Cálculo Vetorial e Geometria Analítica - Circunferência e Elipse

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CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA - CÔNICAS 
CIRCUNFERÊNCIA: 
Definição: É o conjunto dos pontos no plano que possuem a mesma distância (raio) de um ponto 
fixo (centro da circunferência). 
 
Representação: 
 
 
 
 
Equação reduzida: 
222 )()( rbyax 
 
tradução: um ponto P (x,y) pertencente à uma circunferência de centro C (a,b) e raio r. 
 
Equação geral: 
022 22222  rbabyaxyx
 
 
 E X E R C Í C I O 1: 
 Qual o centro e o raio da circunferência 
?0114222  yxyx
 
 R: 
022 22222  rbabyaxyx
 
 
114222  yxyx
 =0 
RESPOSTA: Centro C (1,-2), raio = 4 
 
 E X E R C Í C I O 2: 
 Determine a equação reduzida da circunferência que tenha raio 5 e centro (-3,2): 
RESPOSTA: 
25)2()3( 22  yx
 
 
 E X E R C Í C I O 3: 
 Determine o raio e o centro da circunfêrencia cuja equação reduzida é 
 a) 
81)2()2( 22  yx
 
RESPOSTA: Centro C (2, -2), raio = 9 
 
 b) 
1622  yx
 
RESPOSTA: Centro C (0,-2), raio = 4 
 
 E X E R C Í C I O 4: 
 Determine o raio e o centro da circunfêrencia para: 
 a) 
0168822 22  yxyx
 
RESPOSTA: é um ponto C (-2, -2), e não uma circunferência. 
 b) 
0
4
1
222  yxyx
 
RESPOSTA: Centro C 







2
1
,1
, raio = 
2
6 
 c) 
0933 22  yx
 
RESPOSTA: centro C (0, 0) e raio 
3r
 
ELIPSE: 
Definição: É o lugar geométrico dos pontos do plano tal que a soma das distâncias dos pontos a F1 
e F2 seja constante e igual a 2a. Considerando F1 e F2 dois pontos de um plano tal que a distância 
entre eles seja 2c, e um ponto P deve ser satisfeita a condição PF1 + PF2 = 2a, com 2a>2c. 
 
Representação: 
 P º 
 
2b F1 º C F2 º 
 
 
 2c 
 2a 
 
 
Equação: 
1
)()(
2
2
0
2
2
0 



b
yy
a
xx
 sendo (x0, y0) o centro da elipse 
 
 E X E R C Í C I O 5: 
 Determine o centro, as medidas dos eixos e a distância focal e as coordenadas dos focos de: 
 a) 
1
16
)2(
25
)6( 22



 yx
 
RESPOSTA: C (6, -2) 
 Eixo maior = 10 
 Eixo menor = 8 
 Distância focal = 6 
 Coordenadas dos focos: F1 (3,-2) F2 (9, -2) 
 
 b) 
1
4
)(
9
)( 22

yx
 
RESPOSTA: C (0, 0) 
 Eixo maior = 6 
 Eixo menor = 4 
 Distância focal = 
52
 
 Coordenadas dos focos: F1 
)0,50( 
 F2 
)0,50( 
 
 
 E X E R C Í C I O 6: 
 Determine o centro, os focos, os eixos da elipse 4x2 + 9y2 - 16x - 18y - 11 = 0 
RESPOSTA: C (2 , 1) 
 Eixo maior = 6 
 Eixo menor = 4 
 
 Foco F1: Foco F2: 
 
 
F1 e F2: focos 
2c: distância focal 
2a: eixo maior 
2b: eixo menor 
centro: ponto médio entre f1 e F2 
)1,52(  )1,52( 