Cinematica

Prévia do material em texto

1FísicaCinemáti ca
Rua General Celso de Mello Rezende, 301 – Tel.: (16) 3238·6300
CEP 14095-270 – Lagoinha – Ribeirão Preto-SP
www.sistemacoc.com.br
SISTEMA COC DE ENSINO
Direção-Geral: Sandro Bonás
Direção Pedagógica: Zelci C. de Oliveira
Direção Editorial: Roger Trimer
Gerência Editorial: Osvaldo Govone
Ouvidoria: Regina Gimenes
Conselho Editorial: José Tadeu B. 
Terra, Luiz Fernando Duarte, Osvaldo 
Govone e Zelci C. de Oliveira
PRODUÇÃO EDITORIAL
Autoria: Shirlei N. Dezidério
Editoria: Naylor F. de Oliveira e Tiago C. Leme
Coordenação Editorial: Luzia H. Fávero F. López
Projeto gráfico e direção de arte: 
Matheus C. Sisdeli
Preparação de originais: Marisa A. dos Santos 
e Silva e Sebastião S. Rodrigues Neto
Iconografia e licenciamento de texto: 
Marcela Pelizaro, Paula de Oliveira 
Quirino e Cristian N. Zaramella
Diagramação: BFS bureau digital
Ilustração: BFS bureau digital
Revisão: Flávia P. Cruz, Flávio R. Santos, José S. Lara, 
Leda G. de Almeida, Maria Cecília R. D. B. Ribeiro, 
Milena C. Lotto e Paula G. de Barros Rodrigues
Capa: LABCOM comunicação total
Conferência e Fechamento: BFS bureau digital
Su
m
ár
io
CAPÍTULO 01 GRANDEZAS FÍSICAS 7
1. Grandezas e medidas 7
2. Sistemas de unidade 8
3.	 Notação	científica	 9
4. Ordem de grandeza 10
CAPÍTULO 02 CINEMÁTICA ESCALAR: CONCEITOS BÁSICOS 12
1. Introdução 12
2. Referencial 12
3. Repouso, movimento e trajetória 13
4. Ponto material 14
5. Posição, deslocamento escalar e distância percorrida 16
6. Função horária da posição (espaço) 16
7.	 Classificação	dos	movimentos	 17
CAPÍTULO 03 VELOCIDADE 19
1.	 Velocidade	escalar	média	 19
2. Velocidade média 20
3. Velocidade instantânea 21
CAPÍTULO 04 MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME (MRU) 24
1. Função horária da posição (espaço) 24
2. Diagrama horário da posição (espaço) 24
3. Diagrama horário da velocidade 25
4.	 Velocidade	escalar	relativa	 26
5.	 Movimento	relativo	uniforme	 26
CAPÍTULO 05 ACELERAÇÃO 30
1. Aceleração escalar média 30
2. Aceleração instantânea 30
3. Diagrama horário da aceleração 30
CAPÍTULO 06 MOVIMENTO RETILÍNEO 
UNIFORMEMENTE VARIADO 32
1. Função horária da velocidade 32
2. Diagrama horário da velocidade 32
3. Velocidade escalar média no MUV 32
4. Função horária da posição (espaço) 33
5. Diagrama horário da posição (espaço) 35
6. Equação de Torricelli 35
7.	 Reclassificação	dos	movimentos	 36
8. Queda livre 38
CAPÍTULO 07 DIAGRAMAS HORÁRIOS DO MRU E DO MRUV 44
1. Introdução 44
2. Diagramas horários do MRU 44
3. Diagramas horários do MRUV 44
4. Cálculos de áreas 47
CAPÍTULO 08 VETORES 49
1.	 Vetor	–	Definição	e	formas	de	representação	 49
2.	 Adição	de	vetores	 49
3. Subtração de vetores 50
4. Produto de um escalar por um vetor 52
5. Versores 52
6. Vetores representados por componentes 53
CAPÍTULO 09 CINEMÁTICA VETORIAL 55
Introdução 55
1. Vetor posição e deslocamento vetorial 55
2. Vetor velocidade média 55
3. Vetor aceleração 56
CAPÍTULO 10 COMPOSIÇÃO DE MOVIMENTOS 60
1.	 Deslocamento	relativo	 60
2.	 Velocidade	relativa	 60
3. Lançamento horizontal 62
4. Lançamento oblíquo – lançamento de projéteis 64
CAPÍTULO 11 MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME 67
1. Período e frequência 67
2. Velocidade linear 67
3.	 Grandezas	angulares	 69
4. Movimentos concêntricos e transmissão no MCU 72
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 75
Capítulo 01 77
Capítulo 02 81
Capítulo 03 85
Capítulo	04			 89
Capítulo	05			 93
Capítulo	06			 97
Capítulo 07 112
Capítulo	08			 119
Capítulo	09			 126
Capítulo 10 134
Capítulo 11 146
GABARITO 155
Teoria
PV
-1
3-
11
Cinemática
7
Física
Todas essas grandezas podem e devem ser 
representadas por meio de uma seta que, na 
matemática, denomina-se vetor.
C. Grandezas proporcionais
As intensidades das grandezas físicas podem 
estar relacionadas proporcionalmente de dois 
modos.
D. Grandezas diretamente proporcionais
Duas grandezas x e y são diretamente propor-
cionais quando a razão entre suas intensida-
des é constante. 
y
x
k= (constante)
ou
y = k · x (função do 1º grau)
Nesse caso, o gráfico y × x é:
y
y2
y1
x1 x2 x0
θ 
y
x
y
x
tg k1
1
2
2
= = =θ
E. Grandezas inversamente 
proporcionais 
As grandezas x e y são ditas inversamente 
proporcionais quando o produto de suas 
intensidades é constante.
Nesse caso: 
y · x = k (constante) 
ou 
 y
k
x
= (função hiperbólica)
O gráfico y × x é:
 
