calculo numerico

Prévia do material em texto

1.
		
		
	
	
	
	
	-11
	
	
	2
	
	 
	-3
	
	
	3
	
	 
	-7
	
	
	
		2.
		Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x2 - 1, calcule f(1/2).
		
	
	
	
	 
	- 3/4
	
	
	4/3
	
	
	- 0,4
	
	
	- 4/3
	
	
	3/4
	
	
	
		3.
		Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x2 + 1, calcule f(-1/4).
		
	
	
	
	
	9/8
	
	 
	2/16
	
	 
	17/16
	
	
	16/17
	
	
	- 2/16
	
	
	
		4.
		Uma vendedora recebe R$ 1000,00 de salário fixo, mais R$ 0,05 para cada real faturado nas vendas. Sendo x o valor em reais correspondente às vendas mensais da referida vendedora, expresse seu salário em função de x.
		
	
	
	
	 
	50x
	
	 
	1000 + 0,05x
	
	
	1000 - 0,05x
	
	
	1000 + 50x
	
	
	1000
	
	
	
		5.
		Sendo f uma função de R em R, definida por f(x) = 2x - 7, calcule f(2).
		
	
	
	
	 
	-3
	
	
	-7
	
	
	3
	
	 
	-11
	
	
	2
	
	
	
		6.
		Em cálculo numérico é necessário o conhecimentos de várias funções. Por exemplo, que função é definida pela sentença: função f definida de R em R na qual a todo xpertencente ao domínio R associa o elemento y de valor igual a ax2+bx+cx (onde a  R*, b e c  R)
		
	
	
	
	
	Função linear.
	
	
	Função logaritma.
	
	
	Função afim.
	
	 
	Função quadrática.
	
	 
	Função exponencial.
	
	
	
		7.
		O número binário (10000111101)2 tem representação na base decimal igual a:
		
	
	
	
	
	1086
	
	 
	10085
	
	
	10860
	
	 
	1085
	
	
	1084
	
	
	
		8.
		As funções matemáticas aparecem em diversos campos do conhecimento, descrevendo o comportamento da variável em estudo. Por exemplo, em Física, temos a descrição da velocidade de uma partícula em função do tempo no qual a observação se processa; em Economia, temos a descrição da demanda de um produto em função do preço do mesmo, entre outros exemplos. Com relação a função matemática que segue a lei algébrica f(x)=ax+b, com "a" e "b" representando números reais ("a" diferente de zero), PODEMOS AFIRMAR:
		
	
	
	
	
	O coeficiente "b" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	 
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal.
	
	 
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente linear e nos fornece informação sobre o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal.
	
	
	O coeficiente "b" é denominado de linear e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
		1.
		Cálculo Numérico e Programação Computacional estão intimamente relacionados, pois este segundo procedimento, com suas metodologias de programação estruturada, é ideal para a execução de rotinas reiteradas. Com relação a este contexto, NÃO podemos afirmar:
		
	
	
	
	 
	A programação estruturada tem como essência a decomposição do problema, com o objetivo de facilitar o entendimento de todos os procedimentos.
	
	
	A programação estruturada é uma forma de programação de computadores básica que tem como um dos objetivos facilitar o entendimento dos procedimentos a serem executados.
	
	
	A programação estruturada se desenvolve com a decomposição do problema em etapas ou estruturas hierárquicas.
	
	 
	A programação estruturada apresenta estruturas de cálculo sem que as mesmas contenham rotinas repetitivas.
	
	
	A programação estruturada consegue através da decomposição de um problema melhorar a confiabilidade do mesmo.
	
	
	
		2.
		Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x3 - 9x + 3 utilizando o Método da Bisseção. Realize 2 iterações. Intervalo inicial de x0=0 e x1=0.5. Após a realização das iterações diga o valor encontrado para x3.
		
	
	
	
	
	0,4
	
	
	1
	
	
	0.25
	
	 
	0.765625
	
	 
	0, 375
	
	
	
		3.
		Seja a medida exata da área de uma laje igual a 24,8 m2 e o valor aproximado de 25m2. Qual o erro absoluto associado?
		
	
	
	
	
	99,8%
	
	
	0,992
	
	 
	0,2%
	
	 
	0,2 m2
	
	
	1,008 m2
	
	
	
		4.
		Abaixo tem-se a figura de uma função e a determinação de intervalos sucessivos em torno da raiz xR . Os expoentes numéricos indicam a sequência de iteração.
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido com:
		
	
	
	
	 
	Gauss Jacobi
	
	
	Newton Raphson
	
	
	Gauss Jordan
	
	
	Ponto fixo
	
	 
	Bisseção
	
	
	
		5.
		A substituição de um processo infinito por um finito resulta num erro como o que acontece em 0,435621567...= 0,435. Esse erro é denominado:
		
	
	
	
	 
	Absoluto
	
	 
	De truncamento
	
	
	Relativo
	
	
	Percentual
	
	
	De modelo
	
	
	
		6.
		A teoria da Computação Numérica se baseia em estabelecer rotinas reiteradas de cálculos matemáticos com o intuito de se obter solução aproximada ou mesmo exata para um determinado problema. Neste contexto, é ideal que uma rotina de cálculo seja implementada em um computador, sendo utilizadas algumas estruturas lógicas básicas. Com relação a estas estruturas, NÃO PODEMOS AFIRMAR:
		
	
	
	
	 
	Estruturas sequenciais representam ações que seguem a outras ações sequencialmente. A saída de uma ação é a entrada de outra.
	
