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Aula 1 nivelamento geométrico

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Topografia II
Curso de Eng. Civil
Prof. MSc. Euclides Matule e Lucrencio Macarringue
Conceito e principais abordagens
 O nivelamento é a operação que determina as diferenças de nível ou
distâncias verticais entre pontos do terreno. O nivelamento destes pontos,
porém, não termina com a determinação do desnível entre eles mas,
inclui também, o transporte da cota ou altitude de um ponto conhecido
(RN – Referência de Nível) para os pontos nivelados.
 Assim, segundo Garcia e Piedade (1984), a altitude de um ponto da
superfície terrestre pode ser definida como a distância vertical deste
ponto à superfície média dos mares (denominada Geóide). A cota de um
ponto da superfície terrestre, por sua vez, pode ser definida como a
distância vertical deste ponto à uma superfície qualquer de referência
(que é fictícia e que, portanto, não é o Geóide).
 A altitude corresponde um
nível verdadeiro, que é a
superfície de referência para a
obtenção da DV ou DN e que
coincide com a superfície
média dos mares, ou seja, o
Geóide.
 A cota corresponde um nível
aparente, que é a superfície
de referência para a