Respostas Lista 3 Funções

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Lista 3 - Respostas
A - Relac¸o˜es
1.
2. (a) A×B = {(1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (4, 0), (4, 1), (4, 2)}
(b) A× C = {(1,−1), (1, 0), (2,−1), (2, 0), (4,−1), (4, 0)}
(c) B × C = {(0,−1), (0, 0), (1,−1), (1, 0), (2,−1), (2, 0)}
(d) C ×B = {(−1, 0), (−1, 1), (−1, 2), (0, 0), (0, 1), (0, 2)}
(e) B2 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2)}
(f) C2 = {(−1,−1), (−1, 0), (0,−1), (0, 0)}
3.
4.
5. Para cada uma das relac¸o˜es bina´rias em R, determine o domı´nio, a imagem e esboce a figura
que represente sua regia˜o no plano.
(a) D = R, Im = {y ∈ R : y ≤ 2}
(b) D = R, Im = R
(c) D = [−5, 5], Im = [−5, 5]
(d) D = R, Im = R
(e) D = R, Im = R
(f) D = [−3, 3], Im = [−1, 1]
(g) D = R, Im = R
(h) D = {x ∈ R : x ≥ 2}, Im = {y ∈ R :
y > 4}
(i) D = R+, Im = R+
(j) D = {x ∈ R : −3 ≤ x ≤ 4}, Im = {y ∈
R : 0 < y < 4}
(k) D = R, Im = R
6. (a) R = {(x, y) ∈ R2 : y > −1}
(b) R = {(x, y) ∈ R2 : y < 2}
(c) R = {(x, y) ∈ R2 : x + y < 2}
(d) R = {(x, y) ∈ R2 : x2
4
+ y2 <= 1}
(e) R = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}
(f) R = {(x, y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 e − 1 ≤
x < 1}
7. A× A ⊂ A×B ⊂ A× C ⊂ B × C ⊂ C × C
A× A ⊂ A×B ⊂ B ×B ⊂ B × C ⊂ C × C
A× A ⊂ B × A ⊂ B ×B ⊂ C ×B ⊂ C × C
A× A ⊂ B × A ⊂ C × A ⊂ C ×B ⊂ C × C
8. A = {−2, 0, 1, 3}; A2 = {(−2,−2), (−2, 0), (−2, 1), (−2, 3), (0,−2), (0, 0), (0, 1), (0, 3), (1,−2),
(1, 0), (1, 1), (1, 3), (3,−2), (3, 0), (3, 1), (3, 3)}
9. A = {−1, 0, 2}, B = {−1, 0, 2, 5}, A×B = {(−1,−1), (−1, 0), (−1, 2), (−1, 5), (0,−1), (0, 0),
(0, 2), (0, 5), (2,−1), (2, 0), (2, 2), (2, 5)}
10. (a) va´rios-para-va´rios
(b) va´rios-para-um
(c) um-para-um
(d) um-para-va´rios
11. (a) (3, 17), (2, 1), (0, 0)
(b) nenhum
(c) (1, 5), (2, 8), (3), 15
(d) (1, 1), (4, 8)
12. R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (3, 5), (4, 1),
(4, 3), (4, 5), (5, 1), (5, 1), (5, 3), (5, 4), (5, 6), (6, 1), (6, 5)}
13. (c) D = {x ∈ R : 2 ≤ x ≤ 6}, Im = {y ∈ R : 1 ≤ y ≤ 3}
14. (b) R1 ∩R2 = ∅
(c) D(R1) = {−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}, Im(R1) = {−2,−1, 0, 1, 2, 3}; D(R2) = {−2, 0, 1, 2, 3, 4, 5},
Im(R2) = {−2,−1, 0, 1, 2, 3}
15.
B - Func¸o˜es: definic¸a˜o, domı´nio e imagem
16. (a) na˜o e´ func¸a˜o de A em B, pois 2 ∈ A na˜o esta´ associado a nenhum elemento de B
(b) na˜o e´ func¸a˜o de A em B, pois 1 ∈ A esta´ associado a dois elementos de B
(c) e´ func¸a˜o de A em B, pois todo elemento de A esta´ associado a um u´nico elemento de
B
(d) e´ func¸a˜o de A em B, pois todo elemento de A esta´ associado a um u´nico elemento de
B
17.
