07 - DiferençasFinitasAplicacao

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1COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
DIFERENÇAS FINITAS (Aplicação)
Exercício - I
X
XLX0 X1 XnX2 Xn-1Xi
TLT0 T1 TnT2 Tn-1Ti
h
h = L/(n+1)
A equação diferencial que descreve a situação é dada a seguir, o 
comprimento da barra é igual a L, a temperatura em uma extremidade é T(0) = 
T0 e na outra extremidade T(L) = TL.
Se α = 0, o problema pode ser enunciado como: Calcular a distribuição 
de temperatura em uma barra metálica, isolada nos lados e submetida a 
condições específicas nas extremidades.
L = 2 n = 9α = 4T0 = 10 TL = 100
Calcular os valores da variável T(x) dada pela equação diferencial. ( ) α=2
2
dx
xTd
2COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
DIFERENÇAS FINITAS (Aplicação)
Exercício - I
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
LTh
h
h
h
h
h
h
h
Th
2
2
2
2
2
2
2
2
0
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
α
α
α
α
α
α
α
α
α
( ) α=+−= − 212
2 .2
h
TTT
dx
xTd Lnnn
( ) α=+−= 2 3212 2
2 .2
h
TTT
dx
xTd( ) α=+−= 2 2102 1
2 .2
h
TTT
dx
xTd ( ) α=+−= +− 2 112
2 .2
h
TTT
dx
xTd iiii
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
−
−
−
−
210000000
121000000
012100000
001210000
000121000
000012100
000001210
000000121
000000012
×
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
9
8
7
6
5
4
3
2
1
T
T
T
T
T
T
T
T
T
=
h = L/(n+1) = 0,2L = 2 n = 9α = 4T0 = 10 TL = 100
( ) α=2
2
dx
xTd
16,0.24
2,0
.2
112
11 =+−⇒=+− +−+− iiiiii TTTTTT
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
84,99
16,0
16,0
16,0
16,0
16,0
16,0
16,0
84,9
= ⇒
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
=
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
00,100
28,90
72,80
32,71
08,62
00,53
08,44
32.35
72,26
28,18
00,10
3COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
DIFERENÇAS FINITAS (Aplicação)
Exercício - I
X
XLX0 X1 X9X2 X8X3
TLT0 T1 T9T2 T8T3
X5
T4
X4
T5
X6
T6
X7
T7
10,00 18,28 26,72 35,32 44,08 53,00 62,08 71,32 80,72 90,28 100,00
0
20
40
60
80
100
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
5COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
n
i
n
i
n
i
B
B
B
B
B
T
T
T
T
T
D
D
DAB
ACDAB
ACD
M
M
M
M
LL
MMMMM
L
MMMMM
LL
LL
LL
3
2
1
3
2
1
33
322
21
.
0000
0000
000
00
000 Processo de eliminação de GAUSS
Di = Di - ACi.ABi/Di-1 , i = 2, 3, …, n
Bi = Bi - Bi-1.ABi/Di-1, i = 2, 3, …, n
Sub temp() ' Atalho do teclado: Ctrl+x
Const n = 100: Dim D(n), T(n), B(n), AB(n), AC(n)
alfa = 4: T0 = 10: TL = 100: nn = 9: xL = 2: h = xL / (nn + 1)
T(0) = T0: T(nn + 1) = TL
For i = 2 To nn
D(i) = -2: AC(i) = 1: AB(i) = 1: B(i) = alfa * h ^ 2
Next i: D(1) = -2: B(1) = alfa * h ^ 2 - T0: B(nn) = B(nn) - TL
For i = 2 To nn: D(i) = D(i) - AC(i) * AB(i) / D(i - 1)
