av ap 1 ao 5

Prévia do material em texto

AV AP 1
	
	
		1.
		Arredonde para quatro casas decimais, o valor x= 3,1415926536
		
	
	
	
	
	3,142
	
	
	3,14159
	
	
	3,1416
	
	
	3,1415
	
	
	3,141
	
	
		2.
		Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x2 + 1, calcule f(-1/4).
		
	
	
	
	
	- 2/16
	
	
	17/16
	
	
	2/16
	
	
	16/17
	
	
	9/8
	
	
		3.
		
		
	
	
	
	
	3
	
	
	2
	
	
	-3
	
	
	-11
	
	
	-7
	
	
		4.
		Uma vendedora recebe R$ 1000,00 de salário fixo, mais R$ 0,05 para cada real faturado nas vendas. Sendo x o valor em reais correspondente às vendas mensais da referida vendedora, expresse seu salário em função de x.
		
	
	
	
	
	1000 - 0,05x
	
	
	1000 + 50x
	
	
	1000
	
	
	1000 + 0,05x
	
	
	50x
	
	
		5.
		Sendo f uma função de R em R, definida por f(x) = 2x - 7, calcule f(2).
		
	
	
	
	
	-7
	
	
	2
	
	
	-3
	
	
	-11
	
	
	3
	
	
		6.
		Em cálculo numérico é necessário o conhecimentos de várias funções. Por exemplo, que função é definida pela sentença: função f definida de R em R na qual a todo x pertencente ao domínio R associa o elemento y de valor igual a ax2+bx+cx (onde a  R*, b e c  R)
		
	
	
	
	
	Função linear.
	
	
	Função afim.
	
	
	Função quadrática.
	
	
	Função exponencial.
	
	
	Função logaritma.
	
	
		7.
		O número binário (10000111101)2 tem representação na base decimal igual a:
		
	
	
	
	
	1086
	
	
	10085
	
	
	1085
	
	
	1084
	
	
	10860
	
	
		8.
		As funções matemáticas aparecem em diversos campos do conhecimento, descrevendo o comportamento da variável em estudo. Por exemplo, em Física, temos a descrição da velocidade de uma partícula em função do tempo no qual a observação se processa; em Economia, temos a descrição da demanda de um produto em função do preço do mesmo, entre outros exemplos. Com relação a função matemática que segue a lei algébrica f(x)=ax+b, com "a" e "b" representando números reais ("a" diferente de zero), PODEMOS AFIRMAR:
		
	
	
	
	
	O coeficiente "b" é denominado de linear e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente linear e nos fornece informação sobre o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal.
	
	
	O coeficiente "b" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal.
	
	
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
AV AP 2
	
		1.
		Em Cinemática Física, temos funções matemáticas que nos fornecem informações da posição, velocidade e aceleração em função do tempo e que se relacionam entre si através de operações matemáticas denominas de derivação e integração. Entre os diversos métodos numéricos para se obter a integral definida de uma função, podemos citar, com EXCEÇÃO de:
		
	
	
	
	
	Método de Romberg.
	
	
	Regra de Simpson.
	
	
	Extrapolação de Richardson.
	
	
	Método da Bisseção.
	
	
	Método do Trapézio.
	
	
		2.
		Considere uma função real de R em R denotada por f(x). Ao se representar a função f(x) num par de eixos xy. percebe-se que a mesma intercepta o eixo horizontal x. Quanto a este ponto, é correto afirmar que:
		
	
	
	
	
	É o valor de f(x) quando x = 0
	
	
	É a abscissa do ponto em que a derivada de f(x) é nula
	
	
	Nada pode ser afirmado
	
	
	É a ordenada do ponto em que a derivada de f(x) é nula
	
	
	É a raiz real da função f(x)
	
	
		3.
		Em que intervalo numérico abaixo a função f(x) = x3-8x+1 possui pelo menos uma raiz real?
		
	
	
	
	
	(0, 0.5)
	
	
	(0.5, 1)
	
	
	(1, 1.5)
	
	
	(1.5, 2)
	
	
	(-0.5, 0)
	
	
		4.
		Seja a medida exata da área de uma laje igual a 24,8 m2 e o valor aproximado de 25m2. Qual o erro absoluto associado?
		
