Amort Price

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DISCIPLINA: 
NDC102 – ENGENHARIA ECONÔMICA
MATEMÁTICA FINANCEIRA 2
Unidade 4 - Sistemas de Amortização
U2A2
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8 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 
8.1 Sistema Francês de Amortização (Tabela Price) 
8.2 Sistema de Amortização Constante (SAC) 
8.3 Sistema de Amortização Misto (SAM) 
8.4 Análise comparativa dos sistemas Price, SAC e SAM 
8.5 Sistema Americano
8.6 Problemas Propostos 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
NOTA: Esse material foi compilado de várias fontes. Ele complementa as aulas expositivas. A leitura da bibliografia básica citada no Plano de Ensino é altamente recomendada.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
8 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 
3 / 6
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8. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
forma como uma determinada dívida (principal e juros) com 
pagamento parcelado é paga por quem a contraiu.
Importância: o sistema de amortização é importante quando se 
deseja saber quanto ($$$) de determinada dívida adquirida ainda é 
devida, a qualquer tempo.
Valor da Prestação = Valor da Amortização + Parcela de Juros 
PMT = A + J 
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8. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Exemplo 1 - Empréstimo para a compra de um automóvel:
Em uma parcela qualquer, digamos de R$654,00, parte do valor 
paga o PRINCIPAL e parte paga os JUROS.
A questão é... QUANTO?
Resposta: DEPENDE do Sistema de Amortização. 
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8. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
� Juros compostos
� Principais métodos:
� Tabela Price: prestações constantes;
� Sistema Americano: juros constantes;
� Sistema de Amortização Constante (SAC): amortização 
constante;
� O saldo devedor no início do primeiro período é o valor do 
empréstimo. Os juros devidos ao cabo de cada período são iguais 
ao produto da taxa de juros pelo saldo devedor no início daquele 
período, sempre.
� A amortização depende do sistema ou método acordado entre a 
instituição que concede o financiamento e a empresa tomadora do 
empréstimo
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
Consiste de um plano de amortização de uma dívida em 
prestações periódicas iguais e sucessivas dentro do conceito de 
termos vencidos.
Cada prestação é composta de duas parcelas distintas:
� Juros (J)
� Amortização (A) = parcela do capital pago.
8.1 Sistema Francês de Amortização (Tabela Price)
U2A2
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
Consiste de um plano de amortização de uma dívida em 
prestações periódicas iguais e sucessivas dentro do conceito de 
termos vencidos.
8.1 Sistema Francês de Amortização (Tabela Price)
Empréstimo
Amortização
Prestação
0
1
n
Evolução das parcelas de juros e amortização
Juros
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
O valor das prestações é calculado usando o Fator de Recuperação de 
Capital (FRC).
Valor da Prestação PMT = P x FRC(i ; n)
A parcela de juros é calculada multiplicando-se a taxa de juros 
acordada pelo valor do principal ainda devido (saldo devedor).
Valor do Juros J = i x P
A amortização é a diferença entre o valor da prestação e os juros 
calculados.
Valor da Amortização A = PMT – J
8.1 Sistema Francês de Amortização (Tabela Price)
( ) 





