Taxas em Matemática Financeira

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MATEMÁTICA FINANCEIRA
NOTAS DE AULA – TAXAS
PROF DRA. DENISE CANDAL
TAXAS
1. TAXA EFETIVA.
Taxa efetiva é aquela em que a unidade referencial de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. 
Exemplo: 10% ao mês capitalizados mensalmente. Diz-se somente 10% ao mês. 
Esta é a taxa utilizada nas calculadoras financeiras e planilhas eletrônicas. 
Quando temos uma taxa cujo período de formação de juros é diferente do período de capitalização, precisaremos efetuar uma conversão de taxas. Dependendo do tipo de capitalização, composta ou simples, temos taxas equivalentes ou proporcionais, respectivamente.
2. TAXAS PROPORCIONAIS – JUROS SIMPLES
São taxas cujo período de formação de juros é diferente do período de capitalização, e que, quando aplicadas ao mesmo principal, durante um mesmo prazo, produzem o mesmo montante no final daquele prazo, considerando juros simples. 
Exemplo. Puccini
Considere um principal de $100,00, aplicados a juros simples. Determine os montantes acumulados ao final de 4 anos quando as taxas forem de 
12% ao ano.
6% ao semestre.
4 anos são 8 semestres.
1% ao mês.
4 anos são 4x12 meses = 48 meses
São proporcionais, a juros simples: 12% ao ano, 6% ao semestre e 1% ao mês. 
FÓRMULA RELACIONANDO TAXAS PROPORCIONAIS
Calculando o montante de 1 ano: 
Calculando o montante de 12 meses: 
Os montantes são os mesmos.
Generalizando:
Exemplo. Determine as taxas semestral e mensal que são proporcionais à taxa de 12% ao ano.
	
	
Exercícios Propostos. Puccini
Calcule as taxas semestral, mensal e diária, proporcionais à taxa de 24% ao ano. 
Gabarito: taxa semestral: 0,12; taxa mensal: 0,02; taxa diária: 0,000667.
Calcule a taxa mensal proporcional à taxa de 7,5% ao semestre.
Gabarito: 0,0125.
Calcule a taxa diária proporcional à taxa de 1,5% ao mês.
Gabarito: 0,0005
3. TAXAS EQUIVALENTES – JUROS COMPOSTOS
São taxas cujo período de formação de juros é diferente do período de capitalização, e que, quando aplicadas ao mesmo principal, durante um mesmo prazo, produzem o mesmo montante no final daquele prazo, considerando juros compostos. 
Exemplo. Puccini
Considere um principal de $100,00, aplicados a juros compostos. Determine os montantes acumulados ao final de 4 anos quando as taxas forem de 
12,6825% ao ano.
6,1520% ao semestre.
4 anos são 8 semestres.
1,00% ao mês.
4 anos são 4x12 meses = 48 meses
São equivalentes, a juros compostos: 12,6825% ao ano, 6,1520% ao semestre e 1% ao mês. 
FÓRMULA RELACIONANDO TAXAS EQUIVALENTES
Calculando o montante de 1 ano: 
Calculando o montante de 12 meses: 
Os montantes são os mesmos.
Generalizando:
OUTRO FORMATO: 
Exemplo. Puccini. 
Calcule as taxas anual e semestral que são equivalentes à taxa de 1% ao mês.
	
	
Exercícios Propostos. Puccini.
Calcule as taxas anual e semestral que são equivalentes à taxa de 3% ao trimestre. 
Gabarito: taxa anual: 12,5509%; taxa semestral: 6,09% 
Calcule a taxa mensal que é equivalente a taxa de 10% ao ano. 
Gabarito: 0,7974%
Calcule a taxa diária que é equivalente à taxa de 1,5% ao mês. 
Gabarito: 0,0496%
4. TAXA NOMINAL
Taxa Nominal é aquela em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. 
Trata-se de uma taxa referencial na qual os juros são capitalizados (formados e incorporados ao principal) mais de uma vez no período em que a taxa se refere. 
Exemplo: juros de 52% ao ano capitalizados mensalmente. 
De modo geral a taxa nominal é anual e os períodos de capitalização podem ser diários, mensais, trimestrais ou semestrais. 
Na taxa nominal, há uma taxa efetiva implícita, que é a taxa que deve ser aplicada a cada período de capitalização.
A taxa efetiva é encontrada utilizando-se a taxa proporcional do regime de juros simples. 
CÁLCULO DA TAXA EFETIVA A PARTIR DA TAXA NOMINAL
Exemplo. 12% ao ano, capitalizados mensalmente 
12% em 1 ano ---12 meses. 
Em 1 mês, temos ao mês.
Exemplo. 24% ao ano, capitalizados semestralmente. 
24% em 1 ano ---- 2 semestres. 
Em 1 semestre temos ao semestre.
Exemplo. 10% ao ano, capitalizados trimestralmente. 
10% em 1 ano ---- 4 trimestres. 
Em 1 trimestre temos ao trimestre.
Exemplo. 18% ao ano, capitalizados diariamente. 
18% em 1 ano ---- 360 dias. 
Em 1 dia temos ao dia.
Exercício Resolvido. Puccini.
Calcule as taxas efetivas anuais que são equivalentes a uma taxa nominal de 9% ao ano, com o período de capitalização mensal.
 ao ano.
	Determinando a taxa efetiva
Capitalização mensal – taxa efetiva mensal
9% ao ano , capitalizados mensalmente.
9% em 1 ano ---- 12 meses
Em 1 mês: ao mês.
	Calculando a taxa equivalente. 
Exercícios Propostos. Puccini.
1. Calcule as taxas efetivas anuais que são equivalentes a uma taxa nominal de 9% ao ano, com o período de capitalização trimestral.
Gabarito: 9,3083%
2. Calcule as taxas efetivas anuais que são equivalentes a uma taxa nominal de 9% ao ano, com o período de capitalização semestral.
Gabarito: 9,2025%
Exemplo. Quadro comparativo de taxas efetivas anuais
	TAXA NOMINAL ANUAL EM %
	TAXA EFETIVA ANUAL EQUIVALENTE EM %. 
PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO 
	