	
	As estruturas repetitivas, sequenciais e seletivas utilizam com frequência os "pseudocódigos" para expressarem as ações a serem executadas.
	
	
	Estruturais repetitivas representam ações condicionadas a um critério de parada, às vezes determinado em pseudocódigo pela palavra inglesa "while".
	
	
	Estruturas seletivas são aquelas que possuem ações que podem ser realizadas ou não. No pseudocódigo estas estruturas são representadas diversas vezes pela palavra inglesa "if".
	
	 
	Estruturas repetitivas representam ações que se repetem um número indeterminado de vezes. Em pseudocódigo podem ser representadas pela palavra inglesa "until".
	
	
	
		7.
		Sejam os vetores u = (0,2), v = (-2,5) e w = (x,y) do R2. Para que w = 3u + v, devemos ter x + y igual a:
		
	
	
	
	 
	18
	
	
	2
	
	
	5
	
	 
	9
	
	
	10
	
	
	
		8.
		Em que intervalo numérico abaixo a função f(x) = x3-8x+1 possui pelo menos uma raiz real?
		
	
	
	
	
	(-0.5, 0)
	
	
	(1, 1.5)
	
	
	(0.5, 1)
	
	 
	(0, 0.5)
	
	
	(1.5, 2)
	
		1.
		Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x2 - 3 utilizando o Método de Newton-Raphson. Realize 1 iteração. Além disso, temos x0=1 e f'(x)= 2x. Após a realização da iteração diga o valor encontrado para x1.
		
	
	
	
	 
	-1
	
	
	1
	
	
	1.75
	
	
	-2
	
	 
	2
	
	
	
		2.
		Abaixo tem-se a figura de uma função e várias tangentes ao longo da curva.
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido como:
 
		
	
	
	
	
	Ponto fixo
	
	
	Bisseção 
	
	
	Gauss Jordan
	
	
	Gauss Jacobi
	
	 
	Newton Raphson 
	
	
	
		3.
		Determine, utilizando o método de newton-raphson, qual a raiz da equação f(x) = 3x4-x-3 utilizando x0 = 1.Aplique duas iterações do método e indique a raiz encontrada. (Utilize quatro casas decimais para as iterações)
 
		
	
	
	
	
	1.0909
	
	
	1.0746
	
	 
	1.0800
	
	 
	1.0245
	
	
	1.9876
	
	
	
		4.
		Considere a função f(x) = x^3 - 2x e o intervalo [1, 3]. Utilizando o método da falsa posição, qual o valor da raiz após a primeira iteração.
		
	
	
	
	
	1,85
	
	
	1,56
	
	
	0,55
	
	 
	1,14
	
	 
	1,00
	
	
	
		5.
		O método do ponto fixo, é um método que permite encontrar as raízes de uma equação f(X) através de:
		
	
	
	
	
	Uma reta tangente à expressão f(x).
	
	 
	Um sistema linear das possíveis expressões de baseadas em f(x).
	
	 
	Uma expressão fi(x) baseada em f(x).
	
	
	Uma expressão que seja uma das possíveis derivadas de f(x).
	
	
	Uma aproximação da reta tangente f(x).
	
	
	
		6.
		O método de Newton-Raphson utiliza a derivada f´(x) da função f(x) para o cálculo da raiz desejada. No entanto, existe um requisito a ser atendido:
		
	
	
	
	
	A derivada da função deve ser positiva em todas as iterações intermediárias.
	
	 
	A derivada da função não deve ser nula em nenhuma iteração intermediária.
	
	
	A derivada da função deve ser negativa em todas as iterações intermediárias.
	
	 
	A derivada da função não deve ser negativa em nenhuma iteração intermediária.
	
	
	A derivada da função não deve ser positiva em nenhuma iteração intermediária.
	
