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Cálculo Vetorial e Geometria Analítica Lista 1 EXERCÍCIOS CAPÍTULO 1 1 1) A figura abaixo é constituída de nove quadrados congruentes (de mesmo tamanho). Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações: 2) A figura a baixo representa um paralelepípedo retângulo. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo: coplanares são EG e FG,AB)i coplanares são HF e CB,EG)j coplanares são FG e DB,AC)k coplanares são CF e BG,AB)l coplanares são CF e DC,AB)m ABCplano ao ortogonal é AE)n BCG plano ao ortogonal é AB)o HEF. plano ao paralelo é DC)p 3) A figura abaixo representa um losango EFGH inscrito no retângulo ABCD, sendo O, o ponto de interseção das diagonais desse losango. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações: BCAF)d CGAB)c HGAB)b BFDH)a coplanares são CG e BC,AB)h ED//BG)g |DF||AG|)f HFAC)e EDDE)e MCBL)d OPBC)c PHAM)b OFAB)a FG//AJ)j LD//JO)i HI//AC)h FIKN)g MGAO)f AMPN)o NBPN)n ECPE)m BLAM)l EGAB)k |BL||AM|)t NP2AO)s |AC||AJ|)r MFIF)q |FP||AC|)p Cálculo Vetorial e Geometria Analítica Lista 1 EXERCÍCIOS CAPÍTULO 1 2 DHOH)e BOOC)d HGDO)c CHAF)b OGEO)a HG//GF)j CD//AF)i DB 2 1 OA)h BDAC)g COEH)f FEOB)o HFAO)n CBEO)m OHAB)l OC//AO)k 4) Com base na figura do exercício1, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A: AKAC)d DCAC)c BDAB)b CNAC)a OEAO)h ANAK)g BLAM)f EOAC)e PBBNBL)l NFPNLP)k CBBC)j NPMO)i 5) Com base na figura do exercício 2, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A: EHBF)c DEBC)b CGAB)a FBEF)f EHCG)e BCEG)d FHDAEG)h AEADAB)g 6) Com base na figura do exercício 3, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A: AF2AE2)c FGEH)b CHOC)a OC2OE2)f BGEO)e EFEH)d FGFE)h EHBC 2 1 )g AOFOAF)j HOOG)i 7) Determine as somas que se pedem: GCFGEFAE)e BHBGFGEFHE)d BCBGBF)c BFDBED)b AGHBGCDHCDAD)a Cálculo Vetorial e Geometria Analítica Lista 1 EXERCÍCIOS CAPÍTULO 1 3 8) A figura abaixo representa um paralelepípedo retângulo de arestas paralelas aos eixos coordenados e de medidas 2,1 e 3. Determinar as coordenadas dos vértices deste sólido, sabendo que A (2, –1,2). 9) Determine x para que se tenha 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗=𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗, sendo A (x,1), B(4,x+3), C(x,x+2) e D(2x,x+6). 10) Escreva o vetor (7,–1), como a soma de dois vetores, um paralelo ao vetor (1,–1) e outro paralelo ao vetor (1,1). 11) Dados A(–1,–1) e B(3,5), determinar C, tal que a) AB 2 1 AC b) 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗= 2 3 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 12)Sendo A(1, –1,3) e B(3,1,5), até que ponto se deve prolongar o segmento AB, no sentido de A para B, para que seu comprimento quadruplique de valor? 13) Sendo A(–2,1,3) e B(6, –7,1) extremidades de um segmento, determinar: a) os pontos C , D e E, nesta ordem, que dividem o segmento AB em quatro partes de mesmo comprimento; b) os pontos F e G, nesta ordem que dividem o segmento AB em três partes de mesmo comprimento. 14)Dadas as coordenadas, x=4, y=–12, de um vetor 𝑣 do 3, calcular sua terceira coordenada z, de maneira que 𝑣 = 13. 