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Prof. Paulo Alessio -2º semestre de 2008 1 "Quanto mais compreensivos formos, mais humanos seremos" Disciplina: ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 1. Estimação de Parâmetros. Passamos, a partir de agora, a considerar problemas de Estatística Indutiva (Inferencial). Conforme visto em notas de aulas 01, o objetivo da Estatística Indutiva ou Inferencial é tirar conclusões probabilísticas sobre aspectos das populações, com base na observação de amostras extraídas dessas populações. 1.1 Parâmetros e Estatísticas. As grandezas tais como média, variância, desvio padrão, etc., quando referem- se a uma população são chamadas de parâmetros populacionais ou simplesmente parâmetros. As mesmas grandezas quando referem-se a uma amostra são chamadas de estatísticas amostrais, estimadores, ou simplesmente estatísticas. 1.1.1 Estimativa. O valor numérico de um estimador (estatística) é conhecido como uma estimativa. Por exemplo, uma pesquisa socioeconômica em uma amostra aleatória de 80 estudantes universitários revelou que 60% eram mulheres. Podemos afirmar que a estimativa da proporção de mulheres estudantes dessa população é de 60%. 1.1.2 Inferência Estatística. A inferência estatística é o processo que consiste em utilizar as estatísticas amostrais (estimadores), para se obter informações sobre a população. Podemos fazer inferência estatística através da Estimação e dos Testes de Hipóteses. 1.2 Estimação de Parâmetros Populacionais. A estimação é o processo que consiste em utilizar as estatísticas amostrais, para estimar os parâmetros populacionais desconhecidos. Essencialmente, qualquer parâmetro populacional pode ser estimado através de uma estatística amostral. A estimação de parâmetros pode ser feita de duas maneiras: 1.2.1 Estimação por Ponto. A estimação pontual é o procedimento no qual o parâmetro de interesse da população é estimado por um único número obtido a partir da amostra. Ao estudarmos a amostra procuramos um único valor de certo parâmetro populacional. Assim o valor da média amostral )(x é uma estimativa por ponto da média populacional )(µ . Da mesma maneira, o valor do desvio padrão amostral )(s constitui uma estimativa de parâmetro populacional )(σ . Exemplo. Uma amostra aleatória de 200 alunos de uma universidade de 20.000 estudantes revelou média amostral das notas igual a 5,2. Logo 2,5=x é uma estimativa pontual da verdadeira nota média dos 20.000 alunos. 1.2.2 Estimação por Intervalo de Confiança. Conforme visto na seção anterior, um estimador pontual produz um único número como estimativa do parâmetro populacional de interesse e, em muitas situações, a informação fornecida pelo estimador pontual não será considerada suficiente para uma interpretação adequada dos resultados amostrais. A deficiência da estimação pontual reside no fato de que, neste procedimento, não ficamos conhecendo a magnitude do erro Notas de aula 15 Prof. Paulo Alessio -2º semestre de 2008 2 que podemos estar cometendo ao estimarmos o parâmetro de interesse, ao utilizarmos o estimador amostral. Desta limitação da estimação pontual surge a idéia da construção de um intervalo que contenha, com um nível de confiança conhecido, o valor verdadeiro do parâmetro. Quando estudamos a amostra procuramos construir um intervalo com uma certa probabilidade de conter o parâmetro populacional. Se a amplitude do intervalo é pequena, temos um elevado grau de precisão da inferência realizada. As estimativas dessa natureza são denominadas de intervalo de confiança. Exemplos. a) O intervalo [ ]mm 64,1;60,1 contém a altura média dos moradores do município A, com nível de