Exercício TEORIA DAS ESTRUTURAS 01

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CCE0370	- Teoria das	Estruturas I
Aula	01	– Introdução
Mapa	Conceitual
2	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 2
Material	didático	e	Bibliografia
Maria	Cascão	Ferreira	de	Almeida,	Estruturas	Isostáticas,	editora:	
Oficina	de	Textos,	edição:	1,	ano:	2009
MARTHA,	L.	F.	C.	R.	Análise	de	estruturas:	conceitos	e	métodos	
básicos.	Rio	de	Janeiro:	Elsevier,	2010.	
2	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 3
• SAVA	– Sala	de	Aula	Virtual	no	SIA
• http://apoio.nascimento.eng.br/teo_estruturas1/
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Usuário:	aluno
Senha:	estacio
FTOOL:	www.tecgraf.puc-rio.br/ftool/
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Introdução	a	Análise	de	Estruturas
(Material	do	Prof.	Luiz	Fernando	Martha	– PUC-Rio)
• Processo	do	Projeto	Estrutural
– Concepção	(arquitetônica)	da	obra	Þ atendimento	às	necessidades	
funcionais	e	econômicas
– Anteprojeto	estrutural	Þ plantas	de	forma	(concreto	armado)	Þ
orçamento
– Análise	Estrutural	Þ previsão	do	comportamento	da	estrutura
– Dimensionamento	Þ verificação	das	hipóteses	do	anteprojeto
– Detalhamento	Þ especificação	detalhada	da	construção
– Documentação	Þ informações	necessárias	para	construção
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Introdução	a	Análise	de	Estruturas
(Material	do	Prof.	Luiz	Fernando	Martha	– PUC-Rio)
• Análise	Estrutural
– É	a	etapa	do	projeto	estrutural	onde	é	feita	uma	previsão	sobre	o	
comportamento	da	estrutura.
– Isto	é	uma	simulação	de	como	a	estrutura	responde	a	todas	as	
solicitações.
– Para	esta	simulação	é	criado	um	modelo	matemático,	denominado	
Modelo	Estrutural.
• Quatro	níveis	de	abstração	da	estrutura	na	Análise	Estrutural:
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 Modelo 
Discreto 
Estrutura 
Real 
Modelo 
Estrutural 
Modelo 
Computacional 
Métodos de Análise Implementação Idealização 
Estrutura	Real	 Modelo	estrutural	bidimensional	(fatia	do	prédio)
(Concreto	Armado	Eu	te	amo,	pag.	17)
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Resultados	da	Análise	Estrutural:
– O	comportamento	estrutural	é	caracterizado	por:
– Deslocamentos	e	deformações
– Esforços	internos	(momentos	fletores,	esforços	normais,	esforços	
cortantes,	etc.)	e	tensões
– Reações	de	apoio
Configuração	Deformada Diagrama	de	Momentos	Fletores
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Hipóteses	(simplificações)	adotadas	na	criação	do	Modelo	
Estrutural
• Com	respeito	à	geometria:
Modelo	de	barras	ou	contínuo,	modelo	bi	ou	tridimensional,	etc.?
Como	representar	os	elementos	estruturais:	vigas,	pilares,	lajes,	
etc.?
• Sobre	as	condições	de	suporte:
Como	a	estrutura	se	conecta	com	o	meio	externo?
Que	tipos	de	apoio	considerar?
• Com	respeito	ao	comportamento	dos	materiais:
Como	representar	matematicamente	um	material?
• Sobre	as	solicitações:
Como	representar	as	cargas	que	atuam	na	estrutura?
Quais	são	os	tipos	de	solicitação:	peso	próprio,	vento,	cargas	de	
ocupação	de	prédios,	variação	de	temperatura?
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Modelo	de	estruturas	reticuladas
• É	o	modelo	de	estruturas	formadas	por	barras	(elementos	estruturais	que	
têm	um	eixo	claramente	definido).		Estes	são	os	tipos	mais	comuns	de	
estruturas,	tais	como	a	estrutura	de	uma	cobertura	ou	o	esqueleto	de	um	
edifício	metálico.		Mesmo	em	casos	de	estruturas	nas	quais	nem	todos	os	
elementos	estruturais	podem	ser	considerados	como	barras	(como	é	o	caso	
de	edifícios	de	concreto	armado),	é	comum	analisar	o	comportamento	
global	ou	parcial	da	estrutura	utilizando-se	um	modelo	de	barras.
• No	caso	de	estruturas	reticuladas,	o	modelo	estrutural	tem	características	
que	são	bastante	específicas.		