	
	
	
	
	99,8%
	
	
	0,2 m2
	
	
	0,992
	
	
	1,008 m2
	
	
	0,2%
	
	
		5.
		Abaixo tem-se a figura de uma função e a determinação de intervalos sucessivos em torno da raiz xR. Os expoentes numéricos indicam a sequência de iteração.
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido com:
		
	
	
	
	
	Newton Raphson
	
	
	Gauss Jacobi
	
	
	Ponto fixo
	
	
	Bisseção
	
	
	Gauss Jordan
	
	
		6.
		A substituição de um processo infinito por um finito resulta num erro como o que acontece em 0,435621567...= 0,435. Esse erro é denominado:
		
	
	
	
	
	De modelo
	
	
	Absoluto
	
	
	Percentual
	
	
	De truncamento
	
	
	Relativo
	
	
		7.
		A teoria da Computação Numérica se baseia em estabelecer rotinas reiteradas de cálculos matemáticos com o intuito de se obter solução aproximada ou mesmo exata para um determinado problema. Neste contexto, é ideal que uma rotina de cálculo seja implementada em um computador, sendo utilizadas algumas estruturas lógicas básicas. Com relação a estas estruturas, NÃO PODEMOS AFIRMAR:
		
	
	
	
	
	Estruturais repetitivas representam ações condicionadas a um critério de parada, às vezes determinado em pseudocódigo pela palavra inglesa "while".
	
	
	Estruturas seletivas são aquelas que possuem ações que podem ser realizadas ou não. No pseudocódigo estas estruturas são representadas diversas vezes pela palavra inglesa "if".
	
	
	Estruturas sequenciais representam ações que seguem a outras ações sequencialmente. A saída de uma ação é a entrada de outra.
	
	
	Estruturas repetitivas representam ações que se repetem um número indeterminado de vezes. Em pseudocódigo podem ser representadas pela palavra inglesa "until".
	
	
	As estruturas repetitivas, sequenciais e seletivas utilizam com frequência os "pseudocódigos" para expressarem as ações a serem executadas.
	
	
		8.
		Sejam os vetores u = (0,2), v = (-2,5) e w = (x,y) do R2. Para que w = 3u + v, devemos ter x + y igual a:
		
	
	
	
	
	2
	
	
	10
	
	
	9
	
	
	5
	
	
	18
AV AP 3
	
	1.
		Considere a função f(x) = x^3 - 2x e o intervalo [1, 3]. Utilizando o método da falsa posição, qual o valor da raiz após a primeira iteração.
		
	
	
	
	
	1,85
	
	
	0,55
	
	
	1,00
	
	
	1,56
	
	
	1,14
	
	
		2.
		O método do ponto fixo, é um método que permite encontrar as raízes de uma equação f(X) através de:
		
	
	
	
	
	Uma expressão fi(x) baseada em f(x).
	
	
	Uma aproximação da reta tangente f(x).
	
	
	Uma reta tangente à expressão f(x).
	
	
	Uma expressão que seja uma das possíveis derivadas de f(x).
	
	
	Um sistema linear das possíveis expressões de baseadas em f(x).
	
	
		3.
		Considere a descrição do seguinte método iterativo para a resolução de equações. " a partir de um valor arbitrário inicial x0 determina-se o próximo ponto traçando-se uma tangente pelo ponto (x0, f(x0)) e encontrando o valor x1 em que esta reta intercepta o eixo das abscissas." Esse método é conhecido como:
		
	
	
	
	
	Método de Newton-Raphson
	
	
	Método da bisseção
	
	
	Método de PégasusMétodo do ponto fixo
	
	
	Método das secantes
	
	
		4.
		Utilize o Método de Newton para encontrar a sua raiz aproximada x2 na função f(x) = 2 - 3ln(x) dado x0=0,5. 
		
	
	
	
	
	1,70
	
	
	1,77
	
	
	1,87
	
	
	1,67
	
	
	1,17
	
	
		5.
		Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x2 - 3 utilizando o Método de Newton-Raphson. Realize 1 iteração. Além disso, temos x0=1 e f'(x)= 2x. Após a realização da iteração diga o valor encontrado para x1.
		
