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1PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246 Se este processo é lineal, então, será verdadeira as seguintes relações: Admitindo um processo P, cuja entrada ei(t) resulta em uma saída si(t). REVISÃO MATEMÁTICA P a.ea(t) + b. eb(t) a.sa(t) + b. sb(t) Conhecido que: P ea(t) sa(t) P eb(t) sb(t)e P a.ea(t) a.sa(t) P b.eb(t) b.sb(t)e PROCESSO LINEAR i = a i = b Então: 2PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246 REVISÃO MATEMÁTICA REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÕES PERIÓDICAS A função periódica fT(t) pode ser representada por um somatório de funções trigonométricas, com freqüências múltiplas da fundamental ω0, tal como: fT(t) = a0 + a1.cos (ω0.t) + a2.cos (2.ω0.t) + … + an.cos (n.ω0.t) + … + b1.sen (ω0.t)+ + b2.sen (2.ω0.t) + … + bn.sen (n.ω0.t) + … = ( ) ( )( )∑ ∞ = ++ 1 0n0n0 baa n tntn ..sin...cos. ωω ( ) ( ) ( )∫ ∫ + + = Tt t Tt t T n dttn dttntf 0 0 0 0 ..sen ..sen. b 0 2 0 ω ω( ) ( ) ( )∫ ∫ + + = Tt t Tt t n dttn dttntf 0 0 0 0 ..cos ..cos. a 0 2 0 ω ω ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ +++ === Ttt TnTtt TnTtt T dttntfTdttntfTdttfT 000000 ..sen.2b,..cos.2a,1a 000 ωω ( ) ( ) ( )nnnnnnn n nnT eatnctf a/btanbac,c,..cos.c 122 0 1 00 −∞ = −=+==++= ∑ ϕϕω T = 1/f0 = 2.π/ω0 SÉRIE TRIGONOMÉTRICA DE FOURIER Teoria fT(t) 3PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246 REVISÃO MATEMÁTICA REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÕES PERIÓDICAS Funções a(ω) e b(ω) ( ) ( ) ( )( )∑∞ = ++= 1 0n0n0T ...b..cos.aatf n tnsintn ωω ( ) ( )∑∞ = += 0 0..cos.c n nn tntf ϕω SÉRIE TRIGONOMÉTRICA DE FOURIER Representação gráfica a(n.ω0) = an b(n.ω0) = bn c(n.ω0) = cn ϕ(n.ω0) = ϕn Funções c(ω) e ϕ(ω) a(ω) = an b(ω) = bn c(ω) = cn ϕ(ω) = ϕn fT(t) 4PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246 REVISÃO MATEMÁTICA REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÕES PERIÓDICAS A função periódica f(t) pode ser representada por um somatório de funções exponenciais, com freqüências múltiplas da fundamental ω0, tal como: SÉRIE EXPONENCIAL DE FOURIER Teoria ( ) ( ) 0 00 ... .....2. 2 .. 1 .....2. 2 .. 10 .2,,. ...... 0 000000 ω πω ωωωωωω =+<<= =++++++++++= ∑∞ −∞= − − − − − − TTttteF eFeFeFeFeFeFFtf n tnj n tnj n tjtjtnj n tjtj LLLL ( )( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ∫ ∫ ∫ + − + − + − + + === Tt t tnj Tt t tnjtnj Tt t tnj Tt t tnjtnj Tt t tnj n dtetfTdtee dtetf dtee dtetf F 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 ... ...... ... *...... *... ..1 . . . . ω ωω ω ωω ω ( ) ( )tjte tj .sen..cos.. 000 ωωω += ( ) ( )TttteFtf n tnj n +<<= ∑∞ −∞= 00 ... ,. 0ω ( ) *... ,.1 0 0 0 nn Tt t tnj n FFdtetfT F − + − =⇒= ∫ ω fT(t) 5PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246 REVISÃO MATEMÁTICA REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÕES PERIÓDICAS Funções F(ω) SÉRIE EXPONENCIAL DE FOURIER Representação gráfica F(n.ω0) = Fn( ) ( ) 0 00 ... .2,,. 