Folhas FAEC Momentos Inercia

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Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
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2 
MOMENTOS DE INÉRCIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste capítulo pretende-se introduzir o conceito de momento de inércia, em especial quando 
aplicado para o caso de superfícies planas.♣ 
 
 
 
♣ Este documento, constitui apenas um instrumento de apoio às aulas de Física Aplicada à Engenharia Civil II. 
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22
2 MOMENTOS DE INÉRCIA 
2.1 DEFINIÇÃO 
Em termos gerais, pode-se definir momento de inércia, como a resistência que um 
determinado elemento oferece ao movimento de rotação. 
 
Considerando um ponto material constituído por uma pequena massa m∆ , o momento de 
inércia desse ponto material, em relação a um eixo, é, por definição, o produto da massa do 
ponto pelo quadrado da distância ao eixo. 
 
 
Figura 1. Momento de inércia de um ponto material relativamente a um eixo. 
 
Tendo por base, a figura anterior o momento de inércia do ponto de massa m∆ , que se 
encontra à distância r do eixo AA’, é dado por: 
 
2I r m= ∆ 
 
No entanto, não faz muito sentido falar de pontos materiais isolados, mas sim abordar um 
conjunto de pontos materiais, ou seja, considerar um sistema constituído por vários pontos 
materiais (ainda que independentes, ou descontínuos), nesse caso pode-se definir o momento 
de inércia como sendo o devido ao referido conjunto de pontos materiais, dados pela seguinte 
expressão: 
 
2
1
n
i i
i
I m r
=
= ∑ 
 
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23
Que traduz a soma dos momentos de inércia de todos os pontos que constituem o sistema 
material. Por outro lado, quando se está perante um sistema material contínuo, a abordagem 
assume outra perspectiva, ou seja, é necessário recorrer ao conceito de contínuo que se baseia 
na aplicação de cálculo integral, traduzido pela seguinte expressão: 
 
2
M
I r dm= ∫ 
 
2.1.1 Designações correntes 
Os momentos de inércia, podem apresentar diferentes designações, dependendo da base de 
referência (planos, eixos, ou pontos), relativamente à qual são determinados, assim tem-se 
para: 
 
• Planos – momentos de inércia planares; 
• Eixos – momentos de inércia axiais; 
• Pontos – momentos de inércia polares. 
 
Refira-se porém que o momento de inércia planar não encontra aplicação prática em 
engenharia. O momento de inércia axial é o de utilização corrente, sendo usual designar-se 
simplesmente por momento de inércia, quando se deseja fazer referência a um momento de 
inércia axial. 
 
2.1.2 Propriedades dos momentos de inércia 
Os momentos de inércia têm as seguintes propriedades: 
 
• São sempre grandezas positivas, uma vez que a massa é uma grandeza positiva e o 
quadrado de uma distância também; 
• Só é nulo para pontos sobre a base de referência (plano, eixo, ou ponto); 
• Nunca é negativo. 
 
Assim definidos os momentos de inércia, têm como unidades 2kg m⋅ . 
 
Uma outra propriedade dos momentos de inércia é o raio de giração (i), que se define como a 
distância, em relação à base de referência, a que se deve concentrar toda a massa para que o 
seu momento de inércia, em relação a essa base de referência, permaneça constante. A 
aplicação desta propriedade traduz-se pela seguinte expressão: 
 
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24
Ii
m
= 
 
2.1.3 Representação dos momentos de inércia num sistema de eixos coordenados 
Recorrendo à definição de sistemas materiais contínuos, já apresentada anteriormente, 
recorre-se à seguinte expressão: 
 
2
M
I r dm= ∫ 
 
em que r , representa a distância do elemento de massa dm , ao eixo de referência. No 
entanto, os elementos de massa podem passar para elementos de volume, pelo conceito de 
massa volúmica ρ , em que: 
 
dm dm dv
dv
ρ ρ= ⇔ = 
 
quando se está perante corpos com material homogéneo .constρ = , tendo por base a figura 
seguinte: 
 
 
Figura 2. Representação no espaço de um elmento de volume. 
 