	
	
		7.
		Considere a descrição do seguinte método iterativo para a resolução de equações. " a partir de um valor arbitrário inicial x0 determina-se o próximo ponto traçando-se uma tangente pelo ponto (x0, f(x0)) e encontrando o valor x1 em que esta reta intercepta o eixo das abscissas." Esse método é conhecido como:
		
	
	
	
	
	Método de Pégasus
	
	 
	Método do ponto fixo
	
	 
	Método de Newton-Raphson
	
	
	Método das secantes
	
	
	Método da bisseção
	
	
	
		8.
		Utilize o Método de Newton para encontrar a sua raiz aproximada x2 na função f(x) = 2 - 3ln(x) dado x0=0,5. 
		
	
	
	
	
	1,70
	
	
	1,17
	
	
	1,87
	
	 
	1,67
	
	 
	1,77
	
		1.
		O sistema de equações lineares abaixo pode ser representado em uma matriz estendida como:
2x+3y-z = -7
x+y+z = 4
-x-2y+3z = 15
		
	
	
	
	 
	 1  0   0  | -7
 0  1   0 | 4
 0  0   1 | 15
	
	
	 2  3  1  | -7
 1  1  1  | 4
  1  2 3 | 15
	
	
	 2  3  1  | -7
 1  1  1  | 4
-1 -2 3 | 15
	
	
	 2  1  1  | -7
 3  1  -2  | 4
-1  1   3 | 15
	
	 
	 2  3 -1  | -7
 1  1  1  | 4
-1 -2 3 | 15
	
	
	
		2.
		A resolução de sistemas lineares pode ser feita a partir de métodos diretos ou iterativos. Com relação a estes últimos é correto afirmar, EXCETO, que:
		
	
	
	
	
	Apresentam um valor arbitrário inicial.
	
	
	Existem critérios que mostram se há convergência ou não.
	
	 
	Consistem em uma sequência de soluções aproximadas
	
	
	As soluções do passo anterior alimentam o próximo passo.
	
	 
	Sempre são convergentes.
	 Gabarito Comentado
	
	
		3.
		Marque o item correto sobre o Método Eliminação de Gauss:
		
	
	
	
	
	É utilizado para fazer a interpolação de dados.
	
	 
	É utilizado para encontrar a raiz de uma função.
	
	
	Utiliza o conceito de matriz quadrada.
	
	 
	É utilizado para a resolução de sistema de equações lineares.
	
	
	Nenhuma das Anteriores.
	
	
	
		4.
		Resolva o sistema de equações abaixo e encontre x e y:
3x - 2y = - 12
5x + 6y = 8
 
		
	
	
	
	
	x = 2 ; y = -3
	
	
	x = 9 ; y = 3
	
	 
	x = -2 ; y = 3
	
	
	x = 5 ; y = -7
	
	 
	x = - 2 ; y = -5
	
	
	
		5.
		A Pesquisa Operacional é uma forte ferramenta matemática que se utiliza basicamente de sistemas lineares para "modelar" uma determinado contexto em que temos um problema físico, econômico, financeiro etc. Entre as opções oferecidas a seguir, identifique qual método numérico PODE ser utilizado para a resolução de sistemas lineares.
		
	
	
	
	 
	Método da falsa-posição.
	
	
	Método do ponto fixo.
	
	
	Método da bisseção.
	
	
	Método de Newton-Raphson.
	
	 
	Método de Gauss-Jordan.
	 Gabarito Comentado
	
	
		6.
		Resolva o sistema de equações abaixo e enconte x1 e x2:
5x1 + 4x2 = 180
4x1 + 2x2 = 120
 
		
	
	
	
	
	x1 = 18 ; x2 = 18
	
	
	x1 = -10 ; x2 = 10
	
	 
	x1 = -20 ; x2 = 15
	
	 
	x1 = 20 ; x2 = 20
	
	
	x1 = 10 ; x2 = -10
	
	
	
		7.
		Em Cálculo Numérico possuímos o Método de Lagrange para a interpolação polinomial de funções quando conhecemos alguns pontos das mesmas. Considerando este método como referência, determine o "polinômio" que melhor representa os pontos (1,3), (4,9), (3,7) e (2,5).
		
	
	
	
	 
	y=2x+1
	
	 
	y=2x-1
	
	
	y=2x
	
	
	y=x3+1
	
	
	y=x2+x+1
	
	
	
		8.
		Para resolvermos um sistema de equações lineares através do método de Gauss-Jordan, nós representamos o sistema usando uma matriz e aplicamos operações elementares até que ela fique no seguinte formato: Obs: Considere como exemplo uma matriz 3X3. Considere que * representa um valor qualquer.
		
	
	
	
	
	1 1 1 | *
0 1 1 | *
0 0 1 | *
	
	
	1 0 0 | *
1 1 0 | *
1 1 1 | *
	
	 
	1 0 0 | *
0 1 0 | *
0 0 1 | *
	
	
	1 1 1 | *
1 1 1 | *
1 1 1 | *
	
	
	0 0 1 | *
0 0 1 | *
0 0 1 | *
	
		1.
		A sentença "valor do módulo do quociente entre o erro absoluto e o número exato" expressa a definição de:
		
	
	
	
	 
	Erro absoluto
	
	 
	Erro relativo
	
	
	Erro conceitual
	
	
	Erro derivado
	
	
	Erro fundamental
	
	
	
		2.
		Dados ¨31¨ pontos distintos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x31,f(x31)). Suponha que se deseje encontrar o polinômio P(x) interpolador desses pontos por algum método conhecido - método de Newton ou método de Lagrange. Qual o maior grau possível para este polinômio interpolador?
		