• O	modelo	matemático	deste	tipo	de	estrutura	usa	o	fato	de	os	elementos	
estruturais	terem	um	eixo	bem	definido	e	está	embasado	na	Teoria	de	Vigas	
de	Navier,	que	rege	o	comportamento	de	membros	estruturais	que	
trabalham	à	flexão,	acrescida	de	efeitos	axiais	e	de	torção.
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Classificação	dos	modelos	de	estruturas	reticuladas
• Quadro	plano
• 𝑥 - deslocamento	na	direção	do	eixo	global	X;
• 𝑦	- deslocamento	na	direção	do	eixo	global	Y;
• 𝑧	- rotação	em	torno	do	eixo	global	Z.
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X 
Y 
HA 
MA 
VA 
HB 
VB 
P q 
x
CD 
x
DD 
y
CD 
y
DD 
X 
Y 
z
Cq 
z
Dq 
z
Bq 
Classificação	dos	modelos	de	estruturas	reticuladas
• Treliça	plana
• Ligações	entre	barras	articuladas	(rótulas)	Þ as	barras	só	estão	
solicitadas	as	esforços	axiais	(normais)
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X 
Y 
N 
N 
Classificação	dos	modelos	de	estruturas	reticuladas
• Grelha
• 𝑧 - deslocamento	na	direção	do	eixo	global	Z;
• 𝑥	- rotação	em	torno	do	eixo	global	X;
• 𝑦	- rotação	em	torno	do	eixo	global	Y.
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VA 
VB q 
zD 
X Y 
Z 
x
AM 
y
AM 
xq 
yq 
Comparação	entre	quadro	plano	e	grelha
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VA 
VB q 
zD 
X Y 
Z 
x
AM 
y
AM 
xq 
yq 
 
X 
Y 
HA 
MA 
VA 
HB 
VB 
P q 
x
CD 
x
DD 
y
CD 
y
DD 
X 
Y 
z
Cq 
z
Dq 
z
Bq 
	 Quadro	Plano	 Grelha	Deslocamento	em	X	 x 	 0=x 	Deslocamento	em	Y	 y 	 0=y 	Deslocamento	em	Z	 0=z 	 z 	Rotação	em	torno	de	X	 0=x 	 x 	Rotação	em	torno	de	Y	 0=y 	 y 	Rotação	em	torno	de	Z	 z 	 0=z 		
Classificação	dos	modelos	de	estruturas	reticuladas
• Quadro	espacial
• Cada	ponto	de	um	quadro	espacial	pode	ter	três	componentes	de	
deslocamento	 ∆&, ∆(	𝑒	∆* e	três	componentes	de	rotação	 𝜃&, 𝜃(	𝑒	𝜃* .
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X Y 
Z 
zP 
xP 
yP 
zq 
Condições	básicas	da	Análise	Estrutural
• As	condições	matemáticas	que	o	modelo	estrutural	tem	que	satisfazer	para	representar	
adequadamente	o	comportamento	da	estrutura	real	podem	ser	dividas	nos	seguintes	grupos:
• Condições	de	equilíbrio.
São	condições	que	garantem	o	equilíbrio	estático	de	qualquer	porção	isolada	da	estrutura	ou	da	
estrutura	como	um	todo.
• Condições	de	compatibilidade	entre	deslocamentos	e	deformações.
São	condições	geométricas	que	devem	ser	satisfeitas	para	garantir	que	a	estrutura,	ao	se	deformar,	
permaneça	contínua	(sem	vazios	ou	sobreposição	de	pontos)	e	compatível	com	seus	vínculos	externos.		
Tipos	de	condições	de	compatibilidade:
– Continuidade	interna
• No	interior	das	barras
• Nas	ligações	das	barras
– Compatibilidade	externa	(modelo	tem	que	satisfazer	as	condições	de	suporte	adotadas).
• Condições	sobre	o	comportamento	dos	materiais	que	compõem	a	estrutura	(leis	constitutivas	dos	
materiais)
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Princípios	físicos	básicos	para	as	condições	de	equilíbrio
• As	condições	de	equilíbrio garantem	o	equilíbrio	estático	de	qualquer	porção	isolada	da	
estrutura	ou	da	estrutura	como	um	todo.		Elas	estão	baseadas	nas	três	leis	de	Newton:
– 1ª	Lei	de	Newton (Princípio	da	Inércia):	“Todo	corpo	permanece	em	seu	estado	de	repouso	
ou	de	movimentos	retilíneo	uniforme	até	que	uma	ação	externa,	não	equilibrada,	atue	sobre	
ele.”
– 2ª	Lei	de	Newton:	“A	partir	do	momento	em	que	o	corpo	ficar	submetido	à	ação	de	uma	
força	resultante	F,	o	corpo	irá	adquirir	uma	aceleração	a,	de	tal	forma	F =	ma,	sendo	m a	
massa	do	corpo.”