B(i) = B(i) - B(i - 1) * AB(i) / D(i - 1)
Next i: T(nn) = B(nn) / D(nn)
For i = nn - 1 To 1 Step -1
T(i) = (B(i) - T(i + 1) * AC(i + 1)) / D(i): Next i
For i = 0 To nn + 1
ActiveCell.Offset(i).Value = "T(" & i & ") = “
ActiveCell.Offset(i, 1).Value = T(i): Next i: End Sub
DIFERENÇAS FINITAS
Solução de um sistema de equações lineares tri-diagonal
6COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
DIFERENÇAS FINITAS (Aplicação)
Exercício - II
( )
2
,2,1,0
2
1
2 .2,
x
jjjj
h
TTT
x
txT +−=∂
∂ ( )
2
,1,,1
2
2 .2,
x
jnjnjnjn
h
TTT
x
txT +− +−=∂
∂( )
2
,1,,1
2
2 .2,
x
jijijiji
h
TTT
x
txT +− +−=∂
∂
( )
t
iii
h
TT
t
txT 0,1,0, −=∂
∂ ( )
t
jijiji
h
TT
t
txT ,1,, −=∂
∂ + explícita
( )
t
iii
h
TT
t
txT 0,1,1, −=∂
∂ ( )
t
jijiji
h
TT
t
txT 1,,, −−=∂
∂ ( )
t
mimimi
h
TT
t
txT 1,,, −−=∂
∂ implícita
A equação diferencial que descreve a situação é dada a seguir, o comprimento 
da barra é igual a L, a temperatura em uma extremidade é T(0, t) = T0, na outra 
extremidade T(L, t) = Tn+1 e no instante inicial a temperatura T(xi, 0) = Ti,0. ( ) ( )
t
txT
x
txT
∂
∂α=∂
∂ ,
.
,
2
2
XXLX0 X1 XnX2 Xn-1Xi
TL,0T0,0 T1,0 Tn,0T2,0 Tn-1,0Ti,0hx hx = L/(n+1)
TL,1T0,1 T1,1 Tn,1T2,1 Tn-1,1Ti,1
TL,jT0,j T1,j Tn,jT2,j Tn-1,jTi,j
t
Calcular a distribuição de temperatura, em uma barra metálica, isolada nos 
lados e submetida a condições específicas nas extremidades, a partir de valores iniciais.
7COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
DIFERENÇAS FINITAS (Aplicação)
Forma explícita
Ti+1,jTi-1,j Ti,j
Ti,j+1
+hx-hx
+ht
λ λ(1-2.λ)
n
i
i
M
M
2
1
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+
+
+
+
1,
1,
1,2
1,1
jn
ji
j
j
T
T
T
T
M
M =
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
λ
λ
λλ
λλ
.21000
0.2100
00.21
00.21
LL
MMMMMM
LL
MMMMMM
LL
LL
×
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
jn
ji
j
j
T
T
T
T
,
,
,2
,1
M
M ×+ λ
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
jL
j
T
T
,
,0
0
0
M
M
n
i
i
M
M
2
1
1=j
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
2,
2,
2,2
2,1
n
i
T
T
T
T
M
M =
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
λ
λ
λλ
λλ
.21000
0.2100
00.21
00.21
LL
MMMMMM
LL
MMMMMM
LL
LL
×
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
1,
1,
1,2
1,1
n
i
T
T
T
T
M
M ×+ λ
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
1,
1,0
0
0
LT
T
M
M
n
i
i
M
M
2
1
0=j
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
1,
1,
1,2
1,1
n
i
T
T
T
T
M
M =
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
λ
λ
λλ
λλ
.21000
0.2100
00.21
00.21
LL
MMMMMM
LL
MMMMMM
LL
LL
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
0,
0,
0,2
0,1
n
i
T
T
T
T
M
M ×+ λ
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
0,
0,0
0
0
LT
T
M
M×
( ) ( )
t
txT
x
txT
∂
∂=∂
∂ ,.,2
2
α
t
jiji
x
jijiji
h
TT
h
TTT ,1,
2
,1,,1 .
