Aula15_IntervaloConfianca

Prévia do material em texto

Prof. Paulo Alessio -2º semestre de 2008 
1 
 "Quanto mais compreensivos formos, mais humanos seremos" 
 Disciplina: ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
 
1. Estimação de Parâmetros. 
 
Passamos, a partir de agora, a considerar problemas de Estatística Indutiva 
(Inferencial). Conforme visto em notas de aulas 01, o objetivo da Estatística Indutiva ou 
Inferencial é tirar conclusões probabilísticas sobre aspectos das populações, com base na 
observação de amostras extraídas dessas populações. 
 
1.1 Parâmetros e Estatísticas. 
As grandezas tais como média, variância, desvio padrão, etc., quando referem-
se a uma população são chamadas de parâmetros populacionais ou simplesmente 
parâmetros. As mesmas grandezas quando referem-se a uma amostra são chamadas 
de estatísticas amostrais, estimadores, ou simplesmente estatísticas. 
 
1.1.1 Estimativa. 
O valor numérico de um estimador (estatística) é conhecido como uma 
estimativa. Por exemplo, uma pesquisa socioeconômica em uma amostra aleatória de 80 
estudantes universitários revelou que 60% eram mulheres. Podemos afirmar que a 
estimativa da proporção de mulheres estudantes dessa população é de 60%. 
 
1.1.2 Inferência Estatística. 
A inferência estatística é o processo que consiste em utilizar as estatísticas 
amostrais (estimadores), para se obter informações sobre a população. Podemos fazer 
inferência estatística através da Estimação e dos Testes de Hipóteses. 
 
1.2 Estimação de Parâmetros Populacionais. 
A estimação é o processo que consiste em utilizar as estatísticas amostrais, para 
estimar os parâmetros populacionais desconhecidos. Essencialmente, qualquer 
parâmetro populacional pode ser estimado através de uma estatística amostral. A 
estimação de parâmetros pode ser feita de duas maneiras: 
 
1.2.1 Estimação por Ponto. 
A estimação pontual é o procedimento no qual o parâmetro de interesse da 
população é estimado por um único número obtido a partir da amostra. 
Ao estudarmos a amostra procuramos um único valor de certo parâmetro 
populacional. Assim o valor da média amostral )(x é uma estimativa por ponto da média 
populacional )(µ . Da mesma maneira, o valor do desvio padrão amostral )(s constitui uma 
estimativa de parâmetro populacional )(σ . 
 
Exemplo. 
Uma amostra aleatória de 200 alunos de uma universidade de 20.000 estudantes 
revelou média amostral das notas igual a 5,2. Logo 2,5=x é uma estimativa pontual da 
verdadeira nota média dos 20.000 alunos. 
 
1.2.2 Estimação por Intervalo de Confiança. 
Conforme visto na seção anterior, um estimador pontual produz um único número 
como estimativa do parâmetro populacional de interesse e, em muitas situações, a 
informação fornecida pelo estimador pontual não será considerada suficiente para uma 
interpretação adequada dos resultados amostrais. A deficiência da estimação pontual 
reside no fato de que, neste procedimento, não ficamos conhecendo a magnitude do erro 
Notas de aula 15 
 
Prof. Paulo Alessio -2º semestre de 2008 
2 
que podemos estar cometendo ao estimarmos o parâmetro de interesse, ao utilizarmos o 
estimador amostral. Desta limitação da estimação pontual surge a idéia da construção de 
um intervalo que contenha, com um nível de confiança conhecido, o valor verdadeiro do 
parâmetro. 
Quando estudamos a amostra procuramos construir um intervalo com uma certa 
probabilidade de conter o parâmetro populacional. Se a amplitude do intervalo é pequena, 
temos um elevado grau de precisão da inferência realizada. As estimativas dessa 
natureza são denominadas de intervalo de confiança. 
 
