AULA 4 PRÁTICA DE PRODUTO DE VETORES

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CCE0005 – Cálculo Vetorial e geometria Analítica 
Aula 4: Prática de produto de vetores 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 4: PRÁTICA DE PRODUTO DE VETORES 
Conteúdo desta aula 
PRÁTICA DE 
PRODUTO ESCALAR 
1 
PRÁTICA DE 
PRODUTO VETORIAL 
2 
PRÁTICA DE 
PRODUTO MISTO 
3 
PRÓXIMOS 
PASSOS 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 4: PRÁTICA DE PRODUTO DE VETORES 
PRODUTO ESCALAR: associado ao cálculo de ângulos 
Prática de Produto de Vetores 
Como já foi visto, o produto escalar entre dois vetores u=(x1,y1) e v=(x2,y2), que 
formam entre eles um ângulo A, pode ser calculado de duas formas: 
 
• u . v = x1.x2 + y1.y2 
• u . v = |u| . |v| . cos A 
 
Como estamos calculando a mesma grandeza de formas diferentes, pode-se igualar as 
expressões 
u . v = x1.x2 + y1.y2 = |u| . |v| . cos A 
 
cos A = x1.x2 + y1.y2 / |u| . |v| 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 4: PRÁTICA DE PRODUTO DE VETORES 
Prática de Produto de Vetores 
 
 
 
 
 
 
Exercício: Mostrar que os vetores u=(1,-2,3) e v=(4,5,2) são ortogonais 
PRODUTO ESCALAR: associado ao cálculo de ângulos 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 4: PRÁTICA DE PRODUTO DE VETORES 
Prática de Produto de Vetores 
 
 
 
 
 
 
o produto escalar de vetores ortogonais é nulo 
Exercício: Mostrar que os vetores u=(1,-2,3) e v=(4,5,2) são ortogonais 
PRODUTO ESCALAR: associado ao cálculo de ângulos 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 4: PRÁTICA DE PRODUTO DE VETORES 
Prática de Produto de Vetores 
Calculando o ângulo 
 
cos A = 1 . 4 – 2 . 5 + 3 . 2 / |u| . |v| 
cos A = 0 / |u| . |v| 
cos A = 0 
A = 900 
PRODUTO ESCALAR: associado ao cálculo de ângulos 
o produto escalar de vetores ortogonais é nulo 
Exercício: Mostrar que os vetores u=(1,-2,3) e v=(4,5,2) são ortogonais 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
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Prática de Produto de Vetores 
Verificando se o produto escalar é nulo (mais fácil e rápido) 
u . v = 1 . 4 – 2 . 5 + 3 . 2 
u . v = 4 – 10 + 6 
u . v = 0 
PRODUTO ESCALAR: associado ao cálculo de ângulos 
o produto escalar de vetores ortogonais é nulo 
Exercício: Mostrar que os vetores u=(1,-2,3) e v=(4,5,2) são ortogonais 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 4: PRÁTICA DE PRODUTO DE VETORES 
Prática de Produto de Vetores 
Exercício: Mostrar a forma geral de um vetor u=(x,y,z) que seja 
simultaneamente perpendicular aos vetores v=(1,-1,0) e w=(1,0,1) 
PRODUTO ESCALAR: associado ao cálculo de ângulos 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
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Prática de Produto de Vetores 
u . v = 0 = x . 1 – y . 1 + z . 0 = x- y 
x – y = 0 
y = x 
u . w = 0 = x . 1 + y . 0 + z . 1 = x + z 
x + z = 0 
z = -x 
 
Portanto, para qualquer x, os vetores u são da forma (x, x. –x) ou x . (1, 1, -1) 
Exercício: Mostrar a forma geral de um vetor u=(x,y,z) que seja 
simultaneamente perpendicular aos vetores v=(1,-1,0) e w=(1,0,1) 
PRODUTO ESCALAR: associado ao cálculo de ângulos 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
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Prática de Produto de Vetores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício: Calcular o ângulo entre os vetores u=(1,1,4) e v=(-1,2,2) 
PRODUTO ESCALAR: associado ao cálculo de ângulos 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
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Prática de Produto de Vetores 
 cos 𝐴 = 
−1 + 2 + 8
18 . 9
 
cos 𝐴 = 
9
3 2 . 3
 = 
9
9 . 2
= 
1
2
 = 
2
2
 
 
A=450 
 cos 𝐴 = 
1,1,4 . −1,2,2
1 + 1 + 16 . 1 + 4 + 4
 
Exercício: Calcular o ângulo entre os vetores u=(1,1,4) e v=(-1,2,2) 
PRODUTO ESCALAR: associado ao cálculo de ângulos 
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Prática de Produto de Vetores 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício: Calcular o valor de m para que o vetor formado pelos pontos 
A(3, 1, -2) e B(4,0,m) forme um ângulo de 600 com o vetor v(2,1,-1) 
PRODUTO ESCALAR: associado ao cálculo de ângulos 
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Prática de Produto de Vetores 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício: Considerando os vetores u=(1,-1,-4) e v=(3,2,-2), determinar um 
vetor que seja ortogonal a u e v e tenha módulo 4 
PRODUTO VETORIAL: associado ao vetor normal e ao cálculo de áreas 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
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Prática de Produto de Vetores 
Ortogonal aos dois: produto vetorial 
 
 u x v = 
𝑖 𝑗 𝑘
1 −1 −4
3 2 −2
 = (10,-10,5) 
 