.2 −=+− ++− α
2. x
t
h
h
αλ =
⇒ ( ) jijijiji TTTT ,1,,11, ...21. +−+ +−+= λλλ
5,000.21, ≤<⇒≥− λλ
8COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
DIFERENÇAS FINITAS (Aplicação)
Forma implícita
Ti+1,jTi-1,j Ti,j
Ti,j-1
+hx-hx
-ht
λ λ(1-2.λ)
( ) ( )
t
txT
x
txT
∂
∂=∂
∂ ,.,2
2
α
t
jiji
x
jijiji
h
TT
h
TTT 1,,
2
,1,,1 .
.2 −+− −=+− α
2. x
t
h
h
αλ =
( ) 1,,1,,1 ...21. −+− −=++− jijijiji TTTT λλλ⇒
n
i
i
M
M
2
1
1=j
−=
( )
( )
( )
( )⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+−
+−
+−
+−
λ
λ
λλ
λλ
.21000
0.2100
00.21
00.21
LL
MMMMMM
LL
MMMMMM
LL
LL
× ×−λ
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
0,
0,0
0
0
LT
T
M
M
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
1,
1,
1,2
1,1
n
i
T
T
T
T
M
M
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
0,
0,
0,2
0,1
n
i
T
T
T
T
M
M
n
i
i
M
M
2
1
2=j
−=× ×−λ
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
1,
1,0
0
0
LT
T
M
M
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
2,
2,
2,2
2,1
n
i
T
T
T
T
M
M
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
1,
1,
1,2
1,1
n
i
T
T
T
T
M
M
( )
( )
( )
( )⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+−
+−
+−
+−
λ
λ
λλ
λλ
.21000
0.2100
00.21
00.21
LL
MMMMMM
LL
MMMMMM
LL
LL
n
i
i
M
M
2
1
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
1,
1,
1,2
1,1
jn
ji
j
j
T
T
T
T
M
M−=×
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
jn
ji
j
j
T
T
T
T
,
,
,2
,1
M
M ×−λ
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
1,
1,0
0
0
jL
j
T
T
M
M
( )
( )
( )
( )⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+−
+−
+−
+−
λ
λ
λλ
λλ
.21000
0.2100
00.21
00.21
LL
MMMMMM
LL
MMMMMM
LL
LL
9COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
DIFERENÇAS FINITAS (Aplicação)
Exercício - III
A equação diferencial que descreve a situação é dada a seguir, o comprimento 
da barra é igual a L, a temperatura em uma extremidade é T(0, t) = T0, na outra 
extremidade T(L, t) = Tn+1 = TL e no instante inicial a temperatura T(xi, 0) = Ti,0.
Calcular a distribuição de temperatura, em uma barra metálica, isolada nos 
lados e submetida a condições específicas nas extremidades, a partir de valores iniciais.
Dados:
Ti,j+1 = 0,4.Ti-1,j + 0,2.Ti,j + 0,4.Ti+1,j
O coeficiente de Ti,j não é negativo, 
logo, pode aplicar a forma explicita. 
L = 2m,
n + 1 = L/ hx = 2/0,125 = 16 ⇒ n = 15
T0 = 50ºC, TL = 100ºC, Ti,0 = 0ºC, α = 20s.m-2, hx = 0,125m, ht = 0,125s
( ) ( )
t
txT
x
txT
∂
∂=∂
∂ ,.,2
2
α
( ) ( )
t
txT
h
TT
h
TTT
x
txT ji
t
jiji
x
jijijiji
∂
∂=−=+−=∂
∂ ++− ,...2, ,1,2 ,1,,12
2
αα 2.
x
t
h
hαλ =
Ti,j+1 = λ.Ti-1,j + (1 – 2. λ).Ti,j + λ.Ti+1,j
10COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
DIFERENÇAS FINITAS (Aplicação)
Exercício - III
( ) ( )
t
txT
x
txT
∂
∂α=∂
∂ ,
.