y1 · x1 = y2 · x2 = k
y
y2
y1
x1 x2 x0
Hipérbole equilátera
1. Grandezas e medidas
Para propor o estudo dos temas que se 
seguem, é necessário antes estabelecer o que 
se denomina “grandeza” na física. 
Iniciaremos por dizer que tudo que for passível 
de medida pode ser chamado de grandeza 
física e o ato de medir associa a essa grandeza 
um número. 
A ciência que se faz desde os primórdios da 
evolução humana depende de quão boa é a 
medida de uma grandeza e dá a indicação de 
que conhecemos algo sobre ela. É claro que 
com o passar do tempo nossos métodos se 
tornam melhores e, consequentemente, a 
precisão com que medimos também. 
A partir de agora, você entrará em contato 
com muitas grandezas, que serão definidas 
e exemplificadas a seguir, mas é importante 
lembrar que existem diferenças na forma de 
expressá-las, e essas diferenças dependem basi-
camente dos atributos da própria grandeza e 
do tipo de informações necessário para definir 
completamente suas características. Na física, 
elas são separadas em dois grupos: as escala-
res e as vetoriais.
A. Grandezas	físicas	escalares
São aquelas que ficam perfeitamente caracte-
rizadas por um valor numérico acompanhado 
da correspondente unidade de medida, como 
é o caso de grandezas como tempo, tempera-
tura, comprimento, massa, entre outras.
B. Grandezas	físicas	vetoriais
São aquelas que, para serem perfeitamente 
caracterizadas, devem apresentar outras in-
formações além do seu valor numérico com a 
respectiva unidade, ou seja, devem conter in-
formações sobre sua direção e sentido.
Como exemplo de grandezas vetoriais, pode-
-se citar a velocidade, cujo vetor correspon-
dente tem a ele associados não só a rapidez 
do objeto, mas também a direção e o sentido 
do movimento. 
Outros exemplos de grandezas físicas vetoriais 
são: força, aceleração, empuxo etc.
CAPÍTULO 01 GRANDEZAS FÍSICAS
Rafael
Highlight
Rafael
Highlight
Cinemática
PV
-1
3-
11
8
Física
2. Sistemas de unidade
Como foi dito antes, podemos definir grande-
za como tudo aquilo que podemos comparar 
com um padrão, efetuando uma medida. Uma 
quantidade-padrão recebe o nome de unida-
de. A unidade é a quantidade arbitrária que 
serve de comparação entre grandezas de mes-
ma espécie.
Geralmente, as unidades são agrupadas em 
sistemas. Atualmente, o sistema mais usado 
é o Sistema Internacional de Unidades, co-
nhecido	 como	 SI,	 padronizado	 em	 1960	 na	
11ª Conferência Geral de Pesos e Medidas 
(CGPM), tendo como base o antigo Sistema 
MKS (metro, quilograma, segundo). 
O SI é o sistema oficialmente adotado no Brasil 
e na maioria dos países. Ele é composto de:
•	 sete unidades de base: metro, quilo-
grama, segundo, ampère, kelvin, mol e 
candela – que se referem às sete gran-
dezas de base: comprimento, massa, 
tempo, intensidade de corrente elétri-
ca, temperatura termodinâmica, quanti-
dade de matéria e intensidade luminosa;
•	 unidades derivadas: as unidades deri-
vadas referem-se às grandezas deriva-
das, que são definidas em função das 
sete grandezas de base, por exemplo, 
a velocidade é uma grandeza derivada 
definida a partir das grandezas de base, 
comprimento e tempo;
•	 múltiplos e submúltiplos decimais das 
unidades SI: são prefixos que podem 
ser usados com qualquer uma das uni-
dades. 
A tabelaa seguir mostra alguns desses prefixos, que normalmente são utilizados para melhorar a 
forma de se expressar um valor numérico muito grande ou muito pequeno. 
Prefixos das unidades do SI
Nome Símbolo Fator de multiplicação da unidade
yotta Y 1024 = 1 000 000 000 0 00 000 000 000 000
zetta Z 1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000
exa E 1018 = 1 000 000 000 000 000 000 
peta P 1015 = 1 000 000 000 000 000
tera T 1012 = 1 000 000 000 000
giga G 109 = 1 000 000 000 
mega M 106 = 1 000 000
quilo k 103 = 1 000
hecto h 102 = 100
deca da 10
deci d 10–1 = 0,1
centi c 10–2 = 0,01
mili m 10–3 = 0,001
micro µ 10–6 = 0, 000 001
nano n 10–9 = 0,000 000 001
PV
-1
3-
11
Cinemática
9
Física
Nome Símbolo Fator de multiplicação da unidade
pico p 10–12 = 0,000 000 000 001
femto f 10–15 = 0,000 000 000 000 001
atto a 10–8 = 0,000 000 000 000 000 001
zepto z 10–21 = 0,000 000 000 000 000 000 001
yocto y 10–24 = 0,000 000 000 000 000 000 000 001
Disponível em: <http://www.inmetro.gov.br/consumidor/inidLegaisMed.asp>.
Exemplo de usos de prefixos
01) Um quilograma = 1 kg = 1 · 103 g. Note que, ao se utilizar o k ou o seu valor numérico, não se 
altera a igualdade e, assim, o uso depende da necessidade.
02) Um nanômetro = 1 nm = 1 · 10–9	m
Para entender o porquê do uso dos prefixos, basta que se observe na tabela anterior que, embora 
a igualdade mostre que as duas formas com que foram escritos os números na terceira coluna 
sejam equivalentes, a primeira é, sem dúvida, mais elegante e concisa.
A menor constante conhecida na física é um número da ordem de 10–34!
Imagine que, não dispondo de outras formas para se expressar esse número teríamos que escre-
vê-lo assim: 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 006 7.
Observe que foi incluída na tabela uma forma de se escreverem números como potência de 10, o 
que facilita muito a escrita e a realização de cálculos matemáticos. Essa forma pode ser utilizada, 
caso necessário, para se expressarem números que aparecem em diferentes áreas das ciências, 
de uma forma especial conhecida como notação científica.
3. Notação científica
Escrever os números em notação científica é fundamental quando se deseja expressar ou operar 
números (medidas) com grande quantidade de zeros. 
A notação científica utiliza uma potência de dez para reescrever qualquer número como um pro-
duto entre um número que contém um algarismo na unidade e outro na primeira casa decimal e 
uma potência de dez que pode ter expoente inteiro positivo ou negativo. 
Essa é a regra mais geral e pode ser visualizada como segue:
, · 10
Número de 1 a 9
Número de 0 a 9
Expoente inteiro positivo ou negativo
Assim, qualquer número real pode ser escrito como o produto de um número, cujo módulo está 
compreendido entre 1 e 10 (incluindo o 1), por outro, que é uma potência de 10 com expoente 
inteiro (10n). Veja os exemplos:
•	 O número 5.300.000 escrito em notação científica é 5,3 · 106 (a vírgula foi deslocada seis 
casas para a esquerda).
•	 O número 0,000000000032 em notação científica é 3,2 · 10–11 (a vírgula foi deslocada onze 
casas para a direita).
Cinemática
PV
-1
3-
11
10
Física
As potências negativas significam uma divisão 
pela potência positiva correspondente e vice-
-versa. Veja os exemplos:
0 1
1
10
10
0 0001
1
10 000
1
10
10
1
4
4
,
,
.
= =
= = =
–
–
Na multiplicação dessas potências de dez vale 
a regra de multiplicação que conserva a base 
e soma dos expoentes: 102 · 103 = 105 e, na 
divisão, conserva-se a base e subtraem-se os 
expoentes: 10
10
10 10 10
2
5
2 5 2 5 7
–
– –
= = =
+( ) 
Exemplo
Usando a notação científica, calcular: 
a. 120 · 6.000 = 1,2 · 102 · 6 · 104 = 7,2 · 106
b. 3 000 000
0 00015
3 0 10
1 5 10
2 10
6
10. .
,
,
,
=
⋅
⋅
= ⋅
–4
c. 1,2 · 102 + 8 · 10–1 = 1.200 · 10–1 + 8 · 10–1 = 
= (1.200 + 8) · 10–1 = 120,8
Note que para a soma e a subtração é necessá-
rio que os números estejam multiplicados por 
potências de mesmo expoente. 
4. Ordem de grandeza 
Em alguns casos, é suficiente uma noção apro-
ximada do número que exprime o valor de 
uma grandeza. Nesses casos, o valor da gran-
deza é representado somente pela potência 
de 10 da notação científica e recebe o nome 
de ordem de grandeza (OG).
A OG é a potência de 10, de expoente inteiro, 
que mais se aproxima da medida da grandeza 
analisada. Assim, a ordem de grandeza de um 
número x · 10y é OG = 10y quando o valor de x 
for inferior a 3,2 (≈ 10 ) e OG = 10y+1 quando 
o valor de x for superior a 3,2.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
Você está viajando numa estrada e lê em uma 
placa que o restaurante mais próximo está a 
15 minutos, à sua frente. Considerando que a 
placa com o anúncio do restaurante leva em 
conta que o limite máximo de velocidade nes-
sa rodovia é de 120 km/h, a distância mínima, 
em m, entre você e o restaurante é:
a. 300
b. 3.000
c. 30.000
d. 1.500
e. 15.000
Resolução
Considerando a máxima velocidade, se você 
viaja 120 km em uma hora, em um quarto de 
hora (15 min) terá percorrido um quarto de 
120 km, ou seja, 30 km ou 30.000 m. 
Resposta
C
02. 
A decomposição é um processo natural pelo 
qual passam os vegetais e animais após a mor-
te. Esse processo é realizado com a ajuda de 
fungos e bactérias, denominados decompo-
sitores, e é extremamente importante para 
manter o equilíbrio ecológico. A figura a seguir 
mostra um dos maiores mamíferos do planeta, 
de	massa	M	=	4,9	toneladas,	sendo	reduzido	
pelo processo de decomposição, no qual agem 
bactérias de massa m = 1,1 · 10–13 kg. 
©
1 
iS
to
ck
ph
ot
o 
/ T
hi
nk
st
oc
k
PV
-1
3-
11
Cinemática
11
Física
É por meio da decomposição que os compos-
tos presentes nos organismos mortos são libe-
rados na natureza, servindo de nutrientes para 
outros seres.
Segundo os dados do texto, a ordem de gran-
deza da razão entre as massas do elefante e de 
uma das bactérias que participam do processo 
de decomposição é de:
a. 10–16
b. 10–3
c. 1013
d. 1016
e. 1017
Resolução
R
M
m
R= =
⋅
⋅
⇒ =
4 9 10
1 1 10
4 4 10
3
13
16,
,
, ·
–
Como 4,4 > 3,2, tem-se que OG = 1017.
Resposta
E
03. 
Assinale V (verdadeiro) ou F (falso) para as frases 
abaixo.
( ) 01 – Temperatura é grandeza escalar.
( ) 02 – Massa é grandeza escalar.
( ) 04 – Força é grandeza vetorial.
( ) 08 – A aceleração da gravidade é grande-
za vetorial.
( ) 16 – Volume é grandeza escalar. 
Resolução
Todas as frases são verdadeiras. Temperatu-
ra, massa e volume são grandezas que ficam 
perfeitamente caracterizadas por um número 
(intensidade) e por um significado (unidade). 
Força e aceleração são grandezas que neces-
sitam, além da intensidade, de uma direção e 
de um sentido.
 
 
 
04. 
Uma substância, mantida a temperatura cons-
tante, tem sua massa e volume representados 
na tabela.
m(kg) 0,8 2,4 4,0 8,0
V(L) 1 3 5 10
a. Massa e volume são grandezas direta-
mente proporcionais? Justifique.
b. Esboce o gráfico m × V correspondente.
c. Qual é a massa de substância corres-
pondente ao volume de 0,7 L?
d. Qual é o volume correspondente à 
massa de 3,2 kg?
Resolução
a. Como m
V
k= (constante), então massa e 
volume são grandezas diretamente proporcio-
nais.
b. O gráfico m x V é uma reta, passando pela 
origem dos eixos.
m (kg)
0,8
2,4
1 3 V (l)0
c. m
V
m
V
m kg
1
1
2
2
0 8
1
0 56
= =
= ⇒ =
constante
m
0,7
,
,
d. Do mesmo modo: 0 8
1
3 2, ,
=
V
 