	
	
	
	
	grau 15
	
	
	grau 20
	
	 
	grau 30
	
	
	grau 31
	
	
	grau 32
	
	
	
		3.
		Em um experimento, foram obtidos os seguintes pontos (0,1), (4,9), (2,5), (1,3) e (3,7) que devem fornecer uma função através dos métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das funções descritas a seguir, qual é a mais adequada?
		
	
	
	
	
	Função quadrática.
	
	 
	Função linear.
	
	 
	Função cúbica.
	
	
	Função logarítmica.
	
	
	Função exponencial.
	 Gabarito Comentado
	
	
		4.
		Considere o valor exato 1,126 e o valor aproximado 1,100. Determine respectivamente o erro absoluto e o erro relativo.
		
	
	
	
	
	0,023 E 0,026
	
	
	0,023 E 0,023
	
	
	0,013 E 0,013
	
	
	0,026 E 0,026
	
	 
	0,026 E 0,023
	
	
	
		5.
		Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DAS SECANTES:
		
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
	
	
	
	
		6.
		A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio que melhor se ajuste aos pontos dados. Suponha que você tenha que determinar por interpolação o polinômio P(x) que se ajusteaos pontos pontos A (1,2), B(-1,-1), C(3, 5).e D(-2,8). Qual dos polinômios abaixo pode ser P(x)
		
	
	
	
	
	Um polinômio do quinto grau
	
	 
	Um polinômio do terceiro grau
	
	
	Um polinômio do quarto grau
	
	
	Um polinômio do sexto grau
	
	 
	Um polinômio do décimo grau
	
	
	
		7.
		Em Cálculo Numérico, existem diversos métodos para a obtenção de raízes de uma equação através de procedimentos não analíticos. Considerando a equação x2+x-6=0 e a técnica utilizada no método do ponto fixo com função equivalente igual a g(x0)=6-x2 e x0=1,5, verifique se após a quarta interação há convergência e para qual valor. Identifique a resposta CORRETA.
		
	
	
	
	
	Há convergência para o valor -59,00.
	
	
	Há convergência para o valor 2.
	
	 
	Há convergência para o valor -3.
	
	 
	Não há convergência para um valor que possa ser considerado raiz.
	
	
	Há convergência para o valor - 3475,46.
	
	
	
		8.
		Você é estagiário de uma empresa de engenharia que trabalha com testes em peças para grandes motores. Em um ensaio laboratorial você gera 10 pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x9,f(x9))). Suponha que se você tenha encontrado o polinômio P(x) interpolador desses pontos. A respeito deste polinômio é verdade que:
		
	
	
	
	
	Poderá ser do grau 15
	
	 
	Sempre será do grau 9
	
	
	Pode ter grau máximo 10
	
	 
	Será de grau 9, no máximo
	
	
	Nunca poderá ser do primeiro grau
	
	
	
		1.
		Considere o conjunto de pontos apresentados na figura abaixo que representa o esforço ao longo de uma estrutura de concreto.
 
 
 
A interpolação de uma função que melhor se adapta aos dados apresentados acima é do tipo
		
	
	
	
	
	 Y = b + x. log(a)
	
	
	Y = abx+c
	
	 
	Y = ax2 + bx + c
	
	 
	Y = ax + b
	
	
	 Y = b + x. ln(a)
	
	
	
		2.
		Calcular pela regra do Trapézio usando 5 pontos e sabendo-se que:
 
 
		
	
	
	
	 
	7,970
	
	
	4,785
	
	 
	3,985
	
	
	5,125
	
	
	2,395
	
	
	
		3.
		Dados os pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x20,f(x20)) ) extraídos de uma situação real de engenharia. Suponha que se deseje encontrar o polinômio P(x) interpolador desses pontos. A respeito deste polinômio são feitas as seguintes afirmativas:
 
 I - Pode ser de grau 21
II - Existe apenas um polinômio P(x)
III - A técnica de Lagrange permite determinar P(x).
 
Desta forma, é verdade que:
		
	
	
	
	
	 Todas as afirmativas estão erradas
	
	 
	 Apenas I e III são verdadeiras
	
	
	 Apenas I e II são verdadeiras
	
	 
	Apenas II e III são verdadeiras.
 
	
	
	 Todas as afirmativas estão corretas
	
	
	
		4.
		Considere o conjunto de instruções: If A > B then C = A x B Else C = A/B Se os valores de A e B são, respectivamente, 10 e 2, determine o valor de C após esse conjunto de instruções ser executado.
		
	
	
	
	
	5
	
	
	Qualquer valor entre 2 e 10
	
	 
	20
	
	 
	0
	
	
	Indefinido
	
	
	
		5.
		Experimentos laboratoriais visando a obtenção de pares ordenados (x,y) e posterior interpolação de funções é uma das aplicações do Cálculo Numérico. Por exemplo, empiricamente foram obtidos os seguintes pontos (-3,9), (-2,4), (0,0), (3,9), (1,1) e (2,4) que devem fornecer uma função através dos métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das funções descritas a seguir, qual é a mais adequada?
		