	anual
	semestral
	diferença entre nominal e efetiva
	trimestral
	diferença entre nominal e efetiva
	mensal
	diferença entre nominal e efetiva
	9
	9
	9,2
	0,2
	9,31
	0,31
	9,38
	0,38
	12
	12
	12,36
	0,36
	12,55
	0,55
	12,68
	0,68
	24
	24
	25,44
	1,44
	26,25
	2,25
	26,82
	2,82
	36
	36
	39,24
	3,24
	41,16
	5,16
	42,58
	6,58
Fonte: Puccini. Adaptado.
TAXA EFETIVA > TAXA NOMINAL
Diferença entre nominal e efetiva aumenta à medida que o período de capitalização aumenta.
Diferença entre nominal e efetiva aumenta à medida que aumenta a taxa nominal.
CALCULO DO MONTANTE A JUROS NOMINAIS
	Montante aplicado pelo prazo m a uma taxa nominal com juros capitalizados k vezes durante o período referencial da taxa nominal
	
	 = taxa de juros nominal
k = número de vezes em que os juros são capitalizados no período a que a taxa nominal se refere. 
m = prazo da aplicação na mesma unidade de tempo da taxa nominal.
	
Exemplo. Calcular o montante resultante de um investimento de $1.200 aplicado por três anos a juros nominais de 16% a.a., capitalizados mensalmente. 
Exercício Resolvido. Samanez.
Qual o valor de resgate para um capital de $200 aplicado pelo prazo de 27 dias a 9% a.m. capitalizados diariamente 
Exercício Resolvido. Samanez.
Qual o valor de resgate para um capital de $200 aplicado pelo prazo de 6 meses a 28% a.a. capitalizados mensalmente 
Exercício Resolvido. Samanez.
Qual o valor de resgate para um capital de $200 aplicado pelo prazo de 8 meses a 18% a.s. capitalizados mensalmente 
Exercício Proposto. Samanez
Qual o valor de resgate para um capital de $200 aplicado pelo prazo de 27 meses a 12% a.t. capitalizados mensalmente 
Gabarito: 576,67
5. TAXA REAL, TAXA APARENTE (EFETIVA) E TAXA DE INFLAÇÃO
A taxa real é aquela em que se retiram os efeitos da inflação. Taxa aparente é formada por um componente relacionado à inflação e outro correspondente ao juro real. 
	
	i = taxa aparente
ir = taxa real
I = taxa de inflação
 
Exemplo. Determine a taxa de rendimento real a partir de uma taxa aparente de 7% a.a. e uma inflação projetada de 3% a.a. 
Exercício Resolvido. Qual a taxa aparente de uma aplicação, em uma economia onde a inflação é de 4% ao ano e que tem um juro real de 6% ao ano?
Exercício Resolvido. Um banco, ao realizar um empréstimo, oferece taxas pré-estabelecidas, emprestando R$ 10 000,00 receberá, no prazo máximo de um ano, o valor de R$ 13 000,00. Se a inflação do período foi de 3%. Determine a taxa real de juros do empréstimo? 
Calculando a taxa aparente de juros: 13 000 – 10 000 = 3 000 
Determinando a taxa real dejuros 
Exercício Resolvido. Certa aplicação financeira obteve rendimento efetivo de 6% ao ano. Sabendo que a taxa de inflação no período foi de 4,9%, determine o ganho real dessa aplicação. 
Exercício Resolvido. Certa categoria profissional obteve reajuste salarial de 7% ao ano. Sabendo que a inflação no período foi de 10%, determine o valor do reajuste real e interprete o resultado. 
A taxa real foi negativa. Essa categoria profissional teve perdas salariais do período, uma vez que o reajuste salarial foi abaixo do índice inflacionário do período.