11 - RungeKutta

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MÉTODO DE EULER
• Teoria
( )f Δ+ ( )f ( )f Δ' ( ) ( ) ( )∞ Δ= . kk i
k
xxxfd( )xxf i Δ+ = ( )ixf + ( ) xxf i Δ.' + ( )ixε ( )ixε = ∑∞
=2 !k
k
k
dx
Então pela equação diferencial: ( )ty´ = ( )( )tytg( )xf ( )ty= eEntão, pela equação diferencial: ( )ty = ( )( )tytg ,
Tem-se:
( ) ( ) ( )( )
( )xf ( )ty= e
( )tty i Δ+ = ( )ity + ( )( ) ttytg ii Δ.,
Interpretação y(t) Valor ´ t ( )geométrica
y( )
procuradoypi+1 + yp(ti + Δt)
y i = tan(αi) 
yi+1 = y (ti + Δt) ´ Δt
yi = y(ti)
Δt
Valor 
calculado
αiyi+1 y (ti + Δt) y´i.Δt
0
t
Valor inicial: y(ti) = yi ti ti+1 = ti + Δt
Δt calculado
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 1
y( i) yi
MÉTODO DE EULER
• Método (Uma equação)
( ) Δ= kik xxfd( )xxf i Δ+ = ( )ixf + ( ) xxf i Δ.' + ( )ixε ( )ixε =
( )
∑∞
=
Δ
2 !
.
k
k
k
i
k
x
dx
f
Ou seja:
( )t´ ( )( ) ( )f ( )( )ty´ = ( )( )tytg ,
Então: Ou:
( )xf ( )ty=
k = ( )( ) ttytg ii Δ., k = ( )( )ii tytg ,
( )tty i Δ+ = ( )ity + k
⇓
( )tty i Δ+ = ( )ity + tk Δ.
⇓⇓
1+iy = iy + k 1+iy = iy + tk Δ.
⇓
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 2
1+iy iy 1+iy iy
MÉTODO DE EULER
• Método (Uma equação)
( )⎧ Δf 1 3
2
01
2,31,3
1,2
,
3
2
aa
a
a
c
c
cp qpp
( )⎧ f 1
RESUMO
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤<Δ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +Δ+
=Δ
= ∑−
=
npxkayxcxf
pxyxf
k p
q
i
qqpipi
ii
i
p 1,..,.
1,.
1
1
,
4321
4
4321
3,42,41,44
wwww
q
w
aaac
q
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤<⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ Δ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+Δ+
=
= ∑−
=
npxkayxcxf
pyxf
k p
q
i
qqpipi
ii
i
p 1,..,.
1,
1
1
,
∑
=
+ +=
n
p
i
ppii kwyy
1
1 . xkwyy
n
p
i
ppii Δ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+= ∑
=
+ ..
1
1
( )ty´ = ( )( )tytg ,
p 1 p ⎠⎝
( ) ( )( )yg
k = ( )( ) ttytg ii Δ., k = ( )( )ii tytg ,( )( )
Ou:
( )( )
0
n = 1
1+iy = iy + k 1+iy = iy + tk Δ.
1
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 3
1+iy iy 1+iy iy
MÉTODO DE EULER
• Método (Sistema com duas equações)
( )ty´ = ( ) ( )( )tztytg ,, ( )tz´ = ( ) ( )( )tztyth ,,( )y ( ) ( )( )tztytg ,, ( )tz ( ) ( )( )tztyth ,,
Então: Ou:
k = ( ) ( )( ) ttztytg iii Δ.,,
( ) ( )( )h Δ
k = ( ) ( )( )iii tztytg ,,
( ) ( )( )hl = ( ) ( )( ) ttztyth iii Δ.,,
( )tty i Δ+ = ( )ity + k
l = ( ) ( )( )iii tztyth ,,
( )tty i Δ+ = ( )ity + tk Δ.( )y i ( )iy k
( )ttz i Δ+ = ( )itz + l
( )y i ( )iy
( )ttz i Δ+ = ( )itz + tl Δ.
k k Δ
⇓ ⇓
1+iy = iy + k
1+iz = iz + l
1+iy = iy + tk Δ.
1+iz = iz + tl Δ.
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 4
1+i i 1+i i
MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE SEGUNDA ORDEM
• Teoria
+ ( )" 2xxf Δ( )xxf i Δ+ = ( )ixf + ( ) xxf i Δ.' +
( )
∑∞ Δ
= . kk i
k
x
dx
xxfd( )ixε ( )ixε =+ ( ) 2.xf i
Sabe-se que:
( )xxf i Δ+ ( )ixf + ( ) xxf i Δ. + ∑
=3 !k k
dx( )ixε ( )ixε
Tem-se então:
e( )ty´ = ( )( )tytg , ( )tty i Δ+ + ( )( ) 2.,'
2ttytg ii
Δ= ( )ity + ( )( ) ttytg ii Δ.,( )xf ( )ty=
Tem-se então:
( )ty" ( )( )tytg ' ( ) ( )( )
( )
( )
( )( )
( )
tytgttytgtyttg
i
i
i ty
tty
tty
⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎛
Δ+Δ+
Δ+
Δ+ 48476
44444 844444 76
444 8444 76 '
'
( ) ( )( )( ) ( )( ) 2ΔΔΔ
( )ity" = ( )( )ii tytg ,' = ( ) ( )( ) ( )( )
t
tytgttytgtyttg iiiiii
Δ
−⎟⎟
⎟
⎠⎜⎜
⎜
⎝
Δ+Δ+ ,.,,
( )tty i Δ+ = ( )ity + ( )( ) ttytg ii Δ., + ( ) ( )( )( ) ( )( ) 2.
,.,, 2t
t
tytgttytgtyttg iiiiii Δ
Δ
−Δ+Δ+
k
kk ⎞⎛
2 44444 844444 76
( )tty i Δ+ = )( ity + ( )( ) ( ) ( )( )
t
ttytgtyttgtytg
k
iiii
k
ii
Δ
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
Δ+Δ++
.
2
.,,,
11 4847648476
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 5
2
MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE SEGUNDA ORDEM
• Teoria
( )t´ ( )( )tt
k2
( )ty = ( )( )tytg ,
( )tty i Δ+ = )( ity + ( )( ) ( ) ( )( ) ttytgtyttgtytg
k
iiii
k
ii ⎟⎟
⎟⎞
⎜⎜
⎜⎛ Δ+Δ++ .,,,
2
11
44444 844444 76
4847648476( )i i ( )( ) ( ) ( )( )
t
iiiiii
Δ
⎟⎟⎠⎜⎜⎝ .
2
1k = ( )( )ii tytg ,
2k = ( )( )tktyttg ii Δ+Δ+ ., 1
( )tty i Δ+ = ( )ity + tkk Δ+ .2 21
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 6
2
MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE SEGUNDA ORDEM
• Método (Uma equação)
( )ty´ = ( )( )tytg ,
Então:
1k = ( )( ) ttytg ii Δ.,
2k = ( )( ) tktyttg ii Δ+Δ+ ., 1
( )tty Δ+ = ( )ty + 21 kk +( )tty i Δ+ = ( )ity + 2 21
Valor inicial: y(ti) = yi y(t) t ( ) ´
Valor y( ) tan(αi) = y´i procurado
k
k2
y = y (t + Δt)
ypi+1 + yp(ti + Δt)
αi
Δ
k1
Valor
Média
(k1 + k2)/2
yi = y(ti)
yi+1 = y (ti + Δt)
0
t
ti ti+1 = ti + Δt
ΔtValor 
calculado
( 1 2)
Interpretação
geométrica
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 7
g
MÉTODO DE RANGE-KUTTA DE SEGUNDA ORDEMMÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE SEGUNDA ORDEM
• Método (Uma equação)
+ ( )" 2xf Δ( )xxf Δ+ = ( )xf + ( ) xxf Δ' + ( )∞ Δ= . kk i
k
x
d
xxfd( )xε ( )xε =
Ou seja:
+ ( )
2
." xf i( )xxf i Δ+ = ( )ixf + ( ) xxf i Δ. + ∑
=3 !k
k
k
dx( )ixε ( )ixε =
Ou seja:
( )xf ( )ty=( )ty´ = ( )( )tytg ,
OEntão:
1k = ( )( ) ttytg ii Δ., 1k = ( )( )ii tytg ,
Ou:
2k = ( )( ) tktyttg ii Δ+Δ+ ., 1
( )Δ ( ) 21 kk +
2k = ( )( )tktyttg ii Δ+Δ+ ., 1
( )Δ ( ) kk Δ+ 21( )tty i Δ+ = ( )ity + 2 21
kk + ( )tty i Δ+ = ( )ity + tkk Δ+ .2 21
⇓ ⇓
1+iy = iy + 2
21 kk +
1+ty = iy + tkk Δ+ .2
21
⇓ ⇓
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 8
2 2
MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE SEGUNDA ORDEM
• Método (Uma equação) RESUMO
( )⎧ Δf 1 3
2
01
2,31,3
1,2
,
3
2
aa
a
a
c
c
cp qpp
( )⎧ f 1( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤<Δ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +Δ+
=Δ
= ∑−
=
npxkayxcxf
pxyxf
k p
q
i
qqpipi
ii
i
p 1,..,.