	
	
	
	
	Função linear.
	
	
	Função logarítmica.
	
	
	Função cúbica.
	
	 
	Função exponencial.
	
	 
	Função quadrática.
	 Gabarito Comentado
	
	
		6.
		Se u = (5,4,3) e v = (3,5,7), calcule u + 2v
		
	
	
	
	
	(8,9,10)
	
	 
	(11,14,17)
	
	
	(10,8,6)
	
	
	(6,10,14)
	
	
	(13,13,13)
	
	
	
		7.
		Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Por vezes devemos utilizar métodos numéricos para esta resolução. Considere o método numérico de integração conhecido como regra dos trapézios. A aplicação deste método consiste em dividir o intervalo de integração (de a a b) em trapézios com mesma altura h = (b ¿ a)/n. Quando se aumenta n, ou seja, o número de trapézios, o valor da integral definida:
		
	
	
	
	
	Varia, diminuindo a precisão
	
	
	Nada pode ser afirmado.
	
	 
	Varia, podendo aumentar ou diminuir a precisão
	
	 
	Varia, aumentando a precisão
	
	
	Nunca se altera
	
	
	
		8.
		Dada a função f através do tabelamento a seguir, complete a tabela, e calcule, aproximadamente, o valor de  usando o método dos trapézios com 3 casas decimais.
 
 
		
	
	
	
	 
	 13,857
	
	
	 13,000
	
	 
	 13,900
	
	
	 13,017
	
	
	 13,500
	
	
		1.
		Suponha que tenhamos um valor aproximado de 16700 para um valor exato de 16650. Marque o item que possui o erro absoluto, relativo e percentual respectivamente,
 
 
		
	
	
	
	
	Nenhum dos itens anteriores
	
	
	500 , 0.003 , 0.3%
	
	 
	50 , 0.003 , 0.3%
	
	 
	50 , 0.003 , 0.003%
	
	
	50 , 0.0003 , 0.3%
	
	
	
		2.
		Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Por vezes devemos utilizar métodos numéricos para esta resolução. Considere o método numérico de integração conhecido como regra dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo [a,b] em n retângulos congruentes. Aplicando este método para resolver a integral definida cujos limites de integração são 0 e 3, n = 10, cada base h do retângulo terá que valor?
		
	
	
	
	
	3
	
	 
	0,3
	
	 
	Indefinido
	
	
	0,5
	
	
	30
	 Gabarito Comentado
	
	
		3.
		O valor da integral de f(x) = 2/x3, variando no intervalo de 1 a 2, é igual a 7,5. Utilizando um método de integração numérica qualquer, foi encontrado o valor aproximado de 7,75. Determine, respectivamente, os erros absoluto e relativo desta aproximação.
		
	
	
	
	
	0,03 e 0,25
	
	
	0,025 e 0,03
	
	 
	0,25 e 0,03
	
	
	0,50 e o,30
	
	
	0,25 e 0,30
	
	
	
		4.
		Considere uma função f: de R em R tal que sua expressão é igual a f(x) = a.x + 8, sendo a um número real positivo. Se o ponto (-3, 2) pertence ao gráfico deste função, o valor de a é:
		
	
	
	
	 
	2,5
	
	 
	2
	
	
	1
	
	
	indeterminado
	
	
	3
	
	
	
		5.
		Considere o valor exato x = 3,1415926536 e o valor aproximado x¿ = 3, 14, o erro absoluto neste caso é:
		
	
	
	
	
	3,14
	
	 
	0.0015926536
	
	
	3,1416
	
	
	0,14
	
	 
	0,1415926536
	
	
	
		6.
		Suponha que uma pessoa esteja realizando a medição de um terreno utilizando uma fita métrica à Laser. Marque a opção que contém os erros que ela poderá cometer na execução desta atividade, na seguinte sequencia: ERRO DO OPERADOR, ERRO DO SISTEMA (PROCESSO) e ERRO ALEATÓRIO, respectivamente.
		
	
	
	
	
	Nenhuma das Anteriores
	
	 
	mal posicionamento da trena, marcação errada por baterias fracas, marcação errada por radiação solar intensa.
	
	
	marcação errada por baterias fracas, mal posicionamento da trena, marcação errada por radiação solar intensa.
	
	
	marcação errada por tremor de terra, mal posicionamento da trena, marcação errada por baterias fracas.
	
	 
	marcação errada por radiação solar intensa, marcação erradapor baterias fracas, mal posicionamento da trena.
	