Exemplos. 
 
a) O intervalo [ ]mm 64,1;60,1 contém a altura média dos moradores do município A, 
com nível de confiança de 95%. 
 
b) Com 97,5% de confiança, o intervalo [ ]%10%;8 contém a proporção de 
analfabetos da cidade B. 
 
1.2.2.1 Nível de Confiança. 
 
O nível de confiança c é a probabilidade que o intervalo estimado contenha o 
parâmetro populacional. O nível de confiança c corresponde a área sob a curva normal 
padronizada entre os valores 
cz− e cz , chamados de valores críticos. A área 
remanescente é c−= 1α , chamada de nível de significância. Portanto em cada cauda a 
área é ).1(
2
1
2
c−=
α
 
 
 
 
 
 
 
 )1(
2
1
c− c )1(
2
1
c− 
 cz− cz z 
Exemplo. 
Se %90=c então a área entre cz− e cz é igual a 9,0 ; 645,1−=− cz e 645,1=cz ; 
05,0)1,0(
2
1)9,01(
2
1)1(
2
1
2
==−=−= c
α
 e a área à direita de 
cz e a esquerda de cz− 
correspondem cada uma a 5 % da área total. 
É importante observar o risco de erro quando se constrói um intervalo de 
confiança. Se o nível de confiança é de 90 %, o risco de erro da inferência estatística será 
de 10 %. 
 
1.2.2.2 Tabela de Níveis de Confiança para Distribuições Normais. 
A tabela a seguir dá os valores críticos )( cz correspondentes a vários níveis de 
confiança )(c adotados na prática. Para os valores de cz que não constam na tabela, 
podemos encontrá-los nas tabelas de áreas da curva normal. 
 
c 99 % 98 % 96 % 95,5 % 95 % 90 % 
zc 2,58 2,33 2.05 2 1,96 1,645 
 
Prof. Paulo Alessio -2º semestre de 2008 
3 
1.3 Estimação para a Média Populacional. 
 
1.3.1 Estimação por Ponto. 
 
Uma estimativa pontual para a média populacional µ é dada pela estatística: 
 
 
 
 
 
 
 
1.3.2 Estimação por Intervalo de Confiança. 
 
1.3.2.1 Estimação da Média para Grandes Amostras. 
 
Veremos agora como construir um intervalo de confiança para a média de uma 
população (parâmetro µ ), na situação em que o tamanho “n” da amostra extraída da 
população é superior a 30. 
 
Devemos encontrar um Intervalo de Confiança. Este intervalo é encontrado a partir 
da estatística x da amostra. 
 
Para populações infinitas devemos usar a expressão: 
 
 
 
 ou 
 
 
 
onde:



−= .1 ciasignificândeníveloéc
econfiançadeníveloéc
α
 
 
Para populações finitas usa-se a expressão: 
 
 
 c
N
nN
n
zx
N
nN
n
zxP cc =
−
−
+≤≤
−
−
− )
1
..
1
..( σµσ ou 
 
 
 
Observação: Quando não se conhece σ , substituímos este valor pelo desvio padrão s 
da amostra, desde que a amostra seja grande (n > 30) e, as fórmulas são: 
 
c
n
s
x
n
s
xP zz cc =+≤≤− )..( µ ou 
n
s
x zc .±=µ 
 
c
N
nN
n
s
zx
N
nN
n
s
zxP cc =
−
−
+≤≤
−
−
− )
1
..
1
..( µ ou 
1
..
−
−±=
N
nN
n
s
x zcµ 
 
 
n
x
x
n
i
i∑
=
=
1
 
c
n
x
n
xP zz cc =+≤≤− )..(
σµσ
 n
x zc
σµ .±= 
1
..
−
−
±=
N
nN
n
x zc
σµ 
 
Prof. Paulo Alessio -2º semestre de 2008 
4 
1.3.2.2 Estimação da Média para Pequenas Amostras. 
Veremos agora como construir um intervalo de confiança para a média de uma 
população (parâmetro µ ), na situação em que o tamanho “n” da amostra extraída da 
população é igual ou inferior a 30. 
Quando o tamanho da amostra é pequeno (n ≤ 30), resulta em um intervalo de 
confiança baseado na Distribuição t de Student. 
 