1,.
1
1
,
4321
4
4321
3,42,41,44
wwww
q
w
aaac
q
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤<⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ Δ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+Δ+
=
= ∑−
=
npxkayxcxf
pyxf
k p
q
i
qqpipi
ii
i
p 1,..,.
1,
1
1
,
∑
=
+ +=
n
p
i
ppii kwyy
1
1 . xkwyy
n
p
i
ppii Δ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+= ∑
=
+ ..
1
1
n = 2
( )ty´ = ( )( )tytg , 11
0
1k = ( )( ) ttytg ii Δ., 1k = ( )( )ii tytg , 2
1
2
1
2k = ( )( ) tktyttg ii Δ+Δ+ ., 1 Ou: 2k = ( )( )tktyttg ii Δ+Δ+ ., 1
1+iy = iy + 2
21 kk +
1+ty = iy + tkk Δ+ .2
21
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 9
2 2
MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE SEGUNDA ORDEM
• Método (Sistema com duas equações)
( )ty´ = ( ) ( )( )tztytg ,, ( )tz´ = ( ) ( )( )tztyth ,,
Então:
k = ( ) ( )( ) ttztytg iii Δ k = ( ) ( )( )iii tztytg
Ou:
1k = ( ) ( )( ) ttztytg iii Δ.,,
k ( ) ( )( ) tltzktyttg Δ++Δ+
1k = ( ) ( )( )iii tztytg ,,
k ( ) ( )( )tltztktyttg Δ+Δ+Δ+
1l = ( ) ( )( ) ttztyth iii Δ.,, 1l = ( ) ( )( )iii tztyth ,,
2k = ( ) ( )( ) tltzktyttg iii Δ++Δ+ .,, 11
( ) ( )
2k = ( ) ( )( )tltztktyttg iii Δ+Δ+Δ+ .,., 11
( ) ( )
2l = ( ) ( )( ) tltzktytth iii Δ++Δ+ .,, 11 2l = ( ) ( )( )tltztktytth iii Δ+Δ+Δ+ .,., 11
( )tty i Δ+ = ( )ity + 2 21 kk + ( )tty i Δ+ = ( )ity + tkk Δ+ .2 21
( )ttz i Δ+ = ( )itz + 2 21 ll + ( )ttz i Δ+ = ( )itz + tll Δ+ .2 21( )i ( )i 2 ( )i ( )i 2
kk + kk +
⇓ ⇓
1+iy = iy + 2 21 kk +
1+iz = iz + 2 21 ll +
1+iy = iy + tkk Δ+ .2 21
1+iz = iz + tll Δ+ .2 21
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 10
2 2
MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE TERCEIRA ORDEM
• Teoria
( )xxf Δ+ = ( )xf + ( ) xxf Δ' + ( )" 2xxf Δ + ( )"' 3xxf Δ + ( )∑∞ Δ
= . kk i
k
x
dx
xxfd( )xε ( )xε =
MÈTODO - I
Sabe-se que:
( )xxf i Δ+ = ( )ixf + ( ) xxf i Δ. + ( ) 2.xf i + ( ) 6.xf i + ∑
=4 !k k
dx( )ixε ( )ixε =
q
ã
( ) ( )( )tytgty ,´ = e ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) tttyxgtyttgtytgtytty iiiiiiii ΔΔ+Δ+++=Δ+ .2
.,,, + ( )( )
6
.,"
3ttytg ii
Δ( ) ( )tyxf =
Tem-se então:
( )ty "' = ( )( )tytg" = ( )( )
( )
( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( )( )
( )'2'
'
484 tttytgtyttgtyttgttytgtyttgtytg
htyhty
ty
ii
i
⎟⎞⎜⎛ Δ⎟⎞⎜⎛ Δ+Δ++Δ++⎟⎞⎜⎛ Δ+Δ+−
++ 4444444444 84444444444 7644444 844444 7648476
( )tty i Δ+ = ( )ity + ( )( ) ( ) ( )( )( ) tttyxgtyttgtytg iiiiii ΔΔ+Δ++ .2
.,,, + ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) .2.,,2,.42.,,2.8,.4 3tt
ttytgtyttgtyttgttytgtyttgtytg iiiiiiiiiiii Δ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ Δ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ Δ+Δ++Δ++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ Δ+Δ+−
( )ity = ( )( )ii tytg , = ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
2
.
2
.,,
2
,.4
2
.,,
2
.8,.4
t
ttytgtytgtyttgtytgtytgtytg iiiiiiiiiiii
Δ
⎟⎠⎜⎝ Δ⎟⎠⎜⎝ +++Δ++⎟⎠⎜⎝ ++
( )y i ( )iy 2
6
.2
t
t
Δ
Δ
⎠⎝ ⎠⎝⎠⎝
k
k
k
k
kk ⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎛
⎟⎞⎜⎛⎟⎞⎜⎛
3
2
1
2
11
4444444444 84444444444 76
44444 844444 7644444 844444 76
( )tty i Δ+ = )( ity + ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
t
tttytgtyttgtyttgttytgtyttgtytg iiiiiiiiiiii
Δ
⎟⎟
⎟⎟
⎠⎜
⎜⎜
⎜
⎝
Δ⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ Δ+Δ++Δ++⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ Δ+Δ+−
.
6
.
2
.,,
2
,.7
2
.,,
2
.8,.7
484764847648476
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 12
6
MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE TERCEIRA ORDEM
• Método (Uma equação)
( )ty´ = ( )( )tytg ,
MÈTODO - I
Então:
( )y ( )( )yg ,
Ou:
1k = ( )( ) ttytg ii Δ.,
kt ⎞⎛ Δ
1k = ( )( )ii tytg ,
⎞⎛ ΔΔ tt
2k = ( ) tktyttg ii Δ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +Δ+ .
2
,
2
1
k ( )( )k ΔΔ
2k = ( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ Δ+Δ+
2
.,
2 1
tktyttg ii
k ( )( )k ΔΔ3k = ( )( ) tktyttg ii Δ+Δ+ ., 2
( )tty Δ+ = ( )ty + .7.8.7 321 kkk +−
3k = ( )( )tktyttg ii Δ+Δ+ ., 2
( )tty Δ+ = ( )ty + tkkk Δ+− .7.8.7 321( )tty i Δ+ = ( )ity + 6
⇓
( )tty i Δ+ = ( )ity + tΔ.6
⇓
1+iy = iy + 6
.7.8.7 321 kkk +−
⇓
1+iy = iy + tkkk Δ+− .6
.7.8.7 321
⇓
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 14
6 6
MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE TERCEIRA ORDEM
• Método (Uma equação) RESUMO
( )⎧ Δf 1 3
2
01
2,31,3
1,2
,
3
2
aa
a
a
c
c
cp qpp
( )⎧ f 1
MÈTODO - I
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤<Δ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +Δ+
=Δ
= ∑−
=
npxkayxcxf
pxyxf
k p
q
i
qqpipi
ii
i
p 1,..,.
1,.
1
1
,
4321
4
4321
3,42,41,44
wwww
q
w
aaac
q
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤<⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ Δ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+Δ+
=
= ∑−
=
npxkayxcxf
pyxf
k p
q
i
qqpipi
ii
i
p 1,..,.
1,
1
1
,
∑
=
+ +=
n
p
i
ppii kwyy
1
1 . xkwyy
n
p
i
ppii Δ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+= ∑
=
+ ..