,
2
2
Dados:
Ti,j+1 = 0,4.Ti-1,j + 0,2.Ti,j + 0,4.Ti+1,j n + 1 = L/ hx = 2/0,125 = 16 ⇒ n = 15
L = 2m,T0 = 50ºC, TL = 100ºC, Ti,0 = 0ºC, α = 20s.m-2, hx = 0,125m, ht = 0,125s
 = x + 0,4 x 
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
T1,j+1
T2,j+1
T3,j+1
T4,j+1
T5,j+1
T6,j+1
T7,j+1
T8,j+1
T9,j+1
T10,j+1
T11,j+1
T12,j+1
T13,j+1
T14,j+1
T15,j+1
0,2 0,4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0,4 0,2 0,4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0,4 0,2 0,4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0,4 0,2 0,4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0,4 0,2 0,4 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0,4 0,2 0,4 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0,4 0,2 0,4 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0,4 0,2 0,4 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0,4 0,2 0,4 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0,4 0,2 0,4 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,4 0,2 0,4 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,4 0,2 0,4 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,4 0,2 0,4 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,4 0,2 0,4
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,4 0,2
T1,j
T2,j
T3,j
T4,j
T5,j
T6,j
T7,j
T8,j
T9,j
T10,j
T11,j
T12,j
T13,j
T14,j
T15,j
T0,j
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
T16,j
explícita
Ti,j+1 = λ.Ti-1,j + (1 – 2. λ).Ti,j + λ.Ti+1,j 2.x
t
h
hαλ =
11COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
DIFERENÇAS FINITAS (Aplicação)
Exercício - III
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
t = 0
t = 10.ht
t = 20.ht
t = 30.ht
t = 40.ht
t = 50.ht
explícita
12COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
DIFERENÇAS FINITAS (Aplicação)
Exercício - III
( ) ( )
t
txT
x
txT
∂
∂α=∂
∂ ,
.
,
2
2
Dados:
0,4.Ti-1,j - 1,8.Ti,j + 0,4.Ti+1,j= -Ti,j-1 n + 1 = L/ hx = 2/0,125 = 16 ⇒ n = 15
L = 2m,T0 = 50ºC, TL = 100ºC, Ti,0 = 0ºC, α = 20s.m-2, hx = 0,125m, ht = 0,125s
λ.Ti-1,j - (1 + 2. λ).Ti,j + λ.Ti+1,j = -Ti,j-1
2
.
x
t
h
hαλ =
( ) ( )
t
txT
h
TT
h
TTT
x
txT ji
t
jiji
x
jijijiji
∂
∂=−=+−=∂
∂ −+− ,...2, 1,,2 ,1,,12
2
αα
implícita
= - x - 0,4 x = - - 0,4 x = 
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
T1,j
T2,j
T3,j
T4,j
T5,j
T6,j
T7,j
T8,j
T9,j
T10,j
T11,j
T12,j
T13,j
T14,j
T15,j
T0,j
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
T16,j
13COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
DIFERENÇAS FINITAS (Aplicação)
Exercício - III
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 2 4 6 8 10 12 14 16
t = 0
t = 10
t = 20
t = 30
t =4 0
t = 50
implícita
14COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
DIFERENÇAS FINITAS (Aplicação)
Exercício - IV
A equação diferencial que descreve a situação é dada a seguir, as 
dimensões da placa são iguais a Lx e Ly, as temperaturas nas laterais são: 
T(xi,y0) = Ti,0, T(xi ,yLy) = Ti,Ly, T(x0,yj) = T0,j e T(xLx ,yj) = T0,Ly .( )
2
,1,,1
2
2 .2,
x
jijijiji
h
TTT
x
xxT +− +−=∂
∂ ( )
2
1,,1,
2
2 .2,
y
jijijiji
h
TTT
y
xxT +− +−=∂
∂
αλλλ
α
..2...2.
.2.2
2
1,,1,,1,,1
2
1,,1,
2
,1,,1
yjijijijijiji
y
jijiji
x
jijiji
hTTTTTT
h
TTT
h
TTT
=+−++−⇒
⇒=+−++−
+−+−
+−+−
2
2
x
y
h
h=λ
T0,0 T1,0 Ti,0 Tn,0
T0,1 T1,1 Ti,1 Tn,1
T0,j T1,j Ti,j Tn,j 
T0,m T1,m Ti,m Tn,m
hy
hx
Se α = 0, o problema pode ser enunciado como: Calcular a 
distribuição de temperatura em uma placa metálica, isolada nas superfícies e 
submetida a condições específicas nas laterais.