1.3.2.3 Etapas para Estimação da Média para Pequenas Amostras. 
1) Colete uma amostra de tamanho n ≤ 30 da população de interesse. 
2) Calcule os valores de x e s. 
3) Escolha o valor do nível de confiança c = 1 - α . Onde α é o nível de significância 
(risco de erro). 
4) Determine o valor de ttt cn == −1;
2
;
2
α
ν
α
 (onde t c é o t crítico), a partir da 
distribuição t. 
5) Calcule os limitesdo intervalo de confiança: P(
n
s
x
n
s
x tt cc .. +≤≤− µ ) =C 
ou 
n
s
x t c.±=µ 
1.3.2.4 Tabela da Distribuição t. 
 γ 
ν 
 
0,40 
 
 
0,25 
 
0,10 
 
0,05 
 
0,025 
 
0,010 
 
0,005 
 
0,0025 
 
0,0010 
 
0,0005 
1 0,325 1,000 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 127,321 318,309 636,619 
2 0,289 0,816 1,886 2,920 4,303 6,975 9,925 14,089 22,327 31,599 
3 0,277 0,765 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 7,453 10,215 12,924 
4 0,271 0,741 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 5,598 7,173 8,610 
5 0,267 0,727 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 4,773 5,893 6,869 
6 0,265 0,718 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 4,317 5,208 5,959 
7 0,263 0,711 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,029 4,785 5,408 
8 0,262 0,706 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 3,833 4,501 5,041 
9 0,261 0,703 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 3,690 4,297 4,781 
10 0,260 0,700 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 3,581 4,144 4,587 
11 0,260 0,697 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 3,497 4,025 4,437 
12 0,259 0,695 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,428 3,930 4,318 
13 0,259 0,694 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,372 3,852 4,221 
14 0,258 0,692 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,327 3,787 4,140 
15 0,258 0,691 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,286 3,733 4,073 
16 0,258 0,690 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,252 3,686 4,015 
17 0,257 0,689 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,222 3,646 3,965 
18 0,257 0,688 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,197 3,610 3,922 
19 0,257 0,688 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,174 3,579 3,883 
20 0,257 0,687 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,153 3,552 3,850 
21 0,257 0,686 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,135 3,527 3,819 
22 0,256 0,686 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,119 3,505 3,792 
23 0,256 0,685 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,104 3,485 3,768 
24 0,256 0,685 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,091 3,467 3,745 
25 0,256 0,684 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,078 3,450 3,725 
26 0,256 0,684 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,067 3,435 3,707 
27 0,256 0,684 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,057 3,421 3,690 
28 0,256 0,683 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,047 3,408 3,674 
29 0,256 0,683 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,038 3,396 3,659 
30 0,256 0,683 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,030 3,385 3,646 
 
Prof. Paulo Alessio -2º semestre de 2008 
5 
Exemplo. 
Uma amostra aleatória de 36 baterias foi testada, acusando vida média de 48 
meses. Sabendo-se que de levantamentos anteriores o desvio padrão da população da 
qual foi extraída a amostra é de 4 meses, determine um intervalo de confiança de 95 % 
em torno da verdadeira média da população. 
 
Solução 
%95)( =+≤≤−
n
zx
n
zxP cc
σµσ 
%95)
36
496,148
36
496,148( =+≤≤− µP 
%95)31,14831,148( =+≤≤− µP 
 
%95)31,4969,46( =≤≤ µP 
Podemos concluir com 95% de confiança que a verdadeira média da população 
está contida no intervalo acima. 
 