confiança de 95%. b) Com 97,5% de confiança, o intervalo [ ]%10%;8 contém a proporção de analfabetos da cidade B. 1.2.2.1 Nível de Confiança. O nível de confiança c é a probabilidade que o intervalo estimado contenha o parâmetro populacional. O nível de confiança c corresponde a área sob a curva normal padronizada entre os valores cz− e cz , chamados de valores críticos. A área remanescente é c−= 1α , chamada de nível de significância. Portanto em cada cauda a área é ).1( 2 1 2 c−= α )1( 2 1 c− c )1( 2 1 c− cz− cz z Exemplo. Se %90=c então a área entre cz− e cz é igual a 9,0 ; 645,1−=− cz e 645,1=cz ; 05,0)1,0( 2 1)9,01( 2 1)1( 2 1 2 ==−=−= c α e a área à direita de cz e a esquerda de cz− correspondem cada uma a 5 % da área total. É importante observar o risco de erro quando se constrói um intervalo de confiança. Se o nível de confiança é de 90 %, o risco de erro da inferência estatística será de 10 %. 1.2.2.2 Tabela de Níveis de Confiança para Distribuições Normais. A tabela a seguir dá os valores críticos )( cz correspondentes a vários níveis de confiança )(c adotados na prática. Para os valores de cz que não constam na tabela, podemos encontrá-los nas tabelas de áreas da curva normal. c 99 % 98 % 96 % 95,5 % 95 % 90 % zc 2,58 2,33 2.05 2 1,96 1,645 Prof. Paulo Alessio -2º semestre de 2008 3 1.3 Estimação para a Média Populacional. 1.3.1 Estimação por Ponto. Uma estimativa pontual para a média populacional µ é dada pela estatística: 1.3.2 Estimação por Intervalo de Confiança. 1.3.2.1 Estimação da Média para Grandes Amostras. Veremos agora como construir um intervalo de confiança para a média de uma população (parâmetro µ ), na situação em que o tamanho “n” da amostra extraída da população é superior a 30. Devemos encontrar um Intervalo de Confiança. Este intervalo é encontrado a partir da estatística x da amostra. Para populações infinitas devemos usar a expressão: ou onde: −= .1 ciasignificândeníveloéc econfiançadeníveloéc α Para populações finitas usa-se a expressão: c N nN n zx N nN n zxP cc = − − +≤≤ − − − ) 1 .. 1 ..( σµσ ou Observação: Quando não se conhece σ , substituímos este valor pelo desvio padrão s da amostra, desde que a amostra seja grande (n > 30) e, as fórmulas são: c n s x n s xP zz cc =+≤≤− )..( µ ou n s x zc .±=µ c N nN n s zx N nN n s zxP cc = − − +≤≤ − − − ) 1 .. 1 ..( µ ou 1 .. − −±= N nN n s x zcµ n x x n i i∑ = = 1 c n x n xP zz cc =+≤≤− )..( σµσ n x zc σµ .±= 1 .. − − ±= N nN n x zc σµ Prof. Paulo Alessio -2º semestre de 2008 4 1.3.2.2 Estimação da Média para Pequenas Amostras. Veremos agora como construir um intervalo de confiança para a média de uma população (parâmetro µ ), na situação em que o tamanho “n” da amostra extraída da população é igual ou inferior a 30. Quando o tamanho da amostra é pequeno (n ≤ 30), resulta em um intervalo de confiança baseado na Distribuição t de Student. 1.3.2.3 Etapas para Estimação da Média para Pequenas Amostras. 1) Colete uma amostra de tamanho n ≤ 30 da população de interesse. 2) Calcule os valores de x e s. 3) Escolha o valor do nível de confiança c = 1 - α . Onde α é o nível de significância (risco de erro). 4) Determine o valor de ttt cn == −1; 2 ; 2 α ν α (onde t c é o t crítico), a partir da distribuição t. 5) Calcule os limitesdo intervalo de confiança: P( n s x n s x tt cc .. +≤≤− µ ) =C ou n s x t c.