Desta forma a determinação do momento de inércia relativamente ao eixo dos ZZ será dada 
por: 
 
2
Z zI r dm= ∫ , em que 2 2 2zr x y= + e dm dvρ= , tem-se então ( )2 2ZI x y dvρ= +∫ 
 
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de forma análoga obtêm-se os momentos de inércia relativamente aos eixos dos XX e dos 
YY, que são dadas pelas seguintes expressões: 
 
( )2 2XI y z dvρ= +∫ ; ( )2 2YI x z dvρ= +∫ 
2.2 TEOREMA DOS EIXOS PERPENDICULARES 
Este teorema também é conhecido pelo teorema das placas finas. Considere-se um elemento 
(ou corpo) com duas direcções bastante desenvolvidas comparativamente com uma terceira, a 
qual apresenta um desenvolvimento muito reduzido. A um elemento com estas características 
dá-se a designação de placa fina. 
 
 
Figura 3. Exemplo de um placa fina. 
 
Para a placa representada na figura 3, o momento de inércia relativamente ao eixo Z é 
 
( )2 2ZI x y dvρ= +∫ 
 
já relativamente aos eixos X e Y, uma vez que a espessura na direção Z é desprezável, os 
momentos de inércia representam-se da seguinte forma: 
 
2
XI y dvρ= ∫ ; 2YI x dvρ= ∫ 
 
Neste caso, Z X YI I I= + , pelo que se conclui que, o momento de inércia de um eixo 
perpendicular a uma placa é dado pela soma dos momentos de inércia, relativos aos eixos 
perpendiculares assentes sobre a placa, Teorema dos Eixos Perpendiculares. 
 
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2.3 TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS ( OU TEOREMA DE STEINER) 
O Teorema dos eixos paralelos, mais conhecido por Teorema de Steiner, também relaciona 
entre si momentos de inércia, determinados em relação a eixos paralelos, em que pelo menos 
um passa pelo baricentro, ou centróide do corpo. 
 
Considere-se a figura 4, em que ir , representa a distância de im ao eixo Z e iCr , representa a 
distância de im ao eixo CZ , sendo Z paralelo a CZ , afastados entre si de d . 
 
 
Figura 4. Aplicação do Teorema de Steiner. 
 
Geometricamente, verifica-se que: 
 
2 2 2
i i ir x y= + e 2 2 2iC iC iCr x y= + , em que i iCx x= e i iCy y d= + 
 
Por definição, os momentos de inércia, relativamente a Z e CZ , são: 
 
2
1
n
Z i i
i
I m r
=
= ∑ e 2
1
C
n
Z i iC
i
I m r
=
= ∑ 
 
para os relacionar, basta estabelecer uma relação entre 2ir e 
2
iCr , pode-se então escrever 
 
( )22 2 2 2 2 2 2 2 22 2i iC iC i iC iC iC i iC iCr x y d r x y d y d r r d y d= + + ⇔ = + + + ⇔ = + + 
 
multiplicando os dois termos por 
1
n
i
i
m
=
∑ , vem 
 
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2 2 2
1 1 1 1
2
n n n n
i i i iC i i iC
i i i i
m r m r d m d m y
= = = =
= + +∑ ∑ ∑ ∑ 
 
em 
1
n
i
i
m M
=
=∑ , uma vez que representa a massa total do corpo e 
1
0
n
i iC
i
m y
=
=∑ representa o 
momento estático do corpo em relação a um eixo baricêntrico, pelo que se obtém 
 
2
CZ Z
I I M d= + ⋅ 
 
Desta forma, a definição do Teorema de Steiner consiste, no seguinte: o momento de inércia 
relativo a um eixo qualquer Z , é dado pela soma do momento de inércia relativo a um eixo 
baricêntrico paralelo CZ , com o produto da massa total do corpo, pelo quadrado da distância 
entre os dois eixos. 
2.4 MOMENTOS DE INÉRCIA DE SUPERFÍCIES PLANAS 
Numa perspectiva de Engenharia Civil, a aplicação do conceito de momento de inércia, está 
gerneralizada para superfícies planas, nomeadamente quando aplicado a secções transversais 
de elementos lineares prismáticos, como sejam por exemplo, o caso de vigas e pilares. No 
entanto, convém partir da definição geral que se apresenta de seguida.2.4.1 Definição 
Em termos conceptuais, o momento de inércia, também é conhecido como momento de 
segunda ordem. Considerando uma superfície finita em relação a um eixo arbitrário no plano 
da área, o momento de inércia é dado pelo somatório dos momentos de inércia em relação a 
esse mesmo eixo de todos os elementos de área contidos na superfície finita. Quando 
determinado por integração assume a seguinte forma: 
 