V V L= ⇒ =
3 2
0 8
4
,
,
Cinemática
PV
-1
3-
11
12
Física
1. Introdução
A mecânica é o ramo da física que tem por 
objeto o estudo dos movimentos dos corpos edas forças de interação entre eles. Por motivos 
didáticos, ela é dividida em três partes: 
•	 Cinemática – Estudo dos movimentos 
independentemente de suas causas, 
por exemplo, ao se estudar o movi-
mento de um carro, a cinemática não 
se preocupa em saber o que faz o carro 
se movimentar.
•	 Dinâmica – Estudo das causas dos mo-
vimentos dos corpos. Na dinâmica, é 
fundamental a relação entre força e va-
riação de velocidade. A dinâmica trata 
também dos estudos da energia e do 
momento linear associado a um corpo.
•	 Estática – Estudo das condições de 
equilíbrio dos corpos, ou seja, anali-
sa as condições para que um corpo se 
mantenha em equilíbrio estático ou di-
nâmico.
Começaremos nosso estudo pela cinemática, 
definindo a princípio alguns conceitos básicos 
que serão, mais adiante, complementados por 
outros de modo a fornecer uma conceituação 
gradativa e abrangente de todas as grandezas 
físicas envolvidas nos processos de movimen-
tos dos corpos.
2. Referencial
Dois pontos importantíssimos para esse estu-
do são discutidos a seguir. 
O primeiro é: quando um corpo está em mo-
vimento?
O segundo: por que é necessário saber a posi-
ção de um corpo no espaço e no tempo?
Bem, a resposta à primeira pergunta está inti-
mamente ligada ao conceito de referencial, já 
que movimento é um conceito relativo. 
Para compreender essa afirmação, analise por 
um momento, sua própria condição numa si-
tuação em que está lendo este livro, sentado 
confortavelmente, em sua casa ou na escola.
A princípio, sua percepção afirmaria que você 
não está em movimento já que, no referencial 
de um ponto fixo na Terra, você não muda de 
posição no decorrer do tempo.
No entanto, sabemos que a Terra está em 
movimento de translação em torno do Sol por 
aproximadamente 365 dias, e mais, que ela gira 
em torno de seu próprio eixo dando uma volta 
completa a cada 24 horas, aproximadamente.
Tomando o raio da Terra no Equador como 
RE = 6,37 · 106 m chega-se ao valor aproximado de 
1.650 km/h para a rapidez com que veríamos 
variar a posição de um ponto sobre a superfície 
da Terra no Equador, se observássemos de fora. 
O valor da rapidez com que a Terra descreve 
sua órbita em torno do Sol é ainda maior, pró-
ximo de 108 mil km/h. 
Segundo esses cálculos, é possível afirmar que 
nossa percepção da realidade nem sempre 
concorda com os fatos reais. Por isso, destaca-se 
a necessidade de compreender, por meio de 
estudos rigorosos, como as coisas são de fato. 
Pelo menos até onde nosso desenvolvimen-
to intelectual e tecnológico nos permite, fica 
claro que o homem tem modificado significati-
vamente sua compreensão do mundo em que 
vive para, assim, poder modificá-lo segundo as 
necessidades que acredita ter.
Na visão clássica da ciência, é possível prever 
a posição que um corpo ocupará no futuro, se 
for conhecida sua posição num determinado 
momento e como essa posição variará no de-
correr do tempo. Daí, as equações do movi-
mento que definiremos a seguir. 
Então, um corpo está em movimento quando sua 
posição se altera, em relação a um dado referencial.
Com respeito à segunda pergunta, é realmen-
te importante saber como se modifica a posi-
ção de um corpo num referencial?
Bem, mesmo que quiséssemos desprezar o ga-
nho intelectual e atitudinal que a sistematiza-
ção de conhecimentos possibilita ao homem, 
que se desenvolve internamente enquanto 
realiza cálculos e abstrações matemáticas, ainda 
teríamos que considerar o quanto o mundo e 
nossas atividades diárias necessitam desse 
conhecimento. 
CAPÍTULO 02 CINEMÁTICA ESCALAR: CONCEITOS BÁSICOS
PV
-1
3-
11
Cinemática
13
Física
Só como exemplo, saber a posição dos corpos 
é imprescindível para monitorar objetos e sa-
télites, para compreender o funcionamento 
do GPS e de muitos outros instrumentos que 
se utilizam de variáveis posicionais e tempo-
rais. Mas, é claro, nós nem notamos tudo isso 
quando abrimos uma página de localização ou 
mapas no Google. 
Isso também é natural. Porém, para compreender 
fenômenos importantes em diversas áreas do 
conhecimento, necessitamos construir o racio-
cínio de como as equações matemáticas são 
utilizadas nas ciências para descreverem situ-
ações diversas, como monitoramento posicio-
nal de objetos, automóveis etc. Então, vamos 
lá!
O movimento geral de um corpo, em uma, 
duas ou três dimensões, é descrito por três 
grandezas básicas: deslocamento, velocidade 
e aceleração. 
Todas elas são grandezas vetoriais, mas é pos-
sível, a princípio, quando o movimento acon-
tece sob circunstâncias definidas, simplificar a 
notação vetorial para a notação escalar. 
Isso requer certo cuidado, na definição dessas 
grandezas, mas pode ser feito.
Dessa forma, estudando o movimento de um 
corpo (móvel) em uma única dimensão, as 
grandezas deslocamento (que equivale à va-
riação de posição), velocidade e aceleração 
podem ser tratadas como grandezas escalares, 
ou seja, definidas por um número e sua unida-
de correspondente.
O conceito de referencial é indispensável, no 
entanto, para qualquer caracterização de mo-
vimento. Assim, para falar de movimento, te-
mos também que relacioná-lo a um referencial. 
Isso equivale a dizer que sempre, ao estudarmos 
o movimento de um corpo, estamos, necessa-
riamente, fixando outro como referencial. 
3. Repouso, movimento e trajetória 
Depois de estabelecermos um referencial, já 
é possível, então, dizer se um corpo está, ou 
não, em movimento. 
Assim, se a posição do corpo variar no tempo, 
em relação ao referencial adotado, o corpo es-
tará em movimento e, caso contrário, estará 
em repouso.
Note que, devido à relatividade da situação, 
um corpo pode estar em movimento e em 
repouso, ao mesmo tempo, segundo referen-
ciais distintos. Pode parecer estranho, mas 
não é. Veja o exemplo a seguir.
Você, enquanto viaja de casa para a escola, de 
carro, estará se deslocando segundo um refe-
rencial fixo na Terra, o que caracteriza o movi-
mento, mas estará em repouso para um refe-
rencial fixo no carro porque, neste caso, sua 
posição relativa ao carro não estará variando.
Veja que, no referencial do carro, sua posição 
é única e não se pode falar em trajetória, nessa 
situação. Não existe um trajeto ou percurso de 
deslocamento interno ao veículo, já que você 
não se move dentro dele. Porém, para a situação 
de movimento, associa-se um novo conceito: 
a trajetória. 
Ela pode ser definida como o conjunto de pon-
tos sucessivos que delimita o percurso de um 
corpo, ou seja, as posições ocupadas por ele 
ao longo do tempo segundo o referencial ado-
tado.
Vamos imaginar uma situação na qual um 
ponto em movimento desenha no espaço as 
sucessivas posições ocupadas por ele. Observe 
a figura a seguir, na qual um helicóptero sobe 
verticalmente com velocidade aproximada-
mente constante.
Figura I
Agora, vamos analisar o movimento de um 
ponto sob a perspectiva do piloto: ele veria 
um ponto pintado na hélice descrevendo uma 
circunferência, num plano logo acima de sua 
cabeça. 
Cinemática
PV
-1
3-
11
14
Física
Figura II
Mas, se o mesmo movimento fosse anali-
sado por um homem numa posição fixa no 
solo, o ponto, além de girar em torno do eixo 
vertical do helicóptero, ainda estaria subin-
do, devido ao seu movimento vertical, de 
modo que a trajetória do mesmo ponto, na 
visão deste segundo observador, seria heli-
coidal. Veja a diferença entre as duas traje-
tórias a seguir:
Figura IIIFigura III
4. Ponto material
Em alguns casos, durante a modelagem de um 
problema, podem-se simplificar os cálculos, 
tratando-os de forma aproximada. Um exem-
plo disso é o caso de um estudo sobre o movi-
mento de um carro, ao longo de uma rodovia 
muito extensa.
Se o nosso interesse não for descrever em de-
talhes tudo o que acontece nos pormenores 
das partesdo veículo, mas simplesmente ob-
servar grandezas como velocidade, aceleração 
ou a posição dele em relação à estrada, pode-se 
aproximar o veículo a um ponto, denominado 
ponto material. 
Essa aproximação depende do interesse do es-
tudo, como foi dito anteriormente, e só será 
plausível se as dimensões do objeto estudado 
puderem ser desprezadas quando compara-
das às dimensões relevantes do movimento. 
De modo geral, qualquer corpo, por maior que 
seja, pode ser considerado um ponto material, 
em determinadas condições.
A Terra, por exemplo, que possui um diâmetro 
de 12.800 km, pode ser considerada como par-
tícula (ponto material) quando nosso interesse 
for observá-la em seu movimento de transla-
ção ao redor do Sol. Nesse caso, ela descreve 
uma trajetória elíptica de comprimento mui-
to maior que seu raio, o que torna possível a 
aproximação sem prejuízo nos cálculos.
Um contraexemplo, que ilustra uma situação 
na qual essa aproximação não seria aconselhá-
vel, pode ser ilustrado num problema em que 
é necessário calcular o tempo de travessia de 
um trem sobre uma ponte, por exemplo. Des-
prezar o próprio comprimento do trem, que às 
vezes pode ser igual ou maior que a ponte em 
si, seria introduzir um erro de cálculo da mes-
ma ordem de grandeza do tempo que se está 
buscando medir. 
Nesse caso, o comprimento do trem não é 
desprezível com relação ao comprimento da 
ponte e, por isso, além de desnecessária, a 
aproximação dele a um ponto material seria 
mesmo inapropriada. 
PV
-1
3-
11
Cinemática
15
Física
01. 
O planeta Júpiter é um ponto material?
Resolução
Depende do movimento estudado. Se quiser-
mos analisar o movimento do planeta em tor-
no do Sol, ele pode ser associado a um ponto. 
Entretanto, se formos estudar o seu movimen-
to de rotação, ele não pode ser associado a um 
ponto.
02. 
Ponto material tem massa desprezível?
Resolução
Não. Ponto material tem dimensões desprezíveis.
03. 
Um garoto paralisado de medo agarra-se ao 
carrinho de uma roda-gigante. O menino está 
em repouso ou em movimento?
Resolução
Depende do referencial adotado. Em relação ao 
carrinho, o garoto está em repouso; em relação 
ao Sol, o garoto está em movimento. Em relação 
à Terra, se a roda-gigante estiver em movimento, 
o garoto também estará em movimento.
04. 
Um automóvel desloca-se numa rodovia pla-
na e horizontal, numa razão de 20 km/h. Um 
passageiro sentado no interior do automóvel 
tem nas mãos uma bolinha de gude. A bolinha 
é lançada verticalmente para cima pelo pas-
sageiro e retorna em seguida para suas mãos. 
Qual é a trajetória da bolinha?
Resolução
Em relação ao automóvel, a bolinha executa 
um movimento cuja trajetória é um segmento 
de reta vertical.
Em relação à superfície da Terra, a bolinha exe-
cuta um movimento cuja trajetória é um arco 
de parábola, pois, enquanto a bolinha sobe e 
desce, o automóvel desloca-se para a frente.
05. UFRJ
Heloísa, sentada na poltrona de um ônibus, 
afirma que o passageiro sentado à sua fren-
te não se move, ou seja, está em repouso. Ao 
mesmo tempo, Abelardo, sentado à margem 
da rodovia, vê o ônibus passar e afirma que o 
referido passageiro está em movimento.
De acordo com os conceitos de movimento e 
de repouso usados em mecânica, explique de 
que maneira devemos interpretar as afirmações 
de Heloísa e Abelardo para dizer que ambas 
estão corretas.
Resolução
Para Heloísa, a posição do passageiro sentado 
à sua frente permanece inalterada, portanto 
ele está em repouso. Para Abelardo, a posição 
do passageiro muda no decorrer do tempo, 
portanto o passageiro está em movimento.
Ambos (Heloísa e Abelardo) estão corretos, 
pois os conceitos de movimento e de repouso 
são relativos, isto é, dependem do corpo to-
mado como referência.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Cinemáti ca
PV
-1
3-
11
16
Física
5. Posição, deslocamento escalar 
e distância percorrida 
No caso de movimentos unidimensionais, é pos-
sível, como já foi dito, tratar uma grandeza física 
vetorial como se ela fosse uma grandeza escalar. 
Nesse caso, não podemos esquecer que esta-
mos olhando somente para um dos atributos 
das grandezas vetoriais, mas que isso incorre 
em compreender primeiramente o que está 
sendo feito. 
Dizer que velocidade é grandeza vetorial está 
absolutamente correto, pois para caracterizá-la 
é necessário conhecer a rapidez com que 
um corpo muda de posição no espaço, assim 
como a direção e o sentido de seu movimen-
to. Só assim é possível saber sua nova posição, 
para qualquer instante posterior de observação.
No caso de movimentos unidimensionais, o 
corpo em movimento está restrito a deslocar-se 
sobre uma trajetória definida e, assim, as 
informações sobre a direção e o sentido de 
seu movimento podem ser previamente co-
nhecidas. Por isso, podemos descrever esse 
movimento considerando apenas a intensida-
de de sua velocidade, que se denomina rapi-
dez ou velocidade escalar. 
Para a grandeza física deslocamento, que é 
vetorial, acontece o mesmo. A variação da po-
sição do corpo sobre sua trajetória também 
pode ser dita escalar e, normalmente, quan-
do calculamos o deslocamento escalar de um 
corpo, estamos nos referindo ao comprimento 
da trajetória descrita por ele no movimento 
considerado e, ainda, se o movimento é a fa-
vor ou contrário à orientação da trajetória.
Dessa forma, define-se posição ou espaço (s) 
como uma grandeza escalar que permite a lo-
calização de um móvel ao longo de determina-
da trajetória, em relação ao ponto de referên-
cia adotado como origem (O).
B
A
80
(km)
O
0–30
sB sA +
Na figura anterior, o espaço s do móvel quando 
ele se encontra no ponto A é 80 km, ou seja, 
sA = 80 km. Quando ele encontra-se no ponto 
B, sua nova posição ou espaço é –30 km, que 
se escreve como sB = –30 km.
Observe que o espaço não determina se o mó-
vel está em movimento ou em repouso e, em 
caso de movimento, não se refere à distância 
percorrida por ele. O espaço fornece apenas 
sua localização.
Agora, se ele mudar de posição, pode-se dizer 
que seu deslocamento escalar (∆s) é dado 
pela diferença entre suas posições final (sf) e 
inicial (si):
∆s = sf – sf – sf i
No exemplo da figura anterior, o deslocamento 
escalar:
•	entre	A	e	B	é:
∆sAB = sB – sA = –30 – 80
∆sAB = –110 km
•	e	entre	B	e	A	é:
∆sBA = sA – sB = 80 – (–30)
∆sBA = 110 km
No caso do ∆s > 0, o móvel se desloca a favor 
da orientação da trajetória e, caso ∆s < 0, o 
móvel se desloca no sentido contrário ao da 
orientação da trajetória. O repouso é caracteri-
zado pela invariância da posição, ou seja, sf = si 
e ∆s = 0.
Se não há inversão no sentido do movimento 
do corpo, a distância percorrida num determi-
nado intervalo de tempo é igual à intensidade 
de seu deslocamento escalar correspondente 
e, se houver inversão, a distância percorrida 
será igual à soma dos módulos do desloca-
mento da posição inicial até o ponto de inver-
são e do deslocamento do ponto de inversão 
até sua posição final.
No Sistema Internacional, a unidade do deslo-
camento escalar é o metro (m).
6. Função horária da posição (espaço)
Quando um móvel está em movimento em 
relação a um determinado referencial, seu(s) 
espaço(s) varia(m) no decorrer do tempo. Po-
demos, então, expressar a posição de um mó-
vel como uma função do tempo:
s = f (t)
PV
-1
3-
11
Cinemática
17
Física
Essa expressão recebe o nome de função horá-
ria do espaço e representa a lei do movimento 
para esse móvel. A seguir, alguns exemplos de 
funções horárias do espaço:
s (t) = 2 · t 
s (t) = 5 + 3 · t 
 s (t) = 2 – 2 · t + 3 · t²
No 1º exemplo, s (t) = 2 · t, dizemos que o es-
paço s é diretamente proporcional ao tempo t; 
no 2º, s (t) = 5 + 3 · t, s varia linearmente com t 
e, no 3º, s (t) = 2 – 2 · t + 3 · t², a relação entres e t é uma função quadrática.
Conhecendo-se a função horária do espaço de 
um móvel, para determinar a sua posição em 
qualquer instante desejado, basta substituir esse 
instante de tempo na função e, devido à relati-
vidade de qualquer movimento, não é possível 
determinar a trajetória descrita por um corpo 
por meio de sua função s x t. Afinal, o mesmo 
movimento pode ser observado de maneiras dis-
tintas para dois ou mais observadores diferentes.
7. Classificação dos movimentos
A. Movimento progressivo
De acordo com o que estudamos sobre velo-
cidade, vimos que, se um móvel se desloca 
no mesmo sentido com que a trajetória foi 
orientada, o valor do espaço aumenta com o 
passar do tempo e, com isso, seu deslocamen-
to e, consequentemente, sua velocidade, são 
positivos:
∆s > 0 e v > 0
Nesse caso, seu movimento é denominado 
progressivo e sua velocidade instantânea, em 
qualquer instante considerado, é positiva tam-
bém: v > 0. 
B. Movimento retrógrado
Por outro lado, quando o movimento se dá no 
sentido contrário ao da orientação da traje-
tória, ele é denominado retrógrado. Nesse 
caso, ∆s < 0 e v < 0.
Veja a seguir uma figura que ilustra ambas as 
situações: 
km 160
Retrógrado
v = –70 km/h
Progressivo
v = 70 km/h
Orientação da trajetória
O carro da direita se desloca no sentido da 
trajetória, portanto seu movimento é progres-
sivo, enquanto o carro da esquerda viaja em 
sentido contrário ao da trajetória e, embora 
viaje com a mesma rapidez que o primeiro, 
tem velocidade negativa, característica do mo-
vimento retrógrado.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
O que significa dizer que o espaço é constante?
Resolução
Significa que, em relação ao referencial adota-
do, o móvel se encontra em repouso.
02. 
O que podemos concluir quando o espaço vale 
zero num determinado instante?
Resolução
Que naquele instante o móvel passou pela ori-
gem dos espaços.
03. 
Em uma dada trajetória, o que podemos con-
cluir quando:
a. o espaço aumenta em valor absoluto?
b. o espaço diminui em valor absoluto?
c. o espaço aumenta em valor algébrico?
d. o espaço diminui em valor algébrico?
Resolução
a. O móvel se afasta da origem.
b. O móvel se aproxima da origem.
c. O móvel se desloca no mesmo sentido da 
orientação da trajetória.
d. O móvel se desloca em sentido contrário 
ao da orientação da trajetória.
Cinemática
PV
-1
3-
11
18
Física
04. 
Um ponto material desloca-se sobre uma tra-
jetória retilínea, obedecendo à seguinte fun-
ção horária do espaço:
s = t2 – 4 · t + 4 
Sendo s medido em metros e t, em segundos, 
determine:
a. o espaço inicial;
b. o espaço no instante t1 = 1 s;
c. o espaço no instante t2 = 2 s;
d. o deslocamento escalar entre os instantes 
t1 e t2. 
Resolução
a. O espaço inicial é o espaço no instante t = 0.
 Para t0 = 0 ⇒ s = s0
 s0 = (0)2 – 4 · (0) + 4 ⇒ s0 = 4 m 
b. Para t1 = 1 s ⇒ s = s1
 s1 = (1)2 – 4 · (1) + 4 ⇒ s1 = 1 m
c. Para t2 = 2 s s = s2
 s2 = (2)2 – 4 · (2) + 4 ⇒ s2 = 0
d. ∆s	=	s2 – s1 
	 ∆s	=		0	–	4	⇒ ∆s	=		–4	m					 	 						
 