– 3ª	Lei	de	Newton:	“A	toda	ação	corresponde	uma	reação	de	mesma	intensidade	e	de	sentido	
contrário.”
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Unidades	de	força
1	N	(Newton)	é	a	força	cuja	intensidade	é	capaz	de	deslocar	uma	massa	de	1	kg	com	a	aceleração	de	1m/seg2.
1	kN (kilo-Newton)	=	1000	N.
1	kgf	(kilograma-força)	é	a	força	cuja	intensidade	é	capaz	de	deslocar	uma	massa	de	1	kg	com	a	aceleração	da	gravidade:	1	kgf	=	kg	g.
Para	conversão,	será	adotada	a	aceleração	da	gravidade	g =	10	m/seg2.
1	kgf	=	10	N.
1	tf	(tonelada-força)	é	a	força	cuja	intensidade	é	capaz	de	deslocar	uma	massa	de	1	tonelada	(1000	kg)	com	a	aceleração	da	gravidade:	1	tf	=	
1000	kg	g =	1000	kgf
1	tf	=	10	kN.
Discussão	sobre	as	leis	de	Newton	no	contexto	da	análise	de	
estruturas
• Estruturas	civis	estão	sempre	em	estado	de	repouso	(velocidade	e	aceleração	nulas).		
Portanto,	“a	força	resultante	em	uma	estrutura	deve	ser	nula”.
• Lembre-se	que	uma	força	é	uma	grandeza	vetorial,	com	intensidade,	direção	e	
sentido.		
• Para	o	caso	de	quadros	planos,	a	imposição	de	resultante	de	força	nula	fornece	duas	
condições	para	o	equilíbrio	global	da	estrutura:
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Discussão	sobre	as	leis	de	Newton	no	contexto	da	análise	
de	estruturas
• Uma	estrutura	tem	dimensões	grandes	
e	tem	comportamento	diferente	de	
uma	partícula	sem	dimensão.		
• Além	disso,	as	cargas	atuam	em	uma	
estrutura	em	vários	pontos	de	
aplicação.		Nesse	caso,	a	ação	à	
distância	de	uma	força	deve	ser	
considerada.	
• O	efeito	de	uma	força	F atuando	à	
distância	h é	chamado	de	momento:	
M =	F x h
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Discussão	sobre	as	leis	de	Newton	no	contexto	da	análise	
de	estruturas
• Assim,	a	2ª	lei	de	Newton,	para	estruturas	em	repouso,	pode	ser	estendida	para	momentos:	“o	
momento	resultante	em	uma	estrutura	deve	ser	nulo”.		No	caso	de	quadros	planos,	isso	resulta	em	
mais	uma	condição	para	o	equilíbrio	global	da	estrutura:
• Essa	condição	de	equilíbrio	garante	que	o	corpo	não	vai	girar:
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Estruturas	civis	se	deformam	quando	submetidas	
a	solicitações	(cargas,	etc.).		Mas	as	deformações	
e	os	deslocamentos	de	estruturas	são	muito	
pequenos,	a	ponto	de	serem	desprezados	
quando	são	impostas	condições	de	equilíbrio.		
Isto	é,	as	condições	de	equilíbrio	são	impostas	
para	a	geometria	original	(indeformada)	da	
estrutura.		Esta	hipótese	é	chamada	de	hipótese	
de	pequenos	deslocamentos.
A	3ª	lei	de	Newton	(princípio	de	ação	e	reação)	é	aplicável	a	todas	as	estruturas	recebendo	
cargas	e	que	estejam	em	equilíbrio.		Esse	princípio	vale	para	forças	em	qualquer	direção	e	
para	momentos.
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As	2ª	e	3ª	leis	de	Newton	também	se	aplicam	para	qualquer	porção	isolada	da	estrutura.		Isto	é,	qualquer	
barra,	qualquer	nó	ou	qualquer	trecho	da	estrutura	tem	que	isoladamente	satisfazer	as	condições	de	
equilíbrio.		Isso	vai	resultar	no	conceito	de	esforço	interno.		Veja,	por	exemplo,	o	esforço	interno	axial	em	
um	cabo:
• Tração	de	um	cabo
• Esforço	interno	axial	(esforço	normal)
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Mais	adiante	os	esforços	internos	vão	ser	definidos	
para	cada	tipo	de	modelo	estrutural:	quadro	plano,	
treliças,	grelhas	e	quadros	espaciais.
Vínculos	externos	(restrições	de	apoio)
• Em	um	modelo	estrutural,	as	ligações com	o	meio	externo	têm	
que	ser	especificadas.		
• Isso	é	feito	através	de	restrições	de	apoios,	também	
denominadas	vínculos	externos.		
• Em	um	quadro	plano,	um	apoio	pode	restringir	o	deslocamento	
horizontal	𝒙,	o	deslocamento	vertical	𝒚,	ou	a	rotação	𝒛 no	ponto	
da	estrutura	onde	está	posicionado.		
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Lembre-se	que:𝑥 - deslocamento	na	direção	do	eixo	global	X;𝑦	- deslocamento	na	direção	do	eixo	global	Y;𝑧	- rotação	em	torno	do	eixo	global	Z.
Vínculos	externos	(restrições	de	apoio)
• Um	apoio	pode	impedir	cada	componente	de	deslocamento	ou	rotação	em	
separado,	aos	pares,	ou	todos	juntos.		Os	tipos	mais	comuns	de	apoios	estão	
indicados	abaixo,	onde	também	estão	indicadas	as	suas	representações	no	
modelo	estrutural.
Estrutura	Real Representação Representação
(Concreto	Armado	Eu	te	amo) (adotada)
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SIMBOLOGIA	E	RESTRIÇÕES	IMPOSTAS
• Reações	de	apoio
– Cada	restrição	de	apoio	está	associada	a	uma	reação	de	apoio,	que	é	a	força	ou	
momento	que	o	vínculo	externo	exerce	sobre	a	estrutura.		
– O	impedimento	a	um	deslocamento	está	associado	ao	aparecimento	de	uma	
reação	força.		
– O	impedimento	de	uma	rotação	está	associado	ao	aparecimento	de	uma	reação	
momento.
2	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 26
Reações	de	apoio
• Um	apoio	do	1º	gênero	está	associado	a	uma	reação	força	
vertical.	
• Um	apoio	do	2º	gênero	está	associado	está	associado	a	uma	
reação	força	horizontal	e	uma	reação	força	vertical.		
• Um	engaste está	associado	a	três reações	de	apoio:	uma	reação	
força	horizontal,	uma	reação	força	vertical e	uma	reação	
momento:
2	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 27
 q q 
VA 
HA 
VB VA 
HA 
MA 
VB 
HB 
Aplicação	das	condições	de	equilíbrio	para	determinação	
de	reações	de	apoio
• Conforme	dito	anteriormente,	um	dos	objetivos	da	Análise	
Estrutural	é	a	determinação	das	reações	de	apoio	de	uma	
estrutura.		
• De	uma	maneira	geral,	para	se	calcular	as	reações	de	apoio	é	
necessário	considerar	todos	as	condições	matemáticas	que	o	
modelo	estrutural	tem	que	atender:	condições	de	equilíbrio,	leis	
constitutivas	dos	materiais e	condições	de	compatibilidade	entre	
deslocamentos	e	deformações.	
• Entretanto,	existe	um	caso	especial	de	estruturas	para	as	quais	é	
possível	determinar	as	reações	de	apoio	(e	também	os	esforços	
internos)	utilizando	apenas	condições	de	equilíbrio.		
2	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 28
Aplicação	das	condições	de	equilíbrio	para	determinação	
de	reações	de	apoio
• Esses	tipos	de	estruturas	são	denominados	estruturas	isostáticas.		
• O	caso	mais	geral	de	estruturas	é	o	de	estruturas	hiperestáticas,	
para	as	quais	só	é	possível	determinar	reações	de	apoio	utilizando	
todas	as	condições	do	modelo:	equilíbrio,	leis	constitutivas e	
compatibilidade.	A	análise	de	estruturas	hiperestáticas	é	bem	mais	
complexa	do	que	a	análise	de	estruturas	isostáticas.		
• A	determinação	de	reações	de	apoio	é	considerada	apenas	para	
estruturas	isostáticas.
• Os	exemplos	estudados	são	de	vigas	horizontais	e	barras	verticais	ou	
inclinadas,	que	se	enquadram	como	modelos	de	quadros	planos.	
Para	esses	tipos	de	modelos	estruturais,	existem	três equações	de	
equilíbrio	disponíveis.	
2	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 29
Aplicação	das	condições	de	equilíbrio	para	determinação	
de	reações	de	apoio
• Portanto,	a	condição	para	que	quadros	planos	sejam	isostáticos é	
que	tenham	apenas	três	reações	de	apoio.
• Deve-se	salientar	que	a	presença	de	articulações	internas	(rótulas)	
acarreta	equações	de	equilíbrio	adicionais	(isso	será	visto	mais	
tarde).		
• Portanto,	um	quadro	plano	isostático	pode	ter	mais	do	que	três	
reações	de	apoio	quando	tiver	rótulas.
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