
+ 14λ2 =⇒ λ = ±
√
5
2 .
Da´ı, os pontos nos quais T assume seus valores extremos sa˜o P1 =
 2√
5
,
1√5
 e P2 =− 2√
5
,− 1√5
. Como
T (P1) = 2
(
2√
5
)
+ 1√
5
= 5√
5
> 0
e
T (P2) = 2
(
− 2√
5
)
− 1√
5
= − 5√
5
< 0
segue que T (P1) e´ a temperatura ma´xima em D.
(c) Da resoluc¸a˜o do item (b), segue que P1 e´ o ponto de D no qual a temperatura ma´xima e´
atingida.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
RASCUNHO
Nome: Matr´ıcula:
Atenc¸a˜o!
• Resoluc¸o˜es feitas nesta folha na˜o sera˜o corrigidas. • Devolver esta folha ao aplicador.

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