Calcular os valores da variável T(x,y) dada pela equação diferencial.
( ) ( ) α=∂
∂+∂
∂
2
2
2
2 ,,
y
yxT
x
yxT
15COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
DIFERENÇAS FINITAS (Aplicação)
Exercício - IV
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
jn
ji
j
j
j
j
T
T
T
T
T
T
,
,
,3
,2
,1
M
M
( )
( )
( )
( )
( )⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+−
+−
+−
+−
+−
=
1.20000
01.2000
001.20
001.2
0001.2
1
λ
λ
λλ
λλλ
λλ
LL
MMMMM
L
MMMMM
LL
LL
LL
A nIA =
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
10000
01000
00100
00010
00001
2
LL
MMMMM
L
MMMMM
LL
LL
LL
( ) ( ) α=∂
∂+∂
∂
2
2
2
2 ,,
y
yxT
x
yxT
αλλλ
α
..2...2.
.2.2
2
1,,1,,1,,1
2
1,,1,
2
,1,,1
yjijijijijiji
y
jijiji
x
jijiji
hTTTTTT
h
TTT
h
TTT
=+−++−⇒
⇒=+−++−
+−+−
+−+−
2
2
x
y
h
h=λ
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
jLxy
y
y
y
jy
j
Th
h
h
h
Th
B
,
2
2
2
2
,0
2
..
.
.
.
..
λα
α
α
α
λα
M
M
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
=
0,
0,
0,3
0,2
0,1
0
n
i
T
T
T
T
T
B
M
M
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
=
Lyn
Lyi
Ly
Ly
Ly
Ly
T
T
T
T
T
B
,
,
,3
,2
,1M
M
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡ +
=
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
Lym
j
m
j
BB
B
B
BB
T
T
T
T
A
A
AA
AA
M
M
M
M
LL
MMMMMM
LL
MMMMMM
LL
LL
2
01
2
1
1
1
12
21
.
000
000
00
00
Fazendo n = m = 10, existe 460 elementos diferente de zero entre os 10.000 elementos da matriz
Número de elementos da matriz A. (n.m)2
Número de elementos diferente de zero na matriz A. (3.n-2).m + 2.n.(m-1)
16COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
DIFERENÇAS FINITAS (Aplicação)
Exercício - V
( ) ( ) ( )
( )
( )⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+λ−
+λ−
+λ−λ λ+λ−λ
λ+λ−
=
1.20000
01.2000
001.20
001.2
0001.2
1
LL
MMMMM
L
MMMMM
LL
LL
LL
A nIA =
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
10000
01000
00100
00010
00001
2
LL
MMMMM
L
MMMMM
LL
LL
LL
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
1
1
12
2
2
2
1
12
000
000
00.
00.
A
A
AAh
AhA
A
z
z
LL
MMMMMM
LL
MMMMMM
LL
LL
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
kjn
kji
kj
kj
kj
kj
T
T
T
T
T
T
,,
,,
,,3
,,2
,,1
,
M
M
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
km
kj
k
k
k
k
T
T
T
T
T
T
,
,
,3
,2
,1
M
M
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
=
0,,
0,,
0,,3
0,,2
0,,1
0,
jn
ji
j
j
j
j
T
T
T
T
T
B
M
M
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
0,
0,
0,2
0,1
0
m
j
B
B
B
B
B
M
M
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
=
Lzjn
Lzji
Lzj
Lzj
Lzj
Lzj
T
T
T
T
T
B
,,
,,
,,3
,,2
,,1
,
M
M
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
Lzm
Lzj
Lz
Lz
Lz
B
B
B
B
B
,
,
,2
,1
M
M
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
λ−α
α
α
α
λ−α
=
kjLxzy
zy
zy
zy
kjzy
kj
Thh
hh
hh
hh
Thh
B
,,
22
22
22
22
,,0
22
,
...
