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Revisão Matemática

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1PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246
Se este processo é lineal, então, será verdadeira as seguintes relações: 
Admitindo um processo P, cuja entrada ei(t) resulta em uma saída si(t).
REVISÃO MATEMÁTICA
P
a.ea(t) + b. eb(t) a.sa(t) + b. sb(t) 
Conhecido que: 
P
ea(t) sa(t)
P
eb(t) sb(t)e
P
a.ea(t) a.sa(t)
P
b.eb(t) b.sb(t)e
PROCESSO LINEAR
i = a i = b
Então:
2PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246
REVISÃO MATEMÁTICA
REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÕES PERIÓDICAS
A função periódica fT(t) pode ser representada por um somatório de funções 
trigonométricas, com freqüências múltiplas da fundamental ω0, tal como:
fT(t) = a0 + a1.cos (ω0.t) + a2.cos (2.ω0.t) + … + an.cos (n.ω0.t) + … + b1.sen (ω0.t)+ + 
b2.sen (2.ω0.t) + … + bn.sen (n.ω0.t) + … = ( ) ( )( )∑
∞
=
++
1
0n0n0 baa
n
tntn ..sin...cos. ωω
( ) ( )
( )∫
∫
+
+
= Tt
t
Tt
t T
n
dttn
dttntf
0
0
0
0
..sen
..sen.
b
0
2
0
ω
ω( ) ( )
( )∫
∫
+
+
= Tt
t
Tt
t
n
dttn
dttntf
0
0
0
0
..cos
..cos.
a
0
2
0
ω
ω
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ +++ === Ttt TnTtt TnTtt T dttntfTdttntfTdttfT 000000 ..sen.2b,..cos.2a,1a 000 ωω
( ) ( ) ( )nnnnnnn
n
nnT eatnctf a/btanbac,c,..cos.c
122
0
1
00
−∞
=
−=+==++= ∑ ϕϕω
T = 1/f0 = 2.π/ω0
SÉRIE TRIGONOMÉTRICA DE FOURIER
Teoria fT(t)
3PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246
REVISÃO MATEMÁTICA
REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÕES PERIÓDICAS
Funções a(ω) e b(ω) ( ) ( ) ( )( )∑∞
=
++=
1
0n0n0T ...b..cos.aatf
n
tnsintn ωω
( ) ( )∑∞
=
+=
0
0..cos.c
n
nn tntf ϕω
SÉRIE TRIGONOMÉTRICA DE FOURIER
Representação gráfica
a(n.ω0) = an
b(n.ω0) = bn
c(n.ω0) = cn
ϕ(n.ω0) = ϕn
Funções c(ω) e ϕ(ω) 
a(ω) = an b(ω) = bn
c(ω) = cn ϕ(ω) = ϕn
fT(t)
4PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246
REVISÃO MATEMÁTICA
REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÕES PERIÓDICAS
A função periódica f(t) pode ser representada por um somatório de funções 
exponenciais, com freqüências múltiplas da fundamental ω0, tal como:
SÉRIE EXPONENCIAL DE FOURIER
Teoria
( )
( )
0
00
...
.....2.
2
..
1
.....2.
2
..
10
.2,,.
......
0
000000
ω
πω
ωωωωωω
=+<<=
=++++++++++=
∑∞
−∞=
−
−
−
−
−
−
TTttteF
eFeFeFeFeFeFFtf
n
tnj
n
tnj
n
tjtjtnj
n
tjtj LLLL
( )( )
( )
( ) ( )∫∫
∫
∫
∫ + −
+ −
+ −
+
+
=== Tt
t
tnj
Tt
t
tnjtnj
Tt
t
tnj
Tt
t
tnjtnj
Tt
t
tnj
n dtetfTdtee
dtetf
dtee
dtetf
F 0
0
0
0
0
00
0
0
0
0
0
00
0
0
0
...
......
...
*......
*...
..1
.
.
.