2
XI y dA= ∫ ; 2YI x dA= ∫ 
 
 
Figura 5. Superfície finita. 
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Quando se considera uma superfície plana composta por n subáreas iA , o integral é 
substituído por um somatório: 
 
( )
1
n
X X i
i
I I
=
=∑ ; ( )
1
n
Y Y i
i
I I
=
= ∑ 
 
Em termos de unidades, os momentos de inércia representam a quarta potência de uma 
distância, que em unidades SI é [m4]. 
2.4.2 Raio de giração 
Apesar de não possuir qualquer significado físico, é frequentemente utilizado para fins 
comparativos, é definido por: 
 
X
X
Ii
A
= ; YY Ii A= 
 
Dado que as unidades de I , representam a quarta potência de uma distância e A é o 
quadrado de uma distância, o raio de giração tem unidades de comprimento, em unidades SI é 
[m]. 
2.4.3 Momento de inércia polar 
O momento de inércia polar, ou momento polar de inércia, é dado pela soma dos momentos 
de inércia de uma dada superfície plana, em relação a dois eixos perpendiculares quaisquer, 
centrados no ponto de referência. Tendo por exemplo a figura 5, o momento de inércia 
relativamente à origem é dado por: 
 
O X YI I I= + 
2.4.4 Teorema de Steiner ou dos eixos paralelos 
O Teorema de Steiner para momentos de inércia de uma área finita mostra que o momento de 
inércia de uma área em relação a um eixo arbitrário é igual à soma do momento de inércia em 
relação a um eixo paralelo que passa no baricentro da área com o produto da área pelo 
quadrado da distância, medida na perpendicular, entre os dois eixos. Considerando a figura 6, 
os eixos GX e GY passam no baricentro da superfície plana. Os eixos X e Y , são eixos 
paralelos localizados às distâncias 1x e 1y dos eixos baricêntricos. Considerando A , como a 
área total da figura, tem-se então que: 
 
( )21GX XI I A y= + ; ( )21GY YI I A x= + 
 
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em que 
GX
I e 
GY
I são os momentos de inércia em relação aos eixos baricêntricos e XI e YI , 
são os momentos de inércia em relação aos eixos X e Y . 
 
 
Figura 6. Teorema de Steiner. 
2.4.5 Produto de inércia 
Considere-se a superfície finita representada na figura 5, o produto de inércia em relação aos 
eixos X e Y , no plano da área é dado pela soma dos produtos de inércia em relação a esses 
mesmos eixos de todos os elementos de área contidos na superfície finita. Tem-se então por 
integração: 
 
XYI xydA= ∫ 
 
Para uma superfície plana composta por n subáreas iA , cujos produtos de inércia são 
conhecidos em relação aos eixos X e Y , o integral é substituído pelo somatório, tem-se 
então: 
 
( )
1
n
XY XY i
i
I I
=
= ∑ 
 
O produto de uma secção pode ser positivo ou negativo (conforme a área se situe em relação 
aos eixos) ou nulo. É nulo se pelo menos um dos eixos, é um eixo de simetria. 
 
