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Lógica Matemática Denise Candal Aula 1 Aristóteles: 384 a.C. – 322 a.C. Filósofo grego, filho de Nicômaco, médico de Amintas, rei da Macedônia. Nasceu em Estagira, antiga cidade da Macedônia, situada hoje na Grécia. Criador do pensamento lógico. 2 Aristóteles e Estagira Macedonia. Região de Calcídica e suas três penínsulas ou "dedos". Em uma dessas península está Estagira. 3 Região da Calcídica, no litoral setentrional do mar Egeu. 3 4 Estagira e a Região de Calcídica Atual cidade de Estagira 5 Aristóteles e Platão 6 Aluno de Platão. Considerado um dos maiores pensadores de todos os tempos. Homem de cultura, de pesquisas, de estudo, de pensamento. Aristóteles e Alexandre, o Grande 343 a.C. convidado pelo Rei Filipe. Preceptor do Príncipe Alexandre, então com treze anos. 7 Aristóteles e a Lógica Sistematizou os conhecimentos existentes em Lógica. Organum (“ferramenta para o correto pensar”), estabeleceu princípios tão gerais e tão sólidos que até hoje são considerados válidos. 8 Aristóteles e a Lógica Preocupava-se com as formas de raciocínio que, a partir de conhecimentos considerados verdadeiros, permitiam obter novos conhecimentos. A Lógica não era uma ciência teórica, prática ou produtiva, mas, sim, um instrumento para todas as ciências. 9 Leibnitz e a Lógica Gottfried Wilhelm Leibniz: (1646-1716) filósofo e matemático. Linguagem comum: sujeita a ambiguidades e imprecisões. Não seria o veículo Ideal para a condução das ideias e da comunicação. http://didasfera.it 10 Leibnitz e a Lógica Objetivo: construir uma linguagem artificial ou uma língua racional. Espécie de álgebra ou matemática generalizada. As estruturas do pensamento e do raciocínio substituídas pelas estruturas do cálculo. http://didasfera.it 11 Lógica? O Que é? Análise de métodos de raciocínio. Um conjunto de regras para verificação se um pensamento é verdadeiro ou falso. A Lógica está interessada principalmente na forma e não no conteúdo dos argumentos. Lógica é essencialmente o estudo da natureza do raciocínio e as formas de aumentar ou melhorar sua utilização. 12 Lógica? Para quê? Aumentar a capacidade de análise crítica dos argumentos utilizados na organização das ideias e dos processos criativos. Melhorar a capacidade de racionalização e organização de ideias. Melhorar a compreensão de conceitos básicos, na verificação formal de programas. Melhorar o entendimento do conteúdo de tópicos mais avançados. 13 13 Lógica: Estudo de Estruturas Todo homem é “galinha”. Marcos é um homem. Portanto, Marcos é “galinha”. Toda loira é burra. Ofélia é uma loira. Portanto, Ofélia é burra. Todo X é Y. Z é X. Portanto Z é Y. 14 Ponto de vista da Lógica: esses argumentos têm a mesma estrutura. 14 “Ser ou não ser” http://www.youtube.com/watch?v=qd3OicLy0iM 15 Princípio da Casa dos Pombos Se existirem pelo menos K+1 pombos, e somente K casas, pelo menos uma casa vai ter mais do que um pombo. 16 Problema dos Meses do Ano Quantas pessoas devemos ter, no mínimo, numa sala, de modo a que possamos garantir que 4 delas tenham nascido num mesmo mês? 17 4 pessoas em um mesmo mês 12 pessoas 1 em cada mês + 12 pessoas 1 em cada mês + 12 pessoas 1 em cada mês +... Total 36 pessoas com 3 em cada mês Mais 1 pessoa, coincidirá um dos meses. Problema dos Meses do Ano 18 Quantas pessoas, no mínimo, devemos ter em um grupo para que possamos garantir a existência de pelo menos duas tendo nomes que comecem com a mesma letra? (Considere um alfabeto com 26 letras.) Problema do Alfabeto 19 Quantas pessoas, no mínimo, devemos ter em um grupo para que possamos garantir a existência de pelo menos duas tendo nomes que comecem com a mesma letra? (Considere um alfabeto com 26 letras.) 