 
PRODUTO VETORIAL: associado ao vetor normal e ao cálculo de áreas 
Exercício: Considerando os vetores u=(1,-1,-4) e v=(3,2,-2), determinar um 
vetor que seja ortogonal a u e v e tenha módulo 4 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
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Prática de Produto de Vetores 
Módulo 4: 𝑢 𝑥 𝑣 = 102 + −102 + 52 = 225 = 15 
 se dividirmos o vetor u x v por 15, teremos um vetor unitário 
 se também multiplicarmos por 4, teremos um vetor com módulo 4 
 
 𝑤 = 
4
15
 10, −10, , 5 =
40
15
,
−40
15
,
5
15
= 
8
3
,
−8
3
,
1
3
 
 
PRODUTO VETORIAL: associado ao vetor normal e ao cálculo de áreas 
Exercício: Considerando os vetores u=(1,-1,-4) e v=(3,2,-2), determinar um 
vetor que seja ortogonal a u e v e tenha módulo 4 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 4: PRÁTICA DE PRODUTO DE VETORES 
Prática de Produto de Vetores 
Exercício: Calcular o valor de a para que o paralelogramo formado pelos 
vetores u = (2, 1, -1) e v=(1,-1,a) possua área igual a 62 
PRODUTO VETORIAL: associado ao vetor normal e ao cálculo de áreas 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
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Prática de Produto de Vetores 
 u x v = 
𝑖 𝑗 𝑘
2 1 −1
1 −1 𝑎
 = (a-1) i + (2a+1) j + (-2-1) k = (a-1, -2a+1,-3) 
 
|u x v| = (𝑎 − 1)2+(−2𝑎 − 1)2+ −32 = 62 
(𝑎 − 1)2+(−2𝑎 − 1)2+ −32 = 62 
 
Resolvendo a equação do 2º grau, a = 3 ou a = -17/5 
Exercício: Calcular o valor de a para que o paralelogramo formado pelos 
vetores u = (2, 1, -1) e v=(1,-1,a) possua área igual a 62 
PRODUTO VETORIAL: associado ao vetor normal e ao cálculo de áreas 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 4: PRÁTICA DE PRODUTO DE VETORES 
PRODUTO MISTO: associado ao cálculo do volume 
Prática de Produto de Vetores 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício: Verificar se os vetores u=(2, -1, 1), v=(1,0,-1) e w=(2,-1,4) são coplanares 
Obs: vetores coplanares não geram volume, portanto o produto misto é nulo 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
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Prática de Produto de Vetores 
Verificar se o determinante de 
2 −1 1
1 0 −1
2 −1 4
 = 0 
 
(0+2-1)-(0+2-4) = 3 
 
Os vetores não são coplanares, pois geram um sólido com volume = 3 u. v. 
PRODUTO MISTO: associado ao cálculo do volume 
Exercício: Verificar se os vetores u=(2, -1, 1), v=(1,0,-1) e w=(2,-1,4) são coplanares 
Obs: vetores coplanares não geram volume, portanto o produto misto é nulo 
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Prática de Produto de Vetores 
 
 
 
 
 
 
Exercício: Determine o valor de m para que o paralelepípedo formado pelos 
vetores u=(3,m,-2), v=(1,-1,0) e w=(2,-1,2) possua volume de 16 u. v. 
PRODUTO MISTO: associado ao cálculo do volume 
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Prática de Produto de Vetores 
O volume do paralelepípedo é dado pelo módulo do determinante de 
 
3 𝑚 −2
1 −1 0
2 −1 2
 deve ser igual a 16 
 
|(-6+0+2)-(4+0+2m)| = 16 |-4-4-2m| = 16 |-8-2m| = 16 
 
-8-2m=16 e -8–2m=-16 
m=-12 e m=4 
Exercício: Determine o valor de m para que o paralelepípedo formado pelos 
vetores u=(3,m,-2), v=(1,-1,0) e w=(2,-1,2) possua volume de 16 u. v. 
PRODUTO MISTO: associado ao cálculo do volume 
Assuntos da próxima aula: 
1. Equação vetorial da reta; 
2. Equações paramétricas da 
reta; 
3. Equações simétricas da reta; 
4. Equações reduzidas da reta.