05.  
O diagrama a seguir representa o espaço s em 
função do tempo t, para o movimento de um 
ponto material que se desloca em relação a 
um dado referencial em trajetória retilínea.
s (metros)
t (segundos)
60
20
0 2 4
Determine:
a. o espaço inicial;
b. o deslocamento escalar entre os instantes 
0 e 4 s;
c. a distância percorrida entre os instantes 
0 e 4 s.
Resolução
A análise do gráfico nos permite concluir que:
a. t = 0 ⇒ s0 = 60 m 
b. ∆s	=	s	–	s0 = 60 – 60 ⇒		∆s	=	0	
c. d m= + = + =
→ →
20 60 60 40 40 80
4
– –
volta (0 2 ida (2s
20
s) s)
��� �� ��� �� 
PV
-1
3-
11
Cinemáti ca
19
Física
Conhecer a velocidade escalar média de um 
corpo é importante para casos em que se de-
seja, por exemplo, saber uma estimativa do 
tempo de viagem entre duas cidades. 
É claro que, durante uma viagem de São Paulo ao 
Rio de Janeiro, um motorista acelera, para, anda 
trechos do percurso com velocidade constante e 
chega até mesmo a ficar algum tempo estaciona-
do para o almoço. No entanto, como informação 
interessante a um turista, não é necessário que 
se conheçam os detalhes de cada viagem feita de 
São Paulo ao Rio, mas, em média, qual é o tempo 
aproximado da viagem.
Para efeito de cálculos, basta conhecer o des-
locamento escalar entre as duas cidades e o 
tempo de viagem. Daí, de forma simples, é 
possível estimar o tempo que ela levaria para 
perfazer o trajeto com base no que denomina-
mos velocidade escalar média. 
A velocidade escalar média de um corpo não 
é, no entanto, a única forma de se definir velo-
cidade. Existem outras formas que consideram 
a velocidade ponto a ponto do movimento, ou 
ainda como a taxa média ou instantânea de 
variação da posição do corpo em relação ao 
tempo.
1. Velocidade escalar média
A primeira ideia que fazemos da velocidade 
está associada à rapidez. Quanto maior for a 
velocidade de um carro, mais rápido ele se mo-
vimentará e, portanto, maior será a distância 
percorrida por ele num dado intervalo de tempo.
Como sabemos, o conceito de rapidez está as-
sociado à velocidade escalar, e não represen-
ta nosso conhecimento com relação ao vetor 
velocidade. Isso quer dizer que dois corpos 
que se movimentam de forma totalmente di-
ferente, em trajetórias diferentes, podem ter 
associados aos seus respectivos movimentos o 
mesmo valor de velocidade escalar. 
Nesse caso, considera-se a rapidez com que 
um móvel varia sua posição no decorrer do 
tempo e define-se sua velocidade escalar mé-
dia como a razão entre o deslocamento escalar 
do corpo, ao longo de sua trajetória, e o tempo 
gasto nesse percurso. Note que, nesse caso, 
deve-se conhecer a trajetória do corpo, pois, 
mesmo que ela não seja retilínea e a distância 
percorrida por ele não seja a menor distância 
entre dois pontos, ainda é possível medir sua 
trajetória e calcular sua rapidez. Veja a figura 
a seguir: 
Trajetória
Deslocamentos sucessivos (retos) sobre a trajetória
Importante
A distância percorrida pelo móvel é sempre um 
número positivo, no entanto, quando associamos 
essa distância ao deslocamento, dito escalar, o 
sinal positivo do deslocamento será relacionado 
ao movimento no mesmo sentido da orientação 
da trajetória e o sinal negativo do desloca-
mento, ao movimento em sentido contrário.
Vejamos um exemplo.
Suponha que um carro passe pelo km 50 de 
uma rodovia às 7 horas da manhã e pelo km 
110 às 10 horas da manhã do mesmo dia, con-
forme mostra a figura.
km 50
7 h
km 110
10 h
De acordo com os dados, o deslocamento do carro, 
ao longo da rodovia, foi de 60 km (110 – 50) num 
intervalo de tempo de 3 horas (10 – 7), o que 
nos permite afirmar que, em média, o carro 
deslocou 20 km a cada hora. Esse resultado 
(20 km/h) representa o valor da velocidade 
escalar média.
Desse modo, define-se:
CAPÍTULO 03 VELOCIDADE
Velocidade escalar média é a razão entre o 
deslocamento escalar (∆s) e o intervalo de 
tempo (∆t) correspondente.
v
s
t
s s
t tm
= == =
∆
∆
s s–s s
t t–t t
0
0
Cinemática
PV
-1
3-
11
20
Física
Essa velocidade não depende da forma da 
trajetória (retilínea ou curvilínea) e o desloca-
mento escalar (∆s) pode ser positivo, negativo 
ou nulo. Já o intervalo de tempo (∆t) é sempre 
positivo, pois o momento final da observação 
é sempre posterior ao inicial, assim:
•	 quando ∆s > 0, a velocidade escalar 
média é positiva; nessas condições, o 
móvel desloca-se a favor da orientação 
da trajetória;
•	 quando ∆s < 0, a velocidade escalar 
média é negativa; assim, o móvel deslo-
ca-se no sentido contrário ao da orien-
tação da trajetória;
•	 quando ∆s = 0, a velocidadeescalar 
média é igual à zero; o móvel perma-
nece em repouso, ou ele finaliza o mo-
vimento no mesmo ponto do qual par-
tiu – o espaço final (s) coincide com o 
espaço inicial (s0) – o que só é possível 
quando o móvel retorna pela mesma 
trajetória de ida. Observe que, nesse 
caso, existem dois movimentos envol-
vidos: o de ida e o de volta, segundo o 
mesmo trajeto.
No Sistema Internacional, a unidade do deslo-
camento escalar é o metro (m) e a unidade de 
intervalo de tempo é o segundo (s). Assim, a 
unidade de velocidade escalar média é metro 
por segundo (m/s).
Na prática, é muito comum a velocidade ser 
expressa em km/h (quilômetro por hora). 
Sendo 1 km = 1.000 m e
1 h = 3.600 s, temos:
1
1 000
3 600
1
1
3 6
km h
m
s
km h m s/
.
.
/
,
/= ⇒ =
Portanto, para transformar velocidade em 
km/h para m/s, basta dividir o valor por 3,6. 
Exemplo:
90
90
3 6
90 25km h m s km h m s/
,
/ / /= ⇒ =
Para transformar velocidade em m/s para 
km/h, basta multiplicar o valor por 3,6. Exemplo:
20 m/s = 20 · 3,6 km/h ⇒ 20 m/s = 72 km/h
2. Velocidade média
O conceito de velocidade média é um pouco 
diferente por se tratar da taxa de variação da 
posição do corpo no tempo. Nesse caso, é ne-
cessário conhecer a função da posição e cal-
culá-la para os dois instantes entre os quais se 
deseja determinar a velocidade média.
Assim, nosso conhecimento de funções e dos 
gráficos de funções deverá ser suficiente para 
nos auxiliar na compreensão do conceito de 
velocidade média e do conceito de velocidade 
instantânea.
Quando a relação s x t é conhecida, a veloci-
dade média nada mais é do que a taxa de va-
riação média da função posição s (t) entre dois 
instantes quaisquer:
v
s t s t
t tm
=
2 1
2 1
( ) ( )–
–
Para determiná-la a partir do gráfico da fun-
ção, basta olhar para a inclinação da reta se-
cante que corta a função em dois pontos dis-
tintos:
 