(a) na˜o e´ func¸a˜o de A em B
(b) na˜o e´ func¸a˜o
(c) na˜o e´ func¸a˜o
(d) e´ func¸a˜o
18. (a) na˜o e´ func¸a˜o
(b) e´ func¸a˜o
(c) e´ func¸a˜o
(d) e´ func¸a˜o
(e) na˜o e´ func¸a˜o
(f) na˜o e´ func¸a˜o
19. (a) −263
98
(b)
9x− 7
3x− 9
(c) − 1
13
(d)
−22t2 + 38t− 88
−7t2 + 53t− 28
(e)
20
7(h− 7)
20. (a) f(3) = 1
(b) f(
√
4) = 1
(c) f(−3
7
) = 1
(d) f(
√
3− 1) = √3
(e) f(0, 75) = 1
21. (a) −2
(b) 2, 8
(c) −3; 1
(d) −2, 5; 0, 3
(e) [−3, 3], [−2, 3]
(f) [−1, 3]
22. (a) −2, 5; 4
(b) −2; 2
(c) 2, 5
(d) [0, 4]
(e) [−4, 4]; [−2, 3]
(f) [−4, 3]; [0.5, 4]
23. (a) Im = {−2, 0, 2}
(b) Im = {y ∈ R : −2 ≤ y ≤ 2}
(c) Im = {y ∈ R : y = 1 e y ≥ 2}
(d) Im = R
(e) Im = {y ∈ R : 0 ≤ y ≤ 2 e y > 4}
(f) Im = {y ∈ R : y ≤ 1}
24. x = 2 e x = 3
25. D = {x ∈ R : x 6= 1}; x = −4
26. (a) D = {x ∈ R : x 6= 3}
(b) D = {x ∈ R : √2 ≤ x ou x ≤ −√2}
(c) D = {x ∈ R : x 6= 0}
(d) D = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1
3
}
(e) D = {x ∈ R : x ≥ 0}
(f) D = {x ∈ R : x ≥ 0}
(g) D = {x ∈ R : x ≤ 1 ou x ≥ 3}
(h) D = {t ∈ R : t ≤ 2}
(i) D = {x ∈ R : x 6= ±2}
(j) D = R
(k) D = {x ∈ R : −2 ≤ x ≤ 2 ou x > 4}
(l) D = {x ∈ R : x 6= 1/3}
(m) D = [0,∞)
(n) D = (−∞, 0) ∪ (5,∞)
(o) D = (−∞,∞)
(p) D = (−∞,∞)
(q) D = [5,∞)
(r) D = (−∞, 0) ∪ (0,∞)
(s) D = (−∞,∞)
(t) D = (−∞,∞)
(u) D = {x ∈ R : x < −1 ou x ≥ 0}
(v) D = {x ∈ R : x ≥ 0 e x 6= 1}
(w) D = (−1,+∞)
27. Na˜o sa˜o iguais, pois para x < 0 segue que
√
x2 6= x
28. Df = {x ∈ R : x < −1ex ≥ 1} e Dg = {x ∈ R : x ≥ 1}, logo as func¸o˜es sa˜o iguais em
{x ∈ R : x ≥ 1}.
29. Domı´nio de ambas func¸o˜es sa˜o {x ∈ R : −1 ≤ x < 0 ou x > 1}, portanto neste intervalo as
func¸o˜es sa˜o iguais.
30. Na˜o. O domı´nio das func¸o˜es e´ diferente, pois 1 pertence ao domı´nio da f e na˜o pertencem
ao domı´nio da g.
C - Func¸o˜es de primeiro grau
31.
32. (a) S = {(3, 2)}
(b) S = {(2,−1)}
(c) S = ∅
(d) S = {(−2, 4)}
(e) S = {(0, 0)}
(f) S = {(3, 1)}
(g) S = {(2, 1)}
33. (a) y = 5
2
x− 11
2
(b) y = 2x− 1
(c) y = x− 5
(d) y = 2
(e) y = 1−3x
2
34. (a) y = 2x + 1
(b) y = −3x− 2
(c) y = −x
2
− 1
2
(d) y = x + 4
35. (a) y = 3
2
x + 4
(b) y = −x
3
− 3
(c) y = −2x + 3
(d) y = x− 1
36. (a) crescente; f(x) = 0 para x = −3
2
; f(x) > 0 para x > −3
2
; f(x) < 0 para x < −3
2
(b) decrescente; f(x) = 0 para x = 4; f(x) > 0 para x < 4; f(x) < 0 para x > 4;
(c) decrescente; f(x) = 0 para x = 6; f(x) > 0 para x < 6; f(x) < 0 para x > 6;
(d) crescente; f(x) = 0 para x = −5; f(x) > 0 para x > −5; f(x) < 0 para x < −5;
(e) decrescente; f(x) = 0 para x = 3; f(x) > 0 para x < 3; f(x) < 0 para x > 3;
(f) decrescente; f(x) = 0 para x = 0; f(x) > 0 para x < 0; f(x) < 0 para x > 0;
37. (a) crescente para m > −2; decrescente para m < −2; constante para m = −2
(b) crescente para m < −3; decrescente para m > −3; constante para m = −3
(c) crescente para m < 4; decrescente para m > 4; constante para m = 4
(d) crescente para m > 1; decrescente para m < 1; constante para m = 1
38. (a) S = {x ∈ R : −1
3
< x < 5
3
}
(b) S = {x ∈ R : 1
2
≤ x < 4}
(c) S = {x ∈ R : −1
3
< x < 1}
(d) S = ∅
(e) S = {x ∈ R : x > 1}
39. (a) S = {x ∈ R : x < −3}
(b) S = {x ∈ R : 3 ≤ x ≤ 6}
(c) S = ∅
(d) S = {x ∈ R : −1 < x < 1}
D - Func¸o˜es de segundo grau
40. (a) Raiz: x = 0. Ponto de mı´nimo: (0, 0). Im = R+. Decrescente: (−∞, 0]. Crescente:
[0,∞). f(x) > 0,∀x ∈ R∗; f(x) = 0 se x = 0.