1
1 0
n = 3
k = ( )( ) ttytg Δ
( )ty´ = ( )( )tytg ,
k = ( )( )tytg 747
2
1
2
1
101
1k = ( )( ) ttytg ii Δ.,
2k = ( ) tktyttg ii Δ⎟⎞⎜⎛ +Δ+ ., 1
1k = ( )( )ii tytg ,
2k = ( ) ⎟⎞⎜⎛ Δ+Δ+ ., 1 tktyttg ii
6
7
3
4
6
7 −
2k ( ) ttytg ii Δ⎟⎠⎜⎝ ++ .2,2
3k = ( )( ) tktyttg ii Δ+Δ+ ., 2
2k ( ) ⎟⎠⎜⎝ ++ 2.,2 1ktytg ii
3k = ( )( )tktyttg ii Δ+Δ+ ., 2
Ou:
( )( )
1+iy = iy + 6
.7.8.7 321 kkk +−
( )( )
1+iy = iy + tkkk Δ+− .6
.7.8.7 321
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 15
6 6
MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE TERCEIRA ORDEM
• Método (Sistema com duas equações)
E tã
( )ty´ = ( ) ( )( )tztytg ,, ( )tz´ = ( ) ( )( )tztyth ,,
O
MÈTODO - I
Então:
1k = ( ) ( )( ) ttztytg iii Δ.,, 1k = ( ) ( )( )iii tztytg ,,
1l = ( ) ( )( ) ttztyth iii Δ.,, 1l = ( ) ( )( )iii tztyth ,,
Ou:
2k = ( ) ( )( ) ttztytg likiti Δ+++ Δ .,, 222 11 2k = ( ) ( )( )21212 .,., tititi ltzktytg ΔΔΔ +++
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
1l ( ) ( )( )y iii ,, 1l ( ) ( )( )iii y ,,
2l = ( ) ( )( ) ttztyth likiti Δ+++ Δ .,, 222 11 =2l ( ) ( )( )21212 .,., tititi ltzktyth ΔΔΔ +++
( ) ( ) 787 kkk +−
3k = ( ) ( )( ) tltzktyttg iii Δ++Δ+ .,, 22 3k = ( ) ( )( )tltztktyttg iii Δ+Δ+Δ+ .,., 22
( ) ( ) kkk +− 787
3l = ( ) ( )( ) tltzktytth iii Δ++Δ+ .,, 22 3l = ( ) ( )( )tltztktytth iii Δ+Δ+Δ+ .,., 22
( )tty i Δ+ = ( )ity + 6
.7.8.7 321 kkk +
( )ttz i Δ+ = ( )itz + 6
.7.8.7 321 lll +−
( )tty i Δ+ = ( )ity + tkkk Δ+ .6
.7.8.7 321
( )ttz i Δ+ = ( )itz + tlll Δ+− .6
.7.8.7 321
6 6
⇓ ⇓
y y + .7.8.7 321 kkk +− y y + tkkk Δ+− .7.8.7 3211+iy = iy + 6
321
1+iz = iz + 6
.7.8.7 321 lll +−
1+iy = iy + tΔ.6
321
1+iz = iz + tlll Δ+− .6
.7.8.7 321
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 16
6 6
MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE TERCEIRA ORDEM
• Método (Uma equação) RESUMO
( )⎧ Δf 1 3
2
01
2,31,3
1,2
,
3
2
aa
a
a
c
c
cp qpp
( )⎧ f 1
MÈTODO - II
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤<Δ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +Δ+
=Δ
= ∑−
=
npxkayxcxf
pxyxf
k p
q
i
qqpipi
ii
i
p 1,..,.
1,.
1
1
,
4321
4
4321
3,42,41,44
wwww
q
w
aaac
q
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤<⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ Δ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+Δ+
=
= ∑−
=
npxkayxcxf
pyxf
k p
q
i
qqpipi
ii
i
p 1,..,.
1,
1
1
,
∑
=
+ +=
n
p
i
ppii kwyy
1
1 . xkwyy
n
p
i
ppii Δ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+= ∑
=
+ ..
1
1
n = 3
0
k = ( )( ) ttytg Δ
( )ty´ = ( )( )tytg ,
k = ( )( )tytg 111
2
1
2
1
211 −
1k = ( )( ) ttytg ii Δ.,
2k = ( ) tktyttg ii Δ⎟⎞⎜⎛ +Δ+ ., 1
1k = ( )( )ii tytg ,
2k = ( ) ⎟⎞⎜⎛ Δ+Δ+ ., 1 tktyttg ii
3
1
3
1
3
1
2k ( ) ttytg ii Δ⎟⎠⎜⎝ ++ .2,2
3k = ( )( ) tkktyttg ii Δ+−Δ+ ..2, 21
2k ( ) ⎟⎠⎜⎝ ++ 2.,2 1ktytg ii
3k = ( ) ( )( )tkktyttg ii Δ+−+Δ+ ..2, 21
Ou:
( )( )
1+iy = iy + 3
321 kkk ++
( ) ( )( )
1+iy = iy + tkkk Δ++ .3
321
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 19
3 3
MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE TERCEIRA ORDEM
• Método (Sistema com duas equações)
( )ty´ = ( ) ( )( )tztytg ,, ( )tz´ = ( ) ( )( )tztyth ,,
MÈTODO - II
Então:
1k = ( ) ( )( ) ttztytg iii Δ.,, 1k = ( ) ( )( )iii tztytg ,,
1l = ( ) ( )( ) ttztyth iii Δ.,, 1l = ( ) ( )( )iii tztyth ,,
Ou:
2k = ( ) ( )( ) ttztytg likiti Δ+++ Δ .,, 222 11 2k = ( ) ( )( )21212 .,., tititi ltzktytg ΔΔΔ +++
k ( ) ( )( ) tlltkkttt ΔΔ 22 k ( ) ( ) ( ) ( )( )tllttkkttt ΔΔΔ 22
1l ( ) ( )( ) ttztyth iii Δ.,, 1l ( ) ( )( )iii tztyth ,,
2l = ( ) ( )( ) ttztyth likiti Δ+++ Δ .,, 222 11 =2l ( ) ( )( )21212 .,., tititi ltzktyth ΔΔΔ +++
( )tty i Δ+ = ( )ity + 321 kkk ++
3k = ( ) ( )( ) tlltzkktyttg iii Δ+−+−Δ+ ..2,.2, 2121 3k = ( ) ( ) ( ) ( )( )tlltztkktyttg iii Δ+−+Δ+−+Δ+ ..2,..2, 2121
( )tty i Δ+ = ( )ity + tkkk Δ++ 321
3l = ( ) ( )( ) tlltzkktytth iii Δ+−+−Δ+ ..2,.2, 2121 3l = ( ) ( ) ( ) ( )( )tlltztkktytth iii Δ+−+Δ+−+Δ+ ..2,..2, 2121
( )tty i Δ+ ( )ity + 3
( )ttz i Δ+ = ( )itz + 3 321
lll ++
( )tty i Δ+ ( )ity + tΔ.3
( )ttz i Δ+ = ( )itz + tlll Δ++ .3 3213 3
⇓ ⇓
y = y + 321 kkk ++ y = y + tkkk Δ++ 3211+iy = iy + 3
1+iz = iz + 3
321 lll ++
1+iy = iy + tΔ.3
1+iz = iz + tlll Δ++ .3
321
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 20
3 3
MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE QUARTA ORDEM
• Método (Uma equação) RESUMO
3
2
01
2,31,3
1,2
,
3
2
aa
a
a
c
c
cp qpp
( )⎧ f 1( )⎧ Δf 1
Ou:
4321
4
4321
3,42,41,44
wwww
q
w
aaac
q
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤<⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ Δ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+Δ+
=
= ∑−
=
npxkayxcxf
pyxf
k p
q
i
qqpipi
ii
i
p 1,..,.
1,
1
1
,
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤<Δ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +Δ+
=Δ
= ∑−
=
npxkayxcxf
pxyxf
k p
q
i
qqpipi
ii
i
p 1,..,.
1,.
1
1
,
∑
=
+ +=
n
p
i
ppii kwyy
1
1 . xkwyy
n
p
i
ppii Δ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+= ∑
=
+ ..
1
1
( ) ( )( ) 2121
0
n = 4
1k = ( )( )ii tytg ,1k = ( )( ) ttytg ii Δ.,
( )ty´ = ( )( )tytg ,
6
1
3
1
3
1
6
1
2
1
2
2
1
2
100
0
1
=2k ( )( ) ttytg kiti Δ++ Δ ., 22 1 = ( )( )212 ., titi ktytg ΔΔ ++
k ( )( )k k ( )( )k ΔΔ
2k
4k = ( )( ) tktyttg ii Δ+Δ+ ., 3 4k = ( )( )tktyttg ii Δ+Δ+ ., 3
3k = ( )( ) ttytg kiti Δ++ Δ ., 22 2 3k = ( )( )222 ., titi ktytg ΔΔ ++Ou:
4
1+iy = iy + 6
.2.2 4321 kkkk +++
4
1+iy = iy + tkkkk Δ+++ .6
.2.2 4321
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIAQUÍMICA - EQ 246PhDs 21
6 6
MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE QUARTA ORDEM
• Método (Sistema com duas equações)
( )ty´ = ( ) ( )( )tztytg ,, ( )tz´ = ( ) ( )( )tztyth ,,
1k = ( ) ( )( ) ttztytg iii Δ.,,
Então: Ou:
1k = ( ) ( )( )iii tztytg ,,
2k = ( ) ( )( ) ttztytg likiti Δ+++ Δ .,, 222 11
1l = ( ) ( )( ) ttztyth iii Δ.,,
( )
2k = ( ) ( )( )21212 .,., tititi ltzktytg ΔΔΔ +++
1l = ( ) ( )( )iii tztyth ,,
( ) ( )( )
3k = ( ) ( )( ) ttztytg likiti Δ+++ Δ .,, 222 22
2l = ( ) ( )( ) ttztyth likiti Δ+++ Δ .,, 222 11
l ( ) ( )( )lk
3k = ( ) ( )( )22222 .,., tititi ltzktytg ΔΔΔ +++
2l = ( ) ( )( )21212 .,., tititi ltzktyth ΔΔΔ +++
( ) ( )( )
4k = ( ) ( )( ) tltzktyttg iii Δ++Δ+ .,, 33
l = ( ) ( )( ) tltzktytth Δ++Δ+
3l = ( ) ( )( ) ttztyth likiti Δ+++ Δ .,, 222 22
4k = ( ) ( )( )tltztktyttg iii Δ+Δ+Δ+ .,., 33
l = ( ) ( )( )tltztktytth Δ+Δ+Δ+
3l = ( ) ( )( )22222 .,., tititi ltzktyth ΔΔΔ +++
4l = ( ) ( )( ) tltzktytth iii Δ++Δ+ .,, 33
1+iy = iy + 6
.2.2 4321 kkkk +++
1+iy = iy + tkkkk Δ+++ .6
.2.2 4321
4l = ( ) ( )( )tltztktytth iii Δ+Δ+Δ+ .,., 33
1+iz = iz + 6
.2.2 4321 llll +++
1+iz = iz + tllll Δ+++ .6
.2.2 4321
6 6
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 22
6 6
GENERALIZAÇÂO DO MÉTODO DE RUNGE-KUTTA
T
I
W
AC AI – Matriz triangular inferior
01
,acp qpp
Exemplo
⎪
⎪⎨
⎧
≤<
=
= ∑− npa
p
c pp 1,
1,0
13
2
2,31,3
1,2
3
2
aa
a
c
c
p
0
n = 3
1=∑n w
⎪⎩
≤<∑
=
npa
q
qp 1,
1
,
4
4321
3,42,41,44
wwwww
aaac
q
2
1
2
1
211 −1
1
=∑
=q
qw4321q 313131
Ou:
( )
⎪
⎪⎨
⎧
≤<Δ⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎛ +Δ+
=Δ
= ∑− npxkayxcxf
pxyxf
k p i
ii
i
p 1
1,.
