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calculo numérico avaliando o aprendizado aulas 6-10

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A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio que melhor se ajuste aos pontos dados. Suponha que você tenha que determinar por interpolação o polinômio P(x) que se ajuste aos pontos pontos A (1,2), B(-1,-1), C(3, 5).e D(-2,8). Qual dos polinômios abaixo pode ser P(x)
	
	
	
	
	 
	Um polinômio do terceiro grau
	
	
	Um polinômio do quarto grau
	
	 
	Um polinômio do quinto grau
	
	
	Um polinômio do sexto grau
	
	
	Um polinômio do décimo grau
	
	
	
		2.
		A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio de grau igual ou menor que n que melhor se ajuste aos n +1 pontos dados. Existem várias maneiras de encontrá-lo, dentre as quais podemos citar:
	
	
	
	
	 
	o método de Lagrange
	
	
	o método de RungeKutta
	
	
	o método de Euller
	
	
	o método de Raphson
	
	
	o método de Pégasus
	
	
	
		3.
		Em Cálculo Numérico possuímos o Método de Lagrange para a interpolação polinomial de funções quando conhecemos alguns pontos das mesmas. Considerando este método como referência, determine o "polinômio" que melhor representa os pontos (1,3), (4,9), (3,7) e (2,5).
	
	
	
	
	 
	y=2x+1
	
	
	y=2x
	
	
	y=x3+1
	
	
	y=x2+x+1
	
	
	y=2x-1
	
	
	
		4.
		Dados os 13 pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x12,f(x12)) ) extraídos de uma situação real de engenharia. Suponha que se você tenha encontrado o polinômio P(x) interpolador desses pontos. A respeito deste polinômio são feitas as seguintes afirmativas: I ¿ seu grau máximo é 13 II - Existe apenas um polinômio P(x) III - A técnica de Lagrange não é adequada para determinar P(x). Desta forma, é verdade que:
	
	
	
	
	
	Apenas II e III são verdadeiras
	
	 
	Todas as afirmativas estão corretas
	
	
	Todas as afirmativas estão erradas
	
	
	Apenas I é verdadeira
	
	 
	Apenas II é verdadeira
	 Gabarito Comentado
	
	
		5.
		Em um método numérico iterativo determinado cálculo é realizado até que o critério de  convergência seja satisfeito. Que desigualdade abaixo pode ser considerada um critério de convergência, em que k é a precisão desejada:
 
DADO: considere Mod como sendo o módulo de um número real.
	
	
	
	
	
	Mod(xi+1 - xi) > k
	
	
	Mod(xi+1 + xi) > k
	
	 
	todos acima podem ser utilizados como critério de convergência
	
	 
	Mod(xi+1 - xi) < k
	
	
	Mod(xi+1 + xi) < k
	
	
	
		6.
		Considere que são conhecidos dois pares ordenados, (2,5) e (1,2). Utilizando o método de Lagrange de interpolação polinomial, obtém-se a função:
	
	
	
	
	 
	3x - 1
	
	
	2x + 5
	
	
	x + 2
	
	
	3x + 7
	
	
	x - 3
		Seja o método numérico de integração conhecido como regra dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo [a,b] em n retângulos congruentes. Aplicando este método para resolver a integral definida I = Integral de 0 a 5 de f(x), com n = 200, cada base h terá que valor?
	
	
	
	
	 
	0,500
	
	
	0,250
	
	
	0,050
	
	
	0,100
	
	 
	0,025
	
	
	
		2.
		Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Por vezes devemos utilizar métodos numéricos para esta resolução. Considere o método numérico de integração conhecido como regra dos trapézios. A aplicação deste método consiste em dividir o intervalo de integração (de a a b) em trapézios com mesma altura h = (b ¿ a)/n. Quando se aumenta n, ou seja, o número de trapézios, o valor da integral definida:
	
	
	
	
	 
	Varia, aumentando a precisão
	
	
	Varia, diminuindo a precisão
	
	
	Nunca se altera
	
	
	Varia, podendo aumentar ou diminuir a precisão
	
	
	Nada pode ser afirmado.
	
	
	
		3.
		Em diversas situações associadas a manipulação de funções matemáticas, não conseguimos ou não é prática a obtenção de soluções analíticas de integrais definidas, o que nos conduz a métodos numéricos. Com base na Regra do Retângulo e considerando a função f(x)=x2, obtenha a sua integração no intervalo [0, 1], considerando-o dividido em 2 partes. Expresse o resultado com uma casa decimal e escolha opção CORRETA.
	
	
	
	
	
	Integral = 0,63
	
	 
	Integral = 0,31
	
	 
	Integral = 1,50
	
	
	Integral = 1,00
	
	
	Integral = 0,15
	
	
	
		4.
		Em Cinemática Física, temos funções matemáticas que nos fornecem informações da posição, velocidade e aceleração em função do tempo e que se relacionam entre si através de operações matemáticas denominas de derivação e integração. Entre os diversos métodos numéricos para se obter a integral definida de uma função, podemos citar, com EXCEÇÃO de:
	
	
	
	
	 
	Método do Trapézio.
	
	
	Método de Romberg.
	
	
	Extrapolação de Richardson.
	
	
	Regra de Simpson.
	
	 
	Método da Bisseção.
	
	
	
		5.
		Integrais definidas de uma função podem ser interpretadas como a área sob a curva limitada a um determinado intervalo, porém a execução do cálculo desta área nem sempre é simples através de métodos analíticos, necessitando-se de método numéricos, como a Regra do Retângulo. Considerando o exposto, determine a área sob a função f(x)=x2+1 no intervalo [0; 1,2], considerando este intervalo dividido em três partes e o resultado com três casas decimais.
	
	
	
	
	
	Integral = 3,400
	
	
	Integral = 1,700
	
	
	Integral = 2,000
	
	 
	Integral = 1,760
	
	
	Integral = 1,000
	
	
	
		6.
		A regra de integração numérica dos trapézios para n = 2 é exata para a integração de polinômios de que grau?
	
	
	
	
	 
	primeiro
	
	
	quarto
	
	
	terceiro
	
	
	segundo
	
	
	nunca é exata
		Existem diversos métodos para a obtenção de uma integral definida, porém um deles aplica a regra do trapézio de forma repetida e "refina" a expressão obtida através da extrapolação de Richardson. Identifique nas opções a seguir o método que MAIS SE ADÉQUA ao descrito.
	
	
	
	
	 
	Método de Romberg.
	
	
	Método do Trapézio.
	
	
	Extrapolação de Richardson.
	
	
	Método da Bisseção.
	
	
	Regra de Simpson.
	
	
	
		2.
		No método de Romberg para a determinação de uma integral definida de limites inferior e superior iguais a a e b, respectivamente, o intervalo da divisão é dado por hk = (a-b)/2 ^(k-1). . Se a = 1, b = 0 e k =2, determine o valor de h.
	
	
	
	
	
	1/3
	
	
	0
	
	
	1/5
	
	 
	1/2
	
	
	1/4
	
	
	
		3.
		Integrais definidas representam em diversas situações a solução de um problema da Física e podem ser obtidas através da Regra do Retângulo, da Regra do Trapézio, da Regra de Simpson e do Método de Romberg. Este último utiliza as expressões R1,1=(a-b)/2 [f(a)+f(b)] e R2,1=1/2 [R1,1+h1.f(a+h2)] para as primeiras aproximações, considerando a função f(x) sobre o intervalo [a,b]. Considerando o exposto, obtenha R2,1 para a função f(x)=x3, no intervalo [0,1]. Assinale a opção CORRETA com três casas decimais.
	
	
	
	
	
	0,939
	
	
	0,625
	
	 
	0,313
	
	
	1,230
	
	
	1,313
	
	
	
		4.
		Uma técnica importante de integração numérica é a de Romberg. Sobre este método é correto afirmar que:
	
	
	
	
	
	Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método dos retângulos
	
	
	É um método de pouca precisão
	
	
	É um método cuja precisão é dada pelos limites de integração
	
	 
	Tem como primeiro passo a obtenção de aproximaçõesrepetidas pelo método do trapézio
	
	
	Só pode ser utilizado para integrais polinomiais
	
	
	
		5.
		O Método de Romberg é uma excelente opção para a obtenção de integrais definidas, exigindo menos esforço computacional e oferecendo resultados mais precisos que outros métodos através de cálculos sequenciais. As duas primeiras etapas são obtidas através R1,1=(a-b)/2 [f(a)+f(b)] e R2,1=1/2 [R1,1+h1.f(a+h2)], e fornecem aproximações para a integral definida da função f(x) sobre o intervalo [a,b]. Considerando o exposto, obtenha R2,1para a função f(x)=x2, no intervalo [0,1]. Assinale a opção CORRETA com três casas decimais.
	
	
	
	
	
	1,567
	
	 
	0,351
	
	
	0,382
	
	
	1,053
	
	
	0,725
	
	
	
		6.
		O Método de Romberg nos permite obter o resultado de integrais definidas por técnicas numéricas. Este método representa um refinamento de métodos anteriores, possuindo diversas especificidades apontadas nos a seguir, comEXCEÇÃO de:
	
	
	
	
	
	A precisão dos resultados é superior a obtida no método dos retângulos.
	
	
	Pode se utilizar de critérios de parada para se evitar cálculos excessivos.
	
	
	Utiliza a extrapolação de Richardson.
	
	 
	Permite a obtenção de diversos pontos que originam uma função passível de integração definida.
	
	
	As expressões obtidas para a iteração se relacionam ao método do trapézio.
		Encontrar a solução da equação diferencial ordinária y' = f ( x, y ) = 3x + 2y + 2 com a condição de valor inicial y (3) = 4. Dividindo o intervalo [3;4] em apenas uma parte, ou seja, fazendo h =1e, aplicando o método de Euler, determine o valor aproximado de y (4) para a equação dada.
	
	
	
	
	
	21
	
	
	24
	
	 
	22
	
	
	25
	
	 
	23
	 Gabarito Comentado
	
	
		2.
		Os métodos de integração numérica em regra não são exatos. Suponhamos o método de Simpson (trapézios) em sua apresentação mais simples mostrado na figura a seguir.
  
                                                          
 Se considerarmos a integral definida  , o valor encontrado para F(x) utilizando a regra de Simpson será equivalente a:
 
	
	
	
	
	
	Média aritmética entre as áreas sob a curva e a do trapézio
	
	
	Diferença entre a área do trapézio e a área sob a curva
	
	
	Área sob a curva
	
	
	Soma entre a área do trapézio e a área sob a curva
	
	 
	Área do trapézio
	
	
	
		3.
		O Método de Euler nos fornece pontos de curvas que servem como soluções de equações diferenciais. Sabendo-se que um dos pontos da curva gerada por este método é igual a (4; 53,26) e que a solução exata é dada por y=ex, determine o erro absoluto associado. Assinale a opção CORRETA.
	
	
	
	
	
	1,00
	
	
	2,54
	
	
	3,00
	
	
	2,50
	
	 
	1,34
	
	
	
		4.
		Considere a equação diferencial ordinária y´= y, sendo y uma função de x, ou seja, y = y (x). A solução geral desta EDO é a função y(x) = k.ex, onde k é um número real e e um número irracional cujo valor aproximado é 2,718. Considerando a condição inicial tal que y(0) = 5, determine o valor da constante k para esta condição.
	
	
	
	
	
	1/2
	
	
	4
	
	
	2
	
	 
	5
	
	
	1/5
	
	
	
		5.
		Seja o método numérico de integração conhecido como regra dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo [a,b] em n retângulos congruentes. Aplicando este método para resolver a integral definida  com a n = 10, cada base h terá que valor?
 
	
	
	
	
	 
	0,2
	
	
	0,1
	
	 
	indefinido
	
	
	1
	
	
	2
	
	
	
		6.
		Abaixo tem-se a figura de uma função e várias tangentes ao longo da curva.
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido como:
 
	
	
	
	
	
	Bisseção 
	
	 
	Newton Raphson 
	
	
	Gauss Jordan
	
	
	Ponto fixo
	
	
	Gauss Jacobi
		Considere a equação diferencial y´= y, sendo y uma função de x. Sua solução geral é y(x) = a.ex, onde a é um numero real e e um número irracional cujo valor aproximado é 2,718. Se a condição inicial é tal que y(0) = 2, determine o valor de a para esta condição.
	
	
	
	
	
	0
	
	
	1
	
	 
	2
	
	
	0,25
	
	
	0,5
	
	
	
		2.
		Considere a equação x3 - x2 + 3 = 0. É correto afirmar que existe uma raiz real no intervalo:
	
	
	
	
	
	(-1,0; 0,0)
	
	
	(0,0; 1,0)
	
	
	(-2,0; -1,5)
	
	
	(1,0; 2,0)
	
	 
	(-1,5; - 1,0)
	
	
	
		3.
		Considere a equação ex - 3x = 0, onde e é um número irracional com valor aproximado de 2,718. É correto afirmar que existe uma raiz real no intervalo:
	
	
	
	
	 
	(0,5; 0,9)
	
	 
	(0,2; 0,5)
	
	
	(-0,5; 0,0)
	
	
	(0,9; 1,2)
	
	
	(0,0; 0,2)
	
	
	
		4.
		Seja a função f(x) = x2 - 5x + 4. Considere o Método da Bisseção para cálculo da raiz, e o intervalo [0, 3] o escolhido para a busca. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no intervalo:
	
	
	
	
	
	[1,3]
	
	
	[0,3]
	
	 
	[3/2,3]
	
	 
	[0,3/2]
	
	
	[1,2]
	
	
	
		5.
		Existem alguns métodos numéricos que permitem a determinação de integrais definidas. Dentre estes podemos citar o de Newton, o de Simpson e o de Romberg. Analise as afirmativas abaixo a respeito do método de Romberg:
 
I - O método de Romberg é mais preciso que o método dos trapézios
II - O método de Romberg exige menor esforço computacional que o método dos trapézios
III - O método de Romberg utiliza a regra dos trapézios repetida para obter aproximações preliminares
 
Desta forma, é verdade que:
	
	
	
	
	 
	Todas as afirmativas estão corretas
	
	
	 Apenas II e III são verdadeiras.
	
	
	 Todas as afirmativas estão erradas.
	
	
	 Apenas I e III são verdadeiras
	
	
	 Apenas I e II são verdadeiras
	
	
	
		6.
		 
O valor de aproximado da integral definida   utilizando a regra dos trapézios com n = 1 é: 
	
	
	
	
	
	30,299
	
	
	11,672
	
	 
	20,099
	
	
	15,807
	
	
	24,199
	Em experimentos empíricos, é comum a coleta de informações relacionando a variáveis "x" e "y", tais como o tempo (variável x) e a quantidade produzida de um bem (variável y) ou o tempo (variável x) e o valor de um determinado índice inflacionário (variável y), entre outros exemplos. Neste contexto, geralmente os pesquisadores desejam interpolar uma função que passe pelos pontos obtidos e os represente algebricamente, o que pode ser feito através do Método de Lagrange. Com relação a este método, NÃO podemos afirmar:
		
	
	Na interpolação para obtenção de um polinômio de grau "n", precisamos de "n+1" pontos.
	 
	Na interpolação quadrática, que representa um caso particular do polinômio de Lagrange, precisamos de dois pontos (x,y).
	
	As interpolações linear (obtenção de reta) e quadrática (obtenção de parábola) podem ser consideradas casos particulares da interpolação de Lagrange.
	 
	Na interpolação linear, que pode ser obtida através do polinômio de Lagrange, precisamos de dois pontos (x,y).
	
	A interpolação de polinômios de grau "n+10" só é possível quando temos "n+11" pontos.
	
	
	
	 2a Questão (Ref.: 201308731060)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Durante a coleta de dados estatísticos referente ao número médio de filhos das famílias de uma comunidade em função do tempo, verificamos a obtenção dos seguintes pontos (x,y), nos quais "x" representao tempo e "y" representa o número de filhos: (1, 2), (2, 4), (3,5) e (4,6). Caso desejemos representar estes pontos através de uma função, que ramo do Cálculo Numérico deveremos utilizar? Assina a opção CORRETA.
		
	
	Determinação de raízes.
	 
	Interpolação polinomial.
	
	Integração.
	
	Verificação de erros.
	
	Derivação.
	
	
	
	 3a Questão (Ref.: 201308731085)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Experimentos laboratoriais visando a obtenção de pares ordenados (x,y) e posterior interpolação de funções é uma das aplicações do Cálculo Numérico. Por exemplo, empiricamente foram obtidos os seguintes pontos (-3,9), (-2,4), (0,0), (3,9), (1,1) e (2,4) que devem fornecer uma função através dos métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das funções descritas a seguir, qual é a mais adequada?
		
	
	Função logarítmica.
	
	Função exponencial.
	
	Função cúbica.
	 
	Função quadrática.
	
	Função linear.
	
	
	
	 4a Questão (Ref.: 201308731070)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	Em Cálculo Numérico, interpolação polinomial consiste em substituir a função original f(x) por outra função g(x), com o objetivo de tornar possível ou facilitar certas operações matemáticas. Este procedimento é realizado, por exemplo, quando são conhecidos somente os valores numéricos da função para um conjunto de pontos e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado, mesmo quando as operações matemáticas exigidas são complicadas ou impossíveis de serem realizadas. Com relação a interpolação linear, NÃO podemos afirmar:
		
	 
	Para interpolarmos um polinômio de grau "n", podemos utilizar o método de Newton-Raphson.
	
	Para interpolarmos um polinômio de "n", devemos ter "n+1" pontos.
	
	Para interpolarmos um polinômio de grau "n", podemos utilizar o método de Lagrange.
	
	O polinômio de grau "n" interpolado em "n+1" pontos é único.
	
	Para interpolarmos um polinômio de grau "n", podemos utilizar o método de Newton.
	 6a Questão (Ref.: 201308225203)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Você, como engenheiro, efetuou a coleta de dados em laboratório referentes a um experimento tecnológico de sua empresa. Assim, você obteve os pontos (0,3), (1,5) e (2,6). Com base no material apresentado acerca do Método de Lagrange, tem-se que a função M0 gerada é igual a:
		
	
	(x2 - 3x - 2)/2
	
	(x2 + 3x + 2)/3
	
	(x2 + 3x + 3)/2
	
	(x2 + 3x + 2)/2
	 
	(x2 - 3x + 2)/2
	
	 5a Questão (Ref.: 201308721193)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Por vezes devemos utilizar métodos numéricos para esta resolução. Considere o método numérico de integração conhecido como regra dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo [a,b] em n retângulos congruentes. Aplicando este método para resolver a integral definida cujos limites de integração são 0 e 3, n = 10, cada base h do retângulo terá que valor?
		
	
	30
	
	Indefinido
	
	3
	 
	0,3
	
	0,5
	
	
	
	 6a Questão (Ref.: 201308256481)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Dados os ¨n¨ pontos distintos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (xn,f(xn)) Suponha que se deseje encontrar o polinômio P(x) interpolador desses pontos pelo método de Newton. A fórmula de Newton para o polinômio interpolador impõe que
		
	 
	Que a função e as derivadas sejam contínuas em dado intervalo [a,b]
	
	Somente a função seja contínua em dado intervalo [a,b]
	
	      Que somente a primeira e segunda derivadas sejam contínuas em dado intervalo [a,b]
	
	Não há restrições para sua utilização.
	
	Somente as derivadas sejam contínuas em dado intervalo [a,b]
	 3a Questão (Ref.: 201308340609)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Seja o método numérico de integração conhecido como regra dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo [a,b] em n retângulos congruentes. Aplicando este método para resolver uma integral definida com limites inferior e superior iguais a zero e cinco e tomando-se n = 200, cada base h terá que valor?
		
	 
	0,025
	
	0,050
	
	0,100
	
	0,250
	 
	0,500
	 6a Questão (Ref.: 201308731176)
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	Métodos numéricos para a resolução de problemas que envolvam integrais definidas nos fornecem boas aproximações, especialmente se for utilizado o Método de Romberg. Entre as opções oferecidas a seguir, determine aquela que apresenta expressão relacionada a este método.
		
	
	Ax=B, com A, x e B representando matrizes
	 
	R2,1=1/2 [R1,1+h1.f(a+h2)]
	
	[f(x1)+ 4.f(x2)+ 2.f(x3)+ 4.f(x4)....+ 4.f(xn-1)+f(xn)]
	
	xn+1=xn- f(x) / f'(x)
	
	xk=Cx(k-1)+G
	 1a Questão (Ref.: 201308731200)
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	Na descrição do comportamento de sistemas físicos dinâmicos, frequentente utilizamos equações diferenciais que, como o nome nos revela, podem envolver derivadas de funções. Um método comum para resolução de equações diferenciais de primeira ordem é o Método de Euler, que gera pontos da curva aproximada que representa a resolução do sistema. Para gerarmos os pontos, utilizamos a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" representa o passo adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=1, gere o ponto da curva para k=1 e passo igual a 1. Assinale a opção CORRETA.
		
	
	0
	 
	2
	
	-1
	
	-2
	
	1
	 3a Questão (Ref.: 201308256630)
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	Dado (n + 1) pares de dados, um único polinômio de grau ____ passa através dos dados (n + 1) pontos. 
		
	
	menor ou igual a n - 1
	 
	menor ou igual a n
	
	n + 1
	
	menor ou igual a n + 1
	
	n
	 4a Questão (Ref.: 201308340589)
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	Considere a equação diferencial y´= y, sendo y uma função de x. Sua solução geral é y(x) = a.e^x, onde a é um numero real e e um número irracional cujo valor aproximado é 2,718. Se a condição inicial é tal que y(0) = 2, determine o valor de a para esta condição.
		
	
	1/2
	 
	2
	
	0
	
	3
	
	1
	 5a Questão (Ref.: 201308262455)
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	Considere a equação diferencial ordinária y´= y +3, tal que y é uma função de x, isto é, y (x). Marque a opção que encontra uma raiz desta equação.
		
	
	y = ex + 3
	 
	y = ex - 3
	
	y = ln(x) -3
	
	y = ex -  2
	
	y = ex + 2
	 1a Questão (Ref.: 201308214691)
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	Seja a função f(x) = x3 - 8x. Considere o Método da Bisseção para cálculo da raiz, e o intervalo [-8, 10] o escolhido para a busca. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no intervalo:
		
	
	[-8,1]
	
	[-4,5]
	
	[-4,1]
	 
	[1,10]
	
	[0,1]
	 
2a Questão (Ref.: 201308225387)
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	Encontrar a solução da equação diferencial ordinária y' = f ( x, y ) = 2x + y + 1 com a condição de valor inicial y ( 1) = 1. Dividindo o intervalo [ 1; 2 ] em 2 partes, ou seja, fazendo h =0,5 e, aplicando o método de Euler, determine o valor aproximado de y ( 1,5 ) para a equação dada.
		
	 
	3
	
	7
	 
	4
	
	1
	
	2
	
	
	 5a Questão (Ref.: 201308214694)
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	Seja a função f(x) = x2 - 5x + 4. Considere o Método da Bisseção para cálculo da raiz, e o intervalo [0, 3] o escolhido para a busca. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no intervalo:
		
	
	[0,3]
	
	[3/2,3]
	 
	[0,3/2]
	
	[1,2]
	
	[1,3]6a Questão (Ref.: 201308214689)
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	De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, indique a opção correta de pontos extremos do intervalo para determinação da raiz da função f(x) = x3 - 4x +1
		
	
	5 e 6
	
	3 e 4
	
	2 e 3
	
	4 e 5
	 
	1 e 2

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