	
	
		7.
		Com respeito a propagação dos erros são feitas trê afirmações:
I - o erro absoluto na soma, será a soma dos erros absolutos das parcelas;
II - o erro absoluto da multiplicação é sempre nulo.
III - o erro absoluto na diferença é sempre nulo.
É correto afirmar que:
		
	
	
	
	
	apenas III é verdadeira
	
	 
	apenas I é verdadeira
	
	
	apenas II é verdadeira
	
	 
	todas são verdadeiras
	
	
	todas são falsas
	
	
	
		8.
		Trunque para quatro casas decimais, o valor x= 3,1415926536
		
	
	
	
	
	3,14159
	
	 
	3,1415
	
	
	3,141
	
	
	3,142
	
	 
	3,1416
	
		1.
		Aprendemos que a Matemática é a linguagem que utilizamos para expressar o conhecimento de várias ciências como a Física, a Química, a Economia e diversas outras. Associadas a Matemática estão as técnicas numéricas que nos facilitam a obtenção de soluções, inserindo os computadores na execução de rotinas de cálculo. Com relação ao cálculo numérico, podemos afirmar as seguintes sentenças, com EXCEÇÃO de:
		
	
	
	
	 
	Um método numérico é um método não analítico, que tem como objetivo determinar um ou mais valores numéricos, que são soluções de determinado problema.
	
	
	Nos métodos numéricos é necessário decidir qual a precisão dos cálculos com que se pretende obter a solução numérica desejada.
	
	
	A precisão dos cálculos numéricos é também um importante critério para a seleção de um algoritmo na resolução de um dado problema.
	
	
	Os métodos analíticos conduzem a soluções exatas para os problemas; os métodos numéricos produzem, em geral, apenas soluções aproximadas.
	
	 
	Em cálculo numérico, erro é a diferença entre dois valores gerados por métodos não analíticos de obtenção do resultado.
	
	
	
		2.
		No método de Romberg para a determinação de uma integral definida de limites inferior e superior iguais a a e b, respectivamente, o intervalo da divisão é dado por hk = (a-b)/2 ^(k-1). . Se a = 1, b = 0 e k =2, determine o valor de h.
		
	
	
	
	
	1/3
	
	 
	1/4
	
	
	1/5
	
	
	0
	
	 
	1/2
	 Gabarito Comentado
	
	
		3.
		Em experimentos empíricos, é comum a coleta de informações relacionando a variáveis "x" e "y", tais como o tempo (variável x) e a quantidade produzida de um bem (variável y) ou o tempo (variável x) e o valor de um determinado índice inflacionário (variável y), entre outros exemplos. Neste contexto, geralmente os pesquisadores desejam interpolar uma função que passe pelos pontos obtidos e os represente algebricamente, o que pode ser feito através do Método de Lagrange. Com relação a este método, NÃO podemos afirmar:
		
	
	
	
	
	As interpolações linear (obtenção de reta) e quadrática (obtenção de parábola) podem ser consideradas casos particulares da interpolação de Lagrange.
	
	 
	Na interpolação quadrática, que representa um caso particular do polinômio de Lagrange, precisamos de dois pontos (x,y).
	
	
	Na interpolação para obtenção de um polinômio de grau "n", precisamos de "n+1" pontos.
	
	
	Na interpolação linear, que pode ser obtida através do polinômio de Lagrange, precisamos de dois pontos (x,y).
	
	 
	A interpolação de polinômios de grau "n+10" só é possível quando temos "n+11" pontos.
	 Gabarito Comentado
	
	
		4.
		Existem diversos métodos para a obtenção de uma integral definida, porém um deles aplica a regra do trapézio de forma repetida e "refina" a expressão obtida através da extrapolação de Richardson. Identifique nas opções a seguir o método que MAIS SE ADÉQUA ao descrito.
		
	
	
	
	
	Extrapolação de Richardson.
	
	 
	Regra de Simpson.
	
	
	Método do Trapézio.
	
	 
	Método de Romberg.
	
	
	Método da Bisseção.
	
	
	
		5.
		O Método de Romberg nos permite obter o resultado de integrais definidas por técnicas numéricas. Este método representa um refinamento de métodos anteriores, possuindo diversas especificidades apontadas nos a seguir, com EXCEÇÃO de:
		
	
	
	
	 
	Permite a obtenção de diversos pontos que originam uma função passível de integração definida.
	
	
	As expressões obtidas para a iteração se relacionam ao método do trapézio.
	
	 
	A precisão dos resultados é superior a obtida no método dos retângulos.
	
	
	Utiliza a extrapolação de Richardson.
	
	
	Pode se utilizar de critérios de parada para se evitar cálculos excessivos.
	 Gabarito Comentado
	
	
		6.
		Para analisar um fenômeno um engenheiro fez o levantamento experimental em um laboratório. Nesta análise concluiu que que as duas variáveis envolvidas x e y se relacionam linearmente, ou seja, através de um polinômio P(x) do primeiro grau. Qual o número mínimo de pontos que teve que obter no ensaio para gerar o polinômio P9x) por interpolação polinomial?
		