Exercícios. 
1) Uma máquina que enche pacotes de café estava regulada para enchê-los com 500 g, 
em média. Agora, ela se desregulou e queremos saber qual a nova média µ . Uma 
amostra aleatória de 25 pacotes foi retirada e apresentou uma média igual a 485g e uma 
variância de 100g2. Determine: 
a) Uma estimativa pontual para a média µ . Resposta. gx 485= 
b) Um intervalo com confiança de 95% de conter a média da população. 
Resposta. %95)489481( =≤≤ µP 
 
2) Verificando-se que a média das alturas de 100 estudantes da Universidade XYZ é 
171,70 cm com 7,79 cm de desvio padrão. Sabendo-se que o total de estudantes da 
Universidade é 1.546. 
Determine um intervalo de confiança de 95% em torno da verdadeira média da população. 
Resposta. %95)18,17322,170( =≤≤ µP 
 
3) Resolver o problema anterior determinando um intervalo de confiança de 99%. 
 Resposta. )64,17376,169( ≤≤ µP 
4) As medidas dos diâmetros de uma amostra aleatória de 200 rolamentos esféricos 
produzidos por certa máquina, durante uma semana, apresentam a média de 0,824 
polegada e o desvio-padrão de 0,042 polegada. Determinar um intervalo de confiança de 
95% em torno da verdadeira média da população. Resposta. µ≤818,0(P )830,0≤ 
 
5) Uma amostra aleatória de 50 graus (notas) em matemática, num total de 200, 
apresenta a média de 75 e o desvio-padrão de 10. Determine um intervalo de confiança 
em torno da verdadeira média da população de: 
a) 95% Resposta. )41,7759,72( ≤≤ µP 
b) 90% Resposta. )02,7798,72( ≤≤ µP 
 
6) A vida média de operação de uma amostra de 28 lâmpadas é 4.000 horas com o 
desvio padrão de 200 horas. Supõe-se que o tempo de operação das lâmpadas em geral 
tenha distribuição aproximadamente normal. Estime a vida média de operação para a 
população de lâmpadas da qual foi extraída a amostra, usando um intervalo de confiança 
de 98%. 
Resposta. Média da população entre 3.907 e 4.093 horas. 
 
Prof. Paulo Alessio -2º semestre de 2008 
6 
7) Para uma dada semana, uma amostra aleatória de 26 empregados selecionados de 
um grande grupo de empregados horistas apresentou um salário médio de $ 180,00 com 
um desvio padrão da amostra de $ 14,00. Supõe-se que a distribuição dos salários seja 
aproximadamente normal. Qual o intervalo de salários tal que exista uma confiança de 
95% de que a verdadeira média esteja contida no intervalo? 
Resposta. $ 174,00 a $ 185,00 
 
8) Construir um intervalo para a vida média útil de uma determinada marca de tubo de 
imagem de TV com nível de confiança de 90%, sabendo-se que de uma amostra de 15 
tubos de imagem desta marca, a média da vida útil foi de 8.900h de operação e o desvio 
padrão de 500h. Resposta. 8.673h a 9.127h. 
 
9) Resolver o problema anterior para 95% de nível de confiança. Resposta. 8.623h a 
9.177h. 
 
10) Um analista de mercados obtém dados de uma amostra de 100 consumidores de um 
total de 400 que adquiriram uma “oferta especial”. As 100 pessoas gastaram, na loja, uma 
média de $ 24,57 com um desvio padrão de $ 6,60. Com um intervalo de confiança de 
95% estimar: 
(a) o valor médio de compras para todos os 400 clientes. 
 b) o valor total das compras dos 400 clientes. 
Resposta. a) entre $ 23,45 e $ 25,69 b) entre $ 9.380,00 e $ 10.276,00 
 
11) De 50.000 válvulas fabricadas por uma companhia retira-se uma amostra de 400 
válvulas, e obtém-se a vida média de 800 horas e o desvio padrão de 100 horas. Qual o 
intervalo de confiança de 99% para a vida média da população? 
Resposta. Entre 787h e 813h. 
 