..
..
..
...
M
M
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
=
knz
kiz
kz
kz
kz
k
Th
Th
Th
Th
Th
B
,0,
2
,0,
2
,0,3
2
,0,2
2
,0,1
2
,0
.
.
.
.
.
M
M
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
=
kLynz
kLyiz
kLyz
kLyz
kLyz
kLy
Th
Th
Th
Th
Th
B
,,
2
,,
2
,,3
2
,,2
2
,,1
2
,
.
.
.
.
.
M
M
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+
+
=
kLykm
kj
k
kk
k
BB
B
B
BB
B
,,
,
,2
,0,1
M
M
α=+−++−+λ+λ−λ⇒
⇒α=+−++−++−
+−+−+−
+−+−+−
...2...2....2.
.2.2.2
22
1,,,,1,,,1,
2
,,
2
,1,
2
,,1,,,,1
2
1,,,,1,,
2
,1,,,,1,
2
,,1,,,,1
yzkjikjikjikjizkjizkjizkjikjikji
z
kjikjikji
y
kjikjikji
x
kjikjikji
hhTTTThThThTTT
h
TTT
h
TTT
h
TTT
2
22.
x
yz
h
hh=λ( ) ( ) ( ) α=∂
∂+∂
∂+∂
∂
2
2
2
2
2
2 ,,,,,,
z
zyxT
y
zyxT
x
zyxT
Para três dimensões
17COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
DIFERENÇAS FINITAS (Aplicação)
Exercício - V
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+
+
=
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
×
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
Lzp
k
p
k
BB
B
B
BB
T
T
T
T
A
A
AA
AA
M
M
M
M
LL
MMMMMM
LL
MMMMMM
LL
LL
2
01
2
1
12
12
122
212
000
000
00
00
Número de elementos da matriz A. (n.m.p)2
Número de elementos diferente de zero na matriz A. ((3.n-2).m + 2.n.(m-1)).p + 2.n.m.(p-1)
Fazendo n = m = p = 10, existe 6.400 elementos diferente de zero entre os 1.000.000 elementos da matriz
Solução recomendada: Método iterativo de Gauss-Seidel.
18COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
DIFERENÇAS FINITAS (Aplicação)
Exercício - V
1,1,
1,2
1,1
22
11
1,1,
2
2222
1212
21
22
12
1
21
1211
1
2121
1111
0
20
1110
0
00
00
21
00
0
0
000
000
000
000
000
000
000
21
0
0
0
0
0
0
0
0
0
000
000
000
000
000
000
000
000
000
000
11
0
0
0
0
0
0
0
0
0
000
000
000
000
00
0
0
0
00
00
21
000
000
000
000
00
00
0
00
0
0
21
00
00
0
21
111210
++
+
+
+−
+−
+==+−===
mnmn
m
m
nm
mm
mm
jiijijijji
n
nn
n
nn
BCAC
BC
BC
n
D
DAB
ACD
n
BC
i
ACDAB
iii
BB
i
D
DAB
ACD
BCAC
BC
BC
n
BB
BB
ABBB
D
DAB
ACD
n
BB
BB
ABBB
n
mjmjjjjjjj
L
MMMM
L
L
L
L
MMMM
L
L
MLMM
L
MLMM
L
MMMM
L
L
L
MMMM
L
L
L
LL
MMM
LL
LL
LML
LL
LML
LL
MMM
LL
LL
LL
MMM
LL
LL
LL
MMMMM
LL
LL
LMMML
LL
LL
LL
MMMMM
LL
LL
LL
MMMMM
LL
LL
LL
MMM
LL
LL
LML
LL
LML
LL
MMM
LL
LL
LL
MMM
LL
LL
L
MMMM
L
L
MLMM
L
MLMM
L
MMMM
L
L
L
MMMM
L
L
L
L
MMMM
L
L
MLMM
L
MLMM
L
MMMM
L
L
L
MMMM
L
L
L
L
MMMM
L
L
L
BBi0 = 1, AB1j = λ, ACnj = λ, BCi,m+1 = 1, 
( )
ij
k
jiji
k
jiij
k
jiij
k
jijixyk
ij D
TBCTACTABTBBhh
T 1,1,,1,11,1,
22
1 ...... +++−−−+ +++−= α Método de Gauss
( )
ij
k
jiji
k
jiij
k
jiij
k
jijixyk
ij D
TBCTACTABTBBhh
T 1,1,,1
1
,1
1
1,1,
22
1 ...... +++
+
−
+
−−+ +++−= α Método de Gauss-Seidel
Condições de contorno: Tki0, Tki,m+1, Tk0j, Tkn+1,j
19COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
DIFERENÇAS FINITAS (Aplicação)
Exercício - VI
( ) ( ) 0,, 2
2
2
2
=∂
∂+∂
∂
y
yxT
x
yxT
A equação diferencial que descreve a situação é dada a seguir, as 
dimensões da placa são mostradas na figura, bem como a temperatura nas 
bordas.