1
( )
⎪
⎪⎨
⎧
≤<⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎛ Δ⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎛+Δ+
=
= ∑− npxkayxcxf
pyxf
k p i
ii
i
p 1
1,
1
⎪⎩
≤<Δ⎟⎟⎠⎜
⎜
⎝
+Δ+ ∑
=
npxkayxcxf
q
qqpipi
p 1,..,.
1
, ⎪⎩
≤<⎟⎟⎠⎜
⎜
⎝
Δ⎟⎟⎠⎜
⎜
⎝
+Δ+ ∑
=
npxkayxcxf
q
qqpipi
p 1,..,.
1
,
∑
=
+ +=
n
p
i
ppii kwyy
1
1 . xkwyy
n
p
i
ppii Δ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+= ∑
=
+ ..
1
1
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 23
p 1 p ⎠⎝
MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA
• Métodos apresentados (explicito)
Segunda ordem Terceira ordemPrimeira ordem (E l ) Terceira ordem
0
g(Euler)
0
n = 3n = 3n = 2n = 1
1
0
11
0
2
1
2
1
101
0
2
1
2
1
211
0
1
2
1
2
1
6
7
3
4
6
7
101
−
Quarta ordem
3
1
3
1
3
1
211 −
( )⎪⎧ =Δ pxyxf ii 1,.
0
Quarta ordem ( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤<Δ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +Δ+= ∑−
=
npxkayxcxf
pyf
k p
q
i
qqpipi
ii
i
p 1,..,.
,
1
1
,
∑+ n ik,acp qpp O
n = 4
2
1
2
1
2
1
2
1
0
0 ∑
=
+ +=
p
i
ppii kwyy
1
1 .
3
2
01
2313
1,2
,
3
2
aa
a
c
c
qpp
( )⎪⎨
⎧
≤<⎟⎞⎜⎛ Δ⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎛+Δ+
=
= ∑− npxkayxcxf
pyxf
k p i
ii
i
p 1
1,
1
Ou:
6
1
3
1
3
1
6
1
22
100
0
1
4321
4
4321
3,42,41,4
2,31,3
4
3
wwww
q
w
aaac
q
⎪⎩
⎨ ≤<⎟⎟⎠⎜
⎜
⎝
Δ⎟⎟⎠⎜
⎜
⎝
+Δ+ ∑
=
npxkayxcxf
q
qqpipi
p 1,..,.
1
,
xkwyy
n
p
i
ppii Δ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+= ∑
=
+ ..
1
1
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 24
6336 3q p ⎠⎝ =1
APLICAÇÃO
• Método (Uma equação)
( )⎪⎨
⎧
⎟⎞⎜⎛
=Δ
= ∑−
pxyxf
k p i
ii
i
1,.
1 ∑+= n ikwyy 01
,acp qpp
n = 4
⎪⎩
⎨ ≤<Δ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +Δ+= ∑
=
npxkayxcxfk
q
i
qqpipi
p 1,..,.
1
,
∑
=
+ +=
p
ppii kwyy
1
1 .
Ou: 3
2
2,31,3
1,2
3
2
aa
a
c
c
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤<⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ Δ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+Δ+
=
= ∑−
=
npxkayxcxf
pyxf
k p
q
i
qqpipi
ii
i
p 1,..,.
1,
1
1
,
xkwyy
n
p
i
ppii Δ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+= ∑
=
+ ..
1
1 4321
4
4321
3,42,41,44
wwww
q
w
aaac
q
( )ty´ = ( )( )tytg ,
⎩ ⎠⎝ ⎠⎝ q 1
Então:
1k = ( )( ) ttytg ii Δ., 1k = ( )( )ii tytg ,
Ou:
2k = ( )( ) taktytctg ii Δ+Δ+ ..,. 1,212 2k = ( ) ( )( )taktytctg ii Δ+Δ+ ..,. 1,212
3k = ( )( ) takaktytctg ii Δ++Δ+ ...,. 2,321,313 3k = ( ) ( )( )takaktytctg ii Δ++Δ+ ...,. 2,321,313
( )( ) takakaktytctg ii Δ+++Δ+ ....,. 3,432,421,4144k = 4k = ( ) ( )( )takakaktytctg ii Δ+++Δ+ ....,. 3,432,421,414
1+iy = iy + 44332211 .... kwkwkwkw +++ 1+iy = iy + ( ) tkwkwkwkw Δ+++ ..... 44332211
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 25
1+iy iy 44332211 1+iy iy ( )44332211
APLICAÇÃO
• Método (Sistema com duas equações)
01
,acp qpp( )⎪⎨
⎧
⎟⎞⎜⎛
=Δ
= ∑−
pxyxf
k p i
ii
i
1,.
1 ∑+= n ikwyy
n = 4
3
2
2,31,3
1,2
3
2
aa
a
c
c⎪⎩
⎨ ≤<Δ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +Δ+= ∑
=
npxkayxcxfk
q
i
qqpipi
p 1,..,.
1
,
∑
=
+ +=
p
ppii kwyy
1
1 .
( )ty´ = ( ) ( )( )tztytg ,, ( )tz´ = ( ) ( )( )tztyth ,,
Então:
1k = ( ) ( )( ) ttztytg iii Δ.,, 4321
4
4321
3,42,41,44
wwww
q
w
aaac
q
( ) ( ) ( )( )yg ( ) ( ) ( )( )y
1l = ( ) ( )( ) ttztyth iii Δ.,,
1 ( ) ( )( )
2k = ( ) ( )( ) taltzaktytctg iii Δ++Δ+ ..,.,. 1,211,212
( ) ( )( )
3k = ( ) ( )( ) talaltzakaktytctg iii Δ++++Δ+ ...,..,. 2,321,312,321,313
2l = ( ) ( )( ) taltzaktytcth iii Δ++Δ+ ..,.,. 1,211,212
3l = ( ) ( )( ) talaltzakaktytcth iii Δ++++Δ+ ...,..,. 2321312321313
4k = ( ) ( )( ) talalaltzakakaktytctg iii Δ++++++Δ+ ....,...,. 3,432,421,413,432,421,414
3l ( ) ( )( ) talaltakaktytcth iii ...,..,. 2,321,312,321,313
4l = ( ) ( )( ) talalaltzakakaktytcth iii Δ++++++Δ+ ....,...,. 3,432,421,413,432,421,414
Ou:
1+iy = iy + 44332211 .... kwkwkwkw +++
1+iz = iz + 44332211 .... lwlwlwlw +++
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 26
1+i i 44332211
APLICAÇÃO
• Método (Sistema com duas equações)
01
,acp qpp
n = 4
( )⎪⎨
⎧
⎟⎞⎜⎛ ⎟⎞⎜⎛
=
= −
pyxf
k p
ii
i
1,
1 xkwyy
n
i Δ⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎛+= ∑
3
2
2,31,3
1,2
3
2
aa
a
c
c
( )ty´ = ( ) ( )( )tztytg ,, ( )tz´ = ( ) ( )( )tztyth ,,
⎪⎩
⎨ ≤<⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ Δ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+Δ+= ∑
=
npxkayxcxfk
q
i
qqpipi
p 1,..,.
1
,
xkwyy
p
ppii Δ⎟⎟⎠⎜
⎜
⎝
+= ∑
=
+ ..
