Potências-Raízes

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POTÊNCIAS E RAÍZES
Da mesma forma que a adição e a subtração, a multiplicação e a divisão, a potenciação
e a radiciação são operações inversas na Matemática, de forma que aplicando uma delas em
um determinado número, pode-se voltar ao mesmo número (teoricamente), aplicando a
operação inversa correspondente à primeira.
-POTENCIAÇÃO- Seja um número n natural e maior que 1: potência de base a e expoente n
é o produto de n fatores iguais a a. Representando a potência pela simbologia an , tem-se que:
an = a . a . a . ... . a (n fatores) (n natural e maior que 1)
POTÊNCIAS DE 2 POTÊNCIAS DE 3 POTÊNCIAS DE 5
21 = 2 31 = 3 51 = 5
22 = 4 32 = 9 52 = 25
23 = 8 33 = 27 53 = 125
24 = 16 34 = 81 54 = 625 
25 = 32 35 = 243 55 = 3125
26 = 64 36 = 729 POTÊNCIAS DE 6
27 = 128 61 = 6
28 = 256 62 = 36
29 = 512 63 = 216
210 = 1024
QUADRADOS PERFEITOS
02 = 0 102 = 100 202 = 400 302 = 900
12 = 1 112 = 121 212 = 441 402 = 1600
22 = 4 122 = 144 222 = 484 502 = 2500
32 = 9 132 = 169 232 = 569 602 = 3600
42 = 16 142 = 196 242 = 576 702 = 4900
52 = 25 152 = 225 252 = 625 802 = 6400
62 = 36 162 = 256 262 = 676 902 = 8100
72 = 49 172 = 289 272 = 729 1002 = 10000
82 = 64 182 = 324 ... 5002 = 250000
92 = 81 192 = 361
PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS
P1 ; am . an = am+n exemplo: 24 . 27 = 211
P2 ; am : an = am - n exemplo: 312 : 35 = 37
P3 ; (am )n = am.n exemplo: (26)2 = 212
P4 ; (a . b)n = an . bn exemplo: 65 = (2 . 3)5 = 25 . 35
P5 ; (a : b)n = an : bn exemplo: 4 : 9 = (2 : 3)2 = 22 : 32 P6 ; 1n = 1
P7 ; a1 = a P8 ; 0n = 0 (n 0) P9 ; a0 = 1 (a 0)
P10 ; a-n = 1 : an ( 0a  )
SINAIS: 
(+)PAR = (+) (+)ÍMPAR = (+) (–)PAR = (+) (–)ÍMPAR = (–) 
Exercícios - Calcule as potências:
a) 43 = b) (–3)4 = c) –34 = d) (–1)3 = 
e) (–1)4 = f) (–1)2168 = g) –13978 = h) (–6)–3 = 
i) –5–4 = j) 3)5
2(  = l ) 7)2
1( = m) 2)3
4(  =
-RADICIAÇÃO- Seja a um número natural não-nulo; um número x é chamado raiz
enésima de a, se, e somente se, elevado ao expoente n, reproduz o número a. Ou seja: x é
raiz enésima de a  xn = a
exemplos: 7 é a raiz quadrada de 49, pois 72 = 49
3 é a raiz cúbica de 27, pois 33 = 27
Simbologia: 
xan  n = índice da raiz a = radicando x = raiz enésima de a
Obs: n  2 n (A raiz quadrada de um número n desobriga a colocação do índice 2 no
radical)
Conseqüências: IMPAR ou PAR PAR
Sendo n, natural e n >1: 11n  11ÍMPAR 
PAR 1
PROPRIEDADES DAS RAÍZES (Obedecidas as condições de existência)
P1 ; nn b.a n b.a exemplo: 333 147.2 
P2 ; nn b:a n
b
a exemplo: 3
6
186:18 
P3 ; m n a  n.m a exemplo: 63 1010 
P4 ; n)a( = na exemplo: 5255)5( 22 
P5 ; p.n p.mn m aa  exemplo: 124.3 43 1622 
P6 ; n
m
a 
n ma exemplo: 5 35
3
44 
Não esquecer: “ Quem está por dentro, está por cima; quem está por fora, está por baixo ”.
CUIDADOS: a) 532 
b) 1243 287.4 
c) 36 = 6
d) x2 = 36  x = 6 ou x = – 6
EXTRAÇÃO INSTANTÂNEA DE RAÍZES QUADRADAS
Vamos rever os quadrados perfeitos apresentados no início da teoria das potências:
Note que a terminação (unidade) desses números aparece apenas em 6 resultados: 0, 1, 4, 5, 6
ou 9. Analisando o esquema abaixo, podemos concluir que é possível determinar o algarismo das
unidades, e em algumas vezes, o das dezenas de uma raiz quadrada de um determinado número,
de acordo com a sua terminação. 
terminação em x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
terminação em x2 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1
Note que só existem 6 terminações diferentes para os quadrados perfeitos, portanto é
fácil concluir que números terminados em 2 , 3 , 7 e 8 não possuem raiz quadrada exata.
Assim invertendo o raciocínio anterior temos:
QUADRADO PERFEITO TERMINADO EM: RAIZ QUADRADA TERMINADA EM:
0 0
1 1 ou 9
4 2 ou 8
5 5
6 4 ou 6
9 3 ou 7
Assim podemos aplicar esses conhecimentos iniciais, para extrair rapidamente a raiz
quadrada de um número elevado como, por exemplo, 7396.
Verificando os quadrados perfeitos em intervalo de 10 unidades, encontramos 102 = 100 ,
202 = 400, 302 = 900 ... até chegarmos em 802 = 6400 e 902 = 8100. Note que 802 não
chegou no número solicitado (7396), porém 902 ultrapassou-o . Dessa forma, podemos concluir
que a raiz quadrada de 7396 será um número entre 80 e 90; porém como 7396 tem a
terminação 6, pela tabela acima, sua raiz quadrada deverá terminar em 4 ou em 6. Assim, só
existirão duas possibilidades para a raiz quadrada de 7396: 84 ou 86. Por uma simples
tentativa descobrimos que sua raiz quadrada vale 86.
E se um quadrado perfeito por maior que 10000 ? Precisamos lembrar que 1002 = 10000,
portanto, sua raiz quadrada será maior que 100.
Determine a raiz quadrada dos números:
3364
11449
29929
5625
19321
45796
71289
44944
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	POTÊNCIAS DE 2
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