−+
+
=
1)1(
)1(
,
n
n
i
ii
niFRC
U2A2
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Exemplo 2:
Calcular os valores das parcelas de juros e amortização referentes à 
primeira prestação, de um empréstimo de $8.530,20, à taxa de 3% ao 
mês, para ser liquidado em 10 prestações iguais. Calcule também o 
saldo devedor. 
Identificação das variáveis:
Prestação = PMT = ?
Juros = J
1
= ?
Amortização = A
1
= ?
Saldo devedor= P
1
=?
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Dados:
P = $ 8.530,20
n = 10 meses
i = 3 % ao mês
8.1 Sistema Francês de Amortização (Tabela Price)
Resolução:
PMT = P
0
x FRC(i, n)
PMT = 8.530,20 x FRC(3%, 10)
PMT = 8.530,20 x 0,11723 = 1.000,00
J
1
= i x P
0
= 0,03 x 8.530,20 = 255,91
A
1
= PMT – J
1
= 1.000,00 – 255,91 = 744,09
P
1
= P
0
– A
1
= 8.530,20 – 744,09
P
1
= 7.786,11
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t
Saldo Devedor
(P
t
)
Amortização
(A
t
)
Juros
(J
t
)
Prestação
(PMT)
0 8.530,20 - - -
1 7.786,11 744,09 255,91 1.000,00
TAXA 2 7.019,69 766,42 233,58 1.000,00
3% 3 6.230,28 789,41 210,59 1.000,00
4 5.417,19 813,09 186,91 1.000,00
5 4.579,70 837,48 162,52 1.000,00
6 3.717,10 862,61 137,39 1.000,00
7 2.828,61 888,49 111,51 1.000,00
8 1.913,47 915,14 84,86 1.000,00
9 970,87 942,60 57,40 1.000,00
10 0,00 970,87 29,13 1.000,00
TOTAL - 8.530,20 1.469,80 10.000,00
Exemplo 2:
MATEMÁTICA FINANCEIRA
8.1 Sistema Francês de Amortização (Tabela Price)
17,23% de $8.530,20
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Exemplo 3:
Calcular os valores das parcelas de juros e amortização, e saldo 
devedor, referentes à segunda prestação, de um empréstimo de 
$8.530,20, à taxa de 3% ao mês, para ser liquidado em 10 
prestações iguais.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Dados:
P = $ 8.530,20
n = 10 meses
i = 3 % ao mês
PMT = 1.000,00
P
1
= 7.786,11
8.1 Sistema Francês de Amortização (Tabela Price)
Resolução:
J
2
= i x P
1
= 0,03 x 7.786,11 = 233,58
A
2
= PMT – J
2
= 1.000,00 – 233,58 = 766,42
P
2
= P
1
– A
2
= 7.786,11 – 766,42
P
2
= 7.019,69
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t
Saldo Devedor
(P
t
)
Amortização
(A
t
)
Juros
(J
t
)
Prestação
(PMT)
0 8.530,20 - - -
1 7.786,11 744,09 255,91 1.000,00
TAXA 2 7.019,69 766,42 233,58 1.000,00
3% 3 6.230,28 789,41 210,59 1.000,00
4 5.417,19 813,09 186,91 1.000,00
5 4.579,70 837,48 162,52 1.000,00
6 3.717,10 862,61 137,39 1.000,00
7 2.828,61 888,49 111,51 1.000,00
8 1.913,47 915,14 84,86 1.000,00
9 970,87 942,60 57,40 1.000,00
10 0,00 970,87 29,13 1.000,00
TOTAL - 8.530,20 1.469,80 10.000,00
Exemplo 3:
MATEMÁTICA FINANCEIRA
8.1 Sistema Francês de Amortização (Tabela Price)
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Exemplo 3.1:
Calcular os valores das parcelas de juros e amortização, e saldo 
devedor, referentes à terceira prestação, de um empréstimo de 
$8.530,20, à taxa de 3% ao mês, para ser liquidado em 10 
prestações iguais.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Dados:
P = $ 8.530,20
n = 10 meses
i = 3 % ao mês
PMT = 1.000,00
P
2
= 7.019,69
8.1 Sistema Francês de Amortização (Tabela Price)
Resolução:
J
3
= i x P
2
= 0,03 x 7.019,69 = 210,59
A
3
= PMT – J
3
= 1.000,00 – 210,59 = 789,41
P
3
= P
2
– A
3
= 7.019,69 – 789,41
P
3
= 6.230,28
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t
Saldo Devedor
(P
t
)
Amortização
(A
t
)
Juros
(J
t
)
Prestação
(PMT)
0 8.530,20 - - -
1 7.786,11 744,09 255,91 1.000,00
TAXA 2 7.019,69 766,42 233,58 1.000,00
3% 3 6.230,28 789,41 210,59 1.000,00
4 5.417,19 813,09 186,91 1.000,00
5 4.579,70 837,48 162,52 1.000,00
6 3.717,10 862,61 137,39 1.000,00
7 2.828,61 888,49 111,51 1.000,00
8 1.913,47 915,14 84,86 1.000,00
9 970,87 942,60 57,40 1.000,00
10 0,00 970,87 29,13 1.000,00
TOTAL - 8.530,20 1.469,80 10.000,00
Exemplo 3.1:
MATEMÁTICA FINANCEIRA
8.1 Sistema Francês de Amortização (Tabela Price)
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t
Saldo Devedor
(P
t
)
Amortização
(A
t
)
Juros
(Jt
)
Prestação
(PMT)
0 8.530,20 - - -
1 7.786,11 744,09 255,91 1.000,00
TAXA 2 7.019,69 766,42 233,58 1.000,00
3% 3 6.230,28 789,41 210,59 1.000,00
4 5.417,19 813,09 186,91 1.000,00
5 4.579,70 837,48 162,52 1.000,00
6 3.717,10 862,61 137,39 1.000,00
7 2.828,61 888,49 111,51 1.000,00
8 1.913,47 915,14 84,86 1.000,00
9 970,87 942,60 57,40 1.000,00
10 0,00 970,87 29,13 1.000,00
TOTAL - 8.530,20 1.469,80 10.000,00
MATEMÁTICA FINANCEIRA
8.1 Sistema Francês de Amortização (Tabela Price)
Exercício: Calcule as linhas 4 e 5 
U2A2
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Exemplo 3:
MATEMÁTICA FINANCEIRA
8.1 Sistema Francês de Amortização (Tabela Price)
17,23% de $8.530,20
Pagamentos - Tabela Price
0
200
400
600
800
1000
1200
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Período
V
a
l
o
r
 