(b) Na˜o possui ra´ızes reais. Ponto de mı´nimo (0, 1). Im = [1,∞). Decrescente: (−∞, 0].
Crescente: [0,∞). f(x) > 0,∀x ∈ R.
(c) Ra´ızes: x = −1 e x = 1. Ponto de mı´nimo: (0,−1). Im = [−1,∞). Decrescente:
(−∞, 0]. Crescente: [0,∞). f(x) > 0, para x < −1 ou x > 1; f(x) = 0 se x = ±1;
f(x) < 0 para x ∈ (−1, 1).
(d) Raiz: x = 1. Ponto de mı´nimo: (1, 0). Im = R+. Decrescente: (−∞, 1]. Crescente:
[1,∞). f(x) > 0,∀x ∈ R− {1}; f(x) = 0 se x = 1.
(e) Raiz: x = −1. Ponto de mı´nimo: (−1, 0). Im = R+. Decrescente: (−∞,−1].
Crescente: [−1,∞). f(x) > 0,∀x ∈ R− {−1}; f(x) = 0 se x = −1.
(f) Raiz: x = 0. Ponto de ma´ximo: (0, 0). Im = R−. Decrescente: [0,∞). Crescente:
(−∞, 0]. f(x) < 0,∀x ∈ R− {0}; f(x) = 0 se x = 0
(g) Ra´ızes: x = −1
2
e x = 1. Ponto de ma´ximo:
(
1
4
, 9
16
)
. Im =
(−∞, 9
16
]
. Decrescente:[
1
4
,+∞). Crescente: (−∞, 1
4
]
. f(x) > 0, para x ∈ (−1
2
, 1
)
; f(x) = 0 se x = −1
2
ou
x = 1; f(x) < 0 para x < −1
2
ou x > 1.
(h) Raiz: x = 3
2
. Ponto de mı´nimo:
(
3
2
, 0
)
. Im = R+. Decrescente:
(−∞, 3
2
]
. Crescente:[
3
2
,∞). f(x) > 0,∀x ∈ R− {3
2
}; f(x) = 0 se x = 3
2
.
(i) Ra´ızes: x = 1 e x = 2. Ponto de mı´nimo:
(
3
2
,−3
4
)
. Im =
[−3
4
,∞). Decrescente:(−∞, 3
2
]
. Crescente:
[
3
2
,∞). f(x) > 0 para x > 2 ou x < 1; f(x) = 0 se x = 1 ou
x = 2; f(x) < 0 para x ∈ (1, 2).
(j) Na˜o possui ra´ızes reais. Ponto de mı´nimo
(−1, 1
2
)
. Im =
[
1
2
,∞). Decrescente:
(−∞,−1]. Crescente: [−1,∞). f(x) > 0,∀x ∈ R.
(k) Ra´ızes: x = 0 e x = 4. Ponto ma´ximo: (2, 12). Im = (−∞, 12]. Crescente: (−∞, 2].
Decrescente: [2,∞). f(x) > 0,x ∈ (0, 4); f(x) = 0 se x = 0 ou x = 4, f(x) < 0 para
x < 0 ou x > 4.