0 ω πω =+<<= ∑∞ −∞= TTttteFtf n tnj n |F(ω)| = Fn /F(ω) = /Fn fT(t) 6PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246 REVISÃO MATEMÁTICA REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÕES PERIÓDICAS RELAÇÃO ENTRE AS SÉRIES TRIGONOMÉTRICA E EXPONENCIAL ( ) 0 00 ... .2,,. 0 ω πω =+<<∑∞ −∞= TTttteF n tnj n ( ) ( ) ( )( )∑∞ = ++= 1 0n0n0 ...b..cos.aatf n tnsintn ωω ( ) ( )∑∞ = ++= 1 00 ..cos.c n nn tnctf ϕω a0 = F0 an = Fn + F-n bn = j.(Fn - F-n) Fn = (an - j.bn)/2 F-n = (an + j.bn)/2 F0 = a0 22 bac nnn += ( )nnn a/btan 1−−=ϕ 00 ac = an = cn .cos(ϕn) bn = -cn sin(ϕ0) a0 = c0 F-n = cn .(cos(ϕn) - j.sin(ϕn))/2 Fn = cn .(cos(ϕn) + j.sin(ϕn))/2 F0 = c0 nnn F.F.2c −= ( ) ( )( )nnnnn j −−− +−−= FF/FF.tan 1ϕ 00 Fc = 7PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246 REVISÃO MATEMÁTICA REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÕES PERIÓDICAS PROPIEDADES Real e impar Imaginário e impar Imaginário e par Imaginário e par Complexo e par Complexo e par Complexo e impar Complexo e impar Real e par f(t) = f*(t) e f(t) = f(-t) Real e parF(ω) = F*(ω) e F(ω) = F(- ω) f(t) = f*(t) e f(t) = -f(-t) F(ω) = -F*(ω) e F(ω) = -F(- ω) f(t) = -f*(t) e f(t) = f (-t) F(ω) = -F*(ω) e F(ω) = F (- ω) f(t) = f(-t) F(ω) = F (- ω) f(t) = -f (-t) F(ω) = -F(- ω), Função F(ω)Função f(t) Real f(t) = f*(t) ConjugadaF(ω) = F*(-ω) 8PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246 REVISÃO MATEMÁTICA APLICAÇÃO - I Expandir a função periódica da onda modulo do seno, f(t) = ⏐A.sen(π.t)⏐, mostrada na figura abaixo, pelas séries trigonométrica e exponencial de Fourier. ( ) ∑∞ −∞= = n tnj n eFtf ... 0. ω ( ) ( )1.4. .2..sen. 210 ...2. −−== ∫ − n AdtetAF tnjn ππ π ( ) ∑∞ −∞= − −= n tnje n Atf ...2.2 .1.4 1.2 π π ( ) ππ AdttA .2.sen.a 1 00 == ∫ ( ) ( )∑∞ = ++= 1 00 ..cos.c n nn tnctf ϕω ( ) ( ) ( )( )∑∞ = ++= 1 0n0n0 ...b..cos.aatf n tnsintn ωω fT(t) ( ) ( ) ( )1.4. .4...2cos..sen.2a 210 −−== ∫ nAdttntn πππ ( )1.4. .4bac 222 −−=+= nAnnn π ( ) 0a/btan 1 =−= − nnnϕ ( ) ( ) 0...2sen..sen.2b 1 0 == ∫ dttntn ππ ω0 = 2.π/T T = 1 π Aa .2c 00 == ( ) ( )∑∞ = −−= 1 2 1.4 ...2cos..4.2tf n n tnAA π ππ ( ) ( )∑∞ = −−= 1 2 1.4 ...2cos..4.2 n n tnAAtf πππ 9PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246 REVISÃO MATEMÁTICA APLICAÇÃO - I ( ) ∑∞ −∞= = n tnj n eFtf ... 0. ω ( ) ∑∞ −∞= − −= n tnje n Atf ...2.2 .1.4 1.2 π π ( ) ( )∑∞ = ++= 1 00 ..cos.c n nn tnctf ϕω ( ) ( ) ( )( )∑∞ = ++= 1 0n0n0 ...b..cos.aatf n tnsintn ωω fT(t) ω0 = 2.π T = 1 ( ) ( )∑∞ = −−= 1 2 1.4 ...2cos..4.2tf n n tnAA π ππ ( ) ( )∑∞ = −+= 1 2 1.4 ...2cos..4.2 n n tnAAtf πππ F(ω) = FnF(ω) = F*(ω) c(ω) = cn a(ω) = an b(ω) = bn ϕ(ω) = ϕn 10PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246 REVISÃO MATEMÁTICA REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÕES NÃO PERIÓDICAS Função periódica ( ) ( )tftfTT =∞→lim ( ) ∑∞ −∞= = n tnj nT eFtf ... 0. ω ( ) ( )∑∞ −∞= = n tj nT neF T tf ...1 ωω Função não periódica fT(t) f(t) T πω .20 = ( )∫− −= 2/ 2/ ... 0..1 TT tnjTn dtetfTF ω T →∞ [ ] ( )∫∞∞− −=ℑ= dtetftfF tj ..)()( ..