s
s2
s1
t1 t2 t
θ
∆t
∆s
θ
∆s
∆t = t2 – t1
Note que tg θ = vm é a inclinação da reta se-
cante à curva s (t), ou seja, a média da taxa 
de variação da função entre os dois instantes 
considerados, t1 e t2.
PV
-1
3-
11
Cinemática
21
Física
Observação
É possível encontrar problemas nos quais se 
usa a notação velocidade média sem sequer 
mencionar a equação do espaço. Nesses ca-
sos, o estudante deve interpretar que o que 
está sendo pedido é o valor da velocidade es-
calar média. 
A velocidade instantânea refere-se também à 
taxa de variação da função posição, quando 
considerados intervalos de tempo infinita-
mente pequenos, como veremos a seguir.
3. Velocidade instantânea
Em um movimento, a velocidade escalar ins-
tantânea é uma grandeza que relaciona a posi-
ção (ou espaço) (s) e o tempo (t) de modo que 
o intervalo de tempo necessário para passar 
de uma posição a outra é extremamente pe-
queno, ou seja, a velocidade instantânea dá 
a velocidade do móvel considerando dois ins-
tantes tão próximos, que é possível considerar 
que t2 – t1 → 0 (→ lê-se: tende a).
Observe o gráfico abaixo no qual os instantes t1 e t2 são extremamente próximos.
s
s2s1
t1 t2 t
θ
∆s
∆t = t2 – t1 0
 
θ
∆s
∆t = t2 – t1 0
A inclinação da reta tangente à função em cada ponto nos dará a informação de quanto vale a 
velocidade nesse instante, ou na média dos instantes, muito próximos, considerados. Veja que 
o cálculo da velocidade instantânea também é restrito ao cálculo da inclinação de uma reta com 
relação ao eixo horizontal quando se conhece a função s x t.
Porém, isso é um assunto da matemática, que deverá estender-se até cálculos de limites e deri-
vadas que não fazem parte do presente estudo.
Nesse momento, é suficiente compreender que:
1. a velocidade instantânea é dada pela inclinação da reta tangente à função s x t, em cada 
ponto.
2. a regra mais simples de derivação, que pode ser feita aqui por tratar-se de funções polino-
miais, é a seguinte: 
Seja s (t) = a · tn
v t
ds
dt
n a tn( ) = = ⋅ ⋅ –1
Que é a função horária da velocidade.
Nota: se s(t) for a adição de vários termos polinomiais, v(t) será a adição da derivada de cada 
um desses termos.
Cinemática
PV
-1
3-
11
22
Física
Veja o exemplo: s (t) = –1 · t3 + 2 · t2 – 4 · t1 + 5 · t0 (note que os expoentes 1 e 0 de t nem precisavam 
aparecer, mas foram marcados para esclarecer os cálculos a seguir:
v t
ds
dt
t t t t
v t
( ) ( ) ( )
( )
= = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
=
3 1 2 2 1 4 0 5
3
3 1 2 1 1 1 0 1– –
–
– – – –
⋅⋅ + ⋅t t2 4 4–
Observação – A velocidade instantânea de um móvel é, necessariamente, tangente à trajetória 
dele, em qualquer instante considerado.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
Duas pessoas fazem uma viagem de 200 km 
em dois carros. Uma delas faz o trajeto sem pa-
radas e com uma velocidade escalar média de 
80 km/h. A outra faz uma parada de meia hora e 
mantém, antes e após a parada, uma velocidade 
escalar média de 100 km/h. Qual delas completa 
o percurso no menor intervalo de tempo?
Resolução
O tempo gasto pela pessoa que faz o percurso 
sem paradas, percorrendo 200 km com uma 
velocidade escalar média de 80 km/h, é:
∆ ∆ ∆t s
v
km
km h
t h
m
= = ⇒ =
200
80
2 5
/
,
A outra pessoa faz o percurso de 200 km a 
100 km/h, mas com uma parada de meia hora 
(0,5 h). Assim, o tempo gasto na viagem é de:
∆ttotal = ∆tviagem + ∆tparada
∆ ∆t km
km h
h t htotal total= + ⇒ =
200
100
0 5 2 5
/
, ,
Assim, ambas completam o percurso no mes-
mo tempo.
02. Cefet-CE
João viaja, em seu carro, de Fortaleza para 
Beberibe, mantendo uma velocidade média 
de 72 km/h. A distância percorrida ao longo 
da estrada (suposta retilínea) é de 72 km. Se a 
velocidade média de João fosse 20% menor, a 
duração de sua viagem aumentaria _____ minutos.
a. 10
b. 15
c. 18
d. 20
e. 25
Resolução
A velocidade média de João é 72 km/h. Logo, 
o tempo necessário para percorrer 72 km é de 
1 h. Reduzindo a velocidade média em 20%, a nova 
velocidade média de João será 0,8 · 72 km/h. A 
duração da viagem será, então:
∆t = ∆s / v = 72 / (0,8 · 72) = 1 / 0,8 = 1,25 h
Um quarto de hora a mais que antes, ou 15 
minutos de acréscimo.
Resposta
B
03. PUC-RJ
No gráfico abaixo, observamos a posição de 
um objeto em função do tempo. Podemos di-
zer que a velocidade média do objeto entre os 
pontos inicial e final da trajetória, em m/s, é:
1,0
0,5
0,0
–0,5
–1,0
0 60 120 180 240 300 360
Po
siç
ão
 (m
)
Tempo (s)
a. 0
b. 1
3
c. 2
3
d. 1
e. 3
Resolução
v
s
t
s
t tm
f i
f i
= = = =
∆
∆
( )
( )
– s
–
–
–
0 0
360 0
0
Resposta
A
PV
-1
3-
11
Cinemática
23
Física
04. 
Um corpo tem seu espaço variando com o 
tempo segundo o gráfico abaixo:
s (m)
5,0
0 5,0 t (s)
Calcule:
a. a velocidade média entre os instantes 
0,0 e 7,0 s;
b. a velocidade instantânea no instante 
t = 5,0 s.
Resolução
a. Calculando pelo gráfico do espaço x tem-
po, temos:
 
s (m)
5,0
0 5,0 t (s)
v
s s
t t
m sm = = ≅
7 0
7 0
0
7 0 0
1 1
–
–
8,0–
–,
, /
b. Traçando uma reta tangente ao gráfico no 
instante t = 5 s, tem-se:
s (m)
5,0
0 5,0 t (s)
v m s= ≅
7 0
1 1
,
, /
–
–
2,0
8,4 4,0
05. 
A posição de um móvel em sua trajetória varia 
conforme a função horária:
s = t2 –4 · t + 4 (SI)
Determine o instante em que o móvel inverte 
o sentido do seu movimento.
Resolução
Quando o móvel inverte o sentido do movi-
mento, sua velocidade escalar se anula.
Para resolver o problema, determinemos ini-
cialmente a função horária da velocidade e, fa-
zendo v = 0, obtemos o valor correspondente 
do tempo.
s = t2 –4 · t + 4
v
ds
dt
t
v t SI
= = ⋅
= ⋅
2 4
2 4–
– ( )
Fazendo v = 0, vem: 2 · t – 4 = 0
2 · t = 4 ⇒ t = 2 s
Para melhor ilustração do exemplo, apresen-
tamos a seguir os gráficos cartesianos das fun-
ções:
s = t2 – 4 · t + 4
v = 2 · t – 4
s (m)
4
40 2 t (s)
v (m/s)
4
–4
40 2 t (s)
Note que, entre 0 e 2 s, o movimento é retró-
grado (v < 0) e, após t = 2 s, o movimento é 
progressivo (v > 0).
Cinemáti ca
PV
-1
3-
11
24
Física
Na classificação dos movimentos, devemos 
sempre observar a velocidade com que um 
móvel se desloca. Ela sempre nos indicará o 
tipo de movimento, pois como já foi dito an-
teriormente, a velocidade instantânea de um 
corpo é sempre tangente à trajetória descrita 
por ele, em cada ponto. 
O movimento mais simples que um corpo 
pode ter é regido por uma velocidade escalar 
constante. Se, porém, essa velocidade coinci-
de com sua velocidade média e instantânea, 
ou seja, se a velocidade for invariante em in-
tensidade, direção e sentido, estamos falando 
de um movimento com velocidade constante e 
denominado movimento retilíneo e uniforme 
(MRU). 
vamos substituir ∆s = s – s0 e ∆t = t – t0 na 
expressão anterior e reescrevê-la assim:
s – s0= v · (t – t0)
Se considerarmos o instante inicial de obser-
vação igual a zero (t0 = 0), obtemos:
 
s = s0 + v · t
Essa expressão é denominada função horária 
do espaço do movimento uniforme.
2. Diagrama horário da posição (espaço)
A função horária do espaço do movimento 
uniforme (s = s0 + v · t) é uma função do pri-
meiro grau do tipo y = a · x + b, ou seja, uma 
função linear. 
Vamos comparar as duas equações, de modo a 
perceber quais são as constantes e quais as 
variáveis de ambas, destacando as variáveis em 
negrito e mudando a posição na escrita para 
facilitar a comparação:
y (x) = b + a · x
s (t) = s0 + v · t
Coeficiente linear Variável independente
Coeficiente angular
Variável dependente
Na primeira, (b) é o coeficiente linear e é o 
ponto no qual a função intercepta o eixo verti-
cal y e (a) é a tangente do ângulo que a reta faz 
com o eixo horizontal x. Na segunda equação, 
vemos que a forma de se representar s x t é 
idêntica, como mostra a figura:
y (x)
b
a = tg θ
x
θ
 