(l) Ra´ızes: x = 5−
√
21
2
e x = 5+
√
21
2
. Ponto de ma´ximo:
(
5
2
, 21
4
)
. Im =
(−∞, 21
4
]
. Crescente:(−∞, 5
2
]
. Decrescente:
[
5
2
,∞). f(x) > 0 se x ∈ (5−√21
2
, 5+
√
21
2
)
, f(x) = 0 se x = 5−
√
21
2
ou x = 5+
√
21
2
, f(x) < 0 para x < 5−
√
21
2
ou x > 5+
√
21
2
.
(m) Na˜o possui ra´ızes reais. Ponto de ma´ximo:
(
3
4
,− 1
16
)
. Im =
(−∞,− 1
16
]
. Crescente:(−∞, 3
4
]
. Decrescente:
[
3
4
,∞). f(x) < 0,∀x ∈ R.
(n) Na˜o possui ra´ızes reais. Ponto de mı´nimo: (1, 1). Im = [1,∞]. Crescente: (1,∞).
Decrescente: (−∞, 1). f(x) > 0,∀ ∈ R.
(o) Raiz: x = 2. Ponto de ma´ximo: (2, 0). Im = R−. Crescente: (∞, 2]. Decrescente:
[2,∞). f(x) = 0 para x = 2, f(x) < 0,∀x ∈ R− {2}.
(p) Ra´ızes: x = −8 e x = 0. Ponto de mı´nimo: (−4,−8). Im = [−8,∞]. Crescente:
[−4,∞). Decrescente: (−∞,−4]. f(x) > 0 para x < −8 ou x > 0; f(x) = 0 para
x = −8 ou x = 0; f(x) < 0 para x ∈ (−8, 0).
41. f(x) = −2x2 + 3x + 1
42. (a) m 6= 0; m > −1
4
(b) m > − 9
16
e m 6= 1
(c) m ≤ 17
16
e m 6= −2
(d) m = 3+2
√
3
3
ou m = 3−2
√
3
3
(e) m < −13
12
43. (a) x2 − 4 = 0
(b) 4x2 + 4x− 3 = 0
(c) x2 − 5, 4x + 2 = 0
(d) x2 − 2x− 2 = 0
44. m = 2
45. m = −2 ou m = 1
46. m = 10
3
47. m =
√
10 ou m = −√10
48. (a) S = R
(b) S = {1}
(c) S = {x ∈ R : −1
2
≤ x ≤ 2}
(d) S = ∅
(e) X = {x ∈ R : −1 < x < 1 ou 2 < x < 3}
(f) S = {x ∈ R : x = −3 ou 1 ≤ x ≤ 2}
(g) S = {x ∈ R : x ≤ −1 ou 0 < x ≤ 1
2
ou x > 2}
(h) S = {x ∈ R : 4 < x ≤ 6}
(i) S = {x ∈ R : x < −5
4
ou − 1
2
< x < 1 ou x > 2}
E - Func¸o˜es modulares e func¸o˜es por partes
49.
(a) D = R; Im = R+
(b) D = R; Im = [−1,∞)
(c) D = R; Im = R+
(d) D = R; Im = [−3,∞)
(e) D = R∗; Im = {−1, 1}
(f) D = R− {−1}; Im = {−1, 1}
(g) D = R; Im = [−2,∞)
(h) D = R; Im = [−3,∞)
(i) D = R; Im = R
(j) D = R; Im = R+
(k) D = R; Im = R+
(l) D = R; Im = [−1,∞)
(m) D = R; Im = R+
(n) D = R; Im = R+
(o) D = R; Im = R+
(p) D = R; Im = R+
(q) D = R; Im = (−∞, 1] ∪ [0,−∞)
(r) D = R; Im = (−∞, 4)
(s) D = R; Im = [3,∞)
50. f(x) =
 −x + 3, se 0 ≤ x ≤ 32x− 6, se 3 < x ≤ 5
F - Func¸o˜es poteˆncia, raiz, racionais e impl´ıcitas
51. (a) D = R; Im = R
(b) D = R; Im = R
(c) D = R; Im = R
(d) D = R; Im = R
(e) D = R; Im = R+
(f) D = R; Im = R
(g) D = R; Im = R
(h) D = [−3,∞); Im = R+
(i) D = [1,∞); Im = R+
(j) D = [−1,∞); Im = R+
(k) D = [1,∞); Im = [1,∞)
(l) D = R−; Im = R+
(m) D = R+; Im = R−
(n) D = R; Im = R
(o) D = R∗; Im = R∗
(p) D = R∗; Im = R∗
(q) D = R∗; Im = R∗+
(r) D = R− {−1}; Im = R∗
(s) D = R− {−1}; Im = R∗
(t) D = R− {−2}; Im = R∗+
(u) D = R− {1}; Im = R∗
(v) D = R− {0}; Im = R∗
(w) D = R− {1}; Im = R− {1}
52. (a) f(x) = 1−√−x
(b) f(x) =

−3
2
− 3, se x ≤ 2
√
4− x2, se − 2 ≤ x ≤ 2
3
2
x− 3, se x ≥ 2
53.