±=µ 1.3.2.4 Tabela da Distribuição t. γ ν 0,40 0,25 0,10 0,05 0,025 0,010 0,005 0,0025 0,0010 0,0005 1 0,325 1,000 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 127,321 318,309 636,619 2 0,289 0,816 1,886 2,920 4,303 6,975 9,925 14,089 22,327 31,599 3 0,277 0,765 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 7,453 10,215 12,924 4 0,271 0,741 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 5,598 7,173 8,610 5 0,267 0,727 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 4,773 5,893 6,869 6 0,265 0,718 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 4,317 5,208 5,959 7 0,263 0,711 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,029 4,785 5,408 8 0,262 0,706 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 3,833 4,501 5,041 9 0,261 0,703 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 3,690 4,297 4,781 10 0,260 0,700 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 3,581 4,144 4,587 11 0,260 0,697 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 3,497 4,025 4,437 12 0,259 0,695 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,428 3,930 4,318 13 0,259 0,694 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,372 3,852 4,221 14 0,258 0,692 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,327 3,787 4,140 15 0,258 0,691 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,286 3,733 4,073 16 0,258 0,690 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,252 3,686 4,015 17 0,257 0,689 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,222 3,646 3,965 18 0,257 0,688 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,197 3,610 3,922 19 0,257 0,688 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,174 3,579 3,883 20 0,257 0,687 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,153 3,552 3,850 21 0,257 0,686 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,135 3,527 3,819 22 0,256 0,686 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,119 3,505 3,792 23 0,256 0,685 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,104 3,485 3,768 24 0,256 0,685 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,091 3,467 3,745 25 0,256 0,684 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,078 3,450 3,725 26 0,256 0,684 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,067 3,435 3,707 27 0,256 0,684 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,057 3,421 3,690 28 0,256 0,683 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,047 3,408 3,674 29 0,256 0,683 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,038 3,396 3,659 30 0,256 0,683 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,030 3,385 3,646 Prof. Paulo Alessio -2º semestre de 2008 5 Exemplo. Uma amostra aleatória de 36 baterias foi testada, acusando vida média de 48 meses. Sabendo-se que de levantamentos anteriores o desvio padrão da população da qual foi extraída a amostra é de 4 meses, determine um intervalo de confiança de 95 % em torno da verdadeira média da população. Solução %95)( =+≤≤− n zx n zxP cc σµσ %95) 36 496,148 36 496,148( =+≤≤− µP %95)31,14831,148( =+≤≤− µP %95)31,4969,46( =≤≤ µP Podemos concluir com 95% de confiança que a verdadeira média da população está contida no intervalo acima. Exercícios. 1) Uma máquina que enche pacotes de café estava regulada para enchê-los com 500 g, em média. Agora, ela se desregulou e queremos saber qual a nova média µ . Uma amostra aleatória de 25 pacotes foi retirada e apresentou uma média igual a 485g e uma variância de 100g2. Determine: a) Uma estimativa pontual para a média µ . Resposta. gx 485= b) Um intervalo com confiança de 95% de conter a média da população. Resposta. %95)489481( =≤≤ µP 2) Verificando-se que a média das alturas de 100 estudantes da Universidade XYZ é 171,70 cm com 7,79 cm de desvio padrão. Sabendo-se que o total de estudantes da Universidade é 1.546. Determine um intervalo de confiança de 95% em torno da verdadeira média da população. Resposta. %95)18,17322,170( =≤≤ µP 3) Resolver o problema anterior