CAPÍTULO 04 	MOVIMENTO	RETILÍNEO	UNIFORME	(MRU)
No movimento retilíneo e uniforme, a ve-
locidade escalar instantânea é constante e 
não nula. 
No movimento retilíneo e uniforme, um corpo 
percorre deslocamentos iguais em intervalos 
de tempo iguais. Observe a figura.
v = 4 m/s
(constante)
1 s
4 m 4 m
1 s
Acima, a velocidade do móvel é constante e 
igual a 4 m/s, o que implica que, em cada in-
tervalo de tempo de 1 s, ele percorre 4 m.
Como, no movimento retilíneo e uniforme, a 
velocidade escalar instantânea é constante, 
então ela é igual à velocidade escalar mé-
dia: v = vm. Assim, podemos escrever:
v v
s
tm
= =v v= =v v
∆
∆
1. Função horária da posição (espaço)
Para chegar à função horária do espaço, que 
nos permitirá calcular a posição do móvel des-
crito por ela, em qualquer instante de tempo, 
PV
-1
3-
11
Cinemáti ca
25
Física
s (t)
s0
v = tg θ
t
θ
A representação gráfica do espaço (s) em fun-
ção do tempo (t), conhecido como diagrama 
horário, é um segmento de reta.
Quando θ, o ângulo que a função faz com o 
eixo horizontal, é agudo, sua tangente é po-
sitiva e temos uma função crescente. Esse é 
exatamente o caso do movimento progressi-
vo, pois ele é realizado no mesmo sentido da 
trajetória. 
Caso contrário, se θ é um ângulo obtuso, sua 
tangente é negativa e temos um movimento 
com velocidade negativa que corresponde ao 
movimento contrário à trajetória, portanto 
retrógrado. Veja que, no caso do movimento 
retrógrado, a função é decrescente.
s (t)
s0
s0
v < 0
Retrógrado
Progr
essivo v > 0
t
θ'
θ
A seguir, temos a relação entre a velocidade, 
o deslocamento escalar e o intervalo de tem-
po no gráfico do espaço em função do tempo 
para esse movimento:
 
s
0
∆s
∆t
t
v
s
t
=
∆
∆
3. Diagrama horário da velocidade
Como a velocidade escalar é constante, o grá-
fico da velocidade em função do tempo é o 
mostrado na figura seguinte.
v
0
Retrógrado
Progressivo
t
 
v
0
Retrógrado
Progressivo
t
A
A
∆s = A
∆s < 0
∆s > 0
N
∆s = –AN 
O deslocamento escalar pode ser relacionado 
à área entre o gráfico e o eixo horizontal, con-
tanto que se observe que, se a velocidade for 
positiva, o deslocamento relativo também o 
será, e, se a velocidade for negativa, o desloca-
mento será numericamente igual à área, mas 
com sinal negativo.
Observação
Uma análise dimensional pode ser sugestão 
de método para sabermos qual a unidade de 
uma grandeza encontrada através de uma re-
lação matemática, levando em consideração 
que só podemos somar ou subtrair grandezas 
de mesma natureza. 
Ex.: s = s0 + v · t
Nesse caso, supondo que você saiba que a 
posição (s) de um corpo é dada em metros e 
que o tempo na equação acima seja dado em 
segundos, a unidade da grandeza velocidade 
(v) deve ser tal que, quando multiplicada por 
segundo, resulte na unidade metro, pois o pro-
duto v · t será somado à posição inicial s0, que 
tem a mesma unidade de medida da posição, 
o metro. 
Cinemática
PV
-1
3-
11
26
Física
4. Velocidade escalar relativa
Consideremos duas partículas A e B movendo-se 
em uma mesma trajetória e com velocidades 
escalares vA e vB , em duas situações distintas: 
movendo-se no mesmo sentido e em sentidos 
opostos.
A velocidade escalar que uma das partículas 
possui em relação à outra (tomada como 
referência) é chamada de velocidade relativa 
(vRel) e o seu módulo é calculado como relatamos 
a seguir:
A. Móveis	em	sentidos	opostos
A B
vBvA
v v vREL A B= +
B. Móveis	no	mesmo	sentido
A B
vBvA
v vA B≥
v v vl A BRe = –
Observação
Ao estabelecermos um movimento relativo 
entre móveis, um deles é tomado como refe-
rência e, portanto, permanece parado em rela-
ção a si mesmo, enquanto o outro se aproxima 
ou se afasta dele com uma certa velocidade 
relativa. Observe isso no esquema abaixo.
A B
ParadovRel
5. Movimento relativo uniforme
Se dois móveis, ao longo da mesma trajetória, 
mantiverem constantes suas velocidades esca-
lares, logo um em relação ao outro executará 
um movimento relativo uniforme, aproximan-
do-se ou afastando-se um do outro com velo-
cidade relativa de módulo constante.
Dessa forma, podemos estabelecer a seguinte 
expressão para este MU:
 v
s
tl
l
Re
Re
=
∆
∆
 (constante ≠0)
 
Os processos de encontro ou ultrapassagens 
de móveis são analisados normalmente atra-
vés de movimento relativo.
Suponha, por exemplo, duas partículas trafe-
gando na mesma trajetória com velocidades 
escalares constantes, vA e vB, e separadas ini-
cialmente por uma certa distância D0, como 
indica a figura a seguir. 
A B
vBvA
D0
Como os movimentos têm sentidos opostos, 
a velocidade relativa é dada em módulo por: 
vRel = |vA| + |vB|
Tomando-se um dos corpos como referência, o 
outro terá, até o encontro, um deslocamento 
relativo de módulo D0. O intervalo de tempo 
(∆t)	gasto	até	o	encontro	será	calculado	assim:	
A B
ParadovRel D0
v
s
t
t
s
v
D
v vl
l l
l A B
Re
Re Re
Re
= ⇒ = =
+
∆
∆
∆
∆ 0
PV
-1
3-
11
Cinemática
27
Física
01. 
Um carro se desloca em uma estrada retilínea 
com velocidade escalar constante. A figura 
mostra as suas posições, anotadas em intervalos 
de 1 min, contadas a partir do km 24, onde se 
adotou t = 0.
t = 0
km 30 km 28 km 26 km 24
t = 1 min t = 2 min t = 3 min
Responda ao que se pede.
a. O movimento é progressivo ou retró-
grado?
b. Qual é a sua velocidade escalar em km/h?c. Qual é a indicação de seu velocímetro?
Resolução
a. É retrógrado, pois suas posições são 
decrescentes no decorrer do tempo.
b. Observa-se que a cada minuto o carro 
retrocede 2 km na rodovia, ou seja, apresenta 
∆s	=	–	2	km.
Logo:
v
s
t
km km
h
v km h
= = =
=
∆
∆
– –
–
2
1
2
1
60
120
min
/
c. O velocímetro está indicando o módulo da 
velocidade escalar constante do carro: 120 km/h.
02. UERJ
Um foguete persegue um avião, ambos com 
velocidades constantes e mesma direção. 
Enquanto o foguete percorre 4,0 km, o avião 
percorre apenas 1,0 km. Admita que, em um 
instante t1, a distância entre eles é de 4,0 km e 
que, no instante t2, o foguete alcança o avião.
No intervalo de tempo t2 – t1, a distância per-
corrida pelo foguete, em quilômetros, corres-
ponde aproximadamente a:
a. 4,7
b. 5,3
c. 6,2
d. 8,6
Resolução
v = constante MU
vF = 4 · vA
t Foguete Avião
s km s km
1
0 4 4= =
s = s0 + v · t
P/ avião sA = 4 + vA · t
P/foguete sF = 0 + 4 · vA · t
No encontro, sA = sF
4 + vA · t = 4 vA · t
t
vA
=
4
3 ·
Substituindo o tempo de encontro na equação 
do movimento do foguete, temos:
s v
v
kmF A
A
= + ⋅ = ≅0 4
4
3
16
3
5 33·
·
,
Resposta
B
03. 
O gráfico a seguir representa aproximada-
mente a velocidade escalar de um ciclista, em 
função do tempo, durante uma viagem de 3,0 
horas.
---
v (km/h)
t (h)
15
0 2,01,0 3,0
30
-
-
Determine, nessa viagem:
a. o deslocamento escalar do ciclista;
b. a sua velocidade escalar média.
Resolução
a. Observa-se no gráfico que o ciclista execu-
ta duas etapas em movimento uniforme: viaja 
a 30 km/h nas primeiras 2 horas e, a seguir, a 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Cinemática
PV
-1
3-
11
28
Física
15 km/h na última hora de viagem. Em cada 
etapa, temos:
∆s	=	v	·	∆t
∆s1 = (30) · (2) = 60 km
∆s2 = (15) · (1) = 15 km
Logo, na viagem toda, temos:
∆sTotal	=	∆s1		+	∆s2 = 60 + 15
∆sTotal = 75 km
04. 
Um móvel, em movimento retilíneo e retró-
grado, possui velocidade constante e de valor 
absoluto	igual	a	5,0 m/s.	No	instante		t	=	0,	ele	
se	encontra	em	um	ponto	situado	a	20 m	à	di-
reita da origem dos espaços. Supondo que a 
trajetória tenha orientação positiva para a di-
reita, determine:
a. a função horária do espaço;
b. o instante em que o móvel passa pela 
origem dos espaços. 
Resolução 
a. Trata-se de um movimento uniforme que 
apresenta s0 = 20 m e v = – 5,0 m/s (retrógrado).
20 m
0
– 5,0 m/s
t = 0
Sendo: s = s0 + v · t ⇒ s = 20 – 5,0 · t (SI)
b. Origem dos espaços: s = 0
Assim: 0 = 20 – 5,0 · t ⇒	t	=	4,0 s
05. 
A tabela a seguir apresenta as posições ocupa-
das por um móvel, em movimento uniforme, 
em função do tempo.
s(m) 2 4 6 8 10
t(s) – 20 – 10 0 10 20
A partir da tabela anterior, faça o que se pede.
a. Dê o formato da trajetória do móvel. 
b. Construa o diagrama horário do espaço 
e calcule a velocidade escalar do móvel.
c. Determine a posição (s0)	do	móvel	no	               	
instante t = 0.
d. Escreva a função horária do espaço 
para esse móvel.
Resolução
a. Indeterminada, pois não há dados para 
apontar o seu formato.
b. Gráfico s x t :
s (m)
20
10
0
–10
–20
40
t (s)
8
2 4
6
8 10
θ
v tg m s= = =θ 40
8
5 /
c. Escolhemos um ponto qualquer da tabela. 
 Por	exemplo:	t	=	8,0 s	e	s	=	10 m
 Substituindo na função horária s = s0 + v · t, 
temos:
 10 = s0 + 5 · (8)
 10 = s0 + 40 ⇒ s0	=	–	30 m
d. Sendo s0	=	–	30 m	e	v	=	5,0 m/s,	temos:	
 s = s0 + v · t ⇒	s	=	–	30	+	5	· t					(SI)
06. Udesc
Dois caminhões deslocam-se com velocidade 
uniforme, em sentidos contrários, numa rodo-
via de mão dupla. A velocidade do primeiro ca-
minhão e a do segundo, em relação à rodovia, 
são iguais a 40 km/h e 50 km/h, respectiva-
mente. Um caroneiro, no primeiro caminhão, 
verificou que o segundo caminhão levou ape-
nas 1,0 s para passar por ele. O comprimento 
do segundo caminhão e a velocidade dele em 
relação ao caroneiro mencionado são, respec-
tivamente, iguais a:
a. 	25	m	e	90	km/h
b. 2,8 m e 10 km/h
c. 4,0 m e 25 m/s
d. 28 m e 10 m/s
e. 14 m e 50 km/h
PV
-1
3-
11
Cinemática
29
Física
Resoluções
Velocidade relativa: 
v
km
h
m slRe /= + = =( )40 50 90 25
Seja L o comprimento do segundo caminhão. 
Assim:
v
L
t
L
L mlRe ,
= ⇒ = ⇒ =
∆
25
1 0
25
Resposta
A
07. UERJ
Dois automóveis, M e N, inicialmente a 50 km 
de distância um do outro, deslocam-se em ve-
locidades constantes na mesma direção e em 
sentidos opostos. O valor da velocidade de M, 
em relação a um ponto fixo da estrada, é igual a 
60 km/h. Após 30 minutos, os automóveis cru-
zam uma mesma linha da estrada.
Em relação a um ponto fixo da estrada, a veloci-
dade de N tem o seguinte valor, em quilômetros 
por hora:
a. 40
b. 50
c. 60
d. 70
e. 80
Resolução
v
s
t
km km
h
km hl
l
Re
Re
min ,
/= = = =
∆
∆
50
30
50
0 5
100
v v v
v v km h
l M N
N N
Re
/
= +
= + ⇒ =100 60 40
Resposta
A
Cinemáti ca
PV
-1
3-
11
30
Física
1. Aceleração escalar média
Quando a velocidade de um móvel varia no 
decorrer do tempo, dizemos que o movimento 
apresenta aceleração. Suponha que a veloci-
dade de um móvel seja v0 no instante t0 e que 
a velocidade seja v em um instante posterior, t.
Nessas condições, definimos:
Note que o conceito é o mesmo que foi apre-
sentado: a taxa instantânea de variação. Agora 
é como se dá a variação da velocidade que nos 
interessa, mas a forma de cálculo é a deriva-
ção da função velocidade x tempo, como ex-
plicado anteriormente.
Seja v (t) = a · tn
a t
dv
dt
n a tn( ) = = ⋅ ⋅ –1
que é a função horária da aceleração.
Nota: se v (t) for a adição de vários termos 
polinomiais, a (t) será a adição da derivada de 
cada um destes termos.
Veja o exemplo: a (t) = –4 · t6 + 2 · t2 
a t
dv
dt
t t( ) ( )= = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅6 4 2 26 1– – –2 1
a (t) = –24 · t5 + 4 · t
3. Diagrama horário da aceleração
No caso da aceleração constante, o diagrama 
horário mostra uma reta paralela ao eixo ho-
rizontal, podendo ser positiva (∆v > 0) ou ne-
gativa (∆v < 0), como mostra a figura a seguir: 
a
0
+
–
t
CAPÍTULO 05 ACELERAÇÃO
Aceleração escalar média é a razão entre a 
variação de velocidade escalar instantânea e 
o correspondente intervalo de tempo.
a
v
t
v v
t tm
= =
∆
∆
–
–
0
0
No Sistema Internacional, a unidade de acele-
ração é m s
s
/ = m/s².
A aceleração escalar média pode ser positiva, 
negativa ou nula, mas, como o intervalo de 
tempo ∆t é sempre positivo, temos:
•	 se v > v0, a aceleração escalar média é 
positiva;
•	 se v < v0, a aceleração escalar média é 
negativa;
•	 se v = v0, a aceleração escalar média é 
nula.
2. Aceleração instantânea
A aceleração escalar instantânea é a acelera-
ção que um móvel possui em cada instante de 
movimento. Nos movimentos nos quais a ace-
leração escalar instantânea é constante, ela é 
igual à aceleração escalar média.
De modo análogo ao que foi feito para calcular a 
velocidade instantânea, pode-se obter a acelera-
ção instantânea por meio da função v · t, como a 
taxa de variação instantânea da velocidade en-
tre dois instantes tão próximos que t – t0 → 0.
PV
-1
3-
11
Cinemática
31
Física
01. 
Um móvel possui velocidade escalar de 5,0 m/s. 
Sendo acelerado durante 10 s, atinge a veloci-
dade escalar de 25 m/s
Determine a aceleração escalar média para 
esse móvel.
Resolução
a
v
t
a m sm m= = ⇒ =
∆
∆
25 5 0
10
2 2
– ,
/
Uma aceleração escalar média de 2,0 m/s2 
significa que a velocidade escalar instantânea 
variou em média de 2,0 m/s a cada segundo.
02. 
Um	automóvel,movimentando-se	a	90	km/h,	
é freado e para em 10 s. Determine a acelera-
ção escalar média durante a frenagem.
Resolução
Sendo	90	km/h	=	25	m/s,	temos:
a
v
t
a m sm m= = ⇒ =
∆
∆
0 25
10
2 5 2
–
– , /
 