54. (a) g
(b) a
(c) d
(d) g
(e) h
(f) d
G - Operac¸o˜es com func¸o˜es, func¸o˜es compostas, func¸o˜es pares, ı´mpares,
simetria, reflexa˜o, deslocamentos
55. (a) y = 2
√
3(x− 2)− (x− 2)2
(b) y = −√3(x + 4)− (x + 4)2 − 1
56. (a) y = f(x) + 3
(b) y = f(x)− 3
(c) y = f(x− 3)
(d) y = f(x + 3)
(e) y = −f(x)
(f) y = f(−x)
(g) y = 3f(x)
(h) y = 1
3
f(x)
57.
58. (a) f e´ impar; g e´ par (b) f na˜o e´ par nem ı´mpar; g e´ par
59. (a) (−5, 3)
(b) (−5,−3)
60.
61. (a) par
(b) ı´mpar
(c) par
(d) par
(e) nenhum
(f) nenhum
(g) ı´mpar
(h) ı´mpar
(i) par
(j) ı´mpar
62. (a) sime´trico em relac¸a˜o a` origem.
(b) sime´trico em relac¸a˜o ao eixo y.
(c) sime´trico em relac¸a˜o ao eixo y.
(d) sime´trico em relac¸a˜o a` origem.
63. (a) D = R∗
(b) D = R∗+
(c) D = R∗+
(d) D = R∗
(e) D = R∗
64. (a) g(f(x)) = |x|
(b) g(f(x)) = 3x + 7
(c) g(f(x)) = −2x− 1
(d) g(f(x)) = x
2+4
x2+1
(e) g(f(x)) = 6
√
2 + x2
(f) g(f(x)) =
√
x2 − x
(g) g(f(x)) = −4x2 + 30x− 17
H - Func¸o˜es sobrejetoras, injetoras, bijetoras e inversas
65.
66.
67. (a) injetora
(b) na˜o e´ injetora
(c) na˜o e´ injetora
(d) injetora
68. (a) bijetora
(b) na˜o e´ sobrejetora e nem injetora
(c) na˜o e´ sobrejetora e nem injetora
(d) bijetora
(e) bijetora
(f) sobrejetora
(g) bijetora
(h) injetora
(i) bijetora
(j) na˜o e´ sobrejetora e nem injetora
(k) na˜o e´ sobrejetora e nem injetora
69. b = 2
70. a = 3
4
71. 12
72. 6
73. 24
74. 1 : {(a, p), (b, p), (c, q)}; 2 : {(a, p), (b, q), (c, q)}; 3 : {(a, p), (b, q), (c, p)}; 4 : {(a, q), (b, p), (c, p)};
5 : {(a, q), (b, q), (c, p)}; 6 : {(a, q); (b, p), (c, q)}
75. 1 : {(a, p), (b, q)}; 2 : {(a, p), (b, r)}; 3 : {(a, q), (b, q)}; 4 : {(a, q), (b, r)}; 5 : {(a, r), (b, p)};
6 : {(a, r), (b, q)}
76. f−1(9) = 2
77. (a)
(b) D = [−1, 3]; Im = [−3, 3]
(c) f−1(2) = 0?
(d) f−1(0) ≈ −1, 5.
78. (a) f−1(x) = x−3
2
(b) f−1(x) = 3x+1
4
(c) f−1(x) = 3
√
x− 2
(d) f−1(x) = 3
√
x− 2 + 1
(e) f−1(x) = x3 − 2
(f) f−1(x) = 3
√
1− x3
(g) f−1(x) = 10−x
2
3
(h) f−1(x) = 3
√
x−3
2
79. Na˜o, pois f na˜o e´ injetora.
80. f−1(x) = −√x
81.
I - Resoluc¸a˜o de problemas
82. (a) A direc¸a˜o e´ oposta ao lanc¸amento.
(b) t = 2 segundos.
(c) A acelerac¸a˜o e´ constante.
83. (a) F = 9
5
x + 32
(b) −40oC
(c) 37oC
84. (a) -
(b) k = 1
273
(c) R0 =
3003
2930
(d) T = 126, 54oC
85. (a) N m
(b) k = 20Nm
(c) -
(d) -
86. x = 2 e z = 4
87. Quadrado
88. 40
pi+4
e 10pi
pi+4
89. x = 4 e y = 3
90. x = y = 3