26 letras – uma pessoa de cada letra Mais 1 pessoa – a letra dessa pessoa coincidirá com alguma anterior Resposta: 27 pessoas Problema do Alfabeto 20 Problema das Meias Tenho 16 meias em uma gaveta, sendo 8 meias brancas e 8 meias pretas. Quantas meias, no mínimo, devem ser retiradas da gaveta, para se ter certeza de obter um par de meias de cores diferentes? 21 Tenho 16 meias em uma gaveta, sendo 8 meias brancas e 8 meias pretas. Quantas meias, no mínimo, devem ser retiradas da gaveta, para se ter certeza de obter um par de meias de cores diferentes? 9 meias!!! Problema das Meias 22 Em uma caixa, há 7 lenços brancos, 9 cinzas e 10 amarelos. Os lenços serão retirados ao acaso, de dentro dessa caixa. Quantos lenços, no mínimo, devem ser retirados ao acaso, de dentro dessa caixa, para que se possa garantir que, dentre os lenços retirados, haja um de cada cor? Problema dos Lenços http://www.casa8.tv 23 Em uma caixa, há 7 lenços brancos, 9 cinzas e 10 amarelos. Os lenços serão retirados ao acaso, de dentro dessa caixa. Quantos lenços, no mínimo, devem ser retirados ao acaso, de dentro dessa caixa, para que se possa garantir que, dentre os lenços retirados, haja um de cada cor? Pior das hipóteses:10 amarelos 9 cinzas 1 branco 20 lenços Problema dos Lenços 24 Problema das Roupas Nathalia tem uma blusa (B), uma saia (S) e uma calça (C). Uma das peças é vermelha, uma é branca e a outra é amarela, não necessariamente nessa ordem. Somente uma das afirmações abaixo é verdadeira: B é vermelha S não é vermelha C não é amarela Quais as cores das peças B , S e C ? 25 Somente uma das afirmações é verdadeira: Assim são verdades: S é vermelha. C é amarela. B é vermelha Verdadeira S não é vermelha Falsa C não é amarela Falsa B é vermelha e S é vermelha Problema das Roupas 26 Somente uma das afirmações é verdadeira: Assim são verdades: B não é vermelha. C é amarela B é vermelha Falsa S não é vermelha Verdadeira C não é amarela Falsa B não é vermelha e S não é vermelha: Assim, C precisa ser vermelha. Mas C é amarela. Problema das Roupas 27 Somente uma das afirmações é verdadeira: Assim são verdades: B não é vermelha. S é vermelha. B é vermelha Falsa S não é vermelha Falsa C não é amarela Verdadeira C não é amarela. S é vermelha. Assim, C precisa ser branca. B é amarela. Problema das Roupas 28 Três irmãs — Ana, Maria e Cláudia — foram a uma festa com vestidos de cores diferentes. Uma vestiu azul, a outra vestiu branco, e a terceira, preto. Chegando à festa, o anfitrião perguntou quem eram. Problema das Irmãs 29 A de azul respondeu: “Ana é a que está de branco”; A de branco disse: “Eu sou Maria”; A de preto respondeu: “Cláudia é quem está de branco”. O anfitrião sabia que Ana sempre diz a verdade. Ele foi capaz de identificar quem era cada irmã. E você? Qual a cor do vestido de cada uma das irmãs? Problema das Irmãs 30 A de azul respondeu: “Ana é a que está de branco”; A de branco disse: “Eu sou Maria”; A de preto respondeu: “Cláudia é quem está de branco”. 1a hipótese: Ana está de azul. 31 A de azul respondeu: “Ana é a que está de branco”; A de branco disse: “Eu sou Maria”; A de preto respondeu: “Cláudia é quem está de branco”. Ana diz sempre a verdade!!! Esta irmã – azul – não pode ser Ana. Neste caso ela responderia: “Ana está de Azul” Portanto: Ana não está de Azul. 1a hipótese: Ana está de azul. 32 2a hipótese : Ana está de branco A de azul respondeu: “Ana é a que está de branco”; A de branco disse: “Eu sou Maria”; A de preto respondeu: “Cláudia é quem está de branco”. http://3.bp.blogspot.com 33 Ana diz sempre a verdade. Esta irmã – branco – não pode ser Ana. Neste caso ela responderia: “Eu sou Ana” Portanto: Ana não está de branco Logo: Ana está de Preto. http://3.bp.blogspot.com 2a hipótese : Ana está de branco 34 Ana preto Maria Claudia 35 Ana veste preto e sempre diz a verdade. A de azul respondeu: “Ana é a que está de branco”; A de branco disse: “Eu sou Maria”; A de preto respondeu: “Cláudia é quem