15)Sejam os pontos M(1,2,2) e P(0,1,2), determine um vetor 𝑣 colinear à PM e tal que .3v Cálculo Vetorial e Geometria Analítica Lista 1 EXERCÍCIOS CAPÍTULO 1 4 16)Achar um vetor 𝑥 de módulo igual a 4 e de mesmo sentido que o vetor 𝑣 =6𝑖 –2𝑗 –�⃗� . 17) No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(–2,3) e C(0,5): a) determinar a natureza do triângulo; b) calcular o comprimento da mediana AM. Sendo M o ponto médio do lado BC. 18) Sejam 𝑎 = 𝑖 +2𝑗 -3�⃗� e �⃗� =2𝑖 +𝑗 -2�⃗� . Determine um versor dos vetores abaixo: a) 𝑎 +�⃗� b) 2𝑎 -3�⃗� c) 5𝑎⃗⃗⃗⃗ +4�⃗� 19) Determine um vetor da mesma direção de 𝑣 =2𝑖 –𝑗 + 2�⃗� . e que: a) tenha norma (módulo) igual a 9; b) seja o versor de𝑣 ; c) tenha módulo igual a metade de 𝑣 . 20) Num paralelogramo ABCD sabe-se que A (1,3,–2) e que as diagonais são 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ =(4,2,–3) e 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(–2,0,1).Calcule as coordenadas dos outros três vértices. 21)Sabendo que A (1,1), B(5,1) e C(6,4) são vértices de um paralelogramo,determinar o quarto vértice de cada um dos três paralelogramos possíveis de serem formados. 22) Dados os vetores �⃗� =(3,2), 𝑣 =(2,4) e �⃗⃗� =(1,3), exprimir �⃗⃗� como a combinação linear de �⃗� e 𝑣 23)Dois vetores 𝑎 =(2,–3,6) e �⃗� =(–1,2,–2), tem uma mesma origem. Calcular as coordenadas do vetor 𝑐 sobre a bissetriz do ângulo formado pelos vetores 𝑎 e �⃗� , sabendo que 𝑐 = 423 . 24) Dados os vetores 𝑎 =(1,–1,0), �⃗� =(3,–1,1), 𝑐 =(2,2,1) e 𝑑 =(4,–3,1). Determinar o vetor 𝑣 =(x,y,z), tal que : (𝑣 +𝑎 ) �⃗� e (𝑣 +𝑐 ) 𝑑 . Cálculo Vetorial e Geometria Analítica Lista 1 EXERCÍCIOS CAPÍTULO 1 5 Respostas Exercício 1: a)V b)V c)F d)V e)V f)V g)F h)V i)F j)V k)V l)V m)F n)V o)V p)V q)V r)F s)V t)V Exercício 2: a)V b)F c) V d)V e)V f)V g)F h)F i)V j)V k)V l)F m)V n)V o)V p)V Exercício 3: a)V b)F c)V d)V e)F f)F g)V h)V i)V j)F k)V l)V m)V n)F o)V Exercício 4: a) AN b) AD c) AB d) AO e) AM f) AK g) AH h) AI i) AC j) AC k) AE l) 0 Exercício 5: AF)a AE)b HA)c AB)d AH)e AF)f AG)g AD)h Exercício 6: AE)a AC)b c) AC AB)d AO)e AD)f AH)g AD)h AO)i AC)j Exercício 7: ACe) BGd)2 BGc)2 EFb) AC)a . Exercício 8: B(2, –3,2), C(3, –3,2) , D(3, –1,2), E(3, –1,5), F(2, –1,5), G(2, –3,5) e H(3, –3,5) Exercício 9: x=2 Exercício10: x = 3 e y = 4 Exercício 11: a) x = 1 e y = 2 b) 3 5 x e y =3 Exercício 12: (9,7,11) Cálculo Vetorial e Geometria Analítica Lista 1 EXERCÍCIOS CAPÍTULO 1 6 Exercício 13: 2 5 ,1,0C)a , 2,3,2D e 2 3 ,5,4E ; b) 3 7 , 3 5 , 3 2 F e 3 5 , 3 13 , 3 10 G . Exercício 14: z= 3 Exercício 15: 6 4 , 6 1 , 6 1 v Exercício 16: 7 12 , 7 8 , 7 24 x r Exercício 17: a) isósceles b) MA = 22 Exercício 18: a) 43 1 u (3,3,–5) b) )0,1,4( 17 1 u c) 894 1 u (13,14,–23) Exercício 19: a) w =(6,–3,6) b) 3 1 u (2,–1,2) c) 2 1 p (2,-1,2) Exercício 20: C(5,5,–5) ,B( 4,4,–4) e D( 2,4,–3) Exercício 21: (2,2), (0,−4), e (10,6) Exercício 22: RESP: vuw rrr 8 7 4 1 Exercício 23: RESP: c =( 3, 15, 12) Cálculo Vetorial e Geometria Analítica Lista 1 EXERCÍCIOS CAPÍTULO 1 7 Exercício 24: v =( –10,4,–3)
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