. ω
ωω
ω
ωω
ω
( ) ( )tjte tj .sen..cos.. 000 ωωω +=
( ) ( )TttteFtf
n
tnj
n +<<= ∑∞
−∞=
00
... ,. 0ω ( ) *... ,.1 0
0
0
nn
Tt
t
tnj
n FFdtetfT
F −
+ − =⇒= ∫ ω
fT(t)
5PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246
REVISÃO MATEMÁTICA
REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÕES PERIÓDICAS
Funções F(ω)
SÉRIE EXPONENCIAL DE FOURIER
Representação gráfica
F(n.ω0) = Fn( ) ( )
0
00
... .2,,. 0 ω
πω =+<<= ∑∞
−∞=
TTttteFtf
n
tnj
n
|F(ω)| = Fn
/F(ω) = /Fn
fT(t)
6PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246
REVISÃO MATEMÁTICA
REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÕES PERIÓDICAS
RELAÇÃO ENTRE AS SÉRIES TRIGONOMÉTRICA E EXPONENCIAL
( )
0
00
... .2,,. 0 ω
πω =+<<∑∞
−∞=
TTttteF
n
tnj
n
( ) ( ) ( )( )∑∞
=
++=
1
0n0n0 ...b..cos.aatf
n
tnsintn ωω
( ) ( )∑∞
=
++=
1
00 ..cos.c
n
nn tnctf ϕω
a0 = F0
an = Fn + F-n
bn = j.(Fn - F-n)
Fn = (an - j.bn)/2
F-n = (an + j.bn)/2
F0 = a0
22 bac nnn +=
( )nnn a/btan 1−−=ϕ
00 ac =
an = cn .cos(ϕn)
bn = -cn sin(ϕ0)
a0 = c0
F-n = cn .(cos(ϕn) - j.sin(ϕn))/2
Fn = cn .(cos(ϕn) + j.sin(ϕn))/2
F0 = c0
nnn F.F.2c −=
( ) ( )( )nnnnn j −−− +−−= FF/FF.tan 1ϕ
00 Fc =
7PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246
REVISÃO MATEMÁTICA
REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÕES PERIÓDICAS
PROPIEDADES
Real e impar Imaginário e impar
Imaginário e par Imaginário e par
Complexo e par Complexo e par
Complexo e impar Complexo e impar
Real e par f(t) = f*(t) e f(t) = f(-t) Real e parF(ω) = F*(ω) e F(ω) = F(- ω)
f(t) = f*(t) e f(t) = -f(-t) F(ω) = -F*(ω) e F(ω) = -F(- ω)
f(t) = -f*(t) e f(t) = f (-t) F(ω) = -F*(ω) e F(ω) = F (- ω)
f(t) = f(-t) F(ω) = F (- ω)
f(t) = -f (-t) F(ω) = -F(- ω), 
Função F(ω)Função f(t)
Real f(t) = f*(t) ConjugadaF(ω) = F*(-ω)
8PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246
REVISÃO MATEMÁTICA
APLICAÇÃO - I
Expandir a função periódica da onda modulo do seno, f(t) = ⏐A.sen(π.t)⏐, mostrada 
na figura abaixo, pelas séries trigonométrica e exponencial de Fourier.
