LISTA SÉRIES - cálculo C (3)

Prévia do material em texto

Universidade Federal da Bahia
MATA04 Ca´lculo C
Lista de Exerc´ıcios - Se´ries Nume´ricas
(1) Calcule as 10 primeiras somas parcias das se´ries. Parece que a se´rie e´ convergente ou divergente?
(a)
∞∑
n=1
10
3n
(b)
∞∑
n=1
n
n+ 1
(2) Determine se a se´rie e´ convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
(a) 4 +
8
5
+
16
25
+
32
125
+ . . .
(b) −2 + 5
2
− 25
8
+
125
32
+ . . .
(c)
∞∑
n=1
5
(
2
3
)n−1
(d)
∞∑
n=1
(−3)n−1
4n
(e)
∞∑
n=1
3−n8n+1
(f)
∞∑
n=1
[2(0, 1)n + (0, 2)n]
(g)
∞∑
n=1
3n + 2n
6n
(3) Expresse o nu´mero como uma raza˜o de inteiros.
(a) 0, 2 = 0, 222 . . . (b) 0, 123456 = 0, 123456456456 . . .
(4) Encontre os valores de x para os quais a se´rie converge. Para estes valores, calcule a soma da se´rie.
(a)
∞∑
n=1
xn
3n
(b)
∞∑
n=1
1
xn
(5) Determine se a se´rie e´ convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
(a)
∞∑
n=1
en+1 − en
e2n+1
(b)
∞∑
n=1
1√
n+
√
n+ 1
(c)
∞∑
n=1
1
(n+ 1)(n+ 2)
(d)
∞∑
n=1
1
n(n+ 2)
(e)
∞∑
n=1
1
n(n+ 1)(n+ 2)
(6) Mostre que a se´rie e´ divergente.
(a)
∞∑
n=1
n
n+ 5
(b)
∞∑
n=1
n√
1 + n2
(c)
∞∑
n=1
arctg(n)
(d)
∞∑
n=1
ln
(
n
2n+ 5
)
(7) Confirme o resultado da questa˜o (1), isto e´, verifique se a se´rie e´ convergente ou divergente.
1
2
(8) Determine se a se´rie e´ convergente ou divergente.
(a)
∞∑
n=1
1
n4
(b)
∞∑
n=1
1
3n+ 1
(c)
∞∑
n=1
ne−n
(d)
∞∑
n=1
1
n1,0001
(e)
∞∑
n=1
1 +
1
8
+
1
27
+
1
64
+
1
125
+ . . .
(f)
∞∑
n=1
5− 2√n
n3
(g)
∞∑
n=1
ne−n
2
(h)
∞∑
n=1
n
n2 + 1
(i)
∞∑
n=2
1
n ln(n)
(j)
∞∑
n=1
arctg(n)
1 + n2
(9) Encontre os valores de p para os quais a se´rie e´ convergente.
(a)
∞∑
n=2
1
n (ln(n))p
(b)
∞∑
n=1
n(1 + n2)p
(10) Considere a 2-se´rie
∞∑
n=1
1
n2
.
(a) Use as 10 primeiras parcelas para estimar a soma da se´rie. Qual o erro ma´ximo cometino usando
esta aproximac¸a˜o?
(b) Quantas parcelas na˜o necessa´rias para estimar a soma da se´rie com uma precisa˜o de 0, 001?
(11) Determine se a se´rie e´ convergente ou divergente.
(a)
∞∑
n=1
1
n2 + n+ 1
(b)
∞∑
n=1
n+ 1
n2
(c)
∞∑
n=1
1√
n(n+ 1)(n+ 2)
(d)
∞∑
n=1
3 + cosn
3n
(e)
∞∑
n=1
2n
1 + 3n
(f)
∞∑
n=1
n2 + 1
n4 + 1
(g)
∞∑
n=1
n+ 1
n2n
(h)
∞∑
n=1
sen
(
1
n
)
(12) Use os 10 primeiros termos para aproximar a soma da se´rie. Estime o erro.
(a)
∞∑
n=1
1
n4 + n2
(b)
∞∑
n=1
1
1 + 2n
(13) O significado da representac¸a˜o decimal de um nu´mero 0, d1d2d3 . . . (onde cada di e´ um d´ıgito entre
0 e 9) e´ que
0, d1d2d3 . . . =
d1
10
+
d2
102
+
d3
103
+ . . . =
∞∑
n=1
dn
10n
.
Mostre que essa se´rie sempre converge.
3
(14) Determine se a se´rie e´ convergente ou divergente.
(a)
∞∑
n=1
(−1)n−1√
n
(b)
∞∑
n=1
(−1)n 2n
4n+ 1
(c)
∞∑
n=1
(−1)n+1
4n2 + 1
(d)
∞∑
n=1
(−1)n−1
√
n
n+ 4
(e)
∞∑
n=2
(−1)n n
lnn
(f)
∞∑
n=1
cosnpi
n3/4
(g)
∞∑
n=1
(−1)n sen
(pi
n
)
(h)
∞∑
n=1
(−1)nn
n
n!
