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Calculo I Professora: Edilene Alunos: Elizandra C. Godoy Jose Manoel Paulinei DERIVADAS Conceito e Aplicação da Derivada CONCEITO: Derivadas por definição as derivadas representam a taxa de variação de uma função....como o próprio nome indica "derivada" traduz de onde provêm uma função qualquer ou de onde ela deriva/ou, o que lhe deu origem, etc... A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , é igual ao valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y=f(x), no ponto x = x0, ou seja, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0. A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos: y' , dy/dx ou f ' (x) Algumas derivadas básicas Nas fórmulas u e v são funções da variável x. a, b, c e n são constantes. Todo engenheiro precisa muito da idéia de derivadas, pois representam um isso por aquilo: quilômetros por hora, metros por segundo, metros por segundo ao quadrado, calorias por semana. Como derivadas representam a velocidade com que alguma coisa muda em função das mudanças de outras coisas, elas passam a ser de grande utilidade. Se você dirige, topa sempre com uma derivada ao olhar o velocímetro do carro. A distância total percorrida, dividida pelo tempo para percorrer tal distância, dá a velocidade média do carro durante a viagem. O motorista conhece a velocidade instantânea quando olha o velocímetro, e vê a taxa com que o carro está percorrendo, a cada instante infinitésimo da viagem, certa quantidade de quilômetros a cada hora Vazamento de óleo A vida marinha de um oceano ou praia pode ficar seriamente ameaçada quando um navio petrolífero sofre um acidente e começa a despejar óleo no mar. Os técnicos precisam agir rápido para conter o derramamento de óleo e preservar a fauna. Uma grande aliada deles são as derivadas que, entre outras aplicações, também servem para indicar a taxa de crescimento de uma determinada grandeza em relação a outra. Assim, com base nas derivadas, cientistas podem prever como e quanto a mancha de óleo está crescendo a cada instante e onde ela estará em determinado momento, podendo tomar decisões estratégicas para minimizar o desastre. Um filme cinematográfico é uma série de figuras (estáticas), onde é comum cada uma delas ser quase imperceptivelmente distintas das vizinhas; cada um desses fotogramas mostra o que foi filmado em dadas posições num determinado instante de tempo. Quando o filme é rodado a uma velocidade adequada, num projetor, as figuras superpõem-se e é criada a ilusão do movimento, tendo aí a presença da derivada. Enfim, derivadas tem sido usado por engenheiros, físicos, astrônomos, químicos, biólogos, economistas e por profissionais de outras áreas do conhecimento. EXERCICIO 01 Um campo retangular está limitado por uma cerca em três de seus lados e por um córrego reto no quarto lado. Encontre as dimensões do campo com área máxima que pode ser cercado com 1.000 metros de cerca. RESOLUÇÃO: Desenhei a figura para visualizar melhor o problema: Área: A= x . y Perímetro: 2x + y = 1.000 -----> y = 1.000 - 2x A = x . y ---> A = x . (1.000 - 2x) Temos a função: A(x) = 1.000x - 2x² Queremos o máximo, usamos nossos conhecimentos de análise gráfica, analisamos o máximo com a primeira derivada da função. A'(x) = 1000 - 4x ---> (achando a raiz) 1000 - 4x = 0 ----> -4x = -1000 ----> x = 250 metros Substituindo e analisando a derivada para ver se é ponto de máximo: A'(249) = 1.000 - 4.(249) = 4 > 0 A'(251) = 1.000 - 4.(251) = -4 < 0 É um ponto de máximo, x = 250 é máximo. y = 1000 - 2x = 1.000 - 2.(250) = 500 metros. Área máxima = 250 . 500 = 125.000 m² EXERCICIO 02 Uma indústria elétrica vende estabilizadores a R$ 80,00 por unidade. Se o custo de produção total diário em reais para x unidades é dado por C(x) = 100 + 50x + 0,25x², quantos estabilizadores devem ser fabricados diariamente para maximizar o lucro? Qual o valor do lucro máximo? RESOLUÇÃO: Lucro = rendimento - custo (rendimento é o total de estabilizadores vendidos 80 . x) L(x) = 80x - (100 + 50x + 0,25x² )---> -100 + 30x - 0,25x² Analisaremos a derivada: L'(x) = 30 - 0,5x ---> 30 - 0,5x = 0 ---> - 0,5x = -30 ---> x = 60. L'(59) = 30 - 0,5(59) = + 0,5 > 0 L'(61) = 30 - 0,5(61) = - 0,5 < 0 Analisando, os sinais da derivada, x = 60, são máximos. Portanto, para maximizar o lucro devem ser fabricadas 60 unidades. Para achar o valor do lucro máximo, basta substituir x = 60 na fórmula do lucro: L(60) = -0,25(60)² + 30(60) - 100 = R$ 800,00 EXERCICIO 03 Encontre os intervalos nos quais f(x) = x² - 4x + 3 é crescente e o intervalo nos quais é decrescente. RESOLUÇÃO: Primeiro derivamos e depois achamos as raízes que são os pontos críticos da função e analisamos o intervalo delas. f '(x) = 2x - 4 ---> 2x - 4 = 0 ---> x = 2 (achei a raiz da derivada) Para analisar um intervalo substituo um valor do intervalo na equação e verifico se é negativo ou positivo. INTERVALOS f ‘(x) = 2x – 4 f(x) = x² - 4x + 3 (-∞, 2] f ‘(x) = 2(1) – 4 = (-) Decrescente [2,+ ∞) f ‘(x) = 2(3) – 4 = (+) Crescente Note que a função f(x) = x² - 4x + 3, construindo seu gráfico em (-∞, 2] é decrescente, e em [2,+ ∞) vai ser crescente. Na verdade, é muito provável que já utilizamos derivadas para fazer diversos cálculos. Simplificadamente, tudo que envolve uma taxa de variação pode ser entendido como uma derivada. FIM! BIBLIOGRAFIA https://www.andremachado.blog.br/2013/08/30/algumas-aplicacoes-do-calculo-em-nosso-dia-a-dia/ http://blogengenhariarodrigo.blogspot.com.br/2014/09/derivada.html https://br.portalprofes.com/LEANDROCUSTODIO/blog/aplicacoes-matematicas
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