ωω [ ] ( )∫∞∞−− =ℑ= ωωπω ω deFFtf tj ...21)()( ..1 ⇒ ω0→ 0 Transformada de Fourier n.ω0 = ωn T.Fn = F(ωn) ⇒ ⇒ 11PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246 REVISÃO MATEMÁTICA REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÕES NÃO PERIÓDICAS Transformada de Fourier f(t)[ ] ( )∫∞∞− −=ℑ= dtetftfF tj ..)()( ..ωω [ ] ( )∫∞∞−− =ℑ= ωωπω ω deFFtf tj ...21)()( ..1 Transformada de Laplace Em muitas aplicações da integral de Fourier, a função a ser representada é nula antes de algum momento, normalmente t = 0. [ ] ( ) ( )∫∫ ∞ −∞∞− − ==ℑ= 0 .... ....)()( dtetfdtetftfF tjtj ωωω Então: [ ] ( )∫∞ −== 0 . ..)()( dtetftfsF tsl [ ] ( )∫ ∞+ ∞−− == .. .1 ...2.1)()( ja ja ts dseF j sFtf ωπl 12PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246 REVISÃO MATEMÁTICA CONVOLUÇÃO Se f(t) e h(t) forem as transformadas inversas de Laplace, de F(s) e H(s), respectivamente, e satisfizerem a hipótese do teorema da existência, então, a transformada s(t) inversa do produto S(s) = F(s).H(s), será a convolução de f(t) e h(t) e define-se como: F(s).H(s) = L(s(t)) = L(f(t)*h(t)) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )sFsHLdtfhtfthtp .. 1 0 −∞ =−=∗= ∫ τττ 13PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246 REVISÃO MATEMÁTICA CONVOLUÇÃO Funções: entrada, e(t), reator, r(t) e saída, s(t) ENTRADA e(t) ENTRADA E(s) L L−1 TEMPO FREQÜÊNCIAREATOR R(s) REATOR r(t) L L−1 MULTIPLICAÇÃO S(s) = E(s).R(s) CONVOLUÇÃO s(t) = e(t)*r(t) = r(t)*e(t) L L−1 CONVOLUÇÃO E(s)*R(s) = R(s)*E(s) MULTIPLICAÇÃO e(t).r(t) L L−1 14PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246 REVISÃO MATEMÁTICA CONVOLUÇÃO ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )sFsHLdtfhtfthtp .. 1 0 −∞ =−=∗= ∫ τττ 15PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246 REVISÃO MATEMÁTICA CONVOLUÇÃO VALORES DISCRETOS ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∫ = −→Δ ∞ Δ=⇒−= n i ikitk tthtftpdthftp 00 0 ..lim. τττ p(tk) = pkDenominando-se: f(ti) = fi h(tk-i) = hk-i Então: ∑ = − Δ= n i ikik thfp 0 .. Se: hj = 0, j < v ou j > w Então: ( ) ( )∑− −= − Δ= nvkmín wkmáxi ikik thfp , ,0 .. 16PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246 REVISÃO MATEMÁTICA CONVOLUÇÃO VALORES DISCRETOS Exemplo: hj = 0, j ≤ v ou j ≥ w ( ) ( )∑− −= − Δ= nvkmín wkmáxi ikik thfp , ,0 .. v = -1 w = 2 k = 0 p0 = (f0.h0 + f1.h-1).Δt p1 = (f0.h1 + f1.h0+ f2.h-1).Δt p2 = (f0.h2 + f1.h1 + f2.h0+ f3.h-1).Δt p3 = (f1.h2 + f2.h1 + f3.h0+ f4.h-1).Δt p4 = (f2.h2 + f3.h1 + f4.h0+ f5.h-1).Δt Pn-1 = (fn-3.h2 + fn-2.h1 + fn-1.h0+ fn.h-1).Δt pn = (fn-2.h2 + fn-1.h1 + fn.h0).Δt k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = n - 1 k = n MM 17PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246 REVISÃO MATEMÁTICA APLICAÇÃO - II Convoluir a função de entrada 2.sen(15.t), com a função do processo 3.e-7.t e analisar o resultado. * -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 ).15sen(.2)( ttf s = 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 teth .7.3)( −= ( )( ) ( ) ( )∫ −== t dtfftffth 0 2121 ..