( ) ∑∞
−∞=
=
n
tnj
n eFtf
... 0. ω
( ) ( )1.4. .2..sen. 210 ...2. −−== ∫ − n AdtetAF tnjn ππ π
( ) ∑∞
−∞= −
−=
n
tnje
n
Atf ...2.2 .1.4
1.2 π
π
( ) ππ
AdttA .2.sen.a
1
00
== ∫ ( ) ( )∑∞
=
++=
1
00 ..cos.c
n
nn tnctf ϕω
( ) ( ) ( )( )∑∞
=
++=
1
0n0n0 ...b..cos.aatf
n
tnsintn ωω
fT(t)
( ) ( ) ( )1.4. .4...2cos..sen.2a 210 −−== ∫ nAdttntn πππ ( )1.4. .4bac 222 −−=+= nAnnn π ( ) 0a/btan 1 =−= − nnnϕ
( ) ( ) 0...2sen..sen.2b 1
0
== ∫ dttntn ππ
ω0 = 2.π/T
T = 1
π
Aa .2c 00 ==
( ) ( )∑∞
= −−= 1 2 1.4
...2cos..4.2tf
n n
tnAA π
ππ ( )
( )∑∞
= −−= 1 2 1.4
...2cos..4.2
n n
tnAAtf πππ
9PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246
REVISÃO MATEMÁTICA
APLICAÇÃO - I
( ) ∑∞
−∞=
=
n
tnj
n eFtf
... 0. ω ( ) ∑∞
−∞= −
−=
n
tnje
n
Atf ...2.2 .1.4
1.2 π
π
( ) ( )∑∞
=
++=
1
00 ..cos.c
n
nn tnctf ϕω
( ) ( ) ( )( )∑∞
=
++=
1
0n0n0 ...b..cos.aatf
n
tnsintn ωω
fT(t)
ω0 = 2.π T = 1
( ) ( )∑∞
= −−= 1 2 1.4
...2cos..4.2tf
n n
tnAA π
ππ
( ) ( )∑∞
= −+= 1 2 1.4
...2cos..4.2
n n
tnAAtf πππ
F(ω) = FnF(ω) = F*(ω) 
c(ω) = cn
a(ω) = an b(ω) = bn
ϕ(ω) = ϕn
10PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246
REVISÃO MATEMÁTICA
REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÕES NÃO PERIÓDICAS
Função periódica
( ) ( )tftfTT =∞→lim
( ) ∑∞
−∞=
=
n
tnj
nT eFtf
... 0. ω
( ) ( )∑∞
−∞=
=
n
tj
nT
neF
T
tf ...1 ωω
Função não periódica
fT(t)
f(t)
T
πω .20 =
( )∫− −= 2/ 2/ ... 0..1 TT tnjTn dtetfTF ω
T →∞
[ ] ( )∫∞∞− −=ℑ= dtetftfF tj ..)()( ..ωω
[ ] ( )∫∞∞−− =ℑ= ωωπω ω deFFtf tj ...21)()( ..1
⇒ ω0→ 0
Transformada de Fourier
n.ω0 = ωn T.Fn = F(ωn) ⇒
⇒
11PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246
REVISÃO MATEMÁTICA
REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÕES NÃO PERIÓDICAS
Transformada de Fourier
f(t)[ ] ( )∫∞∞− −=ℑ= dtetftfF tj ..)()( ..ωω
[ ] ( )∫∞∞−− =ℑ= ωωπω ω deFFtf tj ...21)()( ..1
Transformada de Laplace
Em muitas aplicações da integral de Fourier, a função a ser representada é nula 
antes de algum momento, normalmente t = 0. 