determinando um intervalo de confiança de 99%. Resposta. )64,17376,169( ≤≤ µP 4) As medidas dos diâmetros de uma amostra aleatória de 200 rolamentos esféricos produzidos por certa máquina, durante uma semana, apresentam a média de 0,824 polegada e o desvio-padrão de 0,042 polegada. Determinar um intervalo de confiança de 95% em torno da verdadeira média da população. Resposta. µ≤818,0(P )830,0≤ 5) Uma amostra aleatória de 50 graus (notas) em matemática, num total de 200, apresenta a média de 75 e o desvio-padrão de 10. Determine um intervalo de confiança em torno da verdadeira média da população de: a) 95% Resposta. )41,7759,72( ≤≤ µP b) 90% Resposta. )02,7798,72( ≤≤ µP 6) A vida média de operação de uma amostra de 28 lâmpadas é 4.000 horas com o desvio padrão de 200 horas. Supõe-se que o tempo de operação das lâmpadas em geral tenha distribuição aproximadamente normal. Estime a vida média de operação para a população de lâmpadas da qual foi extraída a amostra, usando um intervalo de confiança de 98%. Resposta. Média da população entre 3.907 e 4.093 horas. Prof. Paulo Alessio -2º semestre de 2008 6 7) Para uma dada semana, uma amostra aleatória de 26 empregados selecionados de um grande grupo de empregados horistas apresentou um salário médio de $ 180,00 com um desvio padrão da amostra de $ 14,00. Supõe-se que a distribuição dos salários seja aproximadamente normal. Qual o intervalo de salários tal que exista uma confiança de 95% de que a verdadeira média esteja contida no intervalo? Resposta. $ 174,00 a $ 185,00 8) Construir um intervalo para a vida média útil de uma determinada marca de tubo de imagem de TV com nível de confiança de 90%, sabendo-se que de uma amostra de 15 tubos de imagem desta marca, a média da vida útil foi de 8.900h de operação e o desvio padrão de 500h. Resposta. 8.673h a 9.127h. 9) Resolver o problema anterior para 95% de nível de confiança. Resposta. 8.623h a 9.177h. 10) Um analista de mercados obtém dados de uma amostra de 100 consumidores de um total de 400 que adquiriram uma “oferta especial”. As 100 pessoas gastaram, na loja, uma média de $ 24,57 com um desvio padrão de $ 6,60. Com um intervalo de confiança de 95% estimar: (a) o valor médio de compras para todos os 400 clientes. b) o valor total das compras dos 400 clientes. Resposta. a) entre $ 23,45 e $ 25,69 b) entre $ 9.380,00 e $ 10.276,00 11) De 50.000 válvulas fabricadas por uma companhia retira-se uma amostra de 400 válvulas, e obtém-se a vida média de 800 horas e o desvio padrão de 100 horas. Qual o intervalo de confiança de 99% para a vida média da população? Resposta. Entre 787h e 813h. 12) Foram retiradas 25 peças peças da produção diária de uma máquina, encontrando-se para uma medida uma média de 5,2 mm. Sabendo-se que as medidas têm distribuição normal com desvio padrão populacional 1,2 mm, construir intervalos de confiança para a média aos níveis de 90%, 95% e 99%. Respostas. O intervalo [4,8 mm ; 5,6 mm] contém a média populacional com confiança de 90%. O intervalo [4,7 mm ; 5,7 mm] contém a média populacional com confiança de 95%. O intervalo [4,5 mm ; 5,9 mm] contém a média populacional com confiança de 99%. 13) Em uma fábrica, colhida uma amostra de certa peça, obtiveram-se as seguintes medidas para os diâmetros: 10 11 11 11 12 12 12 12 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 14 14 14 14 14 15 15 15 16 16 a) Estimar a média e a variância; b) Construir um intervalo de confiança para a média usando um nível de significância igual a 5%. Resposta. a) 05,213,13 2 == sex b) O intervalo [12,60 ; 13,66] contém a média populacional com confiança de 95%. 