12) Foram retiradas 25 peças peças da produção diária de uma máquina, encontrando-se 
para uma medida uma média de 5,2 mm. Sabendo-se que as medidas têm distribuição 
normal com desvio padrão populacional 1,2 mm, construir intervalos de confiança para a 
média aos níveis de 90%, 95% e 99%. 
Respostas. O intervalo [4,8 mm ; 5,6 mm] contém a média populacional com confiança de 
90%. 
O intervalo [4,7 mm ; 5,7 mm] contém a média populacional com confiança de 95%. 
O intervalo [4,5 mm ; 5,9 mm] contém a média populacional com confiança de 99%. 
 
13) Em uma fábrica, colhida uma amostra de certa peça, obtiveram-se as seguintes 
medidas para os diâmetros: 
10 11 11 11 12 12 12 12 13 13 
13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 
14 14 14 14 14 15 15 15 16 16 
 
a) Estimar a média e a variância; 
b) Construir um intervalo de confiança para a média usando um nível de significância igual 
a 5%. 
Resposta. a) 05,213,13 2 == sex 
b) O intervalo [12,60 ; 13,66] contém a média populacional com confiança de 95%. 
 
14) Numa grande empresa, uma amostra aleatória de 20 empregados forneceu, com 
relação às idades, média iguala 32,8 e desvio padrão 5,3. Estimar a verdadeira média de 
idade de todos os empregados no nível de confiança de 90%. 
Resposta. Entre 30,75 e 34,85 
 
Prof. Paulo Alessio -2º semestre de 2008 
7 
1.4 Estimação para a Proporção p. 
 
1.4.1 Estimação por Ponto. 
Uma estimativa pontual para p, numa proporção populacional é dada pela 
estatística: 
n
xp =ˆ
 
 
onde: 





.ˆ
,int
amostralproporçãoaép
eamostradatamanhooén
eressedeticacaracterísapossuemqueamostradaelementosdenúmerooéx
 
 
1.4.2 Estimação por Intervalo. 
 
Uma estimativa por intervalo para p pode ser encontrada através da estatística pˆ , 
através do intervalo de confiança: 
 
 
c
n
qp
zpp
n
qp
zpP cc =






+≤≤− .ˆ.ˆ 
 
 ou 
n
qppp zc
.
.ˆ ±=
 
Como 
n
qp.
 é o desvio-padrão e muitas vezes não o conhecemos, podemos 
estimá-lo por .ˆ.ˆ
n
qp
 portanto 
n
qppp zc
ˆ.ˆ
.ˆ ±=
 
Exercícios. 
 
1) O escrutínio realizado na amostra de 100 eleitores, escolhidos ao acaso entre todos os 
votantes de um determinado distrito, indicou que 55% deles eram a favor de um certo 
candidato. Determinar os limites de confiança de 95%, para a proporção de todos os 
votantes favoráveis àquele candidato. Resposta. )648,0452,0( ≤≤ pP 
 
2) Resolva o mesmo exercício para 99%. Resposta. )678,0422,0( ≤≤ pP 
 
3) Em 40 lances de uma moeda foram obtidas 24 caras. Determinar o limite de confiança 
de 95%, para a proporção de caras que seria obtida em um número ilimitado de lances da 
moeda. Resposta. )75,045,0( ≤≤ pP 
 
4) Numa amostra aleatória de n = 500 famílias que possuem aparelho de TV numa cidade 
do Canadá, foi encontrado que x = 340 possuem TV plasma. 
Determine: 
a) uma estimativa pontual para a proporção de famílias (que já possuem TV) que tem TV 
plasma. Resposta. 0,68 
b) o intervalo que contém o valor da proporção das famílias que possuem TV plasma, 
com 95% de confiança. Resposta. 72,064,0 ≤≤ p 
 