Em termos de unidades, os produtos de inércia representam a quarta potência de uma 
distância, que em unidades SI é [m4]. 
2.4.6 Teorema de Steiner aplicado a produtos de inércia 
Considerando a figura 6, o teorema de Steiner para produtos de inércia de uma superfície 
finita mostra que o produto de inércia de uma superfície em relação aos eixos X e Y é igual 
à soma do produto de inércia em relação aos eixos no baricentro da superfície e são paralelos 
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a X e Y , com o produto da área pelas duas distâncias medidas na perpendicular ao baricentro 
da superfície. Os eixos GX e GY passam no baricentro da superfície plana. Os eixos X e Y , 
são eixos paralelos localizados às distâncias 1x e 1y dos eixos baricêntricos. Considerando 
A , como a área total da figura, tem-se então que: 
 
1 1G GXY X Y
I I Ax y= + 
 
em que 
G GX Y
I representa o produto de inércia em relação aos eixos baricêntricos e XYI , o 
produto de inércia em relação aos eixos X e Y . 
2.5 TRANSPOSIÇÃO DE EIXOS DE INÉRCIA 
Considere-se a figura 7 na qual está representada uma superfície de área A , tendo por base o 
elemento de área representado, verfica-se a existência de algumas relações entre as 
coordenadas X e Y e as coordenadas U e V , nomeadamente: 
 
cosu x ysenθ θ= + ; cosv y xsenθ θ= − 
 
 
Figura 7. Transposição de eixos de inércia. 
Por definição sabe-se que: 
 
2
XI y dA= ∫ ; 2YI x dA= ∫ ; XYI xydA= ∫ 
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e que 
 
2
UI v dA= ∫ ; 2VI u dA= ∫ ; UVI uvdA= ∫ 
 
utilizando as relações entre coordenadas, aplicadas às últimas expressões obtém-se: 
 
( )2cosUI y xsen dAθ θ= −∫ ; 
( )2cosVI x ysen dAθ θ= +∫ ; 
( )( )cos cosUVI x ysen y xsen dAθ θ θ θ= + −∫ ; 
 
desenvolvendo 
 
( )2 2 2 2cos 2 cosUI y x sen xysen dAθ θ θ θ= + −∫ ; 
( )2 2 2 2cos 2 cosVI x y sen xysen dAθ θ θ θ= + +∫ ; 
( )2 2 2 2cos cos cosUVI xy x sen y sen xysen dAθ θ θ θ θ θ= − + −∫ ; 
⇔ 
2 2 2 2cos 2 cosUI y dA x sen dA xysen dAθ θ θ θ= + −∫ ∫ ∫ ; 
2 2 2 2cos 2 cosVI x dA y sen dA xysen dAθ θ θ θ= + +∫ ∫ ∫ ; 
( ) ( )2 2 2 2cos cosUVI xy sen dA y x sen dAθ θ θ θ= − + −∫ ∫ ; 
⇔ 
2 2 2 2cos 2 cosUI y dA sen x dA sen xydAθ θ θ θ= + −∫ ∫ ∫ ; 
2 2 2 2cos 2 cosVI x dA sen y dA sen xydAθ θ θ θ= + +∫ ∫ ∫ ; 
( ) ( )2 2 2 2cos cosUVI sen xydA sen y x dAθ θ θ θ= − + −∫ ∫ ; 
⇔ 
( )2 2cos 2U X Y XYI I I sen I senθ θ θ= + − ; 
( )2 2cos 2V X Y XYI I sen I I senθ θ θ= + + ; 
( ) ( )2 cos 2
2
X Y
UV XY
I II sen Iθ θ−= + ; 
 
Com base nestas expressões, uma vez conhecidos os momentos de inércia e o produto de 
inércia relativamente aos eixos X e Y , é possível determinar analiticamente os momentos de 
inércia e produto de inércia relativamente a quaisquer eixos U e V , que estejam rodados 
relativamente a X e Y de θ , no sentido anti-horário (como está representado na figura 7). 
 
As três equações obtidas podem ser expressas só em função de 2θ , utilizando as seguintes 
relações trigonométricas: 
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( )2 1 cos 2cos
2
θθ += ; ( )2 1 cos 2
2
sen
θθ −= 
 
passando a ser escritas como: 
 
( ) ( )cos 2 2
2 2
X Y X Y
U XY
I I I II I senθ θ+ −= + − ; 
( ) ( )cos 2 2
2 2
X Y X Y
V XY
I I I II I senθ θ+ −= − + ; 
( ) ( )2 cos 2
2
X Y
UV XY
I II sen Iθ θ−= + ; 
 
A primeira e a terceira, são as equações paramétricas de uma circunferência. Isto significa 
que, se for escolhido um par de eixos cartesianos e se se desenhar um ponto M de abcissa UI 
e ordenada UVI , para um valor genérico do parâmetro θ , todos os pontos assim obtidos 
encontrar-se-ão sobre uma circunferência. Para o verificar-mos elimina-se θ das equações, da 
seguinte forma: 
 
( ) ( )cos 2 2
2 2
X Y X Y
U XY
I I I II I senθ θ+ −= + − ; 
( ) ( )2 cos 2
2
X Y
UV XY
I II sen Iθ θ−= + ; 
⇔ 
( ) ( )cos 2 2
2 2
X Y X Y
U XY
I I I II I senθ θ+ −− = − ; 
( ) ( )2 cos 2
2
X Y
UV XY
I II sen Iθ θ−= + ; 
 
elevando agora ao quadrado os membros das equações e adicionando, obtém-se 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 cos 2 2 2 cos 2
2 2 2
X Y X Y X Y
U UV XY XY
I I I I I II I I sen sen Iθ θ θ θ+ − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + = − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⇔ 
( ) ( )2 22 2
2 2
X Y X Y
U UV XY
I I I II I I+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
 
fazendo 
 
. 2
X Y
méd
I II += e ( )2 2
2
X YXY
I IR I−⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠ 
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aquela igualdade pode-se escrever na forma seguinte 
 
( ) ( )2 2 2.U méd UVI I I R− + = 
 
que é a equação de uma circunferência de raio R e centro no ponto C , cujas coordenadas x e 
y são .médI e zero respectivamente. 
 
Iméd.
IU
IUV
P
I
R
Imáx.
Imín.
M (IU ; IUV)
0
 
Figura 8. 
 
Note-se ainda que a equação de VI e UVI , também são as equações paramétricas da mesma 
circunferência. Só que neste caso, devido à simetria da circunferência em relação ao eixo 
horinzontal, obter-se-ia um ponto genérico N, de coordenadas ( VI ; - UVI ), como se mostra na 
figura seguinte. 
 
Iméd.IV
- IUV
P
I
R
Imáx.
Imín.
0
N (IV ; -IUV)
 
Figura 9. 
 
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Os pontos onde a circunferência intersecta o eixo horizontal, têm um interesse especial; o 
ponto à direita corresponde ao valor máximo do momento de inércia .máxI , enquanto que o 
ponto à esquerda corresponde ao valor mínimo do momento de inércia .mínI . Além disso, para 
ambos os pontos o produto de inércia é nulo. 
 
Relativamente ao parâmetro 2θ , obtém-se mediante o cálculo dos máximos e mínimos da 
função UI , que traduz o ângulo que as rectas ( ).;médI M e ( ).;médI N fazem com a horizontal, 
desta forma: 
 
0UdI
dθ = 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 cos 2 0
2
X Y
XY
I I sen Iθ θ− − − = 
( ) ( )2 cos 2
2
X Y
XY
I Isen Iθ θ−− = 
( )
( )
2 2
cos 2
XY
X Y
sen I
I I
θ
θ = − − 
 
( ) 2tan 2 XY
X Y
I
I I
θ = − − 
2.6 EIXOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA 
Como já se viu, para qualquer ponto genérico situado no plano de uma superfície existem 
sempre dois eixos perpendiculares, que se cruzam nesse ponto, em relação aos quais os 
momentos de inércia da superfície são denominados momentos principais de inércia, um 
deles máximo e o outro mínimo. 
 
( )2 2. 2 2X Y X Ymáx XY
I I I II I+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . .máx médI I R= + 
 
( )2 2. 2 2X Y X Ymín XY
I I I II I+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . .mín médI I R= − 
 
 
 
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2.7 CÍRCULO DE MOHR 
O círculo de Mohr para momentos de inércia, é um método gráfico que se baseia no traçado 
da circunferência atrás referida, conhecidos XI , YI e XYI , para uma dada superfície em 
relação ao par de eixos X e Y . Com base neste método é possível determinar: 
 
i) Eixos e momentos principais de inércia em relação ao ponto, que é o centro de 
simetria dos eixos; 
ii) Momentos de produtos de inércia, da mesma superfície em relação a qualquer par de 
eixos ortogonais U e V , que se cruzem no centro do sistema de eixos X e Y . 
 
Cada ponto da circunferência representa a imagem de um eixo, representando a circunferência 
a infinidade de eixos que se cruzam num determinado ponto. Dois eixos perpendiculares são 
representados por dois pontos diametralmente opostos, como se mostra por exemplo na 
figura 10. 
 
R
CB A
IX
IY
- IXY
IXY X (IX;IXY)
P
I
2θ
R
2θ
Y (IY;-IXY)
0
 
Figura 10. Círculo de Mohr. 
 
2.7.1 Método gráfico 
De seguida apresentam-se as várias etapas que compõem o traçado do designado método 
gráfico do círculo de Mohr de momentos de inércia para superfícies planas. 
 
1. Graduam-se os eixos e marcam-se XI X e YI sobre o eixo dos I ; 
2. A partir de XI , marca-se XYI (para cima se é positivo ou para baixo se é negativo), 
obtém-se X a imagem no círculo do eixo dos XX; 
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3. A partir de YI , marca-se XYI− , obtendo-se o ponto Y . Une-se X com Y e encontra-
se C , no ponto de intercepção com o eixo dos I ; 
4. Traça-se a circunferência com raio CX . A circunferência corta o eixo dos I, nos 
pontos A e B . Medem-se as distâncias OA e OB . 
5. O ângulo que CX faz com CA é 2θ , partindo do eixo dos XX, com o sentido da 
rotação de CX para coincidir com CA , fica determinada a posição de um eixo 
principal 1; o eixo 2 é perpendicular no ponto base. 
 
Nota: Os ângulos no círculo, são sempre duplos dos reais. 
 
 
2.8 EXERCÍCIOS 
Nesta secção serão resolvidos alguns exercícios, para uma melhor percepção prática da 
aplicação dos conceitos teóricos. 
2.8.1 Exercício 
Dada a secção representada na figura, determine: 
 
Y Y'
X
X'
A
B
 
 
a) O centro de gravidade relativamente aos eixos X’Y’. 
b) O momento de inércia relativamente ao ponto A. 
c) O círculo de Mohr para o ponto A. Indique na figura os eixos principais de inércia e 
determine os momentos principais de inércia. 
d) O momento de inércia relativamente ao eixo Y’. 
e) O círculo de Mohr para o ponto B indicando os eixos principais de inércia. 
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37
f) Determine o volume gerado pela rotação da peça em torno do eixo Y’. Diga e enuncie 
o teorema em que se baseu. 
 
 
R: Em primeiro lugar convém dividir a superfície num conjunto de figuras conhecidas. Como 
por exemplo se apresenta em seguida. 
 
1
2
3
4
 
 
De notar que a figura 3 corresponde a um rectângulo que se irá “retirar” ao conjunto das 
outras figuras. 
 
a) Relativamente aos eixos X’Y’, o centro de gravidade será: 
 
1
1
3,00 
n
i i
i
CG n
i
i
A x
x cm
A
=
=
⋅
= = −
∑
∑
 corresponde a um eixo de simetria da superfície. 
 
( )( ) ( )( )
( ) ( )
2
1
2
1
3 4 3 3 2 22 6 2 1 3 1 1,5
2 3 2 3
1,98 
3 3 26 2 3 1
2 2
n
i i
i
CG n
i
i
A y
y cm
A
π
π
π
=
=
⎛ ⎞× × ⎛ × ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞× + + × × − × × + × −⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟×⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠= = ≈⎛ ⎞× ×⎛ ⎞+ × − × + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
∑
∑
 
 
b) Corresponde ao momento polar de inércia, que é dado pela soma de XAI com YAI , 
 