Calcular, nos pontos indicados, a temperatura em uma placa metálica 
isolada nas superfícies e submetida a condições específicas nas bordas.
( )
2
,1,,1
2
2 .2,
x
jijijiji
h
TTT
x
yxT +− +−=∂
∂
( )
2
1,,1,
2
2 .2,
y
jijijiji
h
TTT
y
yxT +− +−=∂
∂
( ) 0..1.2.
0
.2.2
1,1,,1,,1
2
1,,1,
2
,1,,1
=++++−⇒
⇒=+−++−
+−+−
+−+−
jijijijiji
y
jijiji
x
jijiji
TTTTT
h
TTT
h
TTT
λλλ2
2
x
y
h
h=λ
hx = 0,5 cm
hy = 0,3 cm
Condições de contorno: Ti,j = j 
hy
hx
T4,0
T3,1 T4,1 T5,1
T2,2 T3,2 T4,2 T5,2 T6,2
T1,3 T2,3 T3,3 T4,3 T5,3 T6,3 T7,3
T1,4 T2,4 T3,4 T5,4 T6,4 T7,4
T1,5 T2,5 T3,5 T5,5 T6,5 T7,5
20COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
72,200,000,100,000,000,000,000,000,000,0
00,072,200,000,000,000,100,000,000,000,0
00,100,072,236,000,000,000,000,000,000,0
00,000,036,072,200,000,000,100,000,000,0
00,000,000,000,072,236,000,000,000,100,0
00,000,100,000,036,072,200,000,000,000,0
00,000,000,000,100,000,072,236,000,000,0
00,000,000,000,000,000,036,072,236,000,1
00,000,000,000,000,100,000,036,072,200,0
00,000,000,000,000,000,000,000,100,072,2{⎩⎨
⎧
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎢⎣
⎡
⎢⎣
⎡
⎪⎩
⎪⎨
⎧
6
24
6
5
3
2
3
5
4
3
2
41
62
4
6532
3
543
2
4
1
i
j
⇓
⇒
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
88,7
88,7
08.3
08,5
08,5
08,3
72,1
00,3
72,1
72,0
DIFERENÇAS FINITAS (Aplicação)
Exercício - VI
36,02
2
==
x
y
h
hλ
0,36.Ti-1,j – 2,72.Ti,j + 0,36.Ti+1,j + Ti,j-1 + Ti,j+1 = 0
λ.Ti-1,j – 2.(λ + 1).Ti,j + λ.Ti+1,j + Ti,j-1 + Ti,j+1 = 0
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−−
−−
−−
−−
−−
−−
−
−−
−−−
00,544,144,1
00,544,144,1
00,208.1
00,408,1
00,408,1
00,208,1
00,172,0
00,3
00,172,0
00,036,036,0
=•
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
64
24
63
53
33
23
52
42
32
41
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
00,4
00,4
00,3
00,3
00,3
00,3
00,2
00,2
00,2
00,1
⇒=
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
64
24
63
53
33
23
52
42
32
41
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
=
hy
hx
T4,0
T3,1 T4,1 T5,1
T2,2 T3,2 T4,2 T5,2 T6,2
T1,3 T2,3 T3,3 T4,3 T5,3 T6,3 T7,3
T1,4 T2,4 T3,4 T5,4 T6,4 T7,4
T1,5 T2,5 T3,5 T5,5 T6,5 T7,5
21COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
DIFERENÇAS FINITAS (Aplicação)
Exercício - VI
0,00