$
Amortização
Juros
Prestação
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
As principais relações são: 
Valor da prestação ......................................... PMT = P
0
x FRC(i,n)
Saldo devedor de ordem t .............................. P
t
= PMT x FVA(i;n-t)
Saldo devedor de ordem t-1 ........................... P
t-1
= PMT x FVA(i;n-t+1)
Valor da primeira parcela de juros .................. J
1
= i x P
0
Valor da parcela de juros de ordem t .............. J
t
= i x P
t-1
Valor da primeira parcela de amortização ...... A
1
= PMT – J1 
A
1
= PMT – (i x P
0
)
Valor da parcela de amortização de ordem t .. A
t
= A
1
x (1 + i)t-1
8.1 Sistema Francês de Amortização (Tabela Price)
( ) 





+
−+
=
n
n
ii
i
niFVA
)1(
1)1(
,( ) 





−+
+
=
1)1(
)1(
,
n
n
i
ii
niFRC
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Exemplo 4:
Calcular o valor do saldo devedor existente no final do 6º mês (após o 
pagamento da 6ª prestação) de um empréstimo de $8.530,20, à taxa de 3% ao 
mês, para ser liquidado em 10 prestações iguais.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
8.1 Sistema Francês de Amortização (Tabela Price)
Resolução:
P
6
= PMT x FVA(i, n-t)
P
6
= PMT x FVA(3%, 10 - 6)
Identificação da variável:
Saldo Devedor = P
6
= ?
Dados:
P = $ 8.530,20
n = 10 meses
i = 3 % ao mês
PMT = 8.530,20 x 0,11723 = 1.000,00
P
6
= 1.000,00 x 3,71710
P
6
= 3.717,10
PMT = P
0
x FRC(i, n) = 8.530,20 x FRC(3%, 10)
( ) 





+
−+
=
n
n
ii
i
niFVA
)1(
1)1(
,( ) 





−+
+
=
1)1(
)1(
,
n
n
i
ii
niFRC
U2A2
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Exemplo 5:
Calcular o valor da parcela de juros correspondente à 4ª prestação de um 
empréstimo de $8.530,20, à taxa de 3% ao mês, para ser liquidado em 10 
prestações iguais.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
8.1 Sistema Francês de Amortização (Tabela Price)
Resolução:
J
4
= i x P
3
P
3
= 1.000,00 x FVA(3%, 7) = 6.230,28
J
4
= 0,03 x 6.230,28 = 186,91 
Identificação da variável:
Juros = J
4
= ?
Dados:
P = $ 8.530,20
n = 10 meses
i = 3 % ao mês
( ) 





+
−+
=
n
n
ii
i
niFVA
)1(
1)1(
,
U2A2
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Exemplo 6:
Calcular o valor da parcela de amortização correspondente à 5ª prestação 
de um empréstimo de $8.530,20, à taxa de 3% ao mês, para ser liquidado 
em 10 prestações iguais.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
8.1 Sistema Francês de Amortização (Tabela Price)
Resolução:
A
5
= A
1
x (1 + i)t-1
Identificação da variável:
Amortização = A
5
= ?
Dados:
P = $ 8.530,20
n = 10 meses
i = 3 % ao mês
A
1
= PMT – i x P
0
A
1
= 1.000,00 – 0,03 x 8.530,20
A
1
= 744,09
A
5
= 744,09 x (1 + 0,03)5-1
A
5
= 837,48