*)( τττ -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 -2,4 -1,8 -1,2 -0,6 0 0,6 1,2 1,8 2,4( ) ( )thtfts s *)( = Convolução teth .7.3)( −= ).15sen(.2)( ttf s = ganho = 0,3583/2 = 0,17915 saida entrada sistema 024,63−=retardo ( ) ( )00 180/.24,63.15sen.3583,0 π−= tts 18PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246 REVISÃO MATEMÁTICA APLICAÇÃO - II fe(t) = 2.sen(15.t)fp(t) = 3.e(-7.t) fs(t) = 0,3583.sen(15.t - 63,24º) Análise: Função de entrada Função de saidaFunção do processo Amplitude máxima 3,0000 2,0000 0,3583 ω 15,00 15,00 Freqüência 2.π.f = 15 ⇒ f = 2,38732,3873 Período 0,4188 T = 1/f = 0,4188 Ângulo de fase 0,00º -63,24ºadiantado Ganho na saída 0,3583/2 = 0,1792 Transf. de Laplace F(s) Módulo F(j.15) Fase F(j.15) 7 3 +s 225 30 2 +s 1575.225.7 90 7 3. 225 30 232 +++=++ sssss 0,1812 função de transferência Descontinua Descontínua -64,98º Descontinua Descontínua 19PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246 REVISÃO MATEMÁTICA APLICAÇÃO - III Fazer os gráficos dos espectros de freqüência das seguintes funções: e( ) 7 3 1 += ssF ( ) 225 30 22 += ssF 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 MÓDULO FASE ( ) ( ) 2 . 49 .3. 7 1 ωω ω += −− tgjejF ( ) ( )249 .7.3. ω ωω + −= jjF 20PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246 REVISÃO MATEMÁTICA APLICAÇÃO - III -1,25 -0,75 -0,25 0,25 0,75 1,25 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 ( ) 2225 30. ωω −=jF 21PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246 REVISÃO MATEMÁTICA APLICAÇÃO - IV t f(t) 0,0 1,700 0,5 2,286 1,0 2,853 1,5 3,315 2,0 3,591 2,5 3,626 3,0 3,406 3,5 2,964 4,0 2,377 4,5 1,741 5,0 1,154 5,5 0,690 6,0 0,387 6,5 0,242 7,0 0,222 7,5 0,277 8,0 0,356 8,5 0,419 9,0 0,445 9,5 0,429 10,0 0,379 ( ) ⎩⎨ ⎧ > <= 10 0 0 t t tf t g(t) -2,0 0,000 -1,5 0,000 -1,0 0,000 -0,5 3,500 0,0 3,000 0,5 2,500 1,0 2,000 1,5 1,500 2,0 0,000 3,5 0,000 4,5 0,000 5,0 0,000 ( ) ⎩⎨ ⎧ > −<= 5,1 5,0 0 t t tg 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 0 2 4 6 8 10 t f ( t ) • Usar o método dos trapézios para calcular a convolução das funções f(t) e g(t), apresentadas nas tabelas abaixo. 22PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246 REVISÃO MATEMÁTICA APLICAÇÃO - IV • g(t). t f(t) 0,0 1,700 0,5 2,286 1,0 2,853 1,5 3,315 2,0 3,591 2,5 3,626 3,0 3,406 3,5 2,964 4,0 2,377 4,5 1,741 5,0 1,154 5,5 0,690 6,0 0,387 6,5 0,242 7,0 0,222 7,5 0,277 8,0 0,356 8,5 0,419 9,0 0,445 9,5 0,429 10,0 0,379 ( ) ⎩⎨ ⎧ > <= 10 0 0 t t tf t g(t) -2,0 0,000 -1,5 0,000 -1,0 0,000 -0,5 3,500 0,0 3,000 0,5 2,500 1,0 2,000 1,5 1,500 2,0 0,000 3,5 0,000 4,5 0,000 5,0 0,000 ( ) ⎩⎨ ⎧ > −<= 5,1 5,0 0 t t tg 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 -0,5 0 0,5 1 1,5 t g ( t ) 23PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246 REVISÃO MATEMÁTICA APLICAÇÃO - IV • p(t) = f(t)*g(t). ( ) ⎩⎨ ⎧ > −<= 5,11 5,0 0 t t tp 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 2 4 6 8 10 t p ( t ) = f ( t ) * g ( t ) t p(t) -0,5 5,950 0,0 13,101 0,5 21,094 1,0 29,277 1,5 36,768 