	
	
	
	
	1
	
	
	-1
	
	
	1.75
	
	
	2
	
	
	-2
	
	
		6.
		Determine, utilizando o método de newton-raphson, qual a raiz da equação f(x) = 3x4-x-3 utilizando x0 = 1. Aplique duas iterações do método e indique a raiz encontrada. (Utilize quatro casas decimais para as iterações)
 
		
	
	
	
	
	1.0909
	
	
	1.0746
	
	
	1.0800
	
	
	1.9876
	
	
	1.0245
	
	
		7.
		Abaixo tem-se a figura de uma função e várias tangentes ao longo da curva.
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido como:
 
		
	
	
	
	
	Gauss Jordan
	
	
	Bisseção 
	
	
	Gauss Jacobi
	
	
	Newton Raphson 
	
	
	Ponto fixo
	
	
		8.
		O método de Newton-Raphson utiliza a derivada f´(x) da função f(x) para o cálculo da raiz desejada. No entanto, existe um requisito a ser atendido:
		
	
	
	
	
	A derivada da função deve ser positiva em todas as iterações intermediárias.
	
	
	A derivada da função não deve ser positiva em nenhuma iteração intermediária.
	
	
	A derivada da função não deve ser negativa em nenhuma iteração intermediária.
	
	
	A derivada da função não deve ser nula em nenhuma iteração intermediária.
	
	
	A derivada da função deve ser negativa em todas as iterações intermediárias.
AV AP 4
	
		1.
		Dado o seguinte sistema linear:
x + y + 2z = 9
2x + 4y -3z = 1
3x + 6y - 5z = 0
Determine utilizando o método de Gauss -Jordan os valores de x, y e z.
		
	
	
	
	
	x=2, y=4, z=6.
	
	
	x=1, y=2, z=3.
	
	
	x=3, y=1, z=2.
	
	
	x=-2, y=4, z=-6.
	
	
	x=-3, y=1, z=-2.
	
	
		2.
		Em Cálculo Numérico possuímos o Método de Lagrange para a interpolação polinomial de funções quando conhecemos alguns pontos das mesmas. Considerando este método como referência, determine o "polinômio" que melhor representa os pontos (1,3), (4,9), (3,7) e (2,5).
		
	
	
	
	
	y=x2+x+1
	
	
	y=2x+1
	
	
	y=2x-1
	
	
	y=2x
	
	
	y=x3+1
	
	
		3.
		Marque o item correto sobre o Método Eliminação de Gauss:
		
	
	
	
	
	Nenhuma das Anteriores.
	
	
	É utilizado para encontrar a raiz de uma função.
	
	
	É utilizado para a resolução de sistema de equações lineares.
	
	
	Utiliza o conceito de matriz quadrada.
	
	
	É utilizado para fazer a interpolação de dados.
	
	
		4.
		Resolva o sistema de equações abaixo e encontre x e y:
3x - 2y = - 12
5x + 6y = 8
 
		
	
	
	
	
	x = 2 ; y = -3
	
	
	x = -2 ; y = 3
	
	
	x = - 2 ; y = -5
	
	
	x = 5 ; y = -7
	
	
	x = 9 ; y = 3
	
	
		5.
		A Pesquisa Operacional é uma forte ferramenta matemática que se utiliza basicamente de sistemas lineares para "modelar" uma determinado contexto em que temos um problema físico, econômico, financeiro etc. Entre as opções oferecidas a seguir, identifique qual método numérico PODE ser utilizado para a resolução de sistemas lineares.
		
	
	
	
	
	Método de Gauss-Jordan.
	
	
	Método de Newton-Raphson.
	
	
	Método do ponto fixo.
	
	
	Método da falsa-posição.
	
	
	Método da bisseção.
	
	
		6.
		A resolução de sistemas lineares pode ser feita a partir de métodos diretos ou iterativos. Com relação a estes últimos é correto afirmar, EXCETO, que:
		
	
	
	
	
	Sempre são convergentes.
	
	
	Existem critérios que mostram se há convergência ou não.
	
	
	Apresentam um valor arbitrário inicial.
	
	
	Consistem em uma sequência de soluções aproximadas
	
	
	As soluções do passo anterior alimentam o próximo passo.
	