(i)
4
7
− 4
8
+
4
9
− 4
10
+
4
11
− · · ·
(15) Calcule a de´cima soma parcial da se´rie
∞∑
n=1
(−1)n−1
n3/2
. Estime o erro ao usar esta aproximac¸a˜o para
a soma da se´rie.
(16) Quantos termos da se´rie precisamos usar para aproximar a soma da se´rie com a precisa˜o indicada?
(a)
∞∑
n=1
(−1)n−1
n2
(erro < 0, 01) (b)
∞∑
n=1
(−2)n
n!
(erro < 0, 01)
(17) Determine se a se´rie e´ absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(a)
∞∑
n=1
(−1)n−1
n
√
n
(b)
∞∑
n=1
(−3)n
n3
(c)
∞∑
n=1
(−1)n
5 + n
(d)
∞∑
n=1
(−1)n n
n+ 5
(e)
∞∑
n=1
1
(2n)!
(f)
∞∑
n=1
sen(2n)
n2
(g)
∞∑
n=1
n(−3)n
4n−1
(h)
∞∑
n=1
10n
(n+ 1)42n+1
(i)
∞∑
n=1
n!
(−10)n
(j)
∞∑
n=1
cos((npi)/3)
n!
(k)
∞∑
n=1
nn
31+3n
(l)
∞∑
n=1
(
n2 + 1
2n2 + 1
)n
(m) 1− 2!
1× 3 +
3!
1× 3× 5 −
4!
1× 3× 5× 7 + · · ·
(n)
∞∑
n=1
2× 4× 6× . . .× (2n)
n!
(18) Seja {an} a sequeˆncia definida recursivamente por
a1 = 2 e an+1 =
5n+ 1
4n+ 3
an.
A se´rie
∞∑
n=1
an e´ convergente ou divergente?
4
(19) Para quais se´ries abaixo o Teste da Raza˜o na˜o e´ conclusivo (isto e´, ele na˜o da´ uma resposta sobre a
convergeˆncia)? Para estas se´ries, existe algum outro teste que e´ conclusivo para a convergeˆncia?
(a)
∞∑
n=1
1
n3
(b)
∞∑
n=1
n
2n
(c)
∞∑
n=1
(−3)n−1√
n
(d)
∞∑
n=1
√
n
1 + n2
5
Respostas
(1) (a) s1 = 3, 33333, s2 = 4, 44444, s3 = 4, 81481, s4 = 4, 93827, s5 = 4, 97942, s6 = 4, 99314,
s7 = 4, 99771, s8 = 4, 99924, s9 = 4, 99975, s10 = 4, 99992. Convergente.
(b) s1 = 0, 5, s2 = 1, 6667, s3 = 1, 91667, s4 = 2, 71667, s5 = 3, 55, s6 = 4, 40714, s7 = 5, 28214,
s8 = 6, 17103, s9 = 7, 07103, s10 = 7, 98012. Divergente.
(2) (a) C, 20/3
(b) D
(c) C, 15
(d) C, 1/7
(e) D
(f) C, 17/36
(g) C, 3/2
(3) (a)
2
9
(b)
1138
333
(4) (a) −3 < x < 3; s = x
x− 3 (b) x < −1 ou x > 1; s =
x
x− 1
(5) (a) C,
1
e
(b) D
(c) C,
1
2
(d) C,
3
4
(e) C,
1
4
(6) (a) lim
n→∞
n
n+ 5
= 1 6= 0
(b) lim
n→∞
n√
1 + n2
= 1 6= 0
(c) lim
n→∞ arctg(n) =
pi
2
6= 0
(d) lim
n→∞ ln
(
n
2n+ 5
)
= ln
(
1
2
)
6= 0
(7) (a) C (b) D
(8) (a) C
(b) D
(c) C
(d) C
(e) C
(f) C
(g) C
(h) D
(i) D
(j) C
(9) (a) p > 1 (b) p < −1
(10) (a) 1, 54977; erro ≤ 0, 1 (b) 1000 parcelas
(11) (a) C
(b) D
(c) C
(d) C
(e) C
(f) C
(g) C
(h) D
(12) (a) 0, 567975; erro ≤ 0, 0003 (b) 0, 76352; erro ≤ 0, 001
(13) Compare com a se´rie geome´trica
∞∑
n=1
(
1
10
)n−1
.
6
(14) (a) C
(b) D
(c) C
(d) D
(e) C
(f) C
(g) C
(h) D
(i) C
(15) 0, 7505; erro < 0, 0275
(16) (a) 10 (b) 7
(17) (a) AC
(b) D
(c) CC
(d) D
(e) AC
(f) AC
(g) AC
(h) AC
(i) D
(j) AC
(k) D
(l) AC
(m) AC
(n) D
(18) D
(19) (a) p-se´rie, (d) teste de comparac¸a˜o