2,0 40,887 2,5 42,686 3,0 41,812 3,5 38,365 4,0 32,886 4,5 26,242 5,0 19,430 5,5 13,357 6,0 8,653 6,5 5,582 7,0 4,050 7,5 3,697 8,0 4,034 8,5 4,592 9,0 5,012 9,5 5,098 10,0 3,728 10,5 2,473 11,0 1,402 11,5 0,569 24PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246 REVISÃO MATEMÁTICA DISTRIBUIÇÃO DO TEMPO DE REDIDÊNCIA - DTR Csaída (t) = Cent(t)*E(t) ⇓ Csaída (s) = Cent(s).E(s) DTR E(t) Csaída (t) Cent(t)A B 25PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246 REVISÃO MATEMÁTICA TRANSFORMADA DE LAPLACE – VALORES DISCRETOS ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∫ = −→Δ ∞ Δ=⇒−= n i ikitk tthtftpdthftp 00 0 ..lim. τττ ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑ ∞ −∞= = − = i i n i iik k th tfth tp 0 n – número de pontos da função f(t); h(ti) – Coeficientes da função de convolução; f(ti) – Valores das abcissas da função a ser convoluída. p(tk) – Ponto da função resultante. 26PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246 REVISÃO MATEMÁTICA DENSIDADE DE ENERGIA ( ) ( )∫∫ ∞∞−∞∞− == ωωπ dF.dttfE 22 21 ( ) ( )∫∫ Δ== t/~t dFdttfE m π ωωπ 0 20 2 1 Se f(t) real, t > 0, sistema discretizado em intervalos Δt. 27PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246 Aplicação da convolução REVISÃO MATEMÁTICA Centrada Curva de alimentação do traçador 10 2 3 4 t’ 5 8 6 4 2 0 Centrada curva E RTD para o vaso 65 7 8 9 t - t’ 10 0,6 0,1 0 E 0,2 0,3 0,4 0,5 Área = 1 t’ Centrada 0 0 1 0 2 8 3 4 4 6 5 0 t - t’ E 5 0,00 6 0,05 7 0,50 8 0,35 9 0,10 10 0,00 Levenspiel, Octave, 1926 - Engenharia das reações químicas, Octave Levenspiel; tradução: Verônica M. ª Calado; revisão técnica Frederico W. Tavares – São Paulo, Editora Edgard Blücher, 2000, pág. 227-228 Csaída 87 9 10 11 t 12 6 4 2 0 Csaída 13 14 Calculadot 7 0,00 = 0 8 0,40 = 8x0,50 9 4,20 = 8x0,50 + 4x0,05 10 5,10 = 8x0,35 + 4x0,50 + 6x0,05 11 5,20 = 8x0,10 + 4x0,35 + 6x0,50 12 2,50 = 4x0,10 + 6x0,35 13 0,60 = 6x0,10 14 0,00 = 0 Csaída 28PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246 Resposta em freqüência REVISÃO MATEMÁTICA Função no tempo Função na freqüência Resposta em freqüência Transformada de Fourier Espectro de freqüência 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 teth .7.3)( −= 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,350,40 0,45 0 15 30 45 60 75 90 rad/s -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 0 Modulo Modulo (Laplace) ângulo ângulo (Laplace) )(ωHsrad /15=ω LaplacededaTransforma convolução enoe fasedeângulo cosseno 98,64 24,63 60,62 0 0 0 − − − = LaplacededaTransforma convolução enoe ganho cosseno 18123,0 17915,0 17782,0 = ( ) ωω jH += 7 3 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0 15 30 45 60 75 90 rad/s -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 0 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0 15 30 45 60 75 90 rad/s -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 0 Modulo Modulo (Laplace) ângulo ângulo (Laplace) )(ωH )(ωHsrad /15=ω srad /15=ω LaplacededaTransforma convolução enoe