14) Numa grande empresa, uma amostra aleatória de 20 empregados forneceu, com relação às idades, média iguala 32,8 e desvio padrão 5,3. Estimar a verdadeira média de idade de todos os empregados no nível de confiança de 90%. Resposta. Entre 30,75 e 34,85 Prof. Paulo Alessio -2º semestre de 2008 7 1.4 Estimação para a Proporção p. 1.4.1 Estimação por Ponto. Uma estimativa pontual para p, numa proporção populacional é dada pela estatística: n xp =ˆ onde: .ˆ ,int amostralproporçãoaép eamostradatamanhooén eressedeticacaracterísapossuemqueamostradaelementosdenúmerooéx 1.4.2 Estimação por Intervalo. Uma estimativa por intervalo para p pode ser encontrada através da estatística pˆ , através do intervalo de confiança: c n qp zpp n qp zpP cc = +≤≤− .ˆ.ˆ ou n qppp zc . .ˆ ±= Como n qp. é o desvio-padrão e muitas vezes não o conhecemos, podemos estimá-lo por .ˆ.ˆ n qp portanto n qppp zc ˆ.ˆ .ˆ ±= Exercícios. 1) O escrutínio realizado na amostra de 100 eleitores, escolhidos ao acaso entre todos os votantes de um determinado distrito, indicou que 55% deles eram a favor de um certo candidato. Determinar os limites de confiança de 95%, para a proporção de todos os votantes favoráveis àquele candidato. Resposta. )648,0452,0( ≤≤ pP 2) Resolva o mesmo exercício para 99%. Resposta. )678,0422,0( ≤≤ pP 3) Em 40 lances de uma moeda foram obtidas 24 caras. Determinar o limite de confiança de 95%, para a proporção de caras que seria obtida em um número ilimitado de lances da moeda. Resposta. )75,045,0( ≤≤ pP 4) Numa amostra aleatória de n = 500 famílias que possuem aparelho de TV numa cidade do Canadá, foi encontrado que x = 340 possuem TV plasma. Determine: a) uma estimativa pontual para a proporção de famílias (que já possuem TV) que tem TV plasma. Resposta. 0,68 b) o intervalo que contém o valor da proporção das famílias que possuem TV plasma, com 95% de confiança. Resposta. 72,064,0 ≤≤ p Prof. Paulo Alessio -2º semestre de 2008 8 5) Uma empresa de pesquisa de mercado faz contato com uma amostra de 100 homens em uma grande comunidade e verifica que uma proporção de 0,40 na amostra prefere lâminas de barbear fabricadas por seu cliente em vez de qualquer outra marca. Determine o intervalo que contém o valor da proporção de todos os homens da comunidade que preferem a lâmina de barbear do cliente com confiança de 95%. Resposta. 50,030,0 ≤≤ p 6) Um administrador de uma universidade coleta dados sobre uma amostra aleatória de âmbito nacional de 230 alunos de cursos de Administração de Empresas e encontra que 54 de tais estudantes têm diplomas de Técnico de Contabilidade. Usando um intervalo de confiança de 90%, estimar a proporção nacional de estudantes que possuem diplomas de Técnico de Contabilidade. Resposta. 281,0189,0 ≤≤ p 7) Em uma grande área metropolitana em que estão localizados 800 postos de gasolina, para uma amostra aleatória de 36 postos, 20 comercializam um determinado óleo lubrificante que tem publicidade nacional. Usando um intervalo de confiança de 95% (a) estimar a proporção de todos os postos de gasolina daquela área metropolitana que comercializam o óleo e (b) o número total de postos de serviço da área que comercializam o óleo. Resposta. a) 72,040,0 ≤≤ p b) entre 320 e 576 postos. 8) Uma amostra aleatória de 500 eleitores de um município mostrou que 120 deles apoiavam determinado candidato a prefeito. Estimar, no nível de 90%, o percentual de eleitores que apóiam esse candidato. Resposta. %3,27%9,20 ≤≤ p 9) Numa amostra de 85 alunos de uma escola 5 eram canhotos. Estimar, no nível de 95%, a verdadeira proporção de canhotos dessa escola. Resposta. %88,10%88,0 ≤≤ p 1.5 Estimativa do Desvio Padrão. Para estimarmos σ com certo intervalo de confiança, determinamos os dois valores críticos de χ 2 , através da tabela, os quais limitam a área sob a curva, correspondente ao nível de confiança fixado. Se por exemplo o nível de confiança é de 90% (C = 0,90) e o valor do grau de liberdade 10 (ν = 10), os valores críticos de χ 2 são 3,94 e 18,30 conforme figura abaixo. 