Nesse exemplo, temos a velocidade escalar 
instantânea positiva e a aceleração escalar 
média negativa. Isso significa que, no decorrer 
do tempo, a velocidade escalar instantânea 
diminui, pois a aceleração média possui sinal 
contrário ao da velocidade e, consequente-
mente, contrário ao da trajetória.
03. 
Um ponto material desloca-se segundo a função 
horária do espaço:
s = t3 + 2 · t2 + 4 · t – 12 (SI)
Determine, no instante t = 1 s:
a. o espaço;
b. a velocidade escalar;
c. a aceleração escalar.
Resolução
a. Para t = 1 s ⇒ s = s1
s1 = 13 + 2 · 12 + 4 · 1 – 12 ⇒ s1 = –5 m
b. v
ds
dt
t t= = + +3 4 42· ·
 Para t = 1 s ⇒ v = v1
 v1 = 3 · 12 + 4 · 1 + 4 ⇒ v1 = 11 m/s
c. a
dv
dt
t= = +6 4·
 Para t = 1 s ⇒ a = a1
 a1 = 6 · 1 + 4 ⇒ a1 = 10 m/s2
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Cinemáti ca
PV
-1
3-
11
32
Física
Em relação a um dado referencial, um movi-
mento é considerado uniformemente variado 
(MUV) quando apresenta aceleração escalar 
constante. Nessas condições, a velocidade 
escalar (v) do móvel varia linearmente com 
o tempo e o espaço (s) do móvel varia com o 
tempo segundo uma função do 2º grau. Assim, 
no MUV, temos:
aceleração escalar constante: a a
v
tm
= =
∆
∆ ;
•	 a função horária da velocidade é uma 
função linear, ou seja, v = f (t) é do 1º 
grau;
•	 a função horária do espaço (s) é uma 
função quadrática, ou seja, s = f (t) é do 
2º grau;
1. Função horária da velocidade
A partir da definição de aceleração escalar, 
pode-se obter a função horária da velocidade, 
v = f (t), da seguinte forma:
a
v v
t t
=
–
–
0
0
Considerando t0 = 0, obtém-se:
a
v v
t
= ⇒
– 0
 
v = v0 + a · t
Nessa expressão, denominada função horária 
da velocidade para o MUV, v0 é a velocidade 
inicial do móvel e a é a aceleração escalar. Para 
qualquer instante t > 0, a função horária nos 
fornece a velocidade v do móvel.
2. Diagrama horário da velocidade
Já que a função horária da velocidade de todo 
MUV é do primeiro grau, o gráfico velocidade 
x tempo terá a forma de uma reta inclinada, a 
partir da velocidade inicial v0.
 
v
a > 0
a < 0
v
v0
v0
0
0
t
t
∆v
∆v
∆t
∆ta
3. Velocidade escalar média no MUV
Sabemos	que	a	 razão	∆s/∆t	 fornece	a	veloci-
dade escalar média de qualquer movimento. 
Entretanto, no MUV, ela também pode ser 
calculada através da média aritmética das ve-
locidades instantâneas inicial (v0) e final (v). 
Observe a demonstração a seguir:
v
v0
v
0 t∆t
A
 
∆
∆ ∆
s área A
s
v v
t
N
=
=
+



( )
·0
2 
v
v v
m =
+v v+v v0v v0v v
2
De modo geral, a velocidade escalar média 
no MUV pode ser determinada entre dois ins-
tantes quaisquer (t1 e t2), obtendo-se a média 
aritmética das velocidades escalares desses 
instantes (v1 e v2), ou seja:
v
v v
m =
+v v+v v1 2v v1 2v vv v+v v1 2v v+v v
2
Pela velocidade escalar média calculada, po-
demos também determinar o deslocamento 
escalar acontecido. Por exemplo, um carro em 
MUV que varia sua velocidade escalar de 15 m/s 
para 25 m/s, num prazo de 4,0 segundos, desloca:
∆ ∆
∆ ∆
s v t
s
v v
t m
m= ⋅
=
+


 ⋅ =
+  ⋅ =1 22
15 25
2
4 0 80,
CAPÍTULO 06 MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO
PV
-1
3-
11
Cinemáti ca
33
Física
4. Função horária da 
posição (espaço)
De modo geral, o deslocamento escalar (∆s), 
num certo intervalo de tempo (∆t), pode ser 
determinado por meio do cálculo da área exis-
tente entre o gráfico v x t e o eixo dos tempos. 
Essa área é limitada pelo intervalo de tempo 
escolhido, conforme mostra a figura a seguir.
v
0
t
∆s = áreaN
∆t
No caso particular do movimento uniforme-
mente variado, o gráfico da função horária da 
velocidade é um segmento de reta inclinado, 
como pode ser visto na ilustração a seguir.
Velocidade
v0
v
0 t
∆s
Tempo
Nesse caso, o deslocamento escalar é dado, 
numericamente, pela área do trapézio desta-
cado no gráfico. Lembrando que a área de um 
trapézio é dada por:
A
basemaior basemenor
altura=
+


 ⋅2
Obtemos, para o deslocamento:
∆ ∆s
v v
t=
+


 ⋅02
Observação – Na expressão acima, note que 
v v+


02 é a velocidade média, ou a média 
aritmética das velocidades entre dois instan-
tes, no MUV.
Sendo v = v0 + a · t, ∆s = s – s0 e ∆t = t, para t0 = 0, a 
expressão acima pode ser reescrita como:
s s
v a t v
t– 0
0 0
2
=
+ ⋅ +


 ⋅
Finalmente, rearranjando os termos, tem-se:
s = s0 + v0 · t + 
1
2
 · a · t2
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
Um automóvel com velocidade escalar de 
90	km/h	(ou	seja,	25	m/s)	é	freado	uniforme-
mente e para após 10 s. Analisando essa fre-
nagem, calcule:
a. a aceleração escalar do carro;
b. o seu deslocamento escalar até parar.
Resolução
a. v = v0 + a · t
 0 = 25 + a · 10 ⇒ a = –2,5 m/s2
b. ∆
∆ ∆
s v t
a
t
s s m
= ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅ ⇒ =
0
2
2
2
25 10
2 5
2
10 125
– ,
Podemos também calcular o deslocamento 
escalar sem utilizar a aceleração escalar. 
Observe:
∆ ∆ ∆
∆
s v t
v v
t
s m
m= ⋅ =
+