1,00 1,00 1,00
2,00 2,00 2,00 2,00 2,00
3,00 3,00 3,00 3,00 3,00 3,00 3,00
4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00
5,00 5,00 5,00 5,00 5,00 5,00
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
00,4
00,4
00,3
00,3
00,3
00,3
00,2
00,2
00,2
00,1
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
64
24
63
53
33
23
52
42
32
41
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
=
22COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
DIFERENÇAS FINITAS (Aplicação)
Exercício - VII
( ) ( ) ( )
t
tyxT
y
tyxT
x
tyxT
∂
∂=∂
∂+∂
∂ ,,.,,,, 2
2
2
2
α
A equação diferencial que descreve a situação é dada a seguir, as 
dimensões da placa são mostradas na figura, bem como a temperatura nas 
bordas e as iniciais.
Calcular, nos pontos indicados, a temperatura em uma placa metálica 
isolada nas superfícies e submetida a condições específicas nas bordas , a partir 
de valores iniciais.
Condições de contorno: Ti,j,t = j 
Condições iniciais: Ti,j,0 = 0
hx = 0,5 cm hy = 0,3 cm
ht = 0,4 sα = 2,0 s.m-2
hy
hx
T4,0,t
T3,1,t T4,1,t T5,1,t
T2,2,t T3,2,t T4,2,t T5,2,t T6,2,t
T1,3,t T2,3,t T3,3,t T4,3,t T5,3,t T6,3,t T7,3,t
T1,4,t T2,4,t T3,4,t T5,4,t T6,4,t T7,4,t
T1,5,t T2,5,t T3,5,t T5,5,t T6,5,t T7,5,t
23COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
DIFERENÇAS FINITAS (Aplicação)
Exercício - VII
( )
2
,,1,,,,1
2
2 .2,,
x
kjikjikjikji
h
TTT
x
tyxT +− +−=∂
∂ ( )
2
,1,,,,1,
2
2 .2,,
y
kjikjikjikji
h
TTT
y
tyxT +− +−=∂
∂
Condições de contorno: Ti,j,t = j Condições iniciais: Ti,j,0 = 0
hx = 0,5 cm hy = 0,3 cm ht = 0,2 s α = 8,0 s.m-2
Método explícito( )
t
kjikjikji
h
TT
t
tyxT ,,1,,,, −=∂
∂ +
( )( ) ⇒++++−+=⇒ +−+−+ kjiykjiykjixkjiyxkjixkji TTTTTT .1,,1,,,1,,,,11,, .....21. λλλλλλ
100,0
. 2
==
x
t
x h
h
αλ 278,0. 2 == y
t
y h
h
αλ
⇒−=+−++− ++−+−
t
kjikji
y
kjikjikji
x
kjikjikji
h
TT
h
TTT
h
TTT ,,1,,
2
,1,,,,1,
2
,,1,,,,1 .
.2.2 α
Ti,j,k+1 = 0,1.Ti-1,j,k + 0,244.Ti,j,k + 0,1.Ti+1,j,k + 0,278.Ti,j-1,k + 0,278.Ti,j+1,k
O coeficiente de Ti,j,k não é negativo, logo, pode-se aplicar a forma explicita. 
( ) ( ) ⇒−=+−++− ++−+− kjikjikjikjikji
y
t
kjikjikji
x
t TTTTT
h
hTTT
h
h
,,1,,,1,,,,1,2,,1,,,,12 .2..
.2.
. αα
24COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
DIFERENÇAS FINITAS (Aplicação)
Exercício - VII