1
1
Então:
4321
4
4321
3,42,41,44
wwww
q
w
aaac
q
( )y ( ) ( )( )yg ,, ( ) ( ) ( )( )y ,,
1k = ( ) ( )( )iii tztytg ,,
1l = ( ) ( )( )iii tztyth ,,
1k ( ) ( )( )iii ttytg ,,
2k = ( ) ( ) ( ) ( )( )taltztaktytctg iii Δ+Δ+Δ+ ..,..,. 1,211,212
( ) ( ) ( ) ( )( )
3k = ( ) ( ) ( ) ( )( )talaltztakaktytctg iii Δ++Δ++Δ+ ...,...,. 2,321,312,321,313
2l = ( ) ( ) ( ) ( )( )taltztaktytcth iii Δ+Δ+Δ+ ..,..,. 1,211,212
3l = ( ) ( ) ( ) ( )( )talaltztakaktytcth iii Δ++Δ++Δ+ ...,...,. 2321312321313
4k = ( ) ( ) ( ) ( )( )talalaltztakakaktytctg iii Δ+++Δ+++Δ+ ....,....,. 3,432,421,413,432,421,414
3l ( ) ( ) ( ) ( )( )talaltztakaktytcth iii Δ++Δ++Δ+ ...,...,. 2,321,312,321,313
4l = ( ) ( ) ( ) ( )( )talalaltztakakaktytcth iii Δ+++Δ+++Δ+ ....,....,. 3,432,421,413,432,421,414
1+iy = iy + ( ) tkwkwkwkw Δ+++ ..... 44332211
1+iz = iz + ( ) tlwlwlwlw Δ+++ ..... 44332211
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 27
1+i i ( )44332211
EXERCÍCIO I
Aplicar o método de Euler, na solução numérica da equação
diferencial 2.y’(t) + 5.y(t) = E(t), para construir a tabela de
valores de y(t) e y’(t), até o tempo t = t0 + 2.Δt, sabendo-se que
para y(t = t0) = 0,5 e E(t ≥ t0) = 6. Considerar Δt = 0,1 e t0 = 4.
y(t = t0) = y0 = 0,5Δt = 0,1E(t ≥ t0) = 6t0 = 4
y’(t) = f(t, y(t)) = 0,5.(6 - 5.y(t))
k1 = f(ti, y(ti)).Δt = 0,5.(6 - 5.y(ti)).0,1
yi+1 = yi + k1
0( )⎪⎧ =Δ pxyxf ii 1,. n
n = 1
1
0( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤<Δ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +Δ+= ∑−
=
npxkayxcxf
pxyxf
k p
q
i
qqpipi
ii
i
p 1,..,.
,.
1
1
,
∑
=
+ +=
n
p
i
ppii kwyy
1
1 .
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA -EQ 246PhDs 28
EXERCÍCIO I
• Tabela
t = 4
Δt = 0 1
t0 = 4
y(t = t0) = y0 = 0,5
Δt 0,1
y( 0) y0 ,
y’(t) = f(t, y(t)) = 0,5.(6 - 5.y(t))
k1 = f(ti, y(ti)).Δt
= 0,5.(6 - 5.y(ti)).0,1
yi+1 = yi + k1
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 29
EXERCÍCIO I
• Gráfico
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 30
EXERCÍCIO II
Aplicar o método de Runge-Kutta de segunda ordem, na
solução numérica da equação diferencial 2.y’(t) + 5.y(t) = E(t),
para construir a tabela de valores de y(t) e y’(t), até o tempo t =
t0 + 2.Δt, sabendo-se que para y(t = t0) = 0,5 e E(t ≥ t0) = 6.
idConsiderar Δt = 0,1 e t0 = 4.
y(t = t0) = y0 = 0,5Δt = 0,1E(t ≥ t0) = 6t0 = 4 y( 0) y0
y’(t) = f(t, y(t)) = 0,5.(6 - 5.y(t))
k f(t (t )) Δt 0 5 (6 5 (t )) 0 1
( 0)0
k1 = f(ti, y(ti)).Δt = 0,5.(6 - 5.y(ti)).0,1
k2 = f(ti + Δt, y(ti) + k1).Δt = 0,5.(6 - 5.(y(ti) + k1)).0,1
yi+1 = yi + (k1 + k2)/2
( )⎪⎧ =Δ pxyxf ii 1,. n
0
n = 2
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤<Δ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +Δ+= ∑−
=
npxkayxcxf
pyf
k p
q
qqpipi
ii
i
p 1,..,.
,
1
1
, ∑=+ +=
n
p
i
ppii kwyy
1
1 .
2
1
2
1
11
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 31
EXERCÍCIO II
• Tabela
t0 = 4
(t t ) 0 5
Δt = 0,1
y(t = t0) = y0 = 0,5
y’(t) = f(t, y(t))
k1 = f(ti y(ti)) Δt
= 0,5.(6 - 5.y(t))
k1 f(ti, y(ti)).Δt
= 0,5.(6 - 5.y(ti)).0,1
k2 = f(ti + Δt, y(ti) + k1).Δt
= 0,5.(6 - 5.(y(ti) + k1)).0,1
yi+1 = yi + (k1 + k2)/2
, ( (y( i) 1)) ,
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 32
EXERCÍCIO II
• Gráfico
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 33
EXERCÍCIO II
Di d bl• Diagrama de blocos
Exercício - I e Exercício - II
2.y’(t) + 5.y(t) = E(t) 
y(t = t0) = 0 5 e E(t => t0) = 6y(t t0) 0,5 e E(t t0) 6.
Considerar t0 = 4s
E(t)
1
Ganho
y(t)
y'(t)
Osciloscópio
1
s
Integrador
1/26
E(t)
y(t)
y(t)E(t) y'(t)
1.2
5
Ganho 
Valor final
5
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 34
EXERCÍCIO II
Si l ã• Simulação
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 35
EXERCÍCIO III
Aplicar o método de Euler, na solução numérica da equação
diferencial 2.y”(t) + 3.y’(t) + 5.y(t) = E(t), para construir a
tabela de valores de y(t), y’(t) e y”(t), até o tempo t = t0 + 2.Δt,
sabendo-se que até t < t0, o sistema está em estado estacionário.
( ) 2,0,4,
6
,5
0
0 =Δ
⎩⎨
⎧ =≥
<= tst
tt
tt
tE
,6 0⎩ ≥ tt
y”(t < t0) = 0, y’(t < t0) = 0 e y0 = y(t = t0) = y(t < t0) = ?
2.y”(t < t0) + 3.y’(t < t0) + 5.y(t ≤ t0) = E(t < t0)
2 (0) 3 (0) 5 5 1 ( ) ’( )2.(0) + 3.(0) + 5.y0 = 5 ⇒ y0 = 1 z(t) = y’(t)
z’(t) = y”(t)⇒ ⇒
⇒
z0 = z(t = t0) = z(t < t0) = y’(t < t0) = 0 ( ) y ( )
2.z’(t) + 5.y(t) + 3.z(t) = E(t) e y’(t) = z(t)
0 ( 0) ( 0) y ( 0)
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 36
EXERCÍCIO III
y(t ≤ t0) = y0 = 12.z’(t) + 5.y(t) + 3.z(t) = E(t)
y’(t) = z(t) y’(t < t ) = z(t ≤ t ) = z = 0
t0 = 4
y (t) z(t) y (t < t0) z(t ≤ t0) z0 0 
y0 = 1y’(t) = f(t, y(t), z(t)) = z(t) z0 = 0Δt = 0,2E(t ≥ t0) = 6
z’(t) = g(t, y(t), z(t)) = 0,5.(6 - 3.z(t) - 5.y(t))
k f( ( ) ( )) ( )k1 = f(ti, y(ti), z(ti)).Δt = z(ti).0,2
l1 = g(ti, y(ti), z(ti)).Δt = 0,5.(6 - 5.y(ti) - 3.z(ti)).0,2l1 g(ti, y(ti), z(ti)).Δt 0,5.(6 5.y(ti) 3.z(ti)).0,2
yi+1 = yi + k1
zi+1 = zi + l1
0( )⎪⎧ =Δ pxyxf ii 1,. n
n = 1
1
0( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤<Δ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +Δ+= ∑−
=
npxkayxcxf
pyf
k p
q
i
qqpipi
ii
i
p 1,..,.
,
1
1
, ∑=+ +=
n
p
i
ppii kwyy
1
1 .
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 37
EXERCÍCIO III
• Tabela
t0 = 4
y(t ≤ t0) = y0 = 1
(t ≤ t ) 0
Δt = 0,2
z(t ≤ t0) = z0 = 0 
y’(t) = f(t, y(t), z(t))
= z(t)
z’(t) = g(t, y(t), z(t))
 z(t)
= 0,5.(6 - 3.z(t) - 5.y(t))
k1 = f(ti, y(ti), z(ti)).Δt
, ( ( ) y( ))
= z(ti).0,2
l1 = g(ti, y(ti), z(ti)).Δt
= 0,5.(6 - 5.y(ti) - 3.z(ti)).0,2
yi+1 = yi + k1
zi+1 = zi + l1
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 38
EXERCÍCIO III
• Gráfico
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 39
EXERCÍCIO IV
Aplicar o método de Runge-Kutta de segunda ordem, na
solução numérica da equação diferencial 2.y”(t) + 3.y’(t) +
5.y(t) = E(t), para construir a tabela de valores de y(t), y’(t) e
y”(t), até o tempo t = t0 + 2.Δt, sabendo-se que até t < t0, o
i d i isistema está em estado estacionário.