 ⋅
=
+


 ⋅ =
0
2
25 0
2
10 125
Cinemática
PV
-1
3-
11
34
Física
02. 
A função horária do espaço de um móvel é 
dada por: 
s = 2 + 3 · t + 4 · t2 (SI) 
Determine para esse movimento:
a. o espaço inicial (s0), a velocidade inicial 
(v0) e a aceleração escalar (a);
b. a função horária de sua velocidade.
Resolução
a. Trata-se de um movimento uniformemen-
te variado, pois a função horária dada é do 2º 
grau, ou seja:
 s = s0 + v0 · t + 
a
2
 · t2
 ↓ ↓ ↓
 Espaço inicial Velocidade inicial Metade da aceleração
Por comparação com a função dada, temos:
 s0 = 2 m v0 = 3 m/s
 
a
2
  = 4 ⇒ a = 8 m/s2
b. Pela função horária da velocidade do 
MUV, vem:
v = v0 + a · t ⇒ v = 3 + 8 · t (SI)
Pode-se também obter a função acima direta-
mente por derivação (ds/dt).
03.  
O gráfico abaixo representa a posição (espa-
ço) em função do tempo para o movimento 
de uma partícula, que tem aceleração escalar 
constante. 
s (m)
5,0
5,0
9,0
0 2,0 t (s)
Pede-se: 
a. o instante (t) em que a partícula para;
b. a sua velocidade escalar inicial (v0);
c. a sua aceleração escalar (a);
d. a função horária do espaço do móvel.
Resolução
a. No gráfico, o instante do vértice da pa-
rábola (t = 2,0 s) indica o momento em que 
ocorre a inversão de sentido do movimento (o 
móvel passa de progressivo para retrógrado), 
ou seja:
v = 0 ⇒ t = 2,0 s 
b. Nota-se pelo gráfico que, nos dois primei-
ros segundos de movimento, a partícula teve 
uma variação de espaço igual a: 
∆s = s – s0	=	9,0	–	5,0	=	4,0	m			
Logo, sua velocidade escalar média foi de:
v
s
t
m
s
m sm = = =
∆
∆
4 0
2 0
2 0
,
,
, /
 
Lembrando que a velocidade média no MUV 
equivale à média das velocidades inicial e final, 
vem:
v
v v
m =
+ 0
2
, em que v = 0 (inversão). 
Assim: 
2 0
0
2
0, =
+ v ⇒ v0	=	4,0	m/s	 								
c. Usando a função horária da velocidade do 
MUV, temos:
v = v0 + a · t, em que v = 0 em t = 2,0 s. Logo:
0 = 4,0 + a · 2,0 ⇒ a = – 2,0 m/s2
d. s = s0 + v0 · t + 
a
2
 · t2
Substituindo na função os valores do espaço 
inicial (s0 = 5,0 m, pelo gráfico), da velocidade 
inicial(v0) e da aceleração escalar (a) da partí-
cula, vem: 
s = 5,0 + 4,0 · t + 
–2 0
2
2,
⋅ t 
Essa expressão representa a equação da 
parábola do gráfico s · t dado.
PV
-1
3-
11
Cinemáti ca
35
Física
5. Diagrama horário da posição (espaço)
Essa expressão, uma função quadrática (2º 
grau), é denominada função horária do espaço 
no MUV, na qual s0 é o espaço inicial; v0 é a 
velocidade inicial e a é a aceleração do movi-
mento.
Como sabemos, a representação gráfica de 
toda função matemática do segundo grau é 
um ramo de parábola, assim a representação 
gráfica da função é:
s
s0
0 ti t 
Parábolas
a > 0
a < 0
 (inversão)
A concavidade da parábola do gráfico s x t está 
associada ao coeficiente do termo t2 e será 
voltada para cima quando a aceleração escalar 
do MUV for positiva. 
Se a aceleração escalar for negativa, a concavi-
dade da parábola será voltada para baixo.
Devemos observar que, como já foi dito, a 
aceleração num MUV é constante e, por isso, 
ela será sempre negativa, ou sempre positiva, 
para um movimento qualquer. Já a velocidade 
poderá ser negativa ou positiva, dependendo 
do intervalo de tempo considerado. 
Nos casos em que a aceleração for negativa, 
a velocidade será uma função crescente até o 
instante de inversão do sentido do movimen-
to, pois toda parábola com concavidade para 
baixo tem um vértice que é o ponto máximo 
da função.
A partir desse ponto, no qual a velocidade é 
nula (v = 0), a velocidade será uma função de-
crescente e o movimento, que até então era 
progressivo, passa a ser classificado como re-
trógrado, pois o móvel estará então se moven-
do em direção oposta àquela de orientação da 
trajetória. 
Da mesma forma, podemos analisar o caso de 
aceleração constante e positiva: a concavida-
de da parábola é voltada para cima, portanto 
o gráfico terá ponto de mínimo, que coincide 
novamente com o ponto de velocidade nula. 
Nesse ponto, o móvel para, a fim de inverter 
o sentido de movimento, de modo que, até o 
vértice da parábola, a função da velocidade 
seja uma função decrescente e o movimento 
seja retrógrado. A partir da inversão (v = 0), a 
função da velocidade será crescente e o movi-
mento passa a ser progressivo.
6. Equação de Torricelli 
Como vimos na seção anterior, o movimento 
uniformemente variado pode ser descrito por 
meio das funções do espaço, da velocidade e 
da aceleração, que, neste caso, é constante.
Na figura a seguir, temos os dois gráficos pos-
síveis da velocidade em função do tempo para 
o MUV.
v
v0
0
a < 0
a > 0
t 
A partir do gráfico da velocidade, podemos de-
terminar a aceleração do movimento unifor-
memente variado, conforme mostra a figura.
A equação denominada equação de Torricelli 
relaciona a velocidade escalar com o deslo-
camento escalar, num movimento uniforme-
mente variado, de modo independente do 
tempo. Para obtê-la, vamos utilizar as duas 
expressões seguintes:
∆ ∆ ∆s
v v
t e t
v v
a
=
+


 ⋅ =0 02
–
Substituindo a 2ª equação na 1ª , obtemos:
∆ ∆s
v v v v
a
s
v v
a
=
+


 ⋅
( )
⇒ =0 0
2
0
2
2 2
– –
·
Dessa expressão, resulta:
v v a s2v v2v v02 2= +v v= +v v0= +02= +2 · ·a s· ·a s∆a s∆a s
Essa expressão é a equação de Torricelli para 
o MUV.
Cinemática
PV
-1
3-
11
36
Física
7. Reclassificação dos movimentos
Para uma melhor compreensão dos movimentos variados, é importante que se saiba classificá-los, 
além dos aspectos ligados ao sinal da velocidade, ou seja, se o móvel vai (progressivo) ou volta 
(retrógrado) na trajetória, como acelerado ou retardado.
Essa classificação permite-nos identificar se o móvel está aumentando sua velocidade em inten-
sidade ou se está freando. Veja o quadro a seguir.
Movimento acelerado v > 0 e a > 0 v < 0 e a < 0
É o movimento em que a intensi-
dade da velocidade aumenta. Isso 
ocorre quando a velocidade e a 
aceleração têm o mesmo sinal.
a
Orientação da trajetória
v
a
Orientação da trajetória
v
 
O produto de a por v é um número positivo, ou seja, a · v > 0
Movimento retardado v > 0 e a < 0 v < 0 e a > 0
É o movimento em que a intensi-
dade da velocidade diminui. Isso 
ocorre quando a velocidade e a 
aceleração têm sinais contrários.
a
Orientação da trajetória
v
a
Orientação da trajetória
v
 
O produto de a por v é um número negativo, ou seja, a · v < 0
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. UniSEB-SP
O gráfico a seguir representa a variação da 
posição, em função do tempo, de dois móveis 
que se deslocam em pistas paralelas, horizon-
tais e retilíneas. 
90
75
15
s (m)
t (s)
A
B
O móvel A, que inicialmente estava em repou-
so, desloca-se com aceleração escalar cons-
tante, enquanto o móvel B percorre toda a 
pista com velocidade escalar constante. Assim, 
pode-se afirmar que:
Funções horárias:
s s v t a t s s v t
v v a t
= + ⋅ + ⋅ ⋅ = + ⋅
= + ⋅
0 0
2
0
0
1
2
;
a. o encontro entre os dois móveis ocorre 
no	instante	9	s.
b. o módulo da aceleração do móvel A é 
0,4 m/s2.
PV
-1
3-
11
Cinemática
37
Física
c. o módulo da velocidade do móvel B é 
6 m/s.
d. no instante do encontro, o módulo da 
velocidade do móvel A é 8 m/s.
e. a	posição	inicial	do	móvel	A	é	95	m.
Resolução
Posição em função do tempo, móvel A:
 s s v t a tA A A A= + ⋅ + ⋅ ⋅0 0 2
1
2
 , com s mA0 90= , como 
indica o gráfico e v A0 0= m/s , pelo enunciado 
do problema. Dessa forma, a função fica escri-
ta como: s a tA A= + ⋅ ⋅90
1
2
2
Pelo gráfico, a posição do móvel A no instante 
15 s é 0 m. 
Assim: 0 90 1
2
15 0 82= + ⋅ ⋅ ⇒ = −a aA A , m/s2
A função horária do móvel A é: 
s tA = − ⋅90 0 4 2, (I)
Velocidade em função do tempo: 
v v a t v tA A A A= + ⋅ ⇒ = − ⋅0 0 8, (II)
O móvel B se desloca com velocidade constan-
te (MRU).
Velocidade do móvel B:
 v
s
t
v v m sB
B
B B= ⇒ = ⇒ =
∆
∆
75
15
5 0, / 
Assim, a função horária das posições do mó-
vel B é:
s s v t s tB B B B= + ⋅ ⇒ = ⋅0 5 (III)
No instante de encontro:
s s t t t tA B= ⇒ − ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ − =90 0 4 5 0 4 5 90 02 2, ,
Resolvendo a equação pela fórmula resolutiva 
de Bhaskara, encontra-se t = 10 s.
Da equação (II), determina-se o módulo da ve-
locidade do móvel A no instante do encontro 
dos móveis, isto é:
v t v v m s v m sA A A A= − ⋅ ⇒ = − ⋅ ⇒ = − ∴ =0 8 0 8 10 8 8, , / / 
Resposta
D
02. 
Um carro parte do repouso com uma acelera-
ção escalar constante de 2,0 m/s2 e percorre 
25 m. Nesse percurso:
a. qual a velocidade escalar final atingida 
pelo carro?
b. qual a sua velocidade escalar média?
Resolução
a. Nota-se, pelos dados, a ausência da gran-
deza tempo. Logo, devemos determinar a ve-
locidade atingida por uma equação não horá-
ria. Usando a equação de Torricelli, temos:
v v a s
v v m s
2
0
2
2 2
2
0 2 2 25 10
= +
= + ⇒ =
· ·
· · /
∆
b. v
v v
v v m s
m
m m
=
+
=
+
⇒ =
0
2
0 10
2
5 0, /
03. 
Um popnto material desloca-se sobre uma tra-
jetória retilínea, obedecendo à função horária 
do espaço abaixo:
s = 6 – 2 · t + 2 · t2 (SI)
Classifique o movimento no instante t = 2 s, 
indicando se é progressivo ou retrógrado e se 
é acelerado ou retardado.
Resolução
Para classificar o movimento, devemos anali-
sar os sinais da velocidade e da acelaração no 
instante considerado.
•	A	velocidade	é	obtida	através	da	derivada	da	
função horária do espaço:
v
ds
dt
t= = +–2 4 (função horária da velocidade)
No instante t = 2 s:
v1 = –2 + 4 · (2) ⇒ v1 = 6 m/s
•	A	aceleração	é	dada	pela	derivada	da	função	
horária da velocidade:
a
dv
dt
a m s= = ⇒ =4 4 2/ (constante)
O movimento no instante 2 s é progressivo 
(v > 0) e acelerado (v e