Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
CCE0005 – Cálculo Vetorial e geometria Analítica Aula 2: Representação de Vetores Cálculo Vetorial e Geometria Analítica AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES Conteúdo desta aula DECOMPOSIÇÃO DE VETORES EM R² 1 COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES EM R² 2 REPRESENTAÇÃO DE VETORES 3 PARALELISMO DE VETORES 4 PRÓXIMOS PASSOS MÓDULO DE VETORES 5 VETOR UNITÁRIO 6 Cálculo Vetorial e Geometria Analítica AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES Representação de Vetores no R2 Sejam dois vetores 𝑢 = (x1, y1) e 𝑣 = (x2, y2), não colineares. Um vetor 𝑤 qualquer, coplanar a 𝑢 e 𝑣 , pode ser escrito através da decomposição de u e v. Isto significa que podemos escolher dois escalares k1 e k2 de tal forma que: 𝒘 = k1. 𝒖 + k2.𝒗 Decomposição de vetores em R2 Cálculo Vetorial e Geometria Analítica AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES Representação de Vetores no R2 𝒘 = k1. 𝒖 + k2.𝒗 (visão geométrica) 𝒖 𝒗 k1. 𝒖 k2. 𝒗 Decomposição de vetores em R2 Cálculo Vetorial e Geometria Analítica AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES Representação de Vetores no R2 k1. 𝒖 k2. 𝒗 𝒘 𝒖 k1. 𝒖 k2.𝒖 Decomposição de vetores em R2 𝒘 = k1. 𝒖 + k2.𝒗 (visão geométrica) 𝒖 𝒗 Cálculo Vetorial e Geometria Analítica AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES Representação de Vetores no R2 Quando se representa um vetor 𝑤 qualquer por uma expressão do tipo k1. 𝑢 + k2. 𝑣 , pode-se dizer que w é uma combinação linear de 𝑢 e 𝑣 . Neste caso, o par 𝑢 e 𝑣 (não colineares) é denominado base do plano. Qualquer par de vetores não colineares {u,v} podem constituir uma base no plano. Combinação linear de vetores em R2 Cálculo Vetorial e Geometria Analítica AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES Representação de Vetores no R2 𝒖 v k1. 𝒖 k2.𝒖 {u, v} formam uma base, geram qualquer vetor do plano Combinação linear de vetores em R2 VISÃO GEOMÉTRICA: 𝒘 = k1. 𝒖 + k2. 𝒗 𝒘 Cálculo Vetorial e Geometria Analítica AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES Representação de Vetores no R2 VISÃO GEOMÉTRICA: 𝒘 = k1. 𝒖 + k2. 𝒗 i =(1,0) j = (0,1) x.i y.j { i, j } base canônica Combinação linear de vetores em R2 Cálculo Vetorial e Geometria Analítica AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES Combinação linear de vetores em R2 Representação de Vetores no R2 Dada a base canônica: {i, j} onde i=(1,0) e j = (0,1) cria-se uma correspondência biunívoca entre os vetores do plano e as ordenadas (x,y). u = (x,y) u = x.i + y.j = x.(1,0) + y.(0,1) = =(x.1+y.0,x.0+y.1) = =(x,y) Cálculo Vetorial e Geometria Analítica AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES Representação de Vetores no R2 EXEMPLOS: 1. u = 3i + 2j = 3.(1,0) + 2.(0,1) = (3,2) 2. v = -5i - 0j = -5.(1,0) - 0.(0,1) = (-5,0) 3. w = i + j = 1.(1,0) + 1.(0,1) = (1,1) 4. v = - i + 2j = -1.(1,0) + 2(0,1) = (-1,2) 5. w =-7j = 0.(1,0) -7.(0,1) = (0,-7) 6. u =(1/3)i = 1/3.(1,0) + 0.(0,1) = (1/3, 0) Combinação linear de vetores em R2 Cálculo Vetorial e Geometria Analítica AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES Representação de Vetores no R2 𝒊 = (1 , 0, 0) 𝒋 = (0, 1, 0) 𝒌 = (0, 0, 1) 𝒗 = x. 𝒊 + y. 𝒋 + z. 𝒌 = (x,y,z) (EXPRESSÃO ANALÍTICA) Base canônica em R3: {i, j, k} Y X Z 𝒊 𝒋 𝒌 Combinação linear de vetores em R2 Cálculo Vetorial e Geometria Analítica AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES Representação de Vetores no R2 Exemplos de Vetores no R³ 1. v = 2 i – 3 j + 5 k 2. w = -4 j – 2 k 3. u = - k 4. (2 , -1 , 3) 5. (0 , 2 , 6) Combinação linear de vetores em R2 Cálculo Vetorial e Geometria Analítica AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES Representação de Vetores no R2 Exemplos: Seja o vetor v igual a: v = (2,3,4) e u =(6,9,12). Temos v = 3 .u. Logo, v // u; v = (2,3) e u = (-4,-6). Temos v = -2.u. Logo, v // u; v = (1,1,1) e u =(7,7,7). Temos v = 7.u. Logo, v // u; v = (8,-6,12) e u =(4,-3,6). Temos v = (1/2). u. Logo, v // u; v = (8,-6) e u =(4,-3). Temos v = (1/2). u. Logo, v // u v = (0,0,0) e u =(4,7,-1). Temos v = 0.u. Logo, v // u; Condição de Paralelismo de Vetores: v = k. u Combinação linear de vetores em R2 Cálculo Vetorial e Geometria Analítica AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES Representação de Vetores no R2 Representa o tamanho do vetor a(xa,ya) b(xb yb) yb - ya xb - xa 𝑢 𝑢 = (b-a) = (xb-xa,yb-ya) Por Pitágoras (triângulo retângulo) | 𝑢 | = (𝑥𝑏 − 𝑥𝑎)2+(𝑦𝑏 − 𝑦𝑎)2 Módulos de vetores Cálculo Vetorial e Geometria Analítica AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES Representação de Vetores no R2 𝑢 = (b-a) = (xb-xa,yb-ya) | 𝑢 | = (𝑥𝑏 − 𝑥𝑎)2+(𝑦𝑏 − 𝑦𝑎)2 𝒗 = 𝑢 / |𝑢| |𝒗| = 1 yb - ya a(xa,ya) b(xb yb) xb - xa 𝑢 𝒗 Vetor unitário Vetor com módulo 1 Pode-se obter um vetor unitário a partir de outro (versor): basta dividi-lo por seu módulo Cálculo Vetorial e Geometria Analítica AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES Representação de Vetores no R2 Vetor com módulo 1 Pode-se obter um vetor unitário a partir de outro (versor): basta dividi-lo por seu módulo a(2,1) b(6,4) 4-1=3 6-2=4 𝑢 𝑢 = (b-a) = (6-2,4-1) = (4,3) | 𝑢 | = 42 + 32 = 25 = 5 𝒗 = 𝑢 / |𝑢| = (4,3) / 5 = ( 4 5 , 3 5 ) |𝒗| = 4 5 2 + 3 5 2 = 16 25 + 9 25 = 1 𝒗 Vetor unitário Assuntos da próxima aula: 1. Produto Escalar; 2. Produto Vetorial; 3. Produto Misto.
Compartilhar