está de branco”. Ana preto Maria azul Claudia branco 36 Ana veste preto e sempre diz a verdade. A de azul respondeu: “Ana é a que está de branco”; A de branco disse: “Eu sou Maria”; A de preto respondeu: “Cláudia é quem está de branco”. Uma lagarta sobe em uma árvore. Todos os dias sobe 7 metros porém, à noite, escorrega e desce 5 metros. Ao anoitecer do 15º dia, a subida tem fim. Qual a altura dessa árvore? Problema da Lagarta http://poglyad.com 37 Problema da Lagarta Uma lagarta sobe em uma árvore. Todos os dias sobe 7 metros porém, à noite, escorrega e desce 5 metros. Ao anoitecer do 15º dia, a subida tem fim. Qual a altura dessa árvore? 7 m Dia 1 5 m Noite 1 Subiu 2m Subiu mais 2m 7 m Dia 2 2m 7 m Noite 2 2m 5 m Em 14 dias = sobe 28 m No 15 dia pela manhã, sobe mais 7 = 28+7=35 m 38 Problema dos Camelos Beremis Samir, o Homem que Calculava, e seu companheiro viajam num camelo pelo deserto. 39 Brigam 3 irmãos por uma herança deixada pelo pai que morrera. Eram 35 camelos. O velho destinara 1/2 para o mais velho, 1/3 para o do meio e 1/9 para o mais novo. Problema dos Camelos 40 Problema dos Camelos 35 camelos 1/2 irmão mais velho 1/3 irmão do meio 1/9 irmão mais novo 41 Dar o camelo em que montavam. Total: 36 camelos. irmão mais velho 36/2 = 18 irmão do meio, 36/3 = 12 irmão caçula, 36/9 = 4 Problema dos Camelos 42 Soma dos camelos dos irmãos: 18 + 12 + 4 = 34 E Beremis Samir, O Homem que Calculava, ganhou 1 camelo. Lógica Matemática Atividade 1 Denise Candal Problema do Roubo A loja de Abul foi roubada, mas as jóias foram recuperadas. Havia três suspeitos: seus nomes eram Abdul, Ibn e Hassib. No julgamento, os acusados deram os seguintes depoimentos: Abdul: Não fui eu que cometi o roubo. Ibn: Não foi Hassib quem roubou a loja. Hassib: Sim, o ladrão fui eu! - Mais tarde, dois deles confessaram ter mentido. Quem era o ladrão ? 44 Abdul cometeu o crime: p Ibn cometeu o crime: q Hassib cometeu o crime: r Abdul: Não fui eu que cometi o roubo. ~p Ibn: Não foi Hassib quem roubou a loja. ~r Hassib: Sim, o ladrão fui eu! r Dois deles confessaram ter mentido. ~p ~r r Problema do Roubo 45 Abdul cometeu o crime: p Ibn cometeu o crime: q Hassib cometeu o crime: r Abdul: Não fui eu que cometi o roubo. ~p Ibn: Não foi Hassib quem roubou a loja. ~r Hassib: Sim, o ladrão fui eu! r Dois deles confessaram ter mentido. Problema do Roubo ~p F V F ~r F F V r V F F 46 Abdul cometeu o crime: p Ibn cometeu o crime: q Hassib cometeu o crime: r Abdul: Não fui eu que cometi o roubo. ~p Ibn: Não foi Hassib quem roubou a loja. ~r Hassib: Sim, o ladrão fui eu! r Dois deles confessaram ter mentido. Problema do Roubo ~p F V F ~r F F V r V F F 47 Abdul cometeu o crime: p Ibn cometeu o crime: q Hassib cometeu o crime: r Abdul: Não fui eu que cometi o roubo. ~p Ibn: Não foi Hassib quem roubou a loja. ~r Hassib: Sim, o ladrão fui eu! r Dois deles confessaram ter mentido. Problema do Roubo ~p F F ~r F V r V F 48 Abdul cometeu o crime: p Ibn cometeu o crime: q Hassib cometeu o crime: r Abdul: Não fui eu que cometi o roubo. ~p Ibn: Não foi Hassib quem roubou a loja. ~r Hassib: Sim, o ladrão fui eu! r Dois deles confessaram ter mentido. Problema do Roubo ~p F F ~r F V r V F p V 49 Abdul cometeu o crime: p Ibn cometeu o crime: q Hassib cometeu o crime: r Abdul: Não fui eu que cometi o roubo. ~p Ibn: Não foi Hassib quem roubou a loja. ~r Hassib: Sim, o ladrão fui eu! r Dois deles confessaram ter mentido. ~p F F ~r F V r V F p V Problema do Roubo 50 Verdade!!! Problema do Roubo Abdul cometeu o crime: p Ibn cometeu o crime: q Hassib cometeu o crime: r Abdul: Não fui eu que cometi o roubo. ~p Ibn: Não foi Hassib quem roubou a loja. ~r Hassib: Sim, o ladrão fui eu! r Dois deles confessaram ter mentido. ~p F F ~r F V r V F p V Verdade!!! Mentira!!! Mentira!!! 51
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