	
		7.
		O sistema de equações lineares abaixo pode ser representado em uma matriz estendida como:
2x+3y-z = -7
x+y+z = 4
-x-2y+3z = 15
		
	
	
	
	
	 2  3  1  | -7
 1  1  1  | 4
-1 -2 3 | 15
	
	
	 2  3  1  | -7
 1  1  1  | 4
  1  2 3 | 15
	
	
	 2  3 -1  | -7
 1  1  1  | 4
-1 -2 3 | 15
	
	
	 1  0   0  | -7
 0  1   0 | 4
 0  0   1 | 15
	
	
	 2  1  1  | -7
 3  1  -2  | 4
-1  1   3 | 15
	
	
		8.
		Resolva o sistema de equações abaixo e enconte x1 e x2:
5x1 + 4x2 = 180
4x1 + 2x2 = 120
 
		
	
	
	
	
	x1 = -20 ; x2 = 15
	
	
	x1 = 10 ; x2 = -10
	
	
	x1 = 18 ; x2 = 18
	
	
	x1 = -10 ; x2 = 10
	
	
	x1 = 20 ; x2 = 20
AV AP 5
	
	
		1.
		Em um experimento, foram obtidos os seguintes pontos (0,1), (4,9), (2,5), (1,3) e (3,7) que devem fornecer uma função através dos métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das funções descritas a seguir, qual é a mais adequada?
		
	
	
	
	
	Função logarítmica.
	
	
	Função cúbica.
	
	
	Função quadrática.
	
	
	Função exponencial.
	
	
	Função linear.
	
	
		2.
		Dados ¨31¨ pontos distintos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x31,f(x31)). Suponha que se deseje encontrar o polinômio P(x) interpolador desses pontos por algum método conhecido - método de Newton ou método de Lagrange. Qual o maior grau possível para este polinômio interpolador?
		
	
	
	
	
	grau 30
	
	
	grau 31
	
	
	grau 32
	
	
	grau 20
	
	
	grau 15
	
	
		3.
		A sentença "valor do módulo do quociente entre o erro absoluto e o número exato" expressa a definição de:
		
	
	
	
	
	Erro conceitual
	
	
	Erro fundamental
	
	
	Erro relativo
	
	
	Erro absoluto
	
	
	Erro derivado
	
	
		4.
		A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio de grau igual ou menor que n que melhor se ajuste aos n +1 pontos dados. Existem várias maneiras de encontrá-lo, dentre as quais podemos citar:
		
	
	
	
	
	o método de Euller
	
	
	o método de Raphson
	
	
	o método de Lagrange
	
	
	o método de Pégasus
	
	
	o método de Runge Kutta
	
	
		5.
		Durante a coleta de dados estatísticos referente ao número médio de filhos das famílias de uma comunidade em função do tempo, verificamos a obtenção dos seguintes pontos (x,y), nos quais "x" representa o tempo e "y" representa o número de filhos: (1, 2), (2, 4), (3,5) e (4,6). Caso desejemos representar estes pontos através de uma função, que ramo do Cálculo Numérico deveremos utilizar? Assina a opção CORRETA.
		
	
	
	
	
	Determinação de raízes.
	
	
	Verificação de erros.
	
	
	Derivação.
	
	
	Integração.
	
	
	Interpolação polinomial.
	
	
		6.
		Em Cálculo Numérico, existem diversos métodos para a obtenção de raízes de uma equação através de procedimentos não analíticos. Considerando a equação x2+x-6=0 e a técnica utilizada no método do ponto fixo com função equivalente igual a g(x0)=6-x2 e x0=1,5, verifique se após a quarta interação há convergência e para qual valor. Identifique a resposta CORRETA.
		
	
	
	
	
	Há convergência para o valor - 3475,46.
	
	
	Há convergência para o valor 2.Há convergência para o valor -59,00.
	
	
	Há convergência para o valor -3.
	
	
	Não há convergência para um valor que possa ser considerado raiz.
	
	
		7.
		Você é estagiário de uma empresa de engenharia que trabalha com testes em peças para grandes motores. Em um ensaio laboratorial você gera 10 pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x9,f(x9))). Suponha que se você tenha encontrado o polinômio P(x) interpolador desses pontos. A respeito deste polinômio é verdade que:
		
	
	
	
	
	Poderá ser do grau 15
	
	
	Sempre será do grau 9
	
	
	Será de grau 9, no máximo
	
	
	Nunca poderá ser do primeiro grau
	
	
	Pode ter grau máximo 10
	
	
		8.
		Considere o valor exato 1,126 e o valor aproximado 1,100. Determine respectivamente o erro absoluto e o erro relativo.
		
	
	
	
	
	0,026 E 0,026
	
	
	0,026 E 0,023
	
	
	0,023 E 0,023
	
	
	0,023 E 0,026
	
	
	0,013 E 0,013