 
Prof. Paulo Alessio -2º semestre de 2008 
8 
5) Uma empresa de pesquisa de mercado faz contato com uma amostra de 100 homens 
em uma grande comunidade e verifica que uma proporção de 0,40 na amostra prefere 
lâminas de barbear fabricadas por seu cliente em vez de qualquer outra marca. 
Determine o intervalo que contém o valor da proporção de todos os homens da 
comunidade que preferem a lâmina de barbear do cliente com confiança de 95%. 
 Resposta. 50,030,0 ≤≤ p 
 
6) Um administrador de uma universidade coleta dados sobre uma amostra aleatória de 
âmbito nacional de 230 alunos de cursos de Administração de Empresas e encontra que 
54 de tais estudantes têm diplomas de Técnico de Contabilidade. Usando um intervalo de 
confiança de 90%, estimar a proporção nacional de estudantes que possuem diplomas 
de Técnico de Contabilidade. 
 Resposta. 281,0189,0 ≤≤ p 
 
7) Em uma grande área metropolitana em que estão localizados 800 postos de gasolina, 
para uma amostra aleatória de 36 postos, 20 comercializam um determinado óleo 
lubrificante que tem publicidade nacional. Usando um intervalo de confiança de 95% (a) 
estimar a proporção de todos os postos de gasolina daquela área metropolitana que 
comercializam o óleo e (b) o número total de postos de serviço da área que comercializam 
o óleo. 
 Resposta. a) 72,040,0 ≤≤ p b) entre 320 e 576 postos. 
 
8) Uma amostra aleatória de 500 eleitores de um município mostrou que 120 deles 
apoiavam determinado candidato a prefeito. Estimar, no nível de 90%, o percentual de 
eleitores que apóiam esse candidato. 
 Resposta. %3,27%9,20 ≤≤ p 
 
9) Numa amostra de 85 alunos de uma escola 5 eram canhotos. Estimar, no nível de 
95%, a verdadeira proporção de canhotos dessa escola. 
 Resposta. %88,10%88,0 ≤≤ p 
 
1.5 Estimativa do Desvio Padrão. 
 
Para estimarmos σ com certo intervalo de confiança, determinamos os dois valores 
críticos de χ 2 , através da tabela, os quais limitam a área sob a curva, correspondente ao 
nível de confiança fixado. Se por exemplo o nível de confiança é de 90% (C = 0,90) e o 
valor do grau de liberdade 10 (ν = 10), os valores críticos de χ 2 são 3,94 e 18,30 
conforme figura abaixo. 
 
3,94 
 
Prof. Paulo Alessio -2º semestre de 2008 
9 
Sendo χ 21 e χ
2
2
os limites inferior e superior, para certo nível de confiança, então 
σ será obtido por: 
 
( ) ( )
χχ
σ 2
1
2
2
2
2
.1.1 ss nn −≤≤
−
 
 
Exemplo. 
Uma amostra de 20 elementos de uma população deu um desvio padrão 6. Estimar 
o (desvio padrão populacional) no nível de 95%. 
 
 
( ) ( )
χχ
σ 2
1
2
2
2
2
.1.1 ss nn −≤≤
−
 χ 21 = 8,91 e χ
2
2
= 32,9 
 
 
91,8
36.19
9,32
36.19
σ≤ 
 
 Resposta. 76,856,4 ≤≤ σ 
 
Exercícios. 
 
1) Uma amostra de 15 elementos de uma população forneceu desvio padrão de 3,4. 
Estimar o desvio padrão populacional no nível de confiança de 90%. 
 Resposta. 96,461,2 ≤≤ σ 
 
2) Numa amostra de tamanho 25 de uma variável normalmente distribuída encontrou-se 
desvio padrão s = 8,6. Estimar σ no nível de significância de 5%. 
 Resposta. Entre 6,71 e 11,96 
 
3) Uma amostra de 10 elementos de uma população, constituída dos pesos de crianças 
de uma escola de ensino fundamental, forneceu: 25, 32, 40, 23, 36, 31, 29, 22, 37 e 27 
kg. Estimar a variância dos pesos de todos os estudantes desta escola no nível de 
confiança de 90%. 
 Resposta. 23,10195,19 2 ≤≤ σ 
2. Dimensionamento de Amostras. 
 
