5 DERIVADA regra de L'hospital

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Regra
de L’Hospital
No calculo de limites nos deparamos diversas vezes com alguns
limites do tipo lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
com lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = 0 ou então
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = ∞, sendo 𝑔 𝑥 ≠ 0 e 𝑎 qualquer número
real, podendo ser ∞ ou −∞.
Nessas situações utilizamos de algum artifício para contornamos
as indeterminações
0
0
ou
∞
∞
.
INTRODUÇÃO
INTRODUÇÃO
Entretanto, coube a Bernoulli, embora a publicação tenha sido
feita por L’Hospital, descobrir uma propriedade que nos
permitisse calcular rapidamente limites do tipo lim
𝑥→∞
𝑥𝑛
𝑒𝑥
, em que
não havia artifício capaz de solucioná-los.
A engenhosa descoberta consistiu em perceber que, na
vizinhança de um ponto podemos comparar o quociente de
duas funções com o quociente de suas derivadas, desde que
determinadas hipóteses estejam satisfeitas.
INTRODUÇÃO
DEFINIÇÃO
• Sejam f e g duas funções contínuas em um intervalo I, deriváveis no interior
de I, tais que 𝑔′ 𝑥 ≠ 0 para todo x no interior de I. Seja a ∈ I e suponhamos
que f(a) = g(a) =0 e que existe o lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
, finito ou infinito. Então existe
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
e mais ainda lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= lim
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
.
• Sejam f e g duas funções deriváveis em todo ponto x distinto de a, x
pertencente a uma vizinhança V de a, V= ]a-r, a+r[, r > 0. Suponhamos que
𝑔′ 𝑥 ≠ 0 para todo x pertencente a V e que lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = ∞. Se
existe lim
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
, finito ou infinito .Então existe lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
e mais ainda lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
lim
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
.
DEFINIÇÃO
EXEMPLOSEXEMPLOS
EXERCÍCIOS
Utilizando a regra de L’Hospital, calcule os seguintes limites:
a) 
b) 
c) 
d) 
EXERCÍCIOS