	
	
	
	 
	2
	
	
	1
	
	 
	3
	
	
	4
	
	
	5
	 Gabarito Comentado
	
	
		7.
		Uma técnica importante de integração numérica é a de Romberg. Sobre este método é correto afirmar que:
		
	
	
	
	
	É um método de pouca precisão
	
	
	Só pode ser utilizado para integrais polinomiais
	
	 
	Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método dos retângulos
	
	
	É um método cuja precisão é dada pelos limites de integração
	
	 
	Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método do trapézio
	 Gabarito Comentado
	
	
		8.
		Na determinação de raízes de equações é possível utilizar o método iterativo conhecido como de Newton- Raphson. Seja a função f(x)= x4 - 5x + 2. Tomando-se x0 como ZERO, determine o valor de x1. SUGESTÃO: x1=x0- (f(x))/(f´(x))
		
	
	
	
	 
	1,2
	
	
	1,0
	
	
	0,8
	
	
	0,6
	
	 
	0,4
	
		1.
		Sendo f uma função de R em R, definida por f(x) = 3x - 5, calcule f(-1).
		
	
	
	
	 
	2
	
	
	-11
	
	
	3
	
	
	-7
	
	 
	-8
	
	
	
		2.
		O Método de Euler nos fornece pontos de curvas que servem como soluções de equações diferenciais. Sabendo-se que um dos pontos da curva gerada por este método é igual a (4; 53,26) e que a solução exata é dada por y=ex, determine o erro absoluto associado. Assinale a opção CORRETA.
		
	
	
	
	
	1,00
	
	 
	3,00
	
	 
	1,34
	
	
	2,50
	
	
	2,54
	 Gabarito Comentado
	
	
		3.
		Considere f (x) = x3 − 9x + 3. Considerando o teorema do valor intermediário, podemos afirmar que:
		
	
	
	
	
	Existe raiz no intervalo [-4,-3], pois f(-4) * f(-3) > 0
	
	 
	Existe raiz no intervalo [-2,-1], pois f(-2) * f(-1) > 0
	
	 
	Existe raiz no intervalo [-4,-3], pois f(-4) * f(-3) < 0
	
	
	Existe raiz no intervalo [-3,-2], pois f(-3) * f(-2) < 0
	
	
	Existe raiz no intervalo [-3,-2], pois f(-3) * f(-2) > 0
	
	
	
		4.
		Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DA BISSEÇÃO:
		
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
	
	
	
	
		5.
		O Método de Euler é um dos métodos mais simples para a obtenção de pontos de uma curva que serve como solução de equações diferenciais. Neste contexto, geramos os pontos, utilizando a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" representa o passo adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=2, gere o ponto da curva parak=1 e passo igual a 0,5. Assinale a opção CORRETA.
		
	
	
	
	
	-2
	
	 
	1
	
	 
	3
	
	
	-3
	
	
	0
	
	
	
		6.
		Na descrição do comportamento de sistemas físicos dinâmicos, frequentente utilizamos equações diferenciais que, como o nome nos revela, podem envolver derivadas de funções. Um método comum para resolução de equações diferenciais de primeira ordem é o Método de Euler, que gera pontos da curva aproximada que representa a resolução do sistema. Para gerarmos os pontos, utilizamos a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" representa o passo adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=1, gere o ponto da curva para k=1 e passo igual a 1. Assinale a opção CORRETA.
		
	
	
	
	
	-2
	
	
	0
	
	 
	2
	
	
	-1
	
	
	1
	
	
	
		7.
		A Matemática traduz as ideias desenvolvidas em diversas ciências, como a Física, a Química e as Engenharias, em uma linguagem algébrica clara, que nos possibilita a manipulação de equações matemáticas e, desta forma, o descobrimento e entendimento dos fenômenos naturais que nos rodeiam. Neste universo de conhecimento matemático, existem as funções que seguem o padrão f(x)=ax2+bx+c, onde "a", "b" e "c" representam números reais, com "a" diferente de zero. Com relação a este tipo de função, PODEMOS AFIRMAR:
		
	
	
	
	 
	Estas funções possuem em suas representações gráficas pontos que são denominados vértice da parábola.
	
	
	Estas funções são adequadas a representação de fenômenos constantes ao longo do tempo.
	
	
	A forma gráfica destas funções sempre apresentam interseções com o eixo horizontal.
	
	
	Estas funções apresentam comportamento crescente ou decrescente, porém nunca ambos.
	
	 
	O coeficiente "a" está relacionado a forma crescente ou decrescente da forma gráfica associada a função.
	
	
	
		8.
		as funções podem ser escritas como uma série infinita de potência. O cálculo do valor de sen(x) pode ser representado por: sen(x)= x - x^3/3! +x^5/5!+⋯ Uma vez que precisaremos trabalhar com um número finito de casas decimais, esta aproximação levará a um erro conhecido como:
		
	
	
	
	 
	erro relativo
	
	 
	erro de truncamento
	
	
	erro absoluto
	
	
	erro de arredondamento
	
	
	erro booleano
	
		1.
		Qual o resultado da seguinte operação:
0,68723 x 10-1 - 0,4559 x 10-2
		
	
	
	
	 
	6,4164 x 10-3
	
	
	5,4164 x 10-3
	
	
	Nenhuma das anteriores.
	
