MATA04 Lista 03 Séries (Misturadas)

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Universidade Federal da Bahia
MATB40 Sequeˆncias, Se´ries e EDO
Estrate´gia para testar se´ries
Temos va´rias maneiras de testar a convergeˆncia ou divergeˆncia de se´ries. O problema e´ decidir que teste
usar em cada se´rie. Na˜o ha´ regras certeiras para isso, mas os conselhos a seguir (adaptados do livro do
Stewart) podem ser u´teis. A ideia e´ escolher o teste de acordo com a forma da se´rie
∑
an. Se o teste
escolhido na˜o funcionar, enta˜o tentamos outros.
(1) Se notar que lim
n→∞ an 6= 0, ja´ sabe que a se´rie diverge.
(2) Se a se´rie for da forma
∑
1/np, ela e´ uma p-se´rie, convergente se p > 1 ou divergente se p ≤ 1.
(3) Se puder ser colocada na forma
∑
arn, e´ se´rie geome´trica, converge se |r| < 1 e diverge se |r| ≥ 1.
(4) Se an = f(n), com f cont´ınua, positiva e decrescente, e
∫∞
1 f(x) dx for fa´cil de calcular, use o teste
da integral.
(5) Se for parecida com uma p-se´rie ou se´rie geome´trica, um dos testes de comparac¸a˜o pode funcionar.
Em particular, se an for uma func¸a˜o racional ou alge´brica (com ra´ızes de polinoˆmios), compare com
uma p-se´rie. Escolha o valor de p deixando so´ as poteˆncias mais altas no numerador e denominador.
(6) Os testes de comparac¸a˜o e da integral so´ valem se os an forem positivos, mas se na˜o forem podemos
aplicar os testes a
∑ |an| para testar a convergeˆncia absoluta.
(7) Se a se´rie for da forma
∑
(−1)n−1bn ou
∑
(−1)nbn, tente o teste da se´rie alternada.
(8) O teste da raza˜o pode ser u´til se an tiver n em expoentes ou fatoriais, mas na˜o se for func¸a˜o racional
ou alge´brica.
(9) O teste da raiz pode ser u´til se an for da forma (bn)
n.
(10) Outra dica e´ ver se an tem somas ou subtrac¸o˜es onde uma parcela se torna dominante (muito maior
que as demais) a` medida que n → ∞. Desprezando as na˜o dominantes, obtemos uma se´rie mais
simples para comparar. Para identificar a dominac¸a˜o, note que, para n suficientemente grande,
c� lnn� . . .� 3√n� √n� n� n2 � n3 � . . .� 2n � 3n � . . .� n!� nn.
Essas desigualdades significam, por ex., que lim
n→∞
lnn√
n
= 0 e lim
n→∞
nn
n! =∞. Prove algumas delas!
Nos exemplos abaixo indicamos os testes a serem usados:
•
∞∑
n=1
n− 1
2n + 1
. Como an → 12 6= 0, quando n→∞, devemos usar o teste da divergeˆncia.
•
∞∑
n=1
√
n3 + 1
3n3 + 4n2 + 2
. Como an e´ uma func¸a˜o alge´brica de n, comparamos com uma p-se´rie cujos termos
sa˜o
√
n3
n3
=
n3/2
n3
=
1
n3/2
.
•
∞∑
n=1
ne−n
2
. Como
∫∞
1 xe
−x2dx e´ facil, usamos o teste da integral. O teste da raza˜o tambe´m funciona.
•
∞∑
n=1
(−1)n n
3
n4 + 1
. Como a se´rie e´ alternada, usamos o teste da se´rie alternada.
•
∞∑
n=1
2n
n!
. Como a se´rie envolve n!, usamos o teste da raza˜o.
•
∞∑
n=1
1
2 + 3n
. Como a se´rie se parece com a se´rie geome´trica
∑
1/3n, usamos o teste da comparac¸a˜o.
•
∞∑
n=1
n− lnn
n3 + 2n
. Tomando as parcelas dominantes no numerador e denominador, usamos o teste da
comparac¸a˜o do limite com
∞∑
n=1
n
2n
.
1
2
Exerc´ıcios
(1) Teste a convergeˆncia ou divergeˆncia das se´ries.
(a)
∞∑
n=1
n2 − 1
n2 + n
(b)
∞∑
n=1
1
n2 + n
(c)
∞∑
n=1
(−3)n+1
23n
(d)
∞∑
n=1
n−1,7
(e)
∞∑
n=1
n
en
(f)
∞∑
n=1
(−1)n+1
n lnn
(g)
∞∑
n=1
2
n(lnn)3
(h)
∞∑
n=1
3nn2
n!
(i)
∞∑
n=1
3n
5n + n
(j)
∞∑
n=0
n!
2× 5× 8× . . .× (3n + 2)
(k)
∞∑
n=1
n√
n(n + 1)
(l)
∞∑
n=1
(−1)n21/n
(m)
∞∑
n=1
(−1)n lnn√
n
(n)
∞∑
n=1
(−2)2n
nn
(o)
∞∑
n=1
n lnn
(n + 1)3
(p)
∞∑
n=1
2n
(2n + 1)!
(q)
∞∑
n=1
arctann
n
√
n
(r)
∞∑
n=1
(
n
n + 1
)n2
(s)
∞∑
n=1
(
n
√
2− 1
)n
3
Respostas
(1) (a) D
(b) C
(c) C
(d) C
(e) C
(f) C
(g) C
(h) C
(i) C
(j) C
(k) D
(l) D
(m) C
(n) C
(o) C
(p) C
(q) C
(r) C
(s) C