( ) 204,5 0 Δ⎨⎧ < ttE( ) 2,0,4,,6 00
0 =Δ
⎩⎨
=≥= tsttttE
( ) ( ) ( ) ( )
2.y”(t < t0) + 3.y’(t < t0) + 5.y(t ≤ t0) = E(t < t0)
y”(t < t0) = 0, y’(t < t0) = 0 e y0 = y(t = t0) = y(t < t0) = ?
y ( 0) y ( 0) y( 0) ( 0)
2.(0) + 3.(0) + 5.y0 = 5 ⇒ y0 = 1 z(t) = y’(t)
’( ) ”( )
⇒
( ) ( ) ’( ) 0
e
z’(t) = y”(t)⇒ ⇒
2.z’(t) + 5.y(t) + 3.z(t) = E(t) y’(t) = z(t)
z0 = z(t = t0) = z(t < t0) = y’(t < t0) = 0
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 40
( ) y( ) ( ) ( ) y ( ) ( )
EXERCÍCIO IV
y(t ≤ t0) = y0 = 12.z’(t) + 5.y(t) + 3.z(t) = E(t)
y’(t) = z(t) y’(t < t0) = z(t ≤ t0) = z0 = 0 
t0 = 4
y ( ) ( ) y ( 0) ( 0) 0
y0 = 1
’( ) ( ( ) ( )) 0 5 (6 5 ( ) 3 ( ))
y’(t) = f(t, y(t), z(t)) = z(t) z0 = 0Δt = 0,2E(t ≥ t0) = 6
z’(t) = g(t, y(t), z(t)) = 0,5.(6 - 5.y(t) - 3.z(t))
k1 = f(ti, y(ti), z(ti)).Δt = z(ti).0,2
k2 = f(ti + Δt, y(ti) + k1, z(ti) + l1).Δt = (z(ti) + l1).0,2
l1 = g(ti, y(ti), z(ti)).Δt = 0,5.(6 - 5.y(ti) - 3.z(ti)).0,2
2 ( i , y( i) 1, ( i) 1) ( ( i) 1) ,
l2 = g(ti + Δt, y(ti) + k1, z(ti) + l1).Δt = 0,5.(6 - 5.(y(ti) + k1)- 3.(z(ti) + l1)).0,2
y = y + (k + k )/2yi+1 = yi + (k1 + k2)/2
zi+1 = zi + (l1 + l2)/2 0
n = 2
2
1
2
1
11( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤<Δ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +Δ+
=Δ
= ∑−
=
npxkayxcxf
pxyxf
k p
q
i
qqpipi
ii
i
p 1,..,.
1,.
1
1
,
∑
=
+ +=
n
p
i
ppii kwyy
1
1 .
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 41
EXERCÍCIO IV
• Tabela
Δt 0 2
t0 = 4
y(t ≤ t0) = y0 = 1
z(t ≤ t0) = z0 = 0 
Δt = 0,2
’( ) ( ( ) ( ))
y’(t) = f(t, y(t), z(t))
= z(t)
z’(t) = g(t, y(t), z(t))
k1 = f(ti, y(ti), z(ti)).Δt
= 0,5.(6 - 3.z(t) - 5.y(t))
1 ( i, y( i), ( i))
l1 = g(ti, y(ti), z(ti)).Δt
= z(ti).0,2
k2 = f(ti + Δt, y(ti) + k1, z(ti) + l1).Δt
= 0,5.(6 - 5.y(ti) - 3.z(ti)).0,2
= (z(ti) + l1) 0 2
l2 = g(ti + Δt, y(ti) + k1, z(ti) + l1).Δt yi+1 = yi + (k1 + k2)/2
zi+1 = zi + (l1 + l2)/2
 (z(ti) + l1).0,2
= 0,5.(6 - 5.(y(ti) + k1)- 3.(z(ti) + l1)).0,2
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 42
EXERCÍCIO IV
• Gráfico
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 43
EXERCÍCIO V
Aplicar o método de Runge-Kutta de terceira ordem, na solução
numérica da equação diferencial 2.y”(t) + 3.y’(t) + 5.y(t) = E(t),
para construir a tabela de valores de y(t), y’(t) e y”(t), até o
tempo t = t0 + 2.Δt, sabendo-se que até t < t0, o sistema está em
d i iestado estacionário.
( ) 204,5 0 Δ⎨⎧ < ttE 2
1
2
1
0
n = 3( ) 2,0,4,
,6 00
0 =Δ
⎩⎨
=≥= tsttttE
3
1
3
1
3
1
211 −n 3
2.y”(t < t0) + 3.y’(t < t0) + 5.y(t ≤ t0) = E(t < t0)
y”(t < t0) = 0, y’(t < t0) = 0 e y0 = y(t = t0) = y(t < t0) = ?
y ( 0) y ( 0) y( 0) ( 0)
2.(0) + 3.(0) + 5.y0 = 5 ⇒ y0 = 1 z(t) = y’(t)
( ) ( )
⇒
( ) ( ) ( )
2.z’(t) + 5.y(t) + 3.z(t) = E(t) e
z’(t) = y”(t)⇒ ⇒
2.z’(t) + 5.y(t) + 3.z(t) = E(t) y’(t) = z(t)
z0 = z(t = t0) = z(t < t0) = y’(t < t0) = 0
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 44
( ) y( ) ( ) ( )( ) y( ) ( ) ( ) y ( ) ( )
EXERCÍCIO V
y(t ≤ t0) = y0 = 12.z’(t) + 3.z (t) + 5.y(t) = E(t)
y’(t) = z(t) y’(t < t0) = z(t ≤ t0) = z0 = 0
t0 = 4
y (t) z(t) y (t t0) z(t ≤ t0) z0 0 
y0 = 1y’(t) = f(t, y(t), z(t)) = z(t) Δt = 0,2E(t ≥ t0) = 6 z0 = 0
0z’(t) = g(t, y(t), z(t)) = 0,5.(6 - 5.y (t) - 3.z(t))
k1 = f(ti, y(ti), z(ti)).Δt = z(ti).0,22
1
2
1
211
0
k2 = f(ti + Δt/2, y(ti) + k1/2, z(ti) + l1/2).Δt = (z(ti) + l1/2).0,2
l1 = g(ti, y(ti), z(ti)).Δt = 0,5.(6 - 5.y(ti) - 3.z(ti)).0,2
3
1
3
1
3
1
211 −
n = 3
l2 = g(ti + Δt/2, y(ti) + k1/2, z(ti) + l1/2).Δt = 0,5.(6 - 5.(y(ti) + k1/2) - 3.(z(ti) + l1/2)).0,2
k3 = f(ti + Δt, y(ti) - k1+ 2.k2, z(ti) - l1 + 2.l2).Δt = (z(ti) - l1 + 2.l2).0,2
n 3
yi+1 = yi + (k1 + k2 + k3)/3
l3 = g(ti + Δt, y(ti) - k1 + 2.k2, z(ti) - l1 + 2.l2).Δt = 0,5.(6 - 5.(y(ti) - k1 + 2.k2) - 3.(z(ti) - l1 + 2.l2)).0,2
( )⎧ Δf 1yi+1 yi (k1 k2 k3)/3
zi+1 = zi + (l1 + l2 + l3)/3
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤<Δ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +Δ+
=Δ
= ∑−
=
npxkayxcxf
pxyxf
k p
q
i
qqpipi
ii
i
p 1,..,.
1,.
1
1
,
∑
=
+ +=
n
p
i
ppii kwyy
1
1 .
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 45
EXERCÍCIO V
• Tabela
t0 = 4
y(t ≤ t0) = y0 = 1
Δt = 0,2
z(t ≤ t0) = z0 = 0 
y’(t) = f(t, y(t), z(t))
z’(t) = g(t, y(t), z(t))
= z(t)
= 0,5.(6 - 5.y (t) - 3.z(t))
k1 = f(ti, y(ti), z(ti)).Δt k2 = f(ti + Δt/2, y(ti) + k1/2, z(ti) + l1/2).Δt k3 = f(ti + Δt, y(ti) - k1+ 2.k2, z(ti) - l1 + 2.l2).Δt
l1 = g(ti, y(ti), z(ti)).Δt
= z(ti).0,2
l2 = g(ti + Δt/2, y(ti) + k1/2, z(ti) + l1/2).Δt
= (z(ti) + l1/2).0,2
l3 = g(ti + Δt, y(ti) - k1 + 2.k2, z(ti) - l1 + 2.l2).Δt
= (z(ti) - l1 + 2.l2).0,2
yi+1 = yi + (k1 + k2 + k3)/3 zi+1 = zi + (l1 + l2 + l3)/3
= 0,5.(6 - 5.y(ti) - 3.z(ti)).0,2 = 0,5.(6 - 5.(y(ti) + k1/2) - 3.(z(ti) + l1/2)).0,2 = 0,5.(6 - 5.(y(ti) - k1 + 2.k2) - 3.(z(ti) - l1 + 2.l2)).0,2
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 46
EXERCÍCIO V
• Gráfico
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 47
EXERCÍCIO V
Di d bl• Diagrama de blocos
Exercício - III, Exercício - IV e Exercício - V
2.y”(t) + 3.y’(t) + 5.y(t) = E(t)
E(t < t0) = 5 e E(t => t0) = 6.
Considerar t0 = 4s e t < t0 estado estacionárioConsiderar t0 4s e t < t0 estado estacionário.
E(t)
E(t)E(t)
1
E(t)
1
 Ganho
y(t)
y"(t)
y'(t)
Osciloscópio
1
s
Integrador
1
s
 IntegradorGanho
1/2 y(t)y(t)y"(t) y'(t)
Valor finalGanho 
3
 Ganho 
1.2
5
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 48
EXERCÍCIO V
Si l ã• Simulação
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 49
EXERCÍCIO VI
Aplicar o método de Runge-Kutta de terceira ordem, na solução
numérica do sistema de equações diferenciais y’(t) + 5.y(t) -
2.z(t) = E(t) e z’(t) - 2.y(t) + 4.z(t) = 0, para construir a tabela
de valores de y(t), y’(t), z(t) e z’(t), até o tempo t = t0 + 2.Δt,
b d i d i isabendo-se que até t < t0, o sistema está em estado estacionário.
( ) 204,5 0 Δ⎨⎧ < ttE 0
n = 3( ) 2,0,4,
,6
,
0
0
0 =Δ
⎩⎨
⎧ =≥= tsttttE
2
1
2
1
211
0
y’(t < t0) = 0,
z’(t < t0) = 0,
3
1
3
1
3
1
211 −y0 = y(t = t0) = y(t < t0) = ?
z0 = z(t = t0) = z(t < t0) = ?( 0) ,
e E(t < t0) = 5 Resolver
0 ( 0) ( 0)
y’(t < t0) + 5.y(t ≤ t0) - 2.z(t ≤ t0) = E(t < t0)
z’(t < t0) - 2.y(t ≤ t0) + 4.z(t ≤ t0) = 0
5.y0 - 2.z0 = E(t < t0) = 5
-2.y0 + 4.z0 = 0
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 50
( 0) y( 0) ( 0) y0 0
EXERCÍCIO VI
5.y0 - 2.z0 = E(t < t0 ) = 5
-2.y0 + 4.z0 = 0
⇒ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−
42
25 × ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
0
0
z
y = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
0
5 ⇒ y(t ≤ t0) = y0 = 1,250
z(t ≤ t0) = z0 = 0,625y0 0
y0 = 1,250
’(t) (t (t) (t)) 2 (t) 4 (t)
y’(t) = f(t, y(t), z(t)) = 6 - 5.y(t) + 2.z(t)
Δt 0 2
E(t ≥ t0) = 6 z0 = 0,625
0t 4z’(t) = g(t, y(t), z(t)) = 2.y(t) - 4.z(t) Δt = 0,2
k1 = f(t, y(t), z(t)).Δt = (6 - 5.y(t) + 2.z(t)).0,2 2
1
2
1
211
0
−
t0 = 4
3
1
3
1
3
1
k2 = f(t + Δt/2, y(t) + k1/2, z(t) + l1/2).Δt = (6 - 5.(y(t) + k1/2) + 2.(z(t) + l1/2)).0,2
l1 = g(t, y(t), z(t)).Δt = (2.y(t) - 4.z(t)).0,2
n = 3
l2 = g(t + Δt/2, y(t) + k1/2, z(t) + l1/2).Δt = (2.(y(t) + k1/2) - 4.(z(t) + l1/2)).0,2
k3 = f(t + Δt, y(t) - k1+ 2.k2, z(t) - l1 + 2.l2).Δt = (6 - 5.(y(t) - k1 + 2.k2) + 2.(z(t) - l1 + 2.l2).0,23 ( , y( ) 1 2, ( ) 1 2) ( (y( ) 1 2) ( ( ) 1 2) ,
l3 = g(t + Δt, y(t) - k1 + 2.k2, z(t) - l1 + 2.l2).Δt = (2.(y(t) - k1 + 2.k2) - 4.(z(t) - l1 + 2.l2)).0,2
(t ) (t ) + (k + k + k )/3y(ti+1) = y(ti) + (k1 + k2 + k3)/3
z(ti+1) = z(ti) + (l1 + l2 + l3)/3
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤<Δ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +Δ+
=Δ
= ∑−
=
npxkayxcxf
pxyxf
k p
q
i
qqpipi
ii
i
p 1,..,.
1,.
1
1
,
∑
=
+ +=
n
p
i
ppii kwyy
1
1 .
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 51
⎩ ⎠⎝ p
EXERCÍCIO VI
• Tabela
t0 = 4
y(t ≤ t0) = y0 = 1,250
Δt = 0,2
z(t ≤ t0) = z0 = 0,625
y’(t) = f(t, y(t), z(t))
z’(t) = g(t, y(t), z(t))
= 6 - 5.y(t) + 2.z(t)
k1 = f(t, y(t), z(t)).Δt
= 2.y(t) - 4.z(t) 
k2 = f(t + Δt/2, y(t) + k1/2, z(t) + l1/2).Δt k3 = f(t + Δt, y(t) - k1+ 2.k2, z(t) - l1 + 2.l2).Δt
l1 = g(t, y(t), z(t)).Δt
= (6 - 5.y(t) + 2.z(t)).0,2
l2 = g(t + Δt/2, y(t) + k1/2, z(t) + l1/2).Δt
= (6 - 5.(y(t) + k1/2) + 2.(z(t) + l1/2)).0,2
l3 = g(t + Δt, y(t) - k1 + 2.k2, z(t) - l1 + 2.l2).Δt
= (6 - 5.(y(t) - k1 + 2.k2) + 2.(z(t) - l1 + 2.l2).0,2
y(ti+1) = y(ti) + (k1 + k2 + k3)/3 z(ti+1) = z(ti) + (l1 + l2 + l3)/3
= (2.y(t) - 4.z(t)).0,2 = (2.(y(t) + k1/2) - 4.(z(t) + l1/2)).0,2 = (2.(y(t) - k1 + 2.k2) - 4.(z(t) - l1 + 2.l2)).0,2
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 52
EXERCÍCIO VI
• Gráfico
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 53
EXERCÍCIO VII
Aplicar o método de Runge-Kutta, descrito na tabela abaixo, na
solução numérica do sistema de equações diferenciais y’(t) + 5.y(t)
- 2.z(t) = E(t) e z’(t) - 2.y(t) + 4.z(t) = 0, para construir a tabela de
valores de y(t), y’(t), z(t) e z’(t), até o tempo t = t0 + 2.Δt, sabendo-
i d i ise que até t < t0, o sistema está em estado estacionário.
0
n = 3( ) 204,5 0 Δ⎨⎧ < ttE
2
1
2
1
0( ) 2,0,4,
,6
,
0
0
0 =Δ
⎩⎨
⎧ =≥= tsttttE
6
7
6
8
6
7
101
−
y’(t < t0) = 0,
z’(t < t0) = 0,
y0 = y(t = t0) = y(t < t0) = ?
z0 = z(t = t0) = z(t < t0) = ?
Resolver
( 0) ,
e E(t < t0) = 5 
0 ( 0) ( 0)
5.y0 - 2.z0 = E(t < t0) = 5
-2.y0 + 4.z0 = 0
y’(t < t0) + 5.y(t ≤ t0) - 2.z(t ≤ t0) = E(t < t0)
z’(t < t0) - 2.y(t ≤ t0) + 4.z(t ≤ t0) = 0
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 54
y0 0( 0) y( 0) ( 0)
EXERCÍCIO VII
5.y0 - 2.z0 = E(t < t0 ) = 5
-2.y0 + 4.z0 = 0
⇒ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−
42
25 × ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
0
0
z
y = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
0
5 ⇒ y(t ≤ t0) = y0 = 1,250
z(t ≤ t0) = z0 = 0,625y0 0
y0 = 1,250
’(t) (t (t) (t)) 2 (t) 4 (t)
y’(t) = f(t, y(t), z(t)) = 6 - 5.y(t) + 2.z(t)
Δt 0 2
E(t ≥ t0) = 6 z0 = 0,625
t 4 0z’(t) = g(t, y(t), z(t)) = 2.y(t) - 4.z(t) Δt = 0,2
k1 = f(t, y(t), z(t)).Δt = (6 - 5.y(t) + 2.z(t)).0,2
t0 = 4
2
1
2
1
101
0
k2 = f(t + Δt/2, y(t) + k1/2, z(t) + l1/2).Δt = (6 - 5.(y(t) + k1/2) + 2.(z(t) + l1/2)).0,2
l1 = g(t, y(t), z(t)).Δt = (2.y(t) - 4.z(t)).0,2 673467 −
n = 3
l2 = g(t + Δt/2, y(t) + k1/2, z(t) + l1/2).Δt = (2.(y(t) + k1/2) - 4.(z(t) + l1/2)).0,2
k3 = f(t + Δt, y(t) + k2, z(t) + l2).Δt = (6 - 5.(y(t) + k2) + 2.(z(t) + l2).0,23 ( , y( ) 2, ( ) 2) ( (y( ) 2) ( ( ) 2) ,
l3 = g(t + Δt, y(t) + k2, z(t) + l2).Δt = (2.(y(t) + k2) - 4.(z(t) + l2)).0,2
(t ) (t ) + (7 k 8 k + 7 k )/6
∑
=
+ +=
n
p
i
ppii kwyy
1
1 .
y(ti+1) = y(ti) + (7.k1 – 8.k2 + 7.k3)/6
z(ti+1) = z(ti) + (7.l1 – 8.l2 + 7.l3)/6
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤<Δ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +Δ+
=Δ
= ∑−
=
npxkayxcxf
pxyxf
k p
q
i
qqpipi
ii
i
p 1,..,.
1,.
1
1
,
p
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 55
⎩
EXERCÍCIO VII
• Tabela
t0 = 4
y(t ≤ t0) = y0 = 1,250
Δt = 0,2
z(t ≤ t0) = z0 = 0,625
y’(t) = f(t, y(t), z(t))
z’(t) = g(t, y(t), z(t))
= 6 - 5.y(t) + 2.z(t)
k1 = f(t, y(t), z(t)).Δt= 2.y(t) - 4.z(t) 
k2 = f(t + Δt/2, y(t) + k1/2, z(t) + l1/2).Δt k3 = f(t + Δt, y(t) + k2, z(t) + l2).Δt
l1 = g(t, y(t), z(t)).Δt
= (6 - 5.y(t) + 2.z(t)).0,2
l2 = g(t + Δt/2, y(t) + k1/2, z(t) + l1/2).Δt
= (6 - 5.(y(t) + k1/2) + 2.(z(t) + l1/2)).0,2
l3 = g(t + Δt, y(t) + k2, z(t) + l2).Δt
= (6 - 5.(y(t) + k2) + 2.(z(t) + l2).0,2
y(ti+1) = y(ti) + (7.k1 – 8.k2 + 7.k3)/6 z(ti+1) = z(ti) + (7.l1 – 8.l2 + 7.l3)/6
= (2.y(t) - 4.z(t)).0,2 = (2.(y(t) + k1/2) - 4.(z(t) + l1/2)).0,2 = (2.(y(t) + k2) - 4.(z(t) + l2)).0,2
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 56
EXERCÍCIO VII
• Gráfico
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 57
EXERCÍCIO VIII
Aplicar o método de Runge-Kutta, descrito na tabela abaixo, na
solução numérica do sistema de equações diferenciais y’(t) + 5.y(t)
- 2.z(t) = E(t) e z’(t) - 2.y(t) + 4.z(t) = 0, para construir a tabela de
valores de y(t), y’(t), z(t) e z’(t), até o tempo t = t0 + 2.Δt, sabendo-
i d i ise que até t < t0, o sistema está em estado estacionário.
0( ) 204,5 0 Δ⎨⎧ < ttE
2
1
2
1
2
1
2
1
0
( ) 2,0,4,
,6
,
0
0
0 =Δ
⎩⎨
⎧ =≥= tsttttE
6
1
3
1
3
1
6
1
1001y’(t < t0) = 0,
z’(t < t0) = 0,
y0 = y(t = t0) = y(t < t0) = ?
z0 = z(t = t0) = z(t < t0) = ? n = 4
Resolver
( 0) ,
e E(t < t0) = 5 
0 ( 0) ( 0)
5.y0 - 2.z0 = E(t < t0) = 5
-2.y0 + 4.z0 = 0
y’(t < t0) + 5.y(t ≤ t0) - 2.z(t ≤ t0) = E(t < t0)
z’(t < t0) - 2.y(t ≤ t0) + 4.z(t ≤ t0) = 0
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 58
y0 0( 0) y( 0) ( 0)
EXERCÍCIO VIII
5.y0 - 2.z0 = E(t < t0 ) = 5
-2.y0 + 4.z0 = 0
⇒ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−
42
25 × ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
0
0
z
y = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
0
5 ⇒
y(t ≤ t0) = y0 = 1,250
z(t ≤ t0) = z0 = 0,625
y0 = 1,250
z’(t) = g(t, y(t), z(t)) = 2.y(t) - 4.z(t) 
y’(t) = f(t, y(t), z(t)) = 6 - 5.y(t) + 2.z(t)
Δt = 0,2
E(t ≥ t0) = 6 z0 = 0,625
t0 = 4 0( ) g( , y( ), ( )) y( ) ( ) ,
k1 = f(t, y(t), z(t)).Δt = (6 - 5.y(t) + 2.z(t)).0,2
l1 = g(t, y(t), z(t)).Δt = (2.y(t) - 4.z(t)).0,2
0
2
1
2
1
2
1
2
1
100
0
1
k2 = f(t + Δt/2, y(t) + k1/2, z(t) + l1/2).Δt = (6 - 5.(y(t) + k1/2) + 2.(z(t) + l1/2)).0,2
l2 = g(t + Δt/2, y(t) + k1/2, z(t) + l1/2).Δt = (2.(y(t) + k1/2) - 4.(z(t) + l1/2)).0,2
6
1
3
1
3
1
6
1
1001
n = 4
k3 = f(t + Δt/2, y(t) + k2/2, z(t) + l2/2).Δt = (6 - 5.(y(t) + k2/2) + 2.(z(t) + l2/2).0,2
l3 = g(t + Δt/2, y(t) + k2/2, z(t) + l2/2).Δt = (2.(y(t) + k2/2) - 4.(z(t) + l2/2)).0,2
k4 = f(t + Δt, y(t) + k3, z(t) + l3).Δt = (6 - 5.(y(t) + k3) + 2.(z(t) + l3).0,2
l4 = g(t + Δt, y(t) + k3, z(t) + l3).Δt = (2.(y(t) + k3) - 4.(z(t) + l3)).0,2
y(ti+1) = y(ti) + (k1 + 2.k2 + 2.k3 + k4)/6
z(ti+1) = z(ti) + (l1 + 2.l2 + 2.l3 + l4)/6
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤<Δ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +Δ+
=Δ
= ∑−
=
npxkayxcxf
pxyxf
k p
q
i
qqpipi
ii
i
p 1,..,.
1,.
1
1
, ∑=+ +=
n
p
i
ppii kwyy
1
1 .
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 59
⎩ ⎠⎝ p
EXERCÍCIO VIII
• Tabela
t0 = 4
y(t ≤ t0) = y0 = 1,250
Δt = 0,2
z(t ≤ t0) = z0 = 0,625
y’(t) = f(t, y(t), z(t))
z’(t) = g(t, y(t), z(t))
y ( ) ( y( ) ( ))
= 6 - 5.y(t) + 2.z(t)
z (t) g(t, y(t), z(t))
k1 = f(t y(t) z(t)) Δt
= 2.y(t) - 4.z(t) 
k2 = f(t + Δt/2 y(t) + k1/2 z(t) + l1/2) Δt k3 = f(t + Δt y(t) + k2/2 z(t) + l2/2) Δt k4= f(t + Δt y(t) + k3 z(t) + l3) Δtk1 f(t, y(t), z(t)).Δt
l1 = g(t, y(t), z(t)).Δt
= (6 - 5.y(t) + 2.z(t)).0,2
k2 f(t + Δt/2, y(t) + k1/2, z(t) + l1/2).Δt
l2 = g(t + Δt/2, y(t) + k1/2, z(t) + l1/2).Δt
= (6 - 5.(y(t) + k1/2) + 2.(z(t) + l1/2)).0,2
k3 f(t + Δt, y(t) + k2/2, z(t) + l2/2).Δt
l3 = g(t + Δt, y(t) + k2/2, z(t) + l2/2).Δt
= (6 - 5.(y(t) + k2/2) + 2.(z(t) + l2/2).0,2
k4 f(t + Δt, y(t) + k3, z(t) + l3).Δt
l4 = g(t + Δt, y(t) + k3, z(t) + l3).Δt
= (6 - 5.(y(t) + k3) + 2.(z(t) + l3).0,2
y(ti+1) = y(ti) + (k1 + 2.k2 + 2.k3 + k4)/6 z(ti+1) = z(ti) + (l1 + 2.l2 +2. l3 + l4)/6
= (2.y(t) - 4.z(t)).0,2 = (2.(y(t) + k1/2) - 4.(z(t) + l1/2)).0,2 = (2.(y(t) + k2/2) - 4.(z(t) + l2/2)).0,2 = (2.(y(t) + k3) - 4.(z(t) + l3)).0,2
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 60
EXERCÍCIO VIII
• Gráfico
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 61
EXERCÍCIO VIII
Di d bl• Diagrama de blocos
’(t) 5 (t) 2 (t) E(t)
Exercício - VI, Exercício - VII e Exercício - VIII
y’(t) + 5.y(t) - 2.z(t) = E(t)
z’(t) - 2.y(t) + 4.z(t) = 0 
y(t = t0) = 1,250, z(t = t0) = 0,625, E(t < t0) = 5 e E(t => t0) = 6.
C id t0 4 t < t0 t d t i á iConsiderar t0 = 4s e t < t0 estado estacionário.
E(t)
E(t)
1
s
E(t)
[y(t) z(t)]
[y(t) z(t)]
[y'(t) z'(t)]
[y'(t) z'(t)]
E(t)
E(t) + 2.z(t)
Osciloscópio
s
Integrador
Ganho 
[y(t) z(t)][y (t) z(t)]
1.5
0.75
Valor final
[5 4]
Ganho
2.y(t)
Valor final
[2 2]2.z(t)
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 62
EXERCÍCIO VIII
Si l ã• Simulação
COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 63