	 
	6,4164 x 10-2
	
	
	0,6416 x 10-1
	
	
	
		2.
		Aprendemos que a Matemática é a linguagem que utilizamos para expressar o conhecimento de várias ciências como a Física, a Química, a Economia e diversas outras. Associadas a Matemática estão as técnicas numéricas que nos facilitam a obtenção de soluções, inserindo os computadores na execução de rotinas de cálculo. Com relação ao cálculo numérico, podemos afirmar as seguintes sentenças, com EXCEÇÃO de:
		
	
	
	
	 
	Nos métodos numéricos é necessário decidir qual a precisão dos cálculos com que se pretende obter a solução numérica desejada.
	
	
	Os métodos analíticos conduzem a soluções exatas para os problemas; os métodos numéricos produzem, em geral, apenas soluções aproximadas.
	
	 
	Em cálculo numérico, erro é a diferença entre dois valores gerados por métodos não analíticos de obtenção do resultado.
	
	
	Um método numérico é um método não analítico, que tem como objetivo determinar um ou mais valores numéricos, que são soluções de determinado problema.
	
	
	A precisão dos cálculos numéricos é também um importante critério para a seleção de um algoritmo na resolução de um dado problema.
	
	
	
		3.
		Dentre os conceitos apresentados nas alternativas a seguir, assinale aquela que NÃO pode ser enquadrada como fator de geração de erros:
		
	
	
	
	
	Uso de rotinas inadequadas de cálculo
	
	 
	Execução de expressão analítica em diferentes instantes de tempo.
	
	 
	Uso de dados provenientes de medição: sistemáticos (falhas de construção ou regulagem de equipamentos) ou fortuitos (variações de temperatura, pressão)
	
	
	Uso de dados matemáticos inexatos, provenientes da própria natureza dos números
	
	
	Uso de dados de tabelas
	 Gabarito Comentado
	
	
		4.
		Sendo as matrizes M = (mij)2x3, N = (nij)axb, P = (pij)cx4, Q = (qij)dxe, é possível determinar M+N, NxP e P- Q, se:
 
		
	
	
	
	 
	a x b = 6, a + 1 = b = c= d= e - 1
	
	
	2b = 2c = 2d = a + c
	
	
	b - a = c - d
 
	
	 
	b = a + 1, c = d= e = 4
	
	
	a = b = c = d= e - 1
 
	
	
	
		5.
		A resolução de sistemas lineares é fundamental em alguns ramos da engenharia. O cálculo numérico é uma ferramenta importante e útil nessa resolução. Sobre os sistemas lineares assinale a opção CORRETA.
		
	
	
	
	
	Um sistema é dito linear quando pelo menos uma variável tem expoente unitário.
	
	
	O método da Eliminação de Gauss é um método iterativo para a resolução de sistemas lineares.
	
	 
	Ao se utilizar um método iterativo para solucionar um sistema de equações lineares deve tomar cuidado pois, dependendo do sistema em questão, e da estimativa inicial escolhida, o método pode não convergir para a solução do sistema.
	
	 
	Nos métodos diretos para a resolução de sistemas lineares utilizamos o escalonamento que consiste em transformar a matriz incompleta em uma matriz identidade
	
	
	Para o mesmo sistema linear e para um mesmo chute inicial, o método de Gauss-Seidel tende a convergir para a resposta exata do sistema numa quantidade maior de iterações que o método de Gauss-Jacobi.
	
	
	
		6.
		Seja a medida exata da área de uma laje igual a 24,8 m2 e o valor aproximado de 25m2. Qual o erro relativo associado?
		
	
	
	
	 
	0,8%
	
	 
	0,992
	
	
	0,2 m2
	
	
	1,008 m2
	
	
	99,8%
	 Gabarito Comentado
	
	
		7.
		Considere o Método de Romberg para cálculo da integral. Assim, o valor de R2,1 da integral de f(x) = cos(x) no intervalo entre 0 e 
é dado por:
		
	
	
	
	
	2
	
	
	-
	
	 
	-
	
	 
	
	
	
	
	
	
	
		8.
		Em algumas modelagens físicas, nos deparamos com diversas situações em que devemos expressar condições de contorno através de equações lineares, que se organizam em um sistema. Considerando as opções a seguir, identifique aquela que NÃO se relaciona a relação destes sistemas.
		
	
	
	
	 
	Método de Decomposição LU.
	
	
	Método de Gauss-Jordan.
	
	
	Método de Gauss-Seidel.
	
	
	Método de Gauss-Jacobi.
	
	 
	Método de Newton-Raphson.
	 5a Questão (Ref.: 201602
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DO PONTO FIXO:
		
	
	
	
	
	
	
	 
	
	 
	
		
	
	
	 6a Questão (Ref.: 201602676997)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON: