Livro eletrodinamica clássica

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Eletrodinâmica Clássica
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Eletrodinâmica Clássica
Organizado pela Universidade Luterana do Brasil
Universidade Luterana do Brasil – ULBRA
Canoas, RS
2016
Gelson Barreto
Conselho Editorial EAD
Andréa de Azevedo Eick
Ângela da Rocha Rolla
Astomiro Romais
Claudiane Ramos Furtado
Dóris Gedrat
Honor de Almeida Neto
Maria Cleidia Klein Oliveira
Maria Lizete Schneider
Luiz Carlos Specht Filho
Vinicius Martins Flores
Obra organizada pela Universidade Luterana do Brasil.
Informamos que é de inteira responsabilidade dos autores 
a emissão de conceitos.
Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida 
por qualquer meio ou forma sem prévia autorização da 
ULBRA.
A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei 
nº 9.610/98 e punido pelo Artigo 184 do Código Penal.
ISBN: 978-85-5639-217-6
Dados técnicos do livro
Diagramação: Marcelo Ferreira
Revisão: Ane Sefrin Arduim
Caro aluno:
Esta disciplina aprofunda os seus conhecimentos sobre eletro-
magnetismo, tendo como ferramenta os conceitos do cálculo Integral e 
Diferencial.
Em muitos momentos, os conteúdos são deduções de aspectos teóricos 
da Física.
Para um bom aproveitamento nesta disciplina, será necessário:
- Rever os conceitos de cálculo, tais como as derivadas e integrais, 
principalmente as trigonométricas, fazendo uma tabela para as prin-
cipais.
- Rever produto escalar e vetorial e as suas propriedades.
- Rever a disciplina “Física Eletromagnetismo” suas definições, concei-
tos e equações. Fazer uma lista com todas as suas equações.
- Ter resolvido todas as questões propostas na disciplina “Física Eletro-
magnetismo”.
Bom estudos...
Abraço,
Prof. Gelson Barreto 
Apresentação
 1 Campo Elétrico Estacionário 1 ...............................................1
 2 Campo Elétrico Estacionário 2 .............................................20
 3 Operadores Matemáticos: Escalares e Vetoriais ...................40
 4 Propriedades Elétricas dos Materiais ....................................67
 5 Aspectos Microscópicos da Corrente ....................................88
 6 Campo Magnético Estacionário .........................................109
 7 Indução Eletromagnética ..................................................131
 8 Propriedades Magnéticas dos Materiais .............................151
 9 Equações de Maxwell ........................................................170
 10 Ondas Eletromagnéticas ...................................................198
Sumário
Gelson Barreto1
Capítulo 1
Campo Elétrico 
Estacionário 11
1 Graduado pela Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul – PUCRS 
Curso de Física; Mestre em Engenharia: Área de Energia e Meio Ambiente pela 
Universidade Luterana do Brasil – PPGEAM – ULBRA, em 2003. Professor da Ulbra 
desde 2001.
2 Eletrodinâmica Clássica
Introdução
Neste capítulo, fala-se sobre os sistemas de unidades, caracte-
rísticas vetoriais e visita-se a lei de Coulomb, com outra visão.
1.1 Sistemas de unidades 
eletromagnéticas
Há três sistemas de unidades eletromagnéticas:
O Sistema Internacional (SI), também conhecido como 
MKS, é bastante empregado em engenharia e física, sendo 
usado na maioria dos livros-texto de graduação, e quando se 
faz cálculos esse é o melhor sistema para se trabalhar.
O Sistema Gaussiano, também chamado CGS (centíme-
tro-grama-segundo), é mais “limpo” que o SI pela ausência 
de fatores como ε0 (permissividade elétrica do vácuo) e µ0 (per-
meabilidade magnética do vácuo) e a presença frequente de 
fatores pi4 (muito comuns nas integrações). No lugar desses 
fatores aparece a velocidade da luz no vácuo (c).
O Sistema de Heaviside-Lorentz é uma versão simplifica-
da do sistema CGS-Gaussiano, não tendo o fatore pi4 . Esse 
sistema é bastante empregado em cálculos relativísticos da te-
oria quântica de campos e da gravitação. Assim, escolhem-se 
unidades nesse sistema tais que c = 1 e h = 1, (constante de 
Planck).
Capítulo 1 Campo Elétrico Estacionário 1 3
Na Mecânica, a diferença entre o MKS e o CGS é míni-
ma, implicando apenas em alterar potências de dez. No ele-
tromagnetismo, essa diferença é maior, pois grandezas como 
carga e corrente têm dimensões além de unidades diferentes.
A lei de Coulomb diz que a força eletrostática (Fe) entre 
duas cargas puntiformes q1 e q2 é proporcional ao produto das 
cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância 
r que as separa.
No sistema Gaussiano, escreve-se essa lei como:
 
2
21.
r
qqFe = (Eq. 1.1)
usando como unidade de carga o statcoulomb (statC).
Assim, duas cargas de 1 statcoulomb cada, separadas 
por 1 cm atraem-se ou se repelem com uma força de 1 dyn 
(1dyn(1 dina)= 10–5 N).
Mas é mais prático e eficiente definir a carga em termos da 
corrente e esta em termos da força magnética de atração ou 
repulsão, muito mais fácil de medir em situações experimen-
tais. Assim, o sistema SI fica mais acessível.
Definindo o ampere (A, unidade de corrente) como sendo:
1 ampere é a corrente que, presente em dois fios longos 
paralelos e separados por uma distância d = 1m, resulta numa 
força por metro 
L
FM de módulo:
4 Eletrodinâmica Clássica
 
(Eq. 1.2)
A fórmula para a força entre duas correntes está para o 
sistema SI como a lei de Coulomb está para o sistema Gaus-
siano:
 L
II
L
FM
pi
µ
2
210
= (Eq. 1.3)
Onde a permeabilidade magnética do vácuo tem módulo:
 
 (Eq. 1.4)
Tendo sido definido o ampere no SI, usando:
 
 (Eq. 1.5)
O Coulomb como sendo a carga elétrica que passa por 
um fio conduzindo uma corrente de um ampere durante um 
segundo. Agora, a lei de Coulomb tem de se adaptar a essa 
Capítulo 1 Campo Elétrico Estacionário 1 5
definição, o que se consegue introduzindo uma constante di-
mensional:
 
 (Eq. 1.6)
Assim, a equação (1.1), fica:
 
 (Eq. 1.7)
Com a definição da constante 0k , surge a constante 0ε 
(permissividade do vácuo), que tem módulo em função da ve-
locidade da luz e de 0µ , a partir da relação:
 00
1
µε
=c (Eq. 1.8)
Utilizando-se:
 
 (Eq. 1.9)
Obtém-se:
6 Eletrodinâmica Clássica
 
 
(Eq. 1.10)
É preciso ter muito cuidado quando se fazem cálculos 
no sistema Gaussiano. Por Exemplo, no sistema Gaussiano, 
como a constante 
0k é adimensional, o statC tem dimensões 
M1/2L3/2T−1. Já no sistema SI, como 
0k é dimensional, não se 
pode expressar o Coulomb em termos de M, L e T unicamen-
te, assim, o sistema SI é também chamado MKSA, pois agora 
o ampere torna-se unidade fundamental, como metro, quilo-
grama e segundo. Logo, não se pode converter simplesmente 
uma carga de statC em Coulombs como se converte metro em 
centímetro, por Exemplo.
Dizemos que 1 coulomb corresponde a 2997924580 
statC, e não 1 coulomb é igual a 2997924580 statC (não se 
pode usar fator de conversão).
A unidade de carga no sistema de Heaviside-Lorentz (sem 
nome específico) corresponde a (
pi4
1 ) statC.
Para passar do sistema CGS-Gaussiano para o SI, fazemos 
as seguintes conversões nas grandezas eletromagnéticas:
Capítulo 1 Campo Elétrico Estacionário 1 7
A partir da equação (1.8) e com as unidades no SI da per-
meabilidade Tm/A e da permissividade C2/Nm, como chegar 
à unidade de velocidade m/s?
00
1
µε
=c
 
8 Eletrodinâmica Clássica
m
ssm
1/ =
smsm // =
Capítulo 1 Campo Elétrico Estacionário 1 9
1.2 Campo Elétrico (E)
Matematicamente, E  representa a associação de todos os 
pontos do espaço a uma mesma grandeza.
E pode ser:
Vetorial ou escalar
Uniforme ou não
Estacionário ou variável
1.2.1 Versor de um vetor
Define-se versor de um vetor quando for um vetor unitário e 
possuir a mesmadireção e mesmo sentido que um vetor.
 
r
rr


=0 (Eq. 1.11)
Versor ( 0r

) é a razão do vetor deslocamento ( r ) pelo seu 
módulo r .
Num plano tridimensional com a origem em ‘O’, tem-se:
10 Eletrodinâmica Clássica
Figura 1.1 Gráfico Plano x, y, z.
Fonte: Fisica.exe.com
Figura 1.2 Gráfico.
Fonte: http://ensinonovo.if.usp.br/universitario-alunos/vetores/
Capítulo 1 Campo Elétrico Estacionário 1 11
1.2.2 Lei de Coulomb
 
 (Eq. 1.12)
Ou
 
 (Eq. 1.13)
1.2.3 Campo Elétrico
 
(Eq. 1.14)
Ou
 
 (Eq. 1.15)
Ou
12 Eletrodinâmica Clássica
 
 (Eq. 1.16)
Para um sistema de cargas tem-se:
 
 (Eq. 1.17)
Exemplo 1
Considere três cargas CqA µ1= , CqB µ2= , CqC µ4= 
que estão nos respectivos pontos: A (0,0,0), B (2,0,0), C (2,2,2) 
e um ponto P (0,2,2). Determinar o campo elétrico resultante 
no ponto P, na forma vetorial.
 1) Encontrar os vetores até o ponto P (posição final - posição 
inicial):
 2) Encontrar os módulos vetores:
Capítulo 1 Campo Elétrico Estacionário 1 13
( ) ( ) ( )222 220 ++=PA 
228 ==PA

( ) ( ) ( )222 ∑∑∑ ++= kjiPB 
( ) ( ) ( )222 222 ++−=PB 
3212 ==PB

( ) ( ) ( )222 ∑∑∑ ++= kjiPC 
( ) ( ) ( )222 002 ++−=PC 
24 ==PC

 3) Encontrar os versores:
14 Eletrodinâmica Clássica
 4) Encontrar os vetores campo elétrico gerado por cada car-
ga no ponto P:
Carga A:
Capítulo 1 Campo Elétrico Estacionário 1 15
Carga B:
Carga C:
16 Eletrodinâmica Clássica
ATENÇÃO: neste exemplo, as distâncias r poderiam ser en-
contradas por geometria, fazendo-se o gráfico das posições 
das cargas e do ponto, e a partir daí determinar as diagonais 
do paralelepípedo e do seu lado quadrado, como sendo:
3aD = e 2aD =
Sendo ‘a’ o seu lado.
 5) Encontrar o campo elétrico resultante no ponto P:
Recapitulando
Depois do estudo deste capítulo, você deve lembrar das:
Operações vetoriais
Módulo de um vetor
Versor de um vetor
Capítulo 1 Campo Elétrico Estacionário 1 17
e de suas aplicações na resolução de sistemas forças geradas 
por cargas elétrica e campos elétricos e suas unidades.
Referências
GRIFFITHS, D. J. Eletrodinâmica. Pearson Education, 3. ed.
HALIDAY, D., RESNICK, R., WALTER, J. Fundamentos de Físi-
ca. Vol.3. Rio de Janeiro, RJ: LTC – Livros Técnicos e Cien-
tíficos S.A., 7. ed., 2004.
JACKSON, John David. Classical Electrodynamics. Third 
Edition, John Wiley & Sons, 1999.
JEWETT, J.W.JR., SERWAY, R. A. Física para Cientistas e En-
genheiros. V.3. São Paulo, Cenage Learning, 8. ed. 2011
KELLER, F, J., GETTYS, W, E., SKOVE, M. J. Física. Vol. 3. São 
Paulo, Markon Books.
MACEDO, Anita. Eletromagnetismo. Guanabara.
MACHADO, Kleber Daum. Teoria do Eletromagnetismo. 
Vol. 1, 2 e 3. UEPG, 2004.
REITZ, J.R, MILFORD, F.J., CHRISTY, R.W. Fundamentos da 
Teoria Eletromagnética. Rio de Janeiro: Campus, 1982.
SEARS, F. W., ZEMANSKY, M. W., YOUNG, H. D., FREEDMAN, 
R. A. Física 3. São Paulo, SP: Addison Wesley, 10. ed., 
2003.
18 Eletrodinâmica Clássica
TIPLER, P. A., MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenhei-
ros. Vol. 2. Rio de Janeiro, LTC, 6. ed., 2008.
www.fisica.ufpr.br/ Viana/eletro
Atividades
 1) Repetir o Exemplo 01, sendo qB<0, mantendo-se as de-
mais condições.
 2) Determinar o campo elétrico resultante no ponto P, na 
forma vetorial, gerado por quatro cargas CqA µ4= , 
CqB µ2−= , CqC µ5= e CqD µ1= , que estão nos 
respectivos pontos: A (1,-2,0), B (1,2,0), C (0,2,3), D 
(0,0,0) e um ponto P (-1,-2,3). (Sugestão: faça primeiro o 
desenho)
 3) Considere duas cargas, 
que estão nos respectivos pontos: A (0,0), B (4,0), e um 
ponto P (0,3). Determine o Campo elétrico resultante no 
ponto P (vetorial) e o ângulo que ele faz com a horizontal.
(Sugestão: faça primeiro o desenho)
 4) Considere duas cargas, Aq e Bq , que estão nos respec-
tivos pontos: A (-a,0), B (b,0), e um ponto P (b,y). Sendo 
Θ o ângulo da direção do vetor campo elétrico de Aq 
em relação à horizontal e α o ângulo da direção do vetor 
campo elétrico de Bq em relação à horizontal. Determi-
ne:
Capítulo 1 Campo Elétrico Estacionário 1 19
a) As componentes do vetor EA no ponto P.
b) O módulo do vetor EA no ponto P.
c) As componentes do vetor EB no ponto P.
d) O módulo do vetor EB no ponto P.
e) O vetor campo elétrico resultante no ponto P, formato 
unitário.
f) O módulo do vetor campo elétrico resultante no pon-
to.
g) Sendo BA qq = , α=Θ , ba = , determine o módu-
lo do vetor campo elétrico resultante em P.
 (Sugestão: faça primeiro o desenho)
 5) Calcule o campo elétrico (módulo, direção e sentido), de-
vido a um dipolo elétrico em um ponto ‘P’ localizado a 
uma distância ‘ x>> d’ sobre a mediatriz do segmento 
que une as cargas. Expresse sua resposta em termos de 
momento de dipolo p.
Gelson Barreto
Capítulo 2
Campo Elétrico 
Estacionário 21
1 Graduado pela Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul – PUCRS 
Curso de Física; Mestre em Engenharia: Área de Energia e Meio Ambiente pela 
Universidade Luterana do Brasil – PPGEAM – ULBRA, em 2003. Professor da Ulbra 
desde 2001.
Capítulo 2 Campo Elétrico Estacionário 2 21
Introdução
Abordaremos neste capítulo as distribuições uniformes de car-
ga e suas consequências, gerando campos e fluxos elétricos, 
relacionados pela lei de Gauss.
2.1 Distribuição uniforme de cargas
2.1.1 Linear )(λ
Distribuição uniforme de carga ao longo de um comprimento:
 
(Eq. 2.1)
(Eq. 2.2)
Onde: mC /→λ
2.1.2 Superficial )(σ
Distribuição uniforme de carga ao longo de uma superfície:
22 Eletrodinâmica Clássica
 
(Eq. 2.3)
(Eq. 2.4)
Onde: 2/mC→σ
2.1.3 Volumétrica )(ρ
Distribuição uniforme de carga ao pelo volume:
 
(Eq. 2.5)
(Eq. 2.6)
Onde: 3/mC→ρ
2.2 Campo elétrico em um ponto, sobre a 
mediatriz de uma fita uniforme
Considerar uma fita metálica uniformemente carregada sobre 
o eixo dos (não se esqueça de que está trabalhando com x,y 
e z).
Capítulo 2 Campo Elétrico Estacionário 2 23
A Figura 2.1 mostra a decomposição do campo elétrico 
originado por um elemento de carga dq, e por simetria do 
outro elemento de carga anterior ao segmento da mediatriz, 
sobre o eixo Z.
Figura 2.1 Campo devido a uma barra carregada. Fonte: Autor.
Assim, tem-se:
 yz
EdEdEd

+= (Eq. 2.7)
 ∫∫ ∫ +== yz EdEdEdE

 (Eq. 2.8)
As componentes ao logo do eixo y se anulam devido à 
simetria. Então:
24 Eletrodinâmica Clássica
 ∫ ∫== zEdEdE

 (Eq. 2.9)
Considere que:
 (Eq. 2.10)
 
(Eq. 2.11)
(Eq. 2.12)
(Eq. 2.13)
 (Eq. 2.14)
Assim, tem-se:
 (Eq. 2.15)
Como ‘z’ é constante, pode-se escrever:
Capítulo 2 Campo Elétrico Estacionário 2 25
 θztgy = (Eq. 2.16)
Assim, sendo:
 (Eq. 2.17)
Pode-se agora escrever a equação 2.15 assim:
(Eq. 2.18)
Lembrando que:
 (Eq. 2.19)
Tem-se:
26 Eletrodinâmica Clássica
Como:
 θ
θ
cos
1sec == (Eq. 2.20)
Assim, o elemento do campo elétrico no ponto p ao longo 
do eixo dos ‘z’ dado por:
 
 (Eq. 2.21)
Para se obter o campo total, tem-se que fazer a integração:
 (Eq. 2.22)
Capítulo 2 Campo Elétrico Estacionário 2 27
ATENÇÃO: o fator ‘2’ multiplicador deve-se ao fato da 
componente ‘Ez’, ser duplicada pela ação dos dois lados da 
mediatriz.
 
 (Eq. 2.23)
Onde
 
2/1222max ))4/((
2/2/
Lz
L
r
Lsen
+
==θ (Eq. 2.24)
Assim, para:
a) Lz >>
z
L
z
L
Lz
L
r
Lsen
2
2/
))4/((
2/2/
2/1222max ==+
==θ (Eq. 2.25)
E o campo fica:
 
(Eq. 2.26)
Você reconhece essa equação?
28 Eletrodinâmica Clássica
Assim, o campo fica:
 
 (Eq. 2.27)
E dessa equação, vocêlembra?
2.2.1 Elemento de volume em coordenadas 
esféricas
Considere o sistema espacial formado pelos eixos ‘x, y e z’, e 
um ponto P, na superfície do volume desse sólido.
Sendo esse ponto P, dado por:
P(x,y,z)=P(r,θ,φ)
Capítulo 2 Campo Elétrico Estacionário 2 29
 
Figura 2.2 Ponto P, no espaço. Fonte: www.utfpr.edu.br/.
Onde o vetor ‘r’ é dado por:
 
2222 zyxr ++= (Eq. 2.28)
Sendo as coordenadas x, y e z, dadas por:
 ϕθ cosrsenx = (Eq. 2.29)
 ϕθ senrseny .= (Eq. 2.30)
 .cosθrz = (Eq. 2.31)
Com os ângulos:
piθ ≤≤0 (medido do eixo z até o segmento OP)
piϕ 20 ≤≤ (medido do eixo x até o segmento OP” > 0)
Rr ≤≤0
Sendo assim um elemento de volume nessa superfície é 
mostrado na Figura 3:
30 Eletrodinâmica Clássica
Figura 2.3 Elemento de volume num ponto P, no espaço. Fonte www.utfpr.
edu.br/
O elemento de volume é dado por:
 (Eq. 2.32)
 
(Eq. 2.33)
(Eq. 2.34)
Capítulo 2 Campo Elétrico Estacionário 2 31
Figura 2.4 Elemento de volume. Fonte: unisinos.br/jcopetti/transcal_ppg /
Conducao.pdf).
Assim, o volume desse sólido (esfera) pode ser dado por:
 
(Eq. 2.35)
(Eq. 2.36)
32 Eletrodinâmica Clássica
 
(Eq. 2.37)
(Eq. 2.38)
(Eq. 2.39)
(Eq. 2.40)
 
(Eq. 2.41)
(Eq. 2.42)
(Eq. 2.43)
2.4 Fluxo elétrico - Lei de Gauss
Fluxo elétrico EΦ , representa o número de linhas do campo 
que atravessam a superfície, sendo diretamente proporcional 
a elas.
Capítulo 2 Campo Elétrico Estacionário 2 33
Figura 2.5 Fluxo elétrico. Fonte: física.exe, 2014.
Sendo o EΦ total definido por:
 
 (Eq. 2.44)
 
 (Eq. 2.45)
Ao se considerar uma esfera como superfície, tem-se para 
o fluxo:
 
 (Eq. 2.46)
Substituindo-se o campo elétrico, obtém-se:
34 Eletrodinâmica Clássica
 
 (Eq. 2.47)
(Eq. 2.48)
Lei de Gauss: “ O fluxo através de uma superfície fechada é 
diretamente proporcional à carga líquida (soma algébrica das 
cargas), dessa superfície”
Figura 2.6 Esfera Gaussiana.
Fonte: http://www.monografias.com/trabajos34/electrostatica/electrostatica.shtml.
As linhas que entram na superfície formam um fluxo negati-
vo enquanto as que saem formam um fluxo positivo.
Capítulo 2 Campo Elétrico Estacionário 2 35
Como,
Tem-se:
 
 (Eq. 2.49)
 
 
 (Eq. 2.50)
 (Eq. 2.51)
36 Eletrodinâmica Clássica
 
 (Eq. 2.52)
Recapitulando
Depois de ler este capítulo, você deve lembrar das distribui-
ções de cargas e como proceder para determinar os respecti-
vos campos elétricos.
Definir e aplicar a lei de Gauss que, na prática, é uma 
opção para se determinar os campos elétricos através de su-
perfícies.
Referências
GRIFFITHS, D. J. Eletrodinâmica. Pearson Education, 3. ed.
HALIDAY, D., RESNICK, R., WALTER, J. Fundamentos de Fí-
sica. Vol. 3. Rio de Janeiro, RJ: LTC – Livros Técnicos e 
Científicos S.A., 7. ed., 2004.
JACKSON, John David. Classical Electrodynamics. Third 
Edition, John Wiley & Sons, 1999.
JEWETT, J.W.JR., SERWAY, R. A. Física para Cientistas e En-
genheiros. V.3. São Paulo, Cenage Learning, 8. ed. 2011
Capítulo 2 Campo Elétrico Estacionário 2 37
KELLER, F, J., GETTYS, W, E., SKOVE, M. J. Física. Vol. 3. São 
Paulo, Markon Books.
MACEDO, Anita. Eletromagnetismo. Guanabara.
MACHADO, Kleber Daum. Teoria do Eletromagnetismo. 
Vol. 1, 2 e 3. UEPG, 2004.
REITZ, J.R, MILFORD, F.J., CHRISTY, R.W. Fundamentos da 
Teoria Eletromagnética. Rio de Janeiro: Campus, 1982.
SEARS, F. W., ZEMANSKY, M. W., YOUNG, H. D., FREEDMAN, 
R. A. Física 3. São Paulo, SP: Addison Wesley, 10. ed., 
2003.
TIPLER, P. A., MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenhei-
ros. Vol. 2. Rio de Janeiro, LTC, 6. ed., 2008.
www.fisica.ufpr.br/ Viana/eletro
Atividades
 1) Retome a disciplina “Física Eletromagnetismo” e deduza o 
campo elétrico num ponto P, devido à distribuição unifor-
me de carga em um anel.
38 Eletrodinâmica Clássica
 2) Retome a disciplina “Física Eletromagnetismo” e deduza o 
campo elétrico num ponto P, devido à distribuição unifor-
me de carga em um disco.
 3) Retome a disciplina “Física Eletromagnetismo” e deduza o 
campo elétrico através da área lateral de um cilindro de 
Capítulo 2 Campo Elétrico Estacionário 2 39
comprimento L e raio R, estando o cilindro sobre o eixo 
horizontal e seu centro na origem do sistema cartesiano. 
O campo elétrico uniforme tem orientação dos y>0. Use 
a lei de Gauss.
 4) Uma esfera de raio ‘R’ está carregada com uma carga 
distribuída pela função Determine:
a) O valor de k
b) O campo além da superfície da esfera.
 5) Considere um cilindro de raio 20 cm e comprimento 40 
cm, na horizontal, com seu centro na origem (x=0). O 
campo elétrico tem módulo 250 N/C, no sentido de x>0. 
Determine o fluxo total através das áreas do cilindro.
Gelson Barreto1
Capítulo 3
Operadores 
Matemáticos: Escalares 
e Vetoriais1
1 Graduado pela Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul – PUCRS 
Curso de Física; Mestre em Engenharia: Área de Energia e Meio Ambiente pela 
Universidade Luterana do Brasil – PPGEAM – ULBRA, em 2003. Professor da Ulbra 
desde 2001.
Capítulo 3 Operadores Matemáticos: Escalares e Vetoriais 41
Introdução
Este capítulo descreve a utilização de operadores matemáticos 
na definição de grandezas vetoriais como campos elétricos e 
grandezas escalares como potencial.
As operações vetoriais podem ser feitas sobre campos es-
calares e vetoriais. Um campo escalar qualquer é uma função 
)(rf  , que associa uma escalar f
a uma posição r , enquanto uma função )(rF 

, associa 
um vetor F

, a cada ponto r , de um campo vetorial. Para 
realizar cálculos com essas funções, utilizam-se operadores 
matemáticos.
3.1 Operador “del” ou “nabla” (∇

)
O operador nabla” (∇

) é um vetor, cujo nome é de origem 
grega, associado a um tipo de instrumento musical antigo que 
tinha o seu formato. Foi utilizado por William Rowan Hamilton 
(1805-1865) como derivada vetorial de uma função escalar.
 
 (Eq. 3.1)
O operador nabla” (∇

), não tem significado físico ou geo-
métrico, ele adquire significado quando aplicado em uma fun-
42 Eletrodinâmica Clássica
ção, como uma função de ponto(que depende das variáveis 
de posição) ou de posição. Assim, ele interage com escalares 
e vetores, como ),,( zyxEE

= , ou ),,( zyxVV = .
3.1.1 Aplicação de ∇

, sobre E

3.1.1.1 Divergente ( Ediv

)
 
(Eq. 3.2)
(Eq. 3.3)
(É um escalar)
Obs.: lembrar de:
a) Produto Escalar:
(Eq. 3.4)
Capítulo 3 Operadores Matemáticos: Escalares e Vetoriais 43
b) Produto vetorial
 (Eq. 3.5)
Assim:
3.1.1.2 Rotacional ( Erot

)
(Eq. 3.6)
44 Eletrodinâmica Clássica
 (Eq. 3.7)
 (Eq. 3.8)
3.1.2 Aplicação de∇

, sobre V (Gradiente, 
Vgrad ..∇

)
Representa a alteração do valor de uma grandeza escalar por 
unidade de espaço. Assim, ele é um vetor que cujo módulo, 
direção e sentido, representam a máxima taxa de crescimento 
dessa função.
 (Eq. 3.9)
 (Eq. 3.10)
(É um Vetor)
Exemplo 1
Considere as funções abaixo, e um ponto P (1,0,-2).
Capítulo 3 Operadores Matemáticos: Escalares e Vetoriais 45
Determine para esse ponto:
a) E

•∇
b) Ex

∇
c) V.∇

RESOLUÇÃO!
a) Divergente
b) Rotacional
46 Eletrodinâmica Clássica
c) Gradiente
Capítulo 3 Operadores Matemáticos: Escalares e Vetoriais 47
3.2 Teorema da Divergência
Considere um paralelepípedo ao longo do eixo y, com um 
campo uniforme no sentido de y>0. Sendo a áreas 1 e 2, 
dxdy , Figura 3.1:
Figura 3.1 Fluxo através de um paralelepípedo. Fonte: Autor.
Sendo o fluxo,
 ∫= AdE
φ (Eq. 3.11)
O fluxo através das áreas1 e 2 é dado por:
48 Eletrodinâmica Clássica
 
(Eq. 3.12)
(Eq. 3.13)
e para um infinitésimo de volume ao longo do eixo y,
 
 (Eq. 3.14)
Assim, o fluxo total sobre o eixo y é:
 yy
φφφφ ∆++= 21 (Eq. 3.15)
 
 (Eq. 3.16)
Pode-se fazer a mesma analogia para os demais eixos, en-
tão o fluxo total através da figura é dado por:
 zyxTOTAL
φφφφ ++= (Eq. 3.17)
Capítulo 3 Operadores Matemáticos: Escalares e Vetoriais 49
(Eq. 3.18)
(Eq. 3.19)
(Eq. 3.20)
(Eq. 3.21)
O divergente de E

 é numericamente igual ao fluxo por 
unidade de volume.
A divergência do vetor densidade de fluxo (que representa 
um fenômeno físico qualquer) é a variação do fluxo através da 
superfície fechada de um pequeno volume que tende a zero.
50 Eletrodinâmica Clássica
 
(Eq. 3.22)
(Eq. 3.23)
Assim, igualando-se as equações 3.22 e 3.23, tem-se:
 
(Eq. 3.24)
 
 (Eq. 3.25)
Lei de Gauss da Forma Diferencial
Teorema da Divergência ou Teorema de Gauss (para diferen-
ciar da Lei de Gauss). Estabelece que a integral da compo-
nente normal de qualquer campo vetorial sobre uma superfície 
fechada é igual à integral da divergência desse campo através 
do volume envolvido por essa superfície fechada.
Capítulo 3 Operadores Matemáticos: Escalares e Vetoriais 51
Para um ponto P, tem-se:
a) →>∇ 0. PE

 no ponto em questão, a carga resul-
tante é positiva, e tem-se uma “fonte” de linhas de 
força.
b) →<∇ 0. PE

 no ponto em questão, a carga resul-
tante é negativa, e o mesmo constitui-se em um sorve-
douro de linhas de força.
c) →=∇ 0. PE

 não tem carga resultante, o mesmo 
número de linhas de força que entram também saem.
3.3 Potencial Elétrico (V)
Considere a carga q sendo deslocada com velocidade cons-
tante desde o infinito até um ponto P através das linhas do 
campo, devido à ação de uma força externa Fext, que em mó-
dulo equivale à força elétrica Fe, por um elemento de linha, 
infinitésimo de deslocamento dl, como mostra a Figura 3.2:
52 Eletrodinâmica Clássica
Figura 3.2 otencial Elétrico. Fonte: www.ufpe.br/ /Eletromagnetismo.
Assim:
 
(Eq. 3.26)
(Eq. 3.27)
Então, o trabalho realizado pela força externa para o des-
locamento da carga pelo elemento de linha é dado por:
Capítulo 3 Operadores Matemáticos: Escalares e Vetoriais 53
 
(Eq. 3.28)
(Eq. 3.29)
Lembrando que o trabalho também pode ser dado por:
 
 (Eq. 3.30)
CUIDADO! Não confundir dV, que aqui representa infinité-
simo de potencial, com a mesma simbologia para o volume.
Igualando-se as equações 3.29 e 3.30, tem-se:
 
 (Eq. 3.31)
Assim, denomina-se diferença de potencial (ddp, U) entre 
dois pontos de um campo elétrico como sendo:
 (Eq. 3.32)
54 Eletrodinâmica Clássica
3.4 Relação entre Potencial (V) e o campo 
elétrico (E)
Lembrando que:
(Eq. 3.33)
(Eq. 3.34)
(Eq. 3.35)
(Eq. 3.36)
 
(Eq. 3.37)
(Eq. 3.38)
O sinal de menos (-) implica que ao longo de uma linha de 
campo o potencial vai do maior valor para o menor.
Capítulo 3 Operadores Matemáticos: Escalares e Vetoriais 55
3.5 Teorema de Stokes
O potencial pode ser dado por:
 (Eq. 3.39)
Onde C é a curva limitadora da fronteira da superfície A.
Assim, o potencial de um ponto no espaço pode ser deter-
minado tanto pelo primeiro membro da equação 1.39 quanto 
pelo segundo.
Exemplo 2:
Determinar o potencial devido à função , 
pelos dois lados do teorema de Stokes, na área delimitada pe-
los pontos (0,0,0), A(0,2,0), B(0,2,3), C(0,0,3) nesse sentido.
56 Eletrodinâmica Clássica
Pelo primeiro membro:
Capítulo 3 Operadores Matemáticos: Escalares e Vetoriais 57
Pelo segundo membro:
Passo a)
Passo b)
58 Eletrodinâmica Clássica
idydzAd ˆ=

Passo c)
Assim, o potencial pode ser calculado pelos dois membros 
do teorema de Stokes.
3.6 Campos elétricos conservativos e não 
conservativos
É possível através do rotacional determinar se um campo elé-
trico é ou não conservativo.
→=∇ 0Ex

 campo conservativo de linhas abertas 
criada por cargas elétricas. Todo campo expresso pelo poten-
cial é conservativo.
→≠∇ 0Ex

 campo não conservativo de linhas facha-
das, originado por indução.
Exemplo 3:
Capítulo 3 Operadores Matemáticos: Escalares e Vetoriais 59
Determinar se as funções de campo elétrico são conserva-
tivos ou não.
a) 
ativoNãoconserv→
b) kzjyE ˆˆ3 3+=

0
3030
ˆˆˆˆˆ
3
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∇
yzy
yxzyx
jikji
Ex

3.7 Equação de Poisson e Laplace
As equações 3.25 e 3.38 podem ser relacionadas substituin-
do-se 3.38 em 3.25:
60 Eletrodinâmica Clássica
 
 (Eq. 3.40)
→∇ V.2

 Esse operador é denominado Laplaciano de 
V, LapV.
Isso significa a soma das derivadas de 2ª ordem em rela-
ção à x,y ez.
 (Eq. 3.41)
Equação de Poisson
 (Eq. 3.42)
Equação de Laplace
Capítulo 3 Operadores Matemáticos: Escalares e Vetoriais 61
 (Eq. 3.43)
Exemplo 4:
Para a situação abaixo, com 0=ρ ,
VVx =→= 00
0=→= VLx , determinar:
a) A função potencial V=V(x)
b) A função campo E=E(x)
Resolução
a) Como 0=ρ , usa-se a Eq. de Laplace:
02
2
2
2
2
=
∂
∂
=
∂
∂
=∇
x
x
x
VV

Como 02
2
=
∂
∂
x
V
 significa que é uma constante, pois 
derivada de uma constante é zero. Assim, pode-se escrever 
 onde A é uma constante em relação à x. Assim, 
tem-se:
Para BVVx ==→= 00
Para Lx =
62 Eletrodinâmica Clássica
Assim, a expressão para o potencial fica:
b)
Capítulo 3 Operadores Matemáticos: Escalares e Vetoriais 63
Recapitulando
Depois da leitura deste capítulo, você deve estar familiarizado 
com os operadores escalares e vetoriais (Divergente, Rotacio-
nal e Gradiente) e praticar o seus conceitos. Identificar e apli-
car a lei de Gauss, bem como as equações de Poisson e de 
Laplace na simplificação da resolução de questões.
Referências
GRIFFITHS, D. J. Eletrodinâmica. Pearson Education, 3. ed.
HALIDAY, D., RESNICK, R., WALTER, J. Fundamentos de Fí-
sica. Vol. 3. Rio de Janeiro, RJ: LTC – Livros Técnicos e 
Científicos S.A., 7. ed., 2004.
JACKSON, John David. Classical Electrodynamics. Third 
Edition, John Wiley & Sons, 1999.
JEWETT, J.W.JR., SERWAY, R. A. Física para Cientistas e En-
genheiros. V.3. São Paulo, Cenage Learning, 8. ed. 2011
KELLER, F, J., GETTYS, W, E., SKOVE, M. J. Física. Vol. 3. São 
Paulo, Markon Books.
MACEDO, Anita. Eletromagnetismo. Guanabara.
MACHADO, Kleber Daum. Teoria do Eletromagnetismo. 
Vol. 1, 2 e 3. UEPG, 2004.
REITZ, J.R, MILFORD, F.J., CHRISTY, R.W. Fundamentos da 
Teoria Eletromagnética. Rio de Janeiro: Campus, 1982.
64 Eletrodinâmica Clássica
SEARS, F. W., ZEMANSKY, M. W., YOUNG, H. D., FREEDMAN, 
R. A. Física 3. São Paulo, SP: Addison Wesley, 10. ed., 
2003.
TIPLER, P. A., MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenhei-
ros. Vol. 2. Rio de Janeiro, LTC, 6. ed., 2008.
Atividades
 1) Considere as funções abaixo, e um ponto P (0,1,-1).
e 
Determine para esse ponto:
a) E

.∇
b) Ex

∇
c) V.∇

 2) Considere as funções abaixo, e um ponto P (-1,0,3).
kzjzyizxE ˆ3ˆ)2(ˆ2 2 −++=

e 
Capítulo 3 Operadores Matemáticos: Escalares e Vetoriais 65
Determine para esse ponto:
a) E

•∇
b) Ex

∇
c) V.∇

 3) Considere uma fita metálica, resultado de um corte transver-
sal de um cilindro, ao longo do eixo z, que possui uma den-
sidade linear de carga de 12pC/m. Determine a ddp entre os 
pontos A= 5 cm e B= 8 cm ao longo do eixo dos y.
 4) Determinar o potencial devido à função , 
pelos doisa lados do teorema de Stokes, na área delimita-
da pelos pontos (0,0,0), A(0,2,3), B(0,2,0),nesse sentido. 
(Sugestão: faça o desenho no plano)
 5) O potencial elétrico numa região é dado por . 
Para o ponto P(x,5,-1), pertencente à superfície equipoten-
cial V=12 Volts. Determinar:
a) O valor de x
b) O gradiente do potencial no ponto P.
c) O módulo do campo elétrico
d) A densidade volumétrica de carga.
e) O campo é conservativo ou não?
 6) Para a situação abaixo, com 0≠ρ ,
VVx =→= 00
66 Eletrodinâmica Clássica
0=→= VLx , determinar:
a) A função potencial V=V(x)
b) A função campo E=E(x)
Gelson Barreto1
Capítulo 4
Propriedades Elétricas 
dos Materiais1
1 Graduado pela Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul – PUCRS 
Curso de Física; Mestre em Engenharia: Área de Energia e Meio Ambiente pela 
Universidade Luterana do Brasil – PPGEAM – ULBRA, em 2003. Professor da Ulbra 
desde 2001.
68 Eletrodinâmica Clássica
Introdução
Este capítulo aborda as Propriedades Elétricas dos Materiais, 
como se comportam e de que fatores dependem as corren-
tes elétricas que surgem através dos condutores, fazendo uma 
análise especifica do caso de um capacitor plano (Revisar ca-
pacitores).
4.1 Propriedades elétricas dos materiais
Considere um capacitor carregado com uma tensão )( 0V . Ao 
colocarmos entre suas placas um dielétrico sua tensão cairá 
para )(V , sendo 0VV < .
Denomina-se )(k a constante dielétrica do material ou 
simplesmente o fator dielétrico. Esse fator depende de vários 
outros fatores, mas principalmente da frequência. Ele pode ser 
determinado pela razão entre as tensões inicial (antes) e final 
(após o dielétrico) do capacitor.
 
 (Eq. 4.1)
Como
Capítulo 4 Propriedades Elétricas dos Materiais 69
 
(Eq. 4.2)
(Eq. 4.3)
tem-se:
 
 (Eq. 4.4)
Considere um capacitor plano, Figura 4.1:
Figura 4.1 Capacitor Plano. Fonte: http://alunosonline.uol.com.br/fisica/
capacitor-plano.html)
A capacitância inicial é dada por:
70 Eletrodinâmica Clássica
 0
0 V
qC = (Eq. 4.5)
Onde FC →0
(1Farad = 1C/1V)
 
 (Eq. 4.6)
Sendo assim, para um capacitor plano tem-se:
 (Eq. 4.7)
Substituindo-se, respectivamente, as equações 4.6 e 4.7 em 
4.1, obtém-se:
d
A
d
A
C
C
C
q
C
q
V
Vk
00
00
ε
ε
====
Capítulo 4 Propriedades Elétricas dos Materiais 71
 
 (Eq. 4.8)
Quando não se tem nenhuma fonte ligada ao sistema, 
tem-se 0qq = , ou seja, a carga é constante. Ao ligarmos 
uma fonte ao capacitor, o que muda é a carga, mas a tensão 
entre as placas permanece a mesma.
Portanto, a aplicação de um campo elétrico influencia na 
estrutura dos átomos. Assim, quando os centros das cargas 
coincidem, temos uma distribuição simétrica, ou seja, uma li-
gação ‘apolar’, como, por exemplo, a molécula de gás car-
bônico 
Quando seus centros não coincidem, não há simetria, a 
ligação é polar. Como exemplo, a molécula da água )( 2OH .
Ao se aplicar um campo elétrico em um material, ele forma 
moléculas polares, como, por exemplo, em um cristal liquido, 
que fica com suas moléculas alinhadas e tem a propriedade 
de polarizar a luz. Nesse caso, considere um pedaço desse 
cristal que, inicialmente, não tem campo elétrico. Agora, ao 
aplicarmos um campo elétrico vertical para cima, as moléculas 
desse material serão reorganizadas de tal maneira a gerar um 
campo elétrico induzido no seu interior, orientado verticalmen-
te para baixo.
Assim, o campo elétrico resultante no cristal seria o campo 
aplicado menos o induzido, e teria a orientação vertical para 
cima.
72 Eletrodinâmica Clássica
4.1.1 Vetores elétricos com dielétricos
Todo condutor apresenta alta densidade de cargas livres (elé-
trons) )(q , que se encontram na banda de condução (moldu-
ra do capacitor).
No seu interior, incluindo o dielétrico, tem-se as cargas in-
duzidas )( iq , que representam a banda de valência. Ao se 
utilizar Gauss, tem-se:
00 εε
iqqqAdE −==∫ 
 
ao integrar, tem-se:
 
 (Eq. 4.9)
(com dielétrico)
 (Eq. 4.10)
(sem dielétrico)
Da equação 4.4, tem-se:
 
(Eq. 4.11)
Capítulo 4 Propriedades Elétricas dos Materiais 73
Substituindo-se 4.11 em 4.10, obtém-se:
000 εε kEAAEq ==
 (Eq. 4.12)
Agora, substituir 4.12 em 4.9:
 (Eq. 4.13)
Ao dividirmos todos os termos da equação 4.13, pela área 
(A), tem-se:
74 Eletrodinâmica Clássica
 (Eq. 4.14)
Define-se:
→D

 Densidade de fluxo ou densidade de linhas ou den-
sidade superficial de cargas livres:
 
 (Eq. 4.15)
Capítulo 4 Propriedades Elétricas dos Materiais 75
→P

 Vetor polarização elétrica, seu módulo equivale à 
densidade superficial de cargas induzidas ou ligadas quanto 
maior o número de cargas, maior a polarização.
 
 (Eq. 4.16)
Assim, a equação 4.14 fica:
 
 (Eq. 4.17)
Como D

, pode ser escrito como:
 (Eq. 4.18)
Portanto, a equação 4.17 fica:
76 Eletrodinâmica Clássica
 (Eq. 4.19)
 (Eq. 4.20)
Exemplo 1
Considere o capacitor de placas paralelas da Figura 2 (am-
pliada) como sendo cortes transversais de um cilindro de raio 
dR = , sendo formado por dois isolantes b1 e b2 com: 11 =k 
e 92 =k , e distâncias 3
2
1
dd = e 
32
dd = respectivamente. 
Sendo mmd 6= , , determine:
a) O valor da nova capacitância
b) O módulo do campo elétrico no interior do dielétrico 
(considerar o maior)
c) A densidade de carga induzida na superfície superior 
do dielétrico.
Capítulo 4 Propriedades Elétricas dos Materiais 77
Figura 4.2 Capacitor plano. Fonte: http://docplayer.com.br/5668203-
Capacitores.
a) Como os dielétricos estão em série, tem-se para a ca-
pacitância total do dielétrico:
c) Primeiro, encontrar a área das placas:
78 Eletrodinâmica Clássica
Segundo, encontrar a carga inicial:
Terceiro, encontrar a carga induzida:
Agora, encontre o vetor P:
4.1.2 Densidade de Energia Potencial Elétrica
Denomina-se densidade de energia Eµ a energia potencial 
armazenada pelo volume da região onde está armazenada.
V
UE
E =µ (Eq. 4.21)
Sendo JUE →
(A energia potencial elétrica)
3/mJE →µ
Em um capacitor, a energia elétrica é dada por:
Capítulo 4 Propriedades Elétricas dos Materiais 79
 
 
(Eq. 4.22)
Substituindo- se obtém-se:
 (Eq. 4.23)
Portanto, a densidade de energia fica:
 (Eq. 4.24)
Exemplo 2
Considere que 2 capacitores estão ligados em paralelo com 
CCC == 21 em um circuito RC. No início, uma chave (ch) 
interruptora na associação está aberta, sendo assim, a carga 
em 1 é 01 qq = , enquanto que em 2, 02 =q . Após a chave 
ser fechada, a carga de 1 começa a passar para o 2. Assim, 
a carga em 2 é em função do tempo, mas a energia potencial 
elétrica no processo de redistribuição da carga depende da 
resistência?
80 Eletrodinâmica Clássica
Sendo o potencial em cada capacitor e no resistor dados 
por:
VVV += 21
Lembrando que:
Assim, a carga que passa para o capacitor 2 é:
Capítulo 4 Propriedades Elétricas dos Materiais 81
82 Eletrodinâmica Clássica
A taxa de energia no capacitor 2 é dada por:
Capítulo 4 Propriedades Elétricas dos Materiais 83
Temos que encontrar 2I como:
 e elevando-se ao quadrado tem-se:
Agora substituir C em B:
84 Eletrodinâmica Clássica
Assim, a taxa de carga (transferência de energia) não de-
pende do valor de R.
Capítulo 4 Propriedades Elétricas dos Materiais 85
Recapitulando
Neste capítulo, você revisou capacitores, então as suas ca-
racterísticas e propriedades de associação devem estar bem 
frescas na sua memória. Entretanto, os vetores ditos vetores 
elétricos são fundamentais para os conteúdos futuros. O vetor 
densidade de fluxo, o vetor polarização elétrica e suas relações 
com o campo, ao se resumir na equaçãoikE σε =− )1(0 , 
fica sendo muito prático o seu uso.
Referências
GRIFFITHS, D. J. Eletrodinâmica. Pearson Education, 3. ed..
HALIDAY, D., RESNICK, R., WALTER, J. Fundamentos de Fí-
sica. Vol. 3. Rio de Janeiro, RJ: LTC – Livros Técnicos e 
Científicos S.A., 7. ed., 2004.
JACKSON, John David. Classical Electrodynamics. Third 
Edition, John Wiley & Sons, 1999.
JEWETT, J.W.JR., SERWAY, R. A. Física para Cientistas e En-
genheiros. V.3. São Paulo, Cenage Learning, 8. ed. 2011.
KELLER, F, J., GETTYS, W, E., SKOVE, M. J. Física. Vol. 3. São 
Paulo, Markon Books,
MACEDO, Anita. Eletromagnetismo. Guanabara.
MACHADO, Kleber Daum. Teoria do Eletromagnetismo. 
Vol. 1, 2 e 3. UEPG, 2004.
86 Eletrodinâmica Clássica
REITZ, J.R, MILFORD, F.J., CHRISTY, R.W. Fundamentos da 
Teoria Eletromagnética. Rio de Janeiro: Campus, 1982.
SEARS, F. W., ZEMANSKY, M. W., YOUNG, H. D., FREEDMAN, 
R. A. Física 3. São Paulo, SP: Addison Wesley, 10. ed., 
2003.
TIPLER, P. A., MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenhei-
ros. Vol. 2. Rio de Janeiro, LTC, 6. ed., 2008.
Atividades
 1) Calcular a energia potencial elétrica armazenada no cam-
po de uma esfera de raio e carga Cq µ4= .
 2) Dois capacitores estão ligados em paralelo com 
 No início, uma chave (ch) inter-
ruptora na associação está aberta, sendo assim, o poten-
cial em 1 é , enquanto que em 2, 02 =V . Deter-
mine a energia potencial elétrica no sistema:
a) Com a chave aberta.
b) Com a chave fechada.
 3) Determinar uma expressão para a força entre as placas de 
uma capacitor plano.
 4) Considere um fio de cobre de diâmetro 5,2 mm sendo per-
corrido por um corrente de 12 A, sem estar isolado (Sem 
a proteção de plástico). Uma minhoca de tamanho 4 cm 
se arrasta pelo fio no sentido da sua corrente de arrasto e 
Capítulo 4 Propriedades Elétricas dos Materiais 87
com módulo de velocidade igual a da velocidade de arras-
to dos elétrons. Quanto tempo ela levaria para se arrastar 
um centímetro?
 5) Um aquecedor de o dissipa 500 W quando a diferença 
de potencial aplicada é de 110 V e a temperatura do fio 
é 800 oC. Qual será o valor da potência dissipada se a 
temperatura do fio for mantida em 200oC pela imersão 
em óleo? A diferença de potencial permanece a mesma e 
o valor de α para o aquecedor 800o C é 4 × 10−4 oC-1.
Gelson Barreto1
Capítulo 5
Aspectos Microscópicos 
da Corrente1
1 Graduado pela Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul – PUCRS 
Curso de Física; Mestre em Engenharia: Área de Energia e Meio Ambiente pela 
Universidade Luterana do Brasil – PPGEAM – ULBRA, em 2003. Professor da Ulbra 
desde 2001.
Capítulo 5 Aspectos Microscópicos da Corrente 89
Introdução
Como se comporta a corrente elétrica dentro de um condutor, 
em função das características do material, do campo elétrico 
que ele fica exposto e quais as grandezas afetadas por essa 
condições serão analisadas neste capítulo.
5.1 Condutores Metálicos
Os condutores metálicos apresentam grande número de elé-
trons livres, o que permite a condução.
Seja a densidade de elétrons η , livres dada por:
V
n
=η (Eq. 5.1)
Onde n é o número de elétrons livres.
A Figura 5.1 mostra o movimento no condutor dos elétrons 
contra o sentido do campo elétrico estabelecido, ao longo do 
comprimento L, do condutor.
90 Eletrodinâmica Clássica
Figura 5.1 Fluxo de elétrons Fonte: http://www.nelsonreyes.com.br/
Eletrodinpdf)
Sendo a relação entre o campo e o potencial dada por:
 (Eq. 5.2)
E a corrente, por:
 
(Eq. 5.3)
Onde a carga pode ser definida em função do número de 
elétrons por volume:
 
(Eq. 5.4)
Capítulo 5 Aspectos Microscópicos da Corrente 91
Denomina-se de velocidade de arrastro av a velocidade 
relativa do elétron no interior do condutor, e pode ser definida 
como:
 a
a v
Lt
t
Lv =→= (Eq. 5.5)
A equação 5.3 fica assim:
a
a
Aev
v
L
ALe
t
qI ηη ===
 
(Eq. 5.6)
A trajetória do elétron (distância percorrida) dentro de um 
condutor pode chegar na casa dos km, mas o seu desloca-
mento efetivo é de apenas alguns cm.
Exemplo 5.1
Um condutor de cobre - Cu tem um diâmetro de 26 mm e é 
percorrido por uma corrente de 20 A. Determinar o tempo mé-
dio que os elétrons levam para avançar 10 cm nesse condutor. 
Considerar que cada átomo contribua com um elétron, sendo 
92 Eletrodinâmica Clássica
2º) A área em cm2, devido às unidades da massa especifica:
3º) A velocidade de arrastro:
3º) O tempo médio:
5.2 Densidade de Corrente
Quando a corrente for distribuída de maneira uniforme ao 
longo da secção reta do condutor, Figura 5.2, densidade de 
corrente J

, pode ser dada por:
Capítulo 5 Aspectos Microscópicos da Corrente 93
Figura 5.2 Densidade de corrente. Fonte: Autor.
 
(Eq. 5.7)
(Eq. 5.8)
(Eq. 5.9)
94 Eletrodinâmica Clássica
Exemplo 5.2
A densidade de corrente na secção reta de um condutor é 
dada por: 
Considerando que o diâmetro seja de 2 mm com uma cor-
rente de 18 A, determinar o valor da constante k.
Para resolver, tem que lembrar o Capítulo 3 para rever ar 
Capítulo 5 Aspectos Microscópicos da Corrente 95
5.3 Modelo Microscópico para a 
Resistividade
Supondo que sobre cada elétron livre atuam duas forças: a 
força elétrica eF e a força de resistência ao avanço, força de 
arrastro 
af . Como o elétron se desloca contra o campo, essas 
forças têm sentidos opostos. Assim, tem-se:
 
(Eq. 5.10)
(Eq. 5.11)
Sendo a força de arrastro dada por:
 
 (Eq. 5.12)
E a velocidade de arrastro é dada pela equação 1.6, então 
a força de arrastro fica:
 
 (Eq. 5.13)
Vamos fazer uma adaptação: qe →
96 Eletrodinâmica Clássica
 
 (Eq. 5.14)
Sendo a força elétrica:
 
 (Eq. 5.15)
Assim, a equação 5.11, fica:
amfF ae .=−
Capítulo 5 Aspectos Microscópicos da Corrente 97
98 Eletrodinâmica Clássica
Capítulo 5 Aspectos Microscópicos da Corrente 99
 (Eq. 5.16)
100 Eletrodinâmica Clássica
Como a massa do elétron é muito pequena, o segundo 
termo cai a zero muito rapidamente, por isso vamos analisar 
somente a parte da função que permanece no regime estacio-
nário.
 
 (Eq. 5.17)
Substituindo-se E pela equação 5.2, a equação 5.17 fica:
 
(Eq. 5.18)
→2q constante física
→
k
η
 
material do condutor
Capítulo 5 Aspectos Microscópicos da Corrente 101
→
L
A
 
geometria
As grandezas LAkq ,,,,η são constantes para um condu-
tor, e são denominadas de condutância do material G ,
 
 (Eq. 5.19)
Então, a equação 5.18 fica:
 
 (Eq. 5.20)
O termo 
k
nq2
 é denominado de condutividade do material 
simbolizado por σ ,
 
 (Eq. 5.21)
Substituindo-se 5.21 em 5.19, tem-se:
102 Eletrodinâmica Clássica
 
 (Eq. 5.22)
Sabe-se que a condutância é o inverso da resistência ( R), 
então se pode relacioná-las:
 
 (Eq. 5.23)
Assim, o inverso do termo da equação 5.21 é a resistivida-
de do material ρ .
 
(Eq. 5.24)
(Eq. 5.25)
A equação 5.23 pode ser escrita assim:
Capítulo 5 Aspectos Microscópicos da Corrente 103
 
 (Eq. 5.26)
Que você conhece como sendo a segunda lei de OHM!
Os valores de k e n da equação 5.24, tendem a aumentar 
em função da temperatura, além do k sofrer influência da es-
trutura cristalina do material. Então, pode-se dizer que a resis-
tividade é uma função da temperatura.
)(Tf=ρ
Assim, os valores da resistividade desenvolvem uma série 
de potências, com o aumento da temperatura,
 ...)1( 4320 +∆+∆+∆+∆+= TTTT εγβαρρ (Eq. 5.27)
Sendo εγβα ,,, os coeficiente térmicos da resistividade, 
em °C-1, para a primeira potência.
Não havendo necessidade de muita precisão, pode-se tra-
balhar somente com a primeiraordem. Assim, tem-se:
104 Eletrodinâmica Clássica
 
 (Eq. 5.28)
Recapitulando
Depois do estudo deste capítulo, é necessário que saiba definir 
grandezas como corrente elétrica, densidade de corrente elé-
trica, e velocidade de arrastro. Além de relacionar e diferenciar 
as grandezas associadas com a corrente elétrica e sua depen-
dência com a temperatura
Referências
GRIFFITHS, D. J. Eletrodinâmica. Pearson Education, 3. ed..
HALIDAY, D., RESNICK, R., WALTER, J. Fundamentos de Fí-
sica. Vol. 3. Rio de Janeiro, RJ: LTC – Livros Técnicos e 
Científicos S.A., 7. ed., 2004.
JACKSON, John David. Classical Electrodynamics. Third 
Edition, John Wiley & Sons, 1999.
JEWETT, J.W.JR., SERWAY, R. A. Física para Cientistas e En-
genheiros. V.3. São Paulo, Cenage Learning, 8. ed. 2011.
KELLER, F, J., GETTYS, W, E., SKOVE, M. J. Física. Vol. 3. São 
Paulo, Markon Books,
MACEDO, Anita. Eletromagnetismo. Guanabara.
Capítulo 5 Aspectos Microscópicos da Corrente 105
MACHADO, Kleber Daum. Teoria do Eletromagnetismo. 
Vol. 1, 2 e 3. UEPG, 2004.
REITZ, J.R, MILFORD, F.J., CHRISTY, R.W. Fundamentos da 
Teoria Eletromagnética. Rio de Janeiro: Campus, 1982.
SEARS, F. W., ZEMANSKY, M. W., YOUNG, H. D., FREEDMAN, 
R. A. Física 3. São Paulo, SP: Addison Wesley, 10. ed., 
2003.
TIPLER, P. A., MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenhei-
ros. Vol. 2. Rio de Janeiro, LTC, 6. ed., 2008.
Atividades
Obs.:
 Â coeficiente de temperatura α , a 200C, para o cobre: 
 Â resistividade ρ , a 200C, para o cobre: 
 Â diâmetro a 200C, para o cobre-10 =2,588 mm
 1) Um fio de cobre-10 é atravessado por uma corrente de 20 
A. Admitindo-se a razão de um elétron livre por átomo de 
cobre, calcular a velocidade de arrasto dos elétron.
 2) Num certo feixe, a densidade de elétrons é de 5 x 106 elé-
trons/cm3. Imagine que cada elétron tenha a energia ciné-
tica de 10 keV e que o feixe seja cilíndrico com diâmetro 
de 1,00 mm.
106 Eletrodinâmica Clássica
a) Qual a velocidade de um elétron nesse feixe? 
b) Qual a corrente gerada pelo feixe?
 3) Um anel de cargas com densidade linear de carga ( )λ , 
e de raio ( )a , gira em torno do seu eixo com velocidade 
angular ( )ω . Determine a expressão de sua corrente.
 4) Num certo acelerador de partículas, um feixe de prótons 
com diâmetro de 2,00 mm constitui uma corrente de 1,0 
mA. A energia cinética de cada próton é de 20 MeV. O 
feixe atinge um alvo metálico onde absorvido.
a) Qual o número ( )n de prótons por unidade de volume 
do feixe.
b) Quantos prótons atingem o alvo em 1,0 min.?
c) Se o alvo estiver inicialmente descarregado, qual sua 
carga em função do tempo de exposição ao feixe?
 5) A corrente elétrica num fio metálico varia com o tempo de 
acordo com a relação com I em ampères e t 
em segundos.
a) Quantos coulombs de carga passam pelo condutor 
entre t=0 e t=10s?
b) Que corrente constante transportaria a mesma carga 
no mesmo intervalo de tempo?
 6) Em um supercolisor de prótons, um feixe de 5mA, deslo-
cam-se em velocidade quase igual à da luz.
a) Quantos prótons há por metro do feixe?
Capítulo 5 Aspectos Microscópicos da Corrente 107
b) Se a área da secção reta do feixe for 10-6 m2, qual a 
densidade numérica de prótons?
 7) Um fio de cobre-10 pode suportar corrente de 30 A.
a) Qual a resistência de 100 m desde fio?
b) Qual o campo elétrico no interior do fio, quando a 
corrente for de 30 A?
c) Quanto tempo leva um elétron para percorrer 100m 
no fio quando a corrente for de 30 A?
 8) Um diodo semicondutor é um dispositivo não linear 
cuja corrente I e a voltagem V estão relacionadas por 
, em que k é a constante de Boltzman, q
 
a carga do elétron e T a temperatura absoluta. Se I0= 10
-9 
A e T= 293 K.
a) Qual a resistência do diodo com V=0,5V?
b) Qual a resistência do diodo com V=0,6V?
 9) O espaço entre dois cilindros metálicos coaxiais, de com-
primento L e raios a e b, está completamente cheio por um 
material de resistividade ρ .
a) Qual a resistência entre os dois cilindros?
b) Sendo , a=1,5 cm, b=2,5 cm, L=50 cm, e 
a ddp entre eles de 10 V, determine a corrente elétrica.
 10) Em que temperatura a resistência de fio de cobre será 10% 
maior do que a sua resistência a 200C?
108 Eletrodinâmica Clássica
 11) Um calefator tem resistência Ni-Cr, cuja resistência é de 
Ω8 , a 200 C. Com uma alimentação de 120 V, a corrente 
elétrica aquece o resistor a 10000 C.
a) Qual a corrente inicial que passa pelo resistor frio?
b) Qual a resistência do resistor quente?
c) Qual a potencia de operação desse calefator?
 12) A resistência do filamento de uma lâmpada aumenta line-
armente com a temperatura. Quando se liga uma fonte de 
potencial constante à lâmpada, a corrente inicial diminui 
até que o filamento atinge uma temperatura de equilíbrio 
e operação permanente. O coeficiente de temperatura da 
resistividade do material do filamento é de 4x10-3 K-1. A 
corrente final pelo filamento é um oitavo da corrente ini-
cial. Qual a variação de temperatura do filamento?
Gelson Barreto1
Capítulo 6
Campo Magnético 
Estacionário1
1 Graduado pela Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul – PUCRS 
Curso de Física; Mestre em Engenharia: Área de Energia e Meio Ambiente pela 
Universidade Luterana do Brasil – PPGEAM – ULBRA, em 2003. Professor da Ulbra 
desde 2001.
110 Eletrodinâmica Clássica
Introdução
Basicamente, este capítulo trata que a partir do movimento de 
cargas elétricas (corrente elétrica), em um condutor, gera-se 
um campo magnético. A partir disso, as suas relações e a ação 
de uma força de origem magnética.
6.1 Carga em movimento gera Campo 
Magnético
Em 1820, Hans Christian Oersted (1777-1851) percebeu que 
uma corrente elétrica originava um campo magnético.
“Uma carga elétrica em movimento com velocidade cons-
tante, apresenta juntamente com seu campo elétrico, um cam-
po magnético.”
Ou
“Uma carga elétrica em movimento com velocidade cons-
tante, apresenta um campo eletromagnético, estacionário.”
Sendo o vetor indução magnética B

, com seu sentido no 
plano definido pela representação:
→⊗ Quando entra.
→• Quando sai.
Cargas em movimento, na prática, são uma corrente elétri-
ca. Então, o seu deslocamento gera um elemento de corrente 
Capítulo 6 Campo Magnético Estacionário 111
, que dentro de uma região de campo magnético sofre a 
ação de uma força magnética Fd

, como mostra a Figura 6.1.
Figura 6.1 Elemento de corrente.
Fonte: (www.alfaconnection.pro.br/fisica/eletromagnetismo)
Sendo,
 (Eq. 6.1)
(Direção e sentido dados pela regra da mão direita)
 
 (Eq. 6.2)
112 Eletrodinâmica Clássica
Exemplo 1
Calcular a força magnética resultante sobre o condutor na si-
tuação descrita.
O elemento de força aponta para o centro e tem duas 
componentes 
xFd

 e yFd

 e sendo as componentes 0=xFd

.
O elemento de linha , então a força resultante 
é:
Capítulo 6 Campo Magnético Estacionário 113
6.2 Força Magnética sobre uma carga em 
Carga em Movimento
Sendo o elemento de força Fd

, definido pela equação 6.1, 
corrente elétrica e velocidade definidos por:
 
(Eq. 6.3)
(Eq. 6.4)
Substituindo 6.3 e 6.4 em 6.1 tem-se:
 
(Eq. 6.5)
(Eq. 6.6)
114 Eletrodinâmica Clássica
Sobre essa força magnética pode-se dizer que:
 Â Ela é perpendicular à velocidade vF 

⊥ , e ao campo 
BF

⊥ ;
 Â Portanto, não realiza trabalho, não altera o módulo da 
velocidade;
 Â Não tem componente tangencial;
 Â Desvia a trajetória da partícula.
 Â Seu módulo depende do valor do ângulo, que é definido 
entre os vetores vB 

⊥ .
Sendo assim, quando:
Nesse caso, a força magnética exerce o papel da força 
centrípeta:Capítulo 6 Campo Magnético Estacionário 115
 
(Eq. 6.7)
(Eq. 6.8)
Que é o raio da trajetória circular descrita pela carga.
Exemplo 2
a) Um elétron com velocidade de 5 x 105 m/s, faz um 
movimento circular no plano da folha, de raio 6 cm, 
no qual existe um campo magnético orientado para 
dentro da folha. Qual o módulo desse campo?
Lembrar:
Utilizando a equação 6.8:
b) Considere agora que o elétron tenha sido projetado 
na região do campo com um ângulo de 80°. Qual o 
módulo do seu campo e como seria sua trajetória?
Quando o ângulo é o movimento é helicoi-
dal, formado por um MCU e um MRU ⊥ , que provoca um 
deslocamento lateral ao longo do sentido do campo magnéti-
co. Esse deslocamento denomina-se de passo (P), como mos-
tra a Figura 2, com o passo e o período (T) dados por:
116 Eletrodinâmica Clássica
 
(Eq. 6.9)
(Eq. 6.10)
Figura 6.2 Movimento Helicoidal Fonte: http://www.passo-a-passo.com/
mec3.2.2/05)
Para resolver a questão, tem-se:
Exemplo 3
Qual o módulo e a orientação do campo magnético que deve 
ser sobreposto ao elétrico de 250 V/m, para que um elétron 
Capítulo 6 Campo Magnético Estacionário 117
com velocidade de 6 x 105 m/s não sofra desvio da sua traje-
tória?
Para não ter desvio:
Como o elétron se desloca contra o campo elétrico, então 
a força elétrica é vertical para cima. Portanto, a força mag-
nética deve ser vertical para baixo, com isso o ângulo entre a 
velocidade e o campo magnético é de 90°.
6.2.1 Força de Lorentz
A força eletromagnética que atua em uma carga em movimen-
to num campo eletromagnético é dada por:
 BxvqEqF
 ..+= (Eq. 6.11)
 
 (Eq. 6.12)
118 Eletrodinâmica Clássica
6.3 Lei de Ampere
A integral de linha sobre um caminho fechado do campo mag-
nético produzido por correntes é proporcional à corrente líqui-
da que atravessa essa superfície fechada, cuja curva limite ou 
fronteira é a curva C.
 
 (Eq. 6.13)
Assim, a lei de Ampere se constitui numa ferramenta práti-
ca para se determinar campo magnético a partir de correntes 
elétricas.
6.3.1 Campo Magnético em um fio Retilíneo
Considere um fio longo percorrido por uma corrente I, como 
mostra a Figura 6.3:
Figura 6.3 Campo gerado por corrente em um fio conduto.
Capítulo 6 Campo Magnético Estacionário 119
Fonte: http://www.mspc.eng.br/elemag/eletrm0140.shtml.
O campo magnético num ponto p, a uma distância R do 
fio, será dado a partir da equação 6.13, por:
 
 (Eq. 6.14)
6.3.2 Campo Magnético em um solenoide
Considere a Figura 6.4, a qual representa o campo magnético 
gerado na secção transversal de um solenoide percorrido por 
corrente elétrica.
120 Eletrodinâmica Clássica
Figura 6.4 Campo em um solenoide
Fonte: https://donaatraente.files.wordpress.com/2013/05/solenc3b3ide-ideal.png.
O segmento abcda representa uma espira colocada sobre 
esse plano. Assim, o campo magnético que atua nessa super-
fície fechada será dado por:
 (Eq. 6.15)
Para N espiras:
Capítulo 6 Campo Magnético Estacionário 121
 
 (Eq. 6.16)
6.4 Lei de Bio-Savart
A lei de Biot-Savart também fornece o campo magnético cria-
do pelo fluxo de corrente em um condutor, em um ponto A 
próximo ao condutor, como mostra a Figura 6.5.
Figura 6.5 Lei de Biot-Savart Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_
Biot-Savart#/media/File:Biot_Savart.svg.
Ela nos diz que o elemento de indução magnética Bd

 as-
sociado a uma corrente I em um segmento de um fio condu-
tor descrito por ld

 é:
122 Eletrodinâmica Clássica
 
(Eq. 6.17)
(Eq. 6.18)
(Eq. 6.19)
6.4.1 Campo Magnético em uma Espira
Considere a Figura 6, que mostra o campo gerado por uma 
corrente ao percorrer uma espira, e um ponto ao longo do 
segmento do seu eixo.
Capítulo 6 Campo Magnético Estacionário 123
Figura 6.6 Campo Magnético em uma Espira.
Fonte: http://ensinoadistancia. pro.br/EaD/
Eletromagnetismo/LeiBiotSavart-Exe/BiotSavartExe.htm.
Assim, o campo nesse ponto será dado por:
Por simetria as componentes do campo magnético no eixo 
y, se anulam.
Sendo a componente horizontal dada por:
αdBsenBd x =

 Eq. (6.21)
Assim, a equação 6.18 fica:
124 Eletrodinâmica Clássica
 
Eq. (6.22)
No centro da espira, x=0, então, o campo fica:
 
Eq. (6.23)
Capítulo 6 Campo Magnético Estacionário 125
6.4.2 Campo Magnético em um Fio condutor
Por analogia com a dedução do campo elétrico do Capítulo 
2, tem-se:
Assim, tem-se que partindo da equação 6.15 e consideran-
do a distância do condutor ao ponto como sendo ‘R’, como 
mostra a Figura 6.7:
Figura 6.7 Campo em um fio, Biot- Savart.
Fonte: ttps://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/)
Sendo:
126 Eletrodinâmica Clássica
Então, tem-se:
Eq. (6.24)
Capítulo 6 Campo Magnético Estacionário 127
ATENÇÃO: o fator ‘2’ multiplicador deve-se ao fato da com-
ponente ‘Bx’, ser duplicada pela ação dos dois lados da me-
diatriz.
 
Eq. (6.25)
Onde:
 
 Eq. (6.26)
Assim, para:
 
Eq. (6.27)
zSendo o condutor muito longo, tem-se somente:
 
Eq. (6.28)
Recapitulando
Depois do estudo deste capítulo, você irá identificar e determi-
nar campos magnéticos quando gerados por fios, espiras e so-
lenoides. A definição da lei de Ampere e de Biot-Savart e suas 
128 Eletrodinâmica Clássica
compreensões são fundamentais no estudo da eletrodinâmica 
clássica, uma vez que elas definem o campo magnético que está 
atuando.
Referências
GRIFFITHS, D. J. Eletrodinâmica. Pearson Education, 3. ed..
HALIDAY, D., RESNICK, R., WALTER, J. Fundamentos de Fí-
sica. Vol. 3. Rio de Janeiro, RJ: LTC – Livros Técnicos e 
Científicos S.A., 7. ed., 2004.
JACKSON, John David. Classical Electrodynamics. Third 
Edition, John Wiley & Sons, 1999.
JEWETT, J.W.JR., SERWAY, R. A. Física para Cientistas e En-
genheiros. V.3. São Paulo, Cenage Learning, 8. ed. 2011.
KELLER, F, J., GETTYS, W, E., SKOVE, M. J. Física. Vol. 3. São 
Paulo, Markon Books,
MACEDO, Anita. Eletromagnetismo. Guanabara.
MACHADO, Kleber Daum. Teoria do Eletromagnetismo. 
Vol. 1, 2 e 3. UEPG, 2004.
REITZ, J.R, MILFORD, F.J., CHRISTY, R.W. Fundamentos da 
Teoria Eletromagnética. Rio de Janeiro: Campus, 1982.
SEARS, F. W., ZEMANSKY, M. W., YOUNG, H. D., FREEDMAN, 
R. A. Física 3. São Paulo, SP: Addison Wesley, 10. ed., 2003.
TIPLER, P. A., MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenhei-
ros. Vol. 2. Rio de Janeiro, LTC, 6. ed., 2008.
Capítulo 6 Campo Magnético Estacionário 129
Atividades
 1) Determinar o módulo e o ângulo com a horizontal do 
campo magnético resultante no ponto P, originado pelas 
correntes )(51 •= AI , )(42 ⊗= AI , )(33 ⊗= AI , equi-
distantes 10 cm do ponto P.
 2) Qual o valor da indução magnética no centro de um qua-
drado de lado 12 cm, formados por 80 espiras. Considere 
a corrente de 2 A, passando no ponto médio de um de 
seus lados. (Determinar o campo nesse instante.)
 3) Considere um cabo coaxial com três camadas, cujo raio 
interno é ‘a’, o intermediário é raio ‘b’, e o externo é ‘c’. 
Determine o campo magnético em função do raio ‘r’ para:
a) ar ≤≤0
b) bra ≤≤
c) crb ≤≤
 4) Partículas alfa são aceleradas desde o repouso, através 
de uma ddp de 1kV. Então, elas entram em um campo 
magnético B = 0,2 T, perpendicular à direção de seus 
movimentos. Calcule o raio de suas trajetórias. A energia 
130 Eletrodinâmica Clássica
cinética final de cada partícula é igual à 
energia potencial elétrica perdida (Ep = ∆U.q).
 5) Um campo saindo do plano da página tem valor 0,8 T, 
como indica a figura ao lado. O fio mostrado na figura 
transporta um corrente de 30 A. Calcule o módulo, a di-
reção e o sentido da força que atua em 5 cm de compri-
mento desse fio.
 6) Um solenoide temnúcleo de ar, 2000 espiras, 60 cm de 
comprimento e 2 cm de diâmetro. Se uma corrente de 5 
A passa por ele, qual é a densidade de fluxo dentro dele 
(campo de indução magnética)?
 7) Uma bobina de fio circular, com 40 espiras, tem um diâ-
metro de 32 cm. Que corrente precisa fluir em seus fios 
para produzir uma densidade de fluxo de 3. 10-4 Wb/m2 
em seu centro?
 Obs.: junte a expressão do campo de indução magnética 
para a bobina e para a espira.
Gelson Barreto1
Capítulo 7
Indução 
Eletromagnética1
1 Graduado pela Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul – PUCRS 
Curso de Física; Mestre em Engenharia: Área de Energia e Meio Ambiente pela 
Universidade Luterana do Brasil – PPGEAM – ULBRA, em 2003. Professor da Ulbra 
desde 2001.
132 Eletrodinâmica Clássica
Introdução
Abordaremos aqui a definição de fluxo magnético em analo-
gia ao fluxo elétrico, bem como a sua variação dando assim a 
origem ao fenômeno da indução magnética.
7.1 Fluxo Magnético
Em analogia ao fluxo elétrico, o fluxo magnético representa o 
número de linhas do campo magnético através de um superfí-
cie normal ao campo, como mostra a Figura 7.1.
Figura 7.1 Fluxo magnético.
Fonte: http://interna.coceducacao.com.br/ebook/pages/9733.htm
Vamos simbolizar o fluxo magnético como BΦ para dife-
renciar de EΦ do elétrico.
Capítulo 7 Indução Eletromagnética 133
 
Eq. (7.1)
Eq. (7.2)
7.2 Indução eletromagnética - Lei de 
Faraday
A variação de um campo magnético em função do tempo in-
duz um campo elétrico. Gerando assim uma força eletromotriz 
(ε ), dada por:
 
 Eq. (7.3)
Essa grandeza não representa fisicamente uma força e sim 
uma diferença de potencial elétrico (ddp). O nome força ele-
tromotriz, dado a essa grandeza, é mantido por questões his-
tóricas.
O sinal negativo que aparece nessa expressão representa 
matematicamente a lei de Leis.
134 Eletrodinâmica Clássica
Para N espiras pode-se escrever:
 
 Eq. (7.4)
Como ε significa uma ddp induzida, pode associá-la com 
a primeira lei de OHM:
 
 Eq. (7.5)
Fazendo U=ε , tem-se para o módulo da corrente in-
duzida,
 R
I IND
ε
= (Eq. 7.6)
Uma aplicação da lei de Faraday é determinar a força ele-
tromotriz induzida (fem) em uma espira retangular que se mo-
vimenta entrando ou saindo, com velocidade constante, de 
uma região de campo magnético uniforme, como mostra a 
Figura 7.2.
Capítulo 7 Indução Eletromagnética 135
Figura 7.2 Fluxo magnético.
Fonte: www.ufsm/Grupo de Ensino de Física da Universidade Federal de Santa Ma-
ria.
A área da parte da espira que está na região de campo 
magnético é , sendo a grandeza x , variando com o tempo
 e como o campo é uniforme, o fluxo do campo magné-
tico através da superfície limitada pela espira vale:
 
Eq. (7.7)
 
 Eq. (7.8)
 
 Eq. (7.9)
136 Eletrodinâmica Clássica
Lei de Lenz:
“A corrente elétrica induzida deve ter um sentido, que gere um 
campo magnético contrário a variação do fluxo que a esta cau-
sando.”
Isso justifica o sinal de menos (-), na lei de Faraday envol-
vendo aí o princípio da conservação da energia.
A Figura 7.3 exemplifica a lei de Lenz, ilustrando a varia-
ção do fluxo magnético pela aproximação ou afastamento em 
relação ao eixo de uma espira de um imã, fonte de campo 
magnético.
Durante a sua aproximação, o sentido da corrente induzida 
na espira tem sentido anti-horário, gerando assim no plano do 
centro da espira com o imã um campo magnético saindo o 
que caracteriza um polo norte.
Capítulo 7 Indução Eletromagnética 137
Figura 7.3 Lei de Lenz.
Fonte: http://educacao.globo.com/fisica/assunto/eletromagnetismo/inducao.html.
Assim, haveria o princípio de repulsão entre a espira e o 
imã, evitando a sua aproximação, e também a variação do 
fluxo magnético, conservando energia, enquanto que no seu 
afastamento tem sentido horário e o raciocínio é o inverso.
Exemplo 7.1
Com base no gráfico Bxt abaixo, fazer o gráfico da corrente 
elétrica induzida em uma espira retangular de área 60 cm2 e 
resistência 0,20 Ω .
138 Eletrodinâmica Clássica
Entre 0 e 0,1 s:
1°) Encontrar a função B(t):
Ao substituir os pontos, encontra-se:
2°) Encontrar a expressão para a fem induzida:
3°) Encontrar a expressão para a corrente induzida:
Capítulo 7 Indução Eletromagnética 139
4°) Encontrar os valores da corrente induzida:
Entre 0,1 s e 0,2 s:
Entre 0,2 e 0,4 s:
1°) Encontrar a função B(t):
140 Eletrodinâmica Clássica
Ao substituir, os pontos encontra-se:
tB 5,20,1 −=
2°) Encontrar a expressão para a fem induzida:
3°) Encontrar a expressão para a corrente induzida:
Capítulo 7 Indução Eletromagnética 141
Exemplo 7.2
A intensidade da Indução magnética varia numa determi-
nada região de acordo com a função, , onde 
 Determinar o valor e o sentido da 
corrente induzida, em uma bobina retangular de área 100 cm2 
e resistência , formada por 180 espiras, disposta no pla-
no da página enquanto que o campo tem seu sentido saindo 
da mesma.
t
N B
∂
Φ∂
−=ε
142 Eletrodinâmica Clássica
Exemplo 7.3
Considere a espira da Figura 7.2 e determine:
a) O valor da corrente induzida e o sentido.
b) A potencia x elétrica dissipada na espira.
c) A potência mecânica empregada para retirar a espira.
1°) Determinar o fluxo.
2°) Determinar a força eletromotriz induzida.
Sendo 1=N , o módulo da fem induzida, será:
BLv=ε
Capítulo 7 Indução Eletromagnética 143
Assim, a resolução será:
a) )(horário
R
BLv
R
I IND ==
ε
b) Como a potência dissipada é dada por:
R
BLv
R
BLvRRIP
22
2 )(
=


