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Universidade Federal da Bahia MATA04 Ca´lculo C Lista de Exerc´ıcios - Sequeˆncias (1) Liste os cinco primeiros termos da sequeˆncia. (a) an = 1− (0, 2)n. (b) an = 3(−1)n n! . (c) a1 = 3, an+1 = 2an − 1. (2) Encontre uma fo´rmula para o termo geral da sequeˆncia, assumindo que o padra˜o dos primeiros termos continua. (a) { 1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 , . . . } . (b) {2, 7, 12, 17, . . .}. (c) { 1,−2 3 , 4 9 ,− 8 27 , . . . } . (3) Determine se a sequeˆncia converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite. (a) an = n(n− 1). (b) an = 3 + 5n2 n+ n2 . (c) an = 2n 3n+1 . (d) an = (−1)n−1n n2 + 1 . (e) an = cos (n 2 ) . (f) { (2n− 1)! (2n+ 1)! } . (g) an = en − e−n e2n + 1 . (h) an = n 2e−n. (i) an = cos2 n 2n . (j) an = n sen ( 1 n ) . (k) an = ( 1 + 2 n )1/n . (l) an = {0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, . . .}. (m) an = n! 2n . (n) an = (−1)n ( n+ 1 n ) . (o) { arctg ( 2n 2n+ 1 )} . (p) an = n3 n! . (q) an = 1× 3× 5× · · · × (2n− 1) (2n)n . (4) Para quais valores de r a sequeˆncia {nrn} e´ convergente? (5) Calcule o limite da sequeˆncia {√ 2, √ 2 √ 2, √ 2 √ 2 √ 2, . . . } . Observac¸a˜o: por causa da conclusa˜o deste exerc´ıcio, escrevemos √ 2 √ 2 √ 2 · · · = 2. (6) Mostre que a sequeˆncia definida recursivamente por a1 = 1 an+1 = 3− 1 an e´ crescente e an < 3 para todo n. Deduza que {an} e´ convergente e calcule o seu limite. 1 2 Respostas (1) (a) 0, 8; 0, 96; 0, 992; 0, 9984; 0, 99968. (b) −3, 32 , − 12 , 18 , − 140 . (c) 3, 5, 9, 17, 33. (2) (a) an = 1 2n . (b) an = 5n− 3. (c) an = (− 23)n−1. (3) (a) D. (b) C, 5. (c) C, 0. (d) C, 0. (e) D (f) C, 0. (g) C, 0. (h) C, 0. (i) C, 0. (j) C, 1. (k) C, 1. (l) D. (m) D. (n) D. (o) C, pi4 . (p) C, 0. (q) C, 0. (4) −1 < r < 1. (5) (3 + √ 5)/2.
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