[ ] ( ) ( )∫∫ ∞ −∞∞− − ==ℑ= 0 .... ....)()( dtetfdtetftfF tjtj ωωω
Então:
[ ] ( )∫∞ −== 0 . ..)()( dtetftfsF tsl
[ ] ( )∫ ∞+ ∞−− == .. .1 ...2.1)()(
ja
ja
ts dseF
j
sFtf ωπl
12PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246
REVISÃO MATEMÁTICA
CONVOLUÇÃO
Se f(t) e h(t) forem as transformadas inversas de Laplace, de 
F(s) e H(s), respectivamente, e satisfizerem a hipótese do 
teorema da existência, então, a transformada s(t) inversa do 
produto S(s) = F(s).H(s), será a convolução de f(t) e h(t) e 
define-se como: F(s).H(s) = L(s(t)) = L(f(t)*h(t))
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )sFsHLdtfhtfthtp .. 1
0
−∞ =−=∗= ∫ τττ
13PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246
REVISÃO MATEMÁTICA
CONVOLUÇÃO
Funções: entrada, e(t), reator, r(t) e saída, s(t)
ENTRADA
e(t)
ENTRADA 
E(s)
L
L−1
TEMPO FREQÜÊNCIAREATOR
R(s)
REATOR
r(t)
L
L−1
MULTIPLICAÇÃO
S(s) = E(s).R(s)
CONVOLUÇÃO
s(t) = e(t)*r(t) = r(t)*e(t)
L
L−1
CONVOLUÇÃO
E(s)*R(s) = R(s)*E(s)
MULTIPLICAÇÃO
e(t).r(t)
L
L−1
14PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246
REVISÃO MATEMÁTICA
CONVOLUÇÃO
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )sFsHLdtfhtfthtp .. 1
0
−∞ =−=∗= ∫ τττ
15PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246
REVISÃO MATEMÁTICA
CONVOLUÇÃO
VALORES DISCRETOS
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∫
=
−→Δ
∞ Δ=⇒−=
n
i
ikitk
tthtftpdthftp
00
0
..lim. τττ
p(tk) = pkDenominando-se: f(ti) = fi h(tk-i) = hk-i
Então:
∑
=
− Δ=
n
i
ikik thfp
0
.. Se: hj = 0, j < v ou j > w
Então:
( )
( )∑−
−=
− Δ=
nvkmín
wkmáxi
ikik thfp
,
,0
..
16PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246
REVISÃO MATEMÁTICA
CONVOLUÇÃO
VALORES DISCRETOS
Exemplo:
hj = 0, j ≤ v ou j ≥ w
( )
( )∑−
−=
− Δ=
nvkmín
wkmáxi
ikik thfp
,
,0
..
v = -1 w = 2
k = 0 p0 = (f0.h0 + f1.h-1).Δt
p1 = (f0.h1 + f1.h0+ f2.h-1).Δt
p2 = (f0.h2 + f1.h1 + f2.h0+ f3.h-1).Δt
p3 = (f1.h2 + f2.h1 + f3.h0+ f4.h-1).Δt
p4 = (f2.h2 + f3.h1 + f4.h0+ f5.h-1).Δt
Pn-1 = (fn-3.h2 + fn-2.h1 + fn-1.h0+ fn.h-1).Δt
pn = (fn-2.h2 + fn-1.h1 + fn.h0).Δt
k = 1
k = 2
k = 3
k = 4
k = n - 1
k = n
MM
17PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246
REVISÃO MATEMÁTICA
APLICAÇÃO - II
Convoluir a função de entrada 2.sen(15.t), com a função do processo 3.e-7.t e 
analisar o resultado.
*
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
).15sen(.2)( ttf s =
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
teth .7.3)( −=
( )( ) ( ) ( )∫ −== t dtfftffth 0 2121 ..*)( τττ
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420
-2,4
-1,8
-1,2
-0,6
0
0,6
1,2
1,8
2,4( ) ( )thtfts s *)( =
Convolução
teth .7.3)( −=
).15sen(.2)( ttf s =
ganho = 0,3583/2 = 0,17915
saida
entrada
sistema
024,63−=retardo
( ) ( )00 180/.24,63.15sen.3583,0 π−= tts
18PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246
REVISÃO MATEMÁTICA
APLICAÇÃO - II
fe(t) = 2.sen(15.t)fp(t) = 3.e(-7.t) fs(t) = 0,3583.sen(15.t - 63,24º)
Análise:
Função de entrada Função de saidaFunção do processo
Amplitude máxima 3,0000 2,0000 0,3583
ω 15,00 15,00
Freqüência 2.π.f = 15 ⇒ f = 2,38732,3873
Período 0,4188 T = 1/f = 0,4188
Ângulo de fase 0,00º -63,24ºadiantado
Ganho na saída 0,3583/2 = 0,1792
Transf. de Laplace F(s)
Módulo F(j.15)
Fase F(j.15)
7
3
+s 225
30
2 +s 1575.225.7
90
7
3.