3,94 Prof. Paulo Alessio -2º semestre de 2008 9 Sendo χ 21 e χ 2 2 os limites inferior e superior, para certo nível de confiança, então σ será obtido por: ( ) ( ) χχ σ 2 1 2 2 2 2 .1.1 ss nn −≤≤ − Exemplo. Uma amostra de 20 elementos de uma população deu um desvio padrão 6. Estimar o (desvio padrão populacional) no nível de 95%. ( ) ( ) χχ σ 2 1 2 2 2 2 .1.1 ss nn −≤≤ − χ 21 = 8,91 e χ 2 2 = 32,9 91,8 36.19 9,32 36.19 σ≤ Resposta. 76,856,4 ≤≤ σ Exercícios. 1) Uma amostra de 15 elementos de uma população forneceu desvio padrão de 3,4. Estimar o desvio padrão populacional no nível de confiança de 90%. Resposta. 96,461,2 ≤≤ σ 2) Numa amostra de tamanho 25 de uma variável normalmente distribuída encontrou-se desvio padrão s = 8,6. Estimar σ no nível de significância de 5%. Resposta. Entre 6,71 e 11,96 3) Uma amostra de 10 elementos de uma população, constituída dos pesos de crianças de uma escola de ensino fundamental, forneceu: 25, 32, 40, 23, 36, 31, 29, 22, 37 e 27 kg. Estimar a variância dos pesos de todos os estudantes desta escola no nível de confiança de 90%. Resposta. 23,10195,19 2 ≤≤ σ 2. Dimensionamento de Amostras. 2.1 Tamanho da Amostra para Estimar a Média de uma População Infinita. Se a população for infinita, ou com reposição, o tamanho da amostra será determinado por: 2 . = d z n c σ onde: n é o tamanho da amostra, xd −≥ µ é o erro amostral (precisão), σ é o desvio padrão da população, cz é a abscissa da distribuição normal padrão, fixado um nível de confiança c. Prof. Paulo Alessio -2º semestre de 2008 10 2.2 Tamanho da Amostra para Estimar a Média de uma População Finita. Se a população for finita, o tamanho da amostra será determinada por: 222 22 .)1.( .. σ σ c c zNd Nz n +− = onde: n é o tamanho da amostra, cz é a abscissa da distribuição normal padrão fixado um nível de confiança c, xd −≥ µ é o erro amostral (precisão), 2σ é a variância da população, N é o tamanho da população. 2.3 Tamanho da Amostra para Estimar a Proporção de uma População Infinita. Se população for infinita pode-se determinar o tamanho da amostra pela fórmula: 2 2 ˆ.ˆ.d qpz n c= onde: cz é a abscissa da normal padrão, pˆ é a estimativa da verdadeira proporção, caso não se tenha estimativas para pˆ admite-se 50,0ˆ =p , pq ˆ1ˆ −= , ppd ˆ−≥ é o erro amostral, onde p é verdadeira proporção, n é o tamanho da amostra. 2.4 Tamanho da Amostra para Estimar a Proporção de uma População Finita. Se a população for finita, temos: qpzNd Nqpz n c c ˆ.ˆ.)1( .ˆ.ˆ. 22 2 +− = onde: N é tamanho da população, cz é abscissa da normal padrão, pˆ é a estimativa da proporção, pq ˆ1ˆ −= , ppd ˆ−≥ é o erro amostral, n é o tamanho da amostra. Exercícios. 1) Qual o tamanho da amostra suficiente para estimar a média de uma população infinita cujo desvio padrão é igual a 5, com 95% de confiança e precisão de 0,4? Resposta. 601 2) Suponha que a variável escolhida em um estudo seja o peso de certa peça e que a população seja infinita. Pelas especificações do produto, o desvio padrão é de 10 kg. Admitindo um nível de confiança de 95,5% e um erro amostral de 1,5 kg, calcular o tamanho da amostra para o cálculo da média. Resposta. 178 Prof. Paulo Alessio -2º semestre de 2008 11 3) Estudos feitos anteriormente mostram que o desvio padrão da altura dos homens de uma cidade é de 10 cm. Querendo estimar a altura média de todos os homens dessa cidade, com tolerância de 3 cm e probabilidade de 0,955, quantas observações deverão ser utilizadas ? Resposta. 