fasedeângulo cosseno 98,64 24,63 60,62 0 0 0 − − − = LaplacededaTransforma convolução enoe fasedeângulo cosseno 98,64 24,63 60,62 0 0 0 − − − = LaplacededaTransforma convolução enoe fasedeângulo cosseno 98,64 24,63 60,62 0 0 0 − − − = LaplacededaTransforma convolução enoe ganho cosseno 18123,0 17915,0 17782,0 = LaplacededaTransforma convolução enoe ganho cosseno 18123,0 17915,0 17782,0 = ( ) ωω jH += 7 3( ) ωω jH += 7 3 29PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246 Transformada de Fourier [ ] ( )∫∞∞− −=ℑ= dtetftfF tj ..)()( ..ωω Fazer: ω = ω0 ⇒ ( )∫∞∞− −= dtetfF tj ..)( ..0 0ωω Covolução ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )ωωτττ FHdtfhtfthts ..*)( 1−∞∞− ℑ=−== ∫ Fazer: t = 0 ⇒ ( ) ( )∫∞∞− −= τττ dfhs .)0( Fazer: ( ) tjetf .. 0ω= ⇒ ( )∫∞∞− −= ττ τω defs j ..)0( .. 0 = ( ) ( )0.. .. 0 ωω Fdtetf tj =∫∞∞− − REVISÃO MATEMÁTICA 30PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246 Resposta em freqüência REVISÃO MATEMÁTICA ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )αωαωαωαωαω +++=+= +++ tsenajtaeajeaea tjtjtj ....cos.Im..Re.. 00...... 000 ** convolução ( ) 000 98,64.98,64 18124,0.18124,0 −=+−−= == αω itfase a aganho ti = 0s Re j.Im 0 ( ) 098,64.18124,0 157 .315. −∠= =+= a j aHa ( ) ( )( )( ) aj dehaj itj .16423,0. Im... 0 .. 0 −= =− ∫∝ +− ττ ατω ( ) ( )( )( ) a deha itj .07664,0 Re.. 0 .. 0 = =∫∝ +− ττ ατω -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 ( )( ) ( ) 000.. 0,15,1,...Im.. 0 ===+=+ αωαωαω atsenajeaj tj 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 teth .7.3)( −= -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 ( )( ) ( ) 000.. 0,15,1,.cos.Re. 0 ===+=+ αωαωαω ataea tj 31PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246 Convolução REVISÃO MATEMÁTICA ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )αωαωαωαωαω +++=+= +++ tsenajtaeajeaea tjtjtj ....cos.Im..Re.. 00...... 000 qa ωωα === 0,1,0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tsenjtejeetf qqtjtjtjq qqq ...cosIm.Re. ...... ωωω ωωω +=+== ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∫ = −→Δ ∞ Δ=⇒−= n i ik tj tkqqqq tthetpdthftp iq 0 .. 00 ..lim,..., ωωττωτωω 00 =⇒= ktk ( ) ( )∑ = −→Δ Δ= n i i tj tq ttheP iq 0 .. 0 ..lim ωω Resposta em freqüência Transformada de Laplace [ ] ( )∫∞ −== 0 . ..)()( dtetftfsF tsl ( ) ( ) ( ) ( ) ( )qn i i tj tqqq FTttheHPjF iq ωωωω ω =Δ=== ∑ = − − →Δ 0 .. 0 * ..lim. Se: hj = 0, j < v ou j > w k = w ( ) ( )∑− = − − Δ= nvwmín i iw tj q theFT iq , 0 .. ..ωω 32PhDs COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246 Convolução REVISÃO MATEMÁTICA Se: hj = 0, j < v ou j > w Então: ( ) ( )∑− = − − Δ= nvwmín i iw tj q theFT iq , 0 .. ..ωω ( )( ) ( )( )∑− = − Δ= nvwmín i iwiqq thtFT , 0 ...cosreal ωω ( )( ) ( )( )∑− = − Δ= nvwmín i iwiqq thtFT , 0 ...senimginário ωω k = w ( ) ( )( ) ( )( )qqq FTjFTFT ωωω imaginário.real −= ( ) ( )( ) ( )( )22 imaginárioreal qqq FTFTFT ωωω += ( ) ( )( ) ( )( )( )qqq FTFTFT ωωω imaginário,real2atan −=∠
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