225
30
232 +++=++ sssss
0,1812
função de transferência
Descontinua Descontínua
-64,98º Descontinua Descontínua
19PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246
REVISÃO MATEMÁTICA
APLICAÇÃO - III
Fazer os gráficos dos espectros de freqüência das seguintes funções: e( ) 7
3
1 += ssF ( ) 225
30
22 += ssF
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
MÓDULO
FASE
( ) ( )
2
.
49
.3.
7
1
ωω
ω
+=
−− tgjejF
( ) ( )249
.7.3. ω
ωω +
−= jjF
20PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246
REVISÃO MATEMÁTICA
APLICAÇÃO - III
-1,25
-0,75
-0,25
0,25
0,75
1,25
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100
( ) 2225
30. ωω −=jF
21PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246
REVISÃO MATEMÁTICA
APLICAÇÃO - IV
t f(t)
0,0 1,700
0,5 2,286
1,0 2,853
1,5 3,315
2,0 3,591
2,5 3,626
3,0 3,406
3,5 2,964
4,0 2,377
4,5 1,741
5,0 1,154
5,5 0,690
6,0 0,387
6,5 0,242
7,0 0,222
7,5 0,277
8,0 0,356
8,5 0,419
9,0 0,445
9,5 0,429
10,0 0,379
( )
⎩⎨
⎧
>
<=
10
0
0
t
t
tf
t g(t)
-2,0 0,000
-1,5 0,000
-1,0 0,000
-0,5 3,500
0,0 3,000
0,5 2,500
1,0 2,000
1,5 1,500
2,0 0,000
3,5 0,000
4,5 0,000
5,0 0,000
( )
⎩⎨
⎧
>
−<=
5,1
5,0
0
t
t
tg
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
0 2 4 6 8 10
t
f ( t )
• Usar o método dos trapézios para calcular a convolução
das funções f(t) e g(t), apresentadas nas tabelas abaixo.
22PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246
REVISÃO MATEMÁTICA
APLICAÇÃO - IV
• g(t). t f(t)
0,0 1,700
0,5 2,286
1,0 2,853
1,5 3,315
2,0 3,591
2,5 3,626
3,0 3,406
3,5 2,964
4,0 2,377
4,5 1,741
5,0 1,154
5,5 0,690
6,0 0,387
6,5 0,242
7,0 0,222
7,5 0,277
8,0 0,356
8,5 0,419
9,0 0,445
9,5 0,429
10,0 0,379
( )
⎩⎨
⎧
>
<=
10
0
0
t
t
tf
t g(t)
-2,0 0,000
-1,5 0,000
-1,0 0,000
-0,5 3,500
0,0 3,000
0,5 2,500
1,0 2,000
1,5 1,500
2,0 0,000
3,5 0,000
4,5 0,000
5,0 0,000
( )
⎩⎨
⎧
>
−<=
5,1
5,0
0
t
t
tg
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
-0,5 0 0,5 1 1,5
t
g ( t )
23PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246
REVISÃO MATEMÁTICA
APLICAÇÃO - IV
• p(t) = f(t)*g(t). ( ) ⎩⎨
⎧
>
−<=
5,11
5,0
0
t
t
tp
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 2 4 6 8 10
t
p ( t ) = f ( t ) * g ( t )
t p(t)
-0,5 5,950
0,0 13,101
0,5 21,094
1,0 29,277
1,5 36,768
2,0 40,887
2,5 42,686
3,0 41,812
3,5 38,365
4,0 32,886
4,5 26,242
5,0 19,430
5,5 13,357
6,0 8,653
6,5 5,582
7,0 4,050
7,5 3,697
8,0 4,034
8,5 4,592
9,0 5,012
9,5 5,098
10,0 3,728
10,5 2,473
11,0 1,402
11,5 0,569
24PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246
REVISÃO MATEMÁTICA
DISTRIBUIÇÃO DO TEMPO DE REDIDÊNCIA - DTR
Csaída (t) = Cent(t)*E(t)
⇓
Csaída (s) = Cent(s).E(s)
DTR
E(t)
Csaída (t)
Cent(t)A B
25PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246
REVISÃO MATEMÁTICA
TRANSFORMADA DE LAPLACE – VALORES DISCRETOS
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∫
=
−→Δ
∞ Δ=⇒−=
n
i
ikitk
tthtftpdthftp
00
0
..lim. τττ
( )
( ) ( )
( )∑
∑
∞
−∞=
=
−
=
i
i
n
i
iik
k
th
tfth
tp 0
n – número de pontos da função f(t);
h(ti) – Coeficientes da função de convolução;
f(ti) – Valores das abcissas da função a ser convoluída.