2.1 Tamanho da Amostra para Estimar a Média de uma População Infinita. 
Se a população for infinita, ou com reposição, o tamanho da amostra será 
determinado por: 
 
2
.






=
d
z
n c
σ
 
onde: 
n é o tamanho da amostra, 
xd −≥ µ é o erro amostral (precisão), 
σ é o desvio padrão da população, 
 cz é a abscissa da distribuição normal padrão, fixado um nível de confiança c. 
 
 
Prof. Paulo Alessio -2º semestre de 2008 
10 
2.2 Tamanho da Amostra para Estimar a Média de uma População Finita. 
Se a população for finita, o tamanho da amostra será determinada por: 
 
222
22
.)1.(
..
σ
σ
c
c
zNd
Nz
n
+−
= 
onde: 
n é o tamanho da amostra, 
cz é a abscissa da distribuição normal padrão fixado um nível de confiança c, 
xd −≥ µ é o erro amostral (precisão), 
2σ é a variância da população, 
 N é o tamanho da população. 
 
2.3 Tamanho da Amostra para Estimar a Proporção de uma População Infinita. 
 Se população for infinita pode-se determinar o tamanho da amostra pela fórmula: 
 
 
2
2
ˆ.ˆ.d
qpz
n c=
 
onde: 
 cz é a abscissa da normal padrão, 
pˆ é a estimativa da verdadeira proporção, caso não se tenha estimativas para pˆ 
admite-se 50,0ˆ =p , 
pq ˆ1ˆ −= , 
ppd ˆ−≥ é o erro amostral, onde p é verdadeira proporção, 
n é o tamanho da amostra. 
 
2.4 Tamanho da Amostra para Estimar a Proporção de uma População Finita. 
Se a população for finita, temos: 
 
qpzNd
Nqpz
n
c
c
ˆ.ˆ.)1(
.ˆ.ˆ.
22
2
+−
=
 
onde: 
N é tamanho da população, 
cz é abscissa da normal padrão, 
pˆ é a estimativa da proporção, 
pq ˆ1ˆ −= , 
ppd ˆ−≥
 é o erro amostral, 
n é o tamanho da amostra. 
 
Exercícios. 
1) Qual o tamanho da amostra suficiente para estimar a média de uma população 
infinita cujo desvio padrão é igual a 5, com 95% de confiança e precisão de 0,4? 
 Resposta. 601 
 
2) Suponha que a variável escolhida em um estudo seja o peso de certa peça e que a 
população seja infinita. Pelas especificações do produto, o desvio padrão é de 10 kg. 
Admitindo um nível de confiança de 95,5% e um erro amostral de 1,5 kg, calcular o 
tamanho da amostra para o cálculo da média. Resposta. 178 
 
Prof. Paulo Alessio -2º semestre de 2008 
11 
3) Estudos feitos anteriormente mostram que o desvio padrão da altura dos homens de 
uma cidade é de 10 cm. Querendo estimar a altura média de todos os homens dessa 
cidade, com tolerância de 3 cm e probabilidade de 0,955, quantas observações deverão 
ser utilizadas ? Resposta. 45 
 
4) Para estimar a média, qual o tamanho da amostra que devemos retirar de uma 
população com 5000 observações cujo desvio padrão é igual a 5, com 95 % de confiança 
e precisão de 0,4 ? Resposta. 536 
 
5) Suponha que a variável escolhida seja o peso de certa peça e que a população seja 
igual a 600 peças. Pelas especificações do produto, o desvio padrão é de 10 kg. 
Admitindo um nível de confiança de 95,5 % e um erro amostral de 1,5 kg, calcular o 
tamanho da amostra para estimar a média. Resposta. 138 
 