24 3 3 3
43 6 2 3 1 3 2 3 2 22 68,81 
8 3 3 36 2 3XA
I cmπ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞× × × × × ⎛ ⎞= + − + + × + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
38
4 3 3 3
43 2 6 1 3 2 1,5 2 66,68 
8 12 12 12YA
I cmπ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞× × × ×= + − + × =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
 
 
então 468,81 66,68 135,49 A XA YAI I I cm= + = + = 
 
c) Como o eixo Y é um eixo de simetria, os eixos X e Y são eixos principais de inércia, 
então como XA YAI I> o eixo X é o eixo principal máximo e o eixo Y o eixo principal 
mínimo. Logo o produto de inércia 0XAYAI = , então o círculo de Mohr será o seguinte 
 
C
X (68,81;0)
P
I0
Y (66,68;0)
12
 
 
Relativamente aos eixos principais de inércia 1 e 2 coincidem com X e Y respectivamente, 
como se mostra na figura seguinte. 
 
1
2
A
X
Y
 
 
Quanto aos valores dos momentos principais de inércia, são 
 
4
1 68,81 A XAI I cm= = 
 
4
2 66,68 A YAI I cm= = 
 
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39
d) Como o eixo Y’ é paralelo ao eixo Y, e sendo este um eixo que passa no centro de 
gravidade da superfície, pode-se aplicar “directamente” o teorema de Steiner, obtendo-
se então 
 
2
'Y YAI I A d= + ⋅ , em que A é a área da superfície e d é a distância entre Y e Y’ 
 
2 4
' 66,68 26,14 3 301,94 YI cm= + × = 
 
e) Para traçar o círculo de Mohr para o ponto, é necessário determinar XBI , YBI e XBYBI . 
Na alínea anterior determinou-se 'Y YBI I= , falta então determinar XBI e XBYBI . 
 
Para determinar XBI , vai-se utilizar o valor de XAI , transpondo-o para o centro de gravidade 
da superfície e daí para o eixo XB . Tem-se então 
 
2
CGXA X
I I A d= + ⋅ 
 
( )2 468,81 26,14 2 1,98 68,80 
CG CGX X
I I cm=+ × − ⇔ = 
 
e agora far-se-á a transposição, do centro de gravidade para o eixo XB 
 
2
CGXB X
I I A d= + ⋅ 
 
2 468,80 26,14 1,98 171,28 XB XBI I cm= + × ⇔ = 
 
Agora irá determinar-se XBYBI 
 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )
2
4
3 4 30 3 0 6 2 3 1 0 3 1 3 0,5
2 3
3 2 20 3 2 10,5 
2 3
XBYBI
cm
π
π
⎛ ⎞× ×⎛ ⎞= + × − × + + × × − × − − + × × − × − +⎜ ⎟⎜ ⎟×⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ × ⎞⎛ ⎞+ + × − × − − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
 
 
Conhecendo XBI , YBI e XBYBI , pode-se traçar o círculo de Mohr, para o ponto B. 
 
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40
C
Y (301,94;10,5)
P
I
0
X (171,28;-10,5)
1
2
 
 
Os eixos principais de inércia estão representados no círculo como 1 e 2 e correspondem 
respectivamente ao eixo principal de inércia máximo e mínimo. Em seguida apresenta-se a 
sua representação na superfície. 
 
2
1
B
X
Y
 
 
f) A determinação do volume gerado pela rotação de uma superfície plana em torno de 
um eixo, baseia-se na aplicação do 2º teorema de Pappus Guldinus, o qualse baseia no 
cáculo de volumes a partir da revolução de superfícies planas em trono de eixos. 
 
SV d Aθ= ⋅ ⋅ 
 
em que θ , é o ângulo de rotação em radianos, d é a distância entre o eixo de rotação e o 
centro de gravidade da superfície plana e SA é a área da superfície, tem-se então 
 
32 26,14 3 492,73 V mπ= × × = 
 
 
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41
2.9 BIBLIOGRAFIA 
Beer, F.; Johnston, E. “Mecânica Vectorial para Engenheiros – Estática (sexta edição)”, 
MacGrawHill, 1998. 
Meriam, J.; Kraige, L. “Engineering Mechanics – Statics (fourth edition)”, John Willey & 
Sons, INC, 1998. 
Brazão Farinha, J. “Tabelas Técnicas”, Edições Técnicas E. T. L. L.da, 1998. 
 
 
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