p(tk) – Ponto da função resultante.
26PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246
REVISÃO MATEMÁTICA
DENSIDADE DE ENERGIA
( ) ( )∫∫ ∞∞−∞∞− == ωωπ dF.dttfE 22 21
( ) ( )∫∫ Δ== t/~t dFdttfE m π ωωπ 0 20 2 1
Se f(t) real, t > 0, sistema discretizado em intervalos Δt.
27PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246
Aplicação da convolução
REVISÃO MATEMÁTICA
Centrada
Curva de alimentação
do traçador
10 2 3 4
t’
5
8
6
4
2
0
Centrada
curva E
RTD para o vaso
65 7 8 9
t - t’
10
0,6
0,1
0
E
0,2
0,3
0,4
0,5
Área = 1
t’ Centrada 
0 0
1 0
2 8
3 4
4 6
5 0
t - t’ E
5 0,00
6 0,05
7 0,50
8 0,35
9 0,10
10 0,00
Levenspiel, Octave, 1926 -
Engenharia das reações químicas, Octave Levenspiel; tradução: 
Verônica M. ª Calado; revisão técnica Frederico W. Tavares –
São Paulo, Editora Edgard Blücher, 2000, pág. 227-228
Csaída
87 9 10 11
t
12
6
4
2
0
Csaída
13 14
Calculadot
7 0,00 = 0
8 0,40 = 8x0,50
9 4,20 = 8x0,50 + 4x0,05
10 5,10 = 8x0,35 + 4x0,50 + 6x0,05
11 5,20 = 8x0,10 + 4x0,35 + 6x0,50
12 2,50 = 4x0,10 + 6x0,35
13 0,60 = 6x0,10
14 0,00 = 0
Csaída 
28PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246
Resposta em freqüência
REVISÃO MATEMÁTICA
Função no tempo
Função na freqüência
Resposta em freqüência
Transformada de Fourier
Espectro de freqüência
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
teth .7.3)( −=
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,350,40
0,45
0 15 30 45 60 75 90
rad/s
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0 0
Modulo
Modulo (Laplace)
ângulo
ângulo (Laplace)
)(ωHsrad /15=ω
LaplacededaTransforma
convolução
enoe
fasedeângulo
cosseno
98,64
24,63
60,62
0
0
0
−
−
−
=
LaplacededaTransforma
convolução
enoe
ganho
cosseno
18123,0
17915,0
17782,0
=
( ) ωω jH += 7
3
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0 15 30 45 60 75 90
rad/s
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0 0
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0 15 30 45 60 75 90
rad/s
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0 0
Modulo
Modulo (Laplace)
ângulo
ângulo (Laplace)
)(ωH )(ωHsrad /15=ω srad /15=ω
LaplacededaTransforma
convolução
enoe
fasedeângulo
cosseno
98,64
24,63
60,62
0
0
0
−
−
−
=
LaplacededaTransforma
convolução
enoe
fasedeângulo
cosseno
98,64
24,63
60,62
0
0
0
−
−
−
=
LaplacededaTransforma
convolução
enoe
fasedeângulo
cosseno
98,64
24,63
60,62
0
0
0
−
−
−
=
LaplacededaTransforma
convolução
enoe
ganho
cosseno
18123,0
17915,0
17782,0
=
LaplacededaTransforma
convolução
enoe
ganho
cosseno
18123,0
17915,0
17782,0
=
( ) ωω jH += 7
3( ) ωω jH += 7
3
29PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246
Transformada de Fourier
[ ] ( )∫∞∞− −=ℑ= dtetftfF tj ..)()( ..ωω
Fazer: ω = ω0 ⇒ ( )∫∞∞− −= dtetfF tj ..)( ..0 0ωω
Covolução
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )ωωτττ FHdtfhtfthts ..*)( 1−∞∞− ℑ=−== ∫
Fazer: t = 0 ⇒ ( ) ( )∫∞∞− −= τττ dfhs .)0(
Fazer: ( ) tjetf .. 0ω= ⇒ ( )∫∞∞− −= ττ τω defs j ..)0( .. 0 = ( ) ( )0.. .. 0 ωω Fdtetf tj =∫∞∞− −
REVISÃO MATEMÁTICA
30PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246
Resposta em freqüência
REVISÃO MATEMÁTICA
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )αωαωαωαωαω +++=+= +++ tsenajtaeajeaea tjtjtj ....cos.Im..Re.. 00...... 000
** convolução
( ) 000 98,64.98,64
18124,0.18124,0
−=+−−=
==
αω itfase
a
aganho
ti = 0s
Re
j.Im
0
( )
098,64.18124,0
157
.315.
−∠=
=+=
a
j
aHa
( ) ( )( )( )
aj
dehaj itj
.16423,0.
Im...
0
.. 0
−=
=− ∫∝ +− ττ ατω
( ) ( )( )( )
a
deha itj
.07664,0
Re..
0
.. 0
=
=∫∝ +− ττ ατω
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
( )( ) ( ) 000.. 0,15,1,...Im.. 0 ===+=+ αωαωαω atsenajeaj tj
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
teth .7.3)( −=
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
( )( ) ( ) 000.. 0,15,1,.cos.Re. 0 ===+=+ αωαωαω ataea tj
31PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246
Convolução
REVISÃO MATEMÁTICA
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )αωαωαωαωαω +++=+= +++ tsenajtaeajeaea tjtjtj ....cos.Im..Re.. 00...... 000 qa ωωα === 0,1,0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tsenjtejeetf qqtjtjtjq qqq ...cosIm.Re. ...... ωωω ωωω +=+==
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∫
=
−→Δ
∞ Δ=⇒−=
n
i
ik
tj
tkqqqq
tthetpdthftp iq
0
..
00
..lim,..., ωωττωτωω 00 =⇒= ktk ( ) ( )∑
=
−→Δ Δ=
n
i
i
tj
tq
ttheP iq
0
..
0
..lim ωω
Resposta em freqüência
Transformada de Laplace [ ] ( )∫∞ −== 0 . ..)()( dtetftfsF tsl
( ) ( ) ( ) ( ) ( )qn
i
i
tj
tqqq
FTttheHPjF iq ωωωω ω =Δ=== ∑
=
−
−
→Δ 0
..
0
* ..lim.
Se: hj = 0, j < v ou j > w
k = w
( ) ( )∑−
=
−
− Δ=
nvwmín
i
iw
tj
q theFT iq
,
0
.. ..ωω
32PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246
Convolução
REVISÃO MATEMÁTICA
Se: hj = 0, j < v ou j > w
Então:
( ) ( )∑−
=
−
− Δ=
nvwmín
i
iw
tj
q theFT iq
,
0
.. ..ωω
( )( ) ( )( )∑−
=
− Δ=
nvwmín
i
iwiqq thtFT
,
0
...cosreal ωω ( )( ) ( )( )∑−
=
− Δ=
nvwmín
i
iwiqq thtFT
,
0
...senimginário ωω
k = w
( ) ( )( ) ( )( )qqq FTjFTFT ωωω imaginário.real −=
( ) ( )( ) ( )( )22 imaginárioreal qqq FTFTFT ωωω +=
( ) ( )( ) ( )( )( )qqq FTFTFT ωωω imaginário,real2atan −=∠

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