==
b) Como a potência mecânica é dada por:
Recapitulando
Depois do estudo deste capítulo, você terá que identificar, 
compreender e aplicar o conceito de indução relacionando 
as leis de Faraday e Lenz, assim determinando a variação do 
fluxo magnético que pode ocorrer pela variação do módulo 
do campo magnético num intervalo de tempo pela variação 
da área ou ainda pela variação do ângulo entre a Normal da 
espira e as linhas do campo.
144 Eletrodinâmica Clássica
Referências
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HALIDAY, D., RESNICK, R., WALTER, J. Fundamentos de Fí-
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Científicos S.A., 7. ed., 2004.
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genheiros. V.3. São Paulo, Cenage Learning, 8. ed. 2011.
KELLER, F, J., GETTYS, W, E., SKOVE, M. J. Física. Vol. 3. São 
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MACEDO, Anita. Eletromagnetismo. Guanabara.
MACHADO, Kleber Daum. Teoria do Eletromagnetismo. 
Vol. 1, 2 e 3. UEPG, 2004.
REITZ, J.R, MILFORD, F.J., CHRISTY, R.W. Fundamentos da 
Teoria Eletromagnética. Rio de Janeiro: Campus, 1982.
SEARS, F. W., ZEMANSKY, M. W., YOUNG, H. D., FREEDMAN, 
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2003.
TIPLER, P. A., MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenhei-
ros. Vol. 2. Rio de Janeiro, LTC, 6. ed., 2008.
Capítulo 7 Indução Eletromagnética 145
Atividades
 1) Uma corrente percorre um solenoide ex-
tenso que possui N espiras por unidade de comprimento. 
Uma espira circular de área “A” está no interior do solenoi-
de e seu eixo coincide com o eixo do solenoide. Encontre 
a fem induzida na espira.
 2) Na figura, o fluxo magnético que atravessa a espira cresce 
com o tempo de acordo com a expressão 267 tt +=Φ , 
onde o fluxo é dado em miliwebers e t em segundos.
a) Calcule o módulo da fem induzida na espira quando 
t=2,0 s.
b) Determine o sentido da corrente através de R. 
Figura 7.4 Fonte: http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod10/m_s02.html.146 Eletrodinâmica Clássica
 3) Seja 00 =→=Φ t , na Figura 1 da questão anterior. Su-
ponha que o campo magnético esteja variando de forma 
contínua, mas não especificada tanto em módulo quanto 
em direção, de modo que num instante t o fluxo seja dado 
por )(tΦ . Mostre que a carga total q(t) que passou atra-
vés do resistor R no tempo t é ( )))((()))( 1 tt Rq Φ−Φ= .
 4) Dois trilhos condutores retilíneos formam um ângulo reto 
no ponto de junção entre suas extremidades. Uma barra 
condutora em contato com os trilhos parte do vértice no 
instante t=0 e se move com velocidade constante v=5,2 
m/s de cima para baixo, como ilustra a figura. Um campo 
magnético B=0,35 T aponta para fora da página. Cal-
cule: (a) o fluxo magnético através do triângulo isósceles 
formado pelos trilhos e a barra no instante t=3,0 s e (b) a 
fem induzida no triângulo neste instante.
a) Como a fem induzida no triângulo varia com o tempo?
Capítulo 7 Indução Eletromagnética 147
Figura 7.5 Fonte: http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod10/m_s02.html.
 5) A figura mostra uma haste de cobre deslocando-se sobre 
trilhos condutores, com velocidade -se v, paralela a um 
longo fio retilíneo percorrido pela corrente I. Calcule a fem 
induzida na base sendo v= 5m/s, I=100 A, a=1 cm, b= 
20 cm.
Figura 7.6 Fonte: http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod10/m_ex.html.
148 Eletrodinâmica Clássica
 6) Numa região no espaço existe um campo magnético B, 
constante no espaço, porém, variável com o tempo. Co-
loca-se nesse campo uma espira que forma um ângulo 
θ com o vetor B. A área da espira é A, e essa área pode 
variar com o tempo. Suponha que a espira esteja girando, 
sendo assim o ângulo θ , está variando com o tempo. En-
contre uma expressão para a fem induzida na espira.
 7) Uma haste metálica com 5,0 kg de massa e resistência de 
2,0 Ω desliza sem atrito sobre duas barras paralelas sepa-
radas de 1,0 m, interligadas por um condutor de resistên-
cia nula e apoiadas em um plano de 30° com a horizontal, 
conforme a figura. Tudo se encontra imerso num campo 
magnético B, perpendicular ao plano do movimento, e 
as barras de apoio têm resistência e atrito desprezíveis. 
Considerando que após deslizar durante um certo tempo 
a velocidade da haste permanece constante em 2,0 m/s, 
assinale o valor do campo magnético.
Figura 7.7 Fonte: http://projetomedicina.com.br/site/ attachments/
article/368/fisica_eletromagnetismo_fernando_valentim.pdf
Capítulo 7 Indução Eletromagnética 149
 8) Uma bobina composta de 10 espiras circulares, de área 
A cada uma, é colocada entre os polos de um grande 
eletroímã onde o campo magnético é uniforme e forma 
um ângulo de 30º com o eixo da bobina (como mostra 
a figura a seguir). Reduzindo-se o campo magnético com 
uma taxa igual a 0,5 T/s, o módulo da força eletromotriz 
induzida na bobina, durante a variação do campo magné-
tico, é:
Figura 7.8 Fonte: http://projetomedicina.com.br /site/attachments/
article/368/fisica_eletromagnetismo_fernando_valentim.pdf
 9) Na figura, a espira retangular tem altura de 30 cm e en-
contra-se imersa em um campo de indução magnética 
constante e igual a 1,2 WB/m². A resistência elétrica total 
do circuito vale 0,4 Ω. A barra AD mede 30 cm e se movi-
menta para a direita com velocidade constante de 3 m/s. 
Nessa situação, a corrente elétrica induzida, vale:
150 Eletrodinâmica Clássica
Figura 7.9 Fonte: http://projetomedicina.com.br/ site/attachments/
article/368/fisica_eletromagnetismo_fernando_valentim.pdf
Gelson Barreto1
Capítulo 8
Propriedades 
Magnéticas dos 
Materiais1
1 Graduado pela Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul – PUCRS 
Curso de Física; Mestre em Engenharia: Área de Energia e Meio Ambiente pela 
Universidade Luterana do Brasil – PPGEAM – ULBRA, em 2003. Professor da Ulbra 
desde 2001.
152 Eletrodinâmica Clássica
Introdução
As propriedades magnéticas da matéria têm sua origem nos 
átomos que a constituem, que geralmente são dipolos natu-
rais, ou seja, minúsculos imãs. As definições e as relações en-
tre os vetores magnéticos também serão abordadas.
8.1 Vetores Magnéticos
Para avaliar melhor as propriedades magnéticas, definem-se 
três vetores de característica magnéticas:
8.1.1 Vetor Intensidade de Campo Magnético 
)(H

Pode representar apenas campos magnéticos originados por 
correntes e pela variação no tempo de campo elétrico.
8.1.2 Vetor Intensidade Magnetização )(M

 ou 
imantação )(I

Pode representar apenas campos magnéticos originados pela 
magnetização dos matérias.
Capítulo 8 Propriedades Magnéticas dos Materiais 153
8.1.3 Vetor Indução Magnética )(B

Pode representar qualquer tipo de campo magnético como, 
por exemplo, o vetor indução magnética no interior de um 
longo solenoide sem núcleo.
 
(Eq. 8.1)
(Eq. 8.2)
(Eq. 8.3)
8.2 Relação entre os Vetores
Sabe-se que os vetores intensidade de magnetização e intensi-
dade de campo são proporcionais,
HM ..α
A constante introduzida que relaciona esses vetores é a sus-
ceptibilidade magnética mχ , que é uma medida quantitativa 
da tendência de um material de interagir e distorcer um campo 
magnético aplicado. Na prática, é o quociente da intensidade 
de imantação adquirida pelo campo magnético indutor, quan-
do esse campo é produzido no vácuo.
 H
M
m =χ (Eq. 8.4)
154 Eletrodinâmica Clássica
A relação entre os vetores fica sendo:
 
 (Eq. 8.5)
Substituindo-se 8.4 em 8.5, tem-se:
 
(Eq. 8.6)
(Eq. 8.7)
Ao fator )1( mχ+ , denomina-se permeabilidade relativa do 
material )( mk
 mm
k χ+=1 (Eq. 8.8)
Então, a equação 8.7, fica escrita assim:
 
 (Eq. 8.9)
A permeabilidade relativa do material )( mk também pode 
ser relacionada à permeabilidade magnética do material )(µ :
 
 (Eq. 8.10)
Capítulo 8 Propriedades Magnéticas dos Materiais 155
Exemplo 8.1
A indução magnética resultante no núcleo de um longo sole-
noide é de 1,5 T. A densidade de espiras vale 20/cm e a cor-
rente que percorre cada espira é de 3 A. Determinar:
a) O módulo do vetor intensidade de campo magnético.
b) A permeabilidade relativa do material, que constitui o 
núcleo.
c) A corrente de magnetização.
 
c) Considerando que a corrente de magnetização )( mI 
é aquela que origina um campo magnético igual ao 
que aparece com a magnetização do núcleo.
156 Eletrodinâmica Clássica
8.3 Momento de Dipolo Magnético e 
Momento Angular
Os átomos e íons podem possuir momento de dipolo magné-
tico )(u

 associado ao momento angular do átomo.
Considere um elétron de massa m e carga −e orbitando 
um núcleo atômico em uma trajetória circular e raio r. O mo-
mento angular L é dado por:
 mvrL =

 (Eq. 8.11)
Assim, a corrente associada do movimento do elétron, bem 
como o momento de dipolo magnético ficam:
Capítulo 8 Propriedades Magnéticas dos Materiais 157
 
(Eq. 8.12)
(Eq. 8.13)
Substituindo-se 8.11 em 8.13, tem-se:
 
(Eq. 8.14)
(Eq. 8.15)
Na mecânica quântica, verifica-se que o momento angular 
dos átomos é quantizado, de modo que a trajetória correspon-
da a um número inteiro de comprimentos de onda associado 
ao elétron. Esta é a base do modelo do átomo de Bohr, que 
leva à quantização dos níveis de energia. Os elétrons e átomos 
também possuem spin, que está relacionado a um momento 
de dipolo magnético.
158 Eletrodinâmica Clássica
8.4 Classificação Magnética dos materiais
Apesar das propriedades magnéticas serem associadas aos 
materiais férricos, todas as substâncias as tem, porém em 
maior ou menor incidência. A susceptibilidade do material e o 
arranjo dos seus domínios magnéticos, Figura 8.1, em função 
de seus átomos, que nada mais é do que provoca um alinha-
mento magnético natural na região,