45 4) Para estimar a média, qual o tamanho da amostra que devemos retirar de uma população com 5000 observações cujo desvio padrão é igual a 5, com 95 % de confiança e precisão de 0,4 ? Resposta. 536 5) Suponha que a variável escolhida seja o peso de certa peça e que a população seja igual a 600 peças. Pelas especificações do produto, o desvio padrão é de 10 kg. Admitindo um nível de confiança de 95,5 % e um erro amostral de 1,5 kg, calcular o tamanho da amostra para estimar a média. Resposta. 138 6) Qual o tamanho da amostra para estimar a média de uma população com 2.000 elementos, cujo desvio padrão é igual a 4, com 90% de nível de confiança e precisão de 0,3 ? Resposta. 388 7) Suponha que a variável escolhida em um estudo seja a proporção de eleitores favoráveis ao candidato X e que o investigador tenha elementos para suspeitar que essa porcentagem seja de 30 %. Admita a população infinita, um nível de confiança de 99 % e um erro amostral de 2 % (ou seja: que a diferença entre a verdadeira proporção de eleitores do candidato X e a estimativa a ser calculada na amostra seja no máximo de 2%). Calcular o tamanho da amostra. Resposta. 3.495 8) Sendo ,5,0ˆˆ == qp população infinita, 05,0=d e %5,95=c , determine o tamanho da amostra. Resposta. 400 9) Um engenheiro encarregado do controle de qualidade deseja estimar a fração de artigos defeituosos de um grande lote de artigos eletrônicos. Com base em sua experiência, ele sabe que a fração efetiva de artigos defeituosos deve estar próximo de 0,2. Que tamanho deve ter uma amostra, se ele desejar estimar a verdadeira fração de lâmpadas defeituosas com tolerância de 0,01, usando um nível de confiança de 98% ? Resposta. 8.686 10) Qual o tamanho da amostra que o Departamento de Trânsito de uma grande cidade deve tomar para estimar a porcentagem de semáforos defeituosos, se o objetivo é ter 95,5 % de confiança em não errar em mais de 3 % ? Resposta. 1.111 11) Em uma cidade, há 10.000 árvores. Qual deve ser o tamanho da amostra que o Departamento de Parques precisa tomar para estimar a porcentagem de plantas que merecem ser podadas, se o objetivo é ter 99 % de confiança de não errar por mais de 3%? Resposta. 1.561 12) Segundo dados de pesquisa anterior, 40 % dos alunos de certa escola são “paranistas”. Admita um erro de 2,5 %; c = 95,5 %, para dimensionar tamanho de amostra de tricolores. Sabe-se que a escola tem 5.000 alunos. Resposta. 1.176 13) Sendo ,5,0ˆˆ == qp população de 200.000, d = 0,05 e c = 95,5 %, determine o tamanho da amostra. Resposta. 399 Prof. Paulo Alessio -2º semestre de 2008 12 14) Uma amostra aleatória de 400 estudantes de uma universidade apresentou 56 deles devendo disciplinas de seus currículos. Adotando-se o nível de confiança de 95%, que tamanho deve ter a amostra para que o erro máximo de estimativa não exceda 2%? Resposta. 1.156 BIBLIOGRAFIA. FONSECA, Jairo Simon da e MARTINS, Gilberto de Andrade. Curso de Estatística. São Paulo: Editora Atlas, 1996. FRANCISCO, Walter de. Estatística. São Paulo, Atlas, 1985. KAZMIER, Leonard J. Estatística Aplicada a Economia e Administração. São Paulo: Makron, 1982. MARTINS, Gilberto de Andrade. Estatística Geral e Aplicada. São Paulo: Editora Atlas, 2002. MORETTIN, Pedro A. e BUSSAB, Wilton de O. Estatística Básica. São Paulo: Saraiva, 2003. SPIEGEL, Murray R. Estatística. Rio de Janeiro: McGraw-Hill, 1983. WERKEMA, Maria Cristina Catarina. Como Estabelecer Conclusões com Confiança: Entendendo Inferência Estatística. Belo Horizonte: UFMG, 1996.
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