6) Qual o tamanho da amostra para estimar a média de uma população com 2.000 
elementos, cujo desvio padrão é igual a 4, com 90% de nível de confiança e precisão de 
0,3 ? Resposta. 388 
 
7) Suponha que a variável escolhida em um estudo seja a proporção de eleitores 
favoráveis ao candidato X e que o investigador tenha elementos para suspeitar que essa 
porcentagem seja de 30 %. Admita a população infinita, um nível de confiança de 99 % 
e um erro amostral de 2 % (ou seja: que a diferença entre a verdadeira proporção de 
eleitores do candidato X e a estimativa a ser calculada na amostra seja no máximo de 
2%). Calcular o tamanho da amostra. Resposta. 3.495 
 
8) Sendo ,5,0ˆˆ == qp população infinita, 05,0=d e %5,95=c , determine o tamanho da 
amostra. Resposta. 400 
 
9) Um engenheiro encarregado do controle de qualidade deseja estimar a fração de 
artigos defeituosos de um grande lote de artigos eletrônicos. Com base em sua 
experiência, ele sabe que a fração efetiva de artigos defeituosos deve estar próximo de 
0,2. Que tamanho deve ter uma amostra, se ele desejar estimar a verdadeira fração de 
lâmpadas defeituosas com tolerância de 0,01, usando um nível de confiança de 98% ? 
 Resposta. 8.686 
 
10) Qual o tamanho da amostra que o Departamento de Trânsito de uma grande cidade 
deve tomar para estimar a porcentagem de semáforos defeituosos, se o objetivo é ter 
95,5 % de confiança em não errar em mais de 3 % ? Resposta. 1.111 
 
11) Em uma cidade, há 10.000 árvores. Qual deve ser o tamanho da amostra que o 
Departamento de Parques precisa tomar para estimar a porcentagem de plantas que 
merecem ser podadas, se o objetivo é ter 99 % de confiança de não errar por mais de 
3%? Resposta. 1.561 
 
12) Segundo dados de pesquisa anterior, 40 % dos alunos de certa escola são 
“paranistas”. Admita um erro de 2,5 %; c = 95,5 %, para dimensionar tamanho de amostra 
de tricolores. Sabe-se que a escola tem 5.000 alunos. Resposta. 1.176 
 
13) Sendo ,5,0ˆˆ == qp população de 200.000, d = 0,05 e c = 95,5 %, determine o 
tamanho da amostra. Resposta. 399 
 
 
Prof. Paulo Alessio -2º semestre de 2008 
12 
14) Uma amostra aleatória de 400 estudantes de uma universidade apresentou 56 
deles devendo disciplinas de seus currículos. Adotando-se o nível de confiança de 95%, 
que tamanho deve ter a amostra para que o erro máximo de estimativa não exceda 2%? 
 Resposta. 1.156 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA. 
 
FONSECA, Jairo Simon da e MARTINS, Gilberto de Andrade. Curso de Estatística. São 
Paulo: Editora Atlas, 1996. 
 
FRANCISCO, Walter de. Estatística. São Paulo, Atlas, 1985. 
 
KAZMIER, Leonard J. Estatística Aplicada a Economia e Administração. São Paulo: 
Makron, 1982. 
 
MARTINS, Gilberto de Andrade. Estatística Geral e Aplicada. São Paulo: Editora Atlas, 
2002. 
 
MORETTIN, Pedro A. e BUSSAB, Wilton de O. Estatística Básica. São Paulo: Saraiva, 
2003. 
 
SPIEGEL, Murray R. Estatística. Rio de Janeiro: McGraw-Hill, 1983. 
 
WERKEMA, Maria Cristina Catarina. Como Estabelecer Conclusões com Confiança: 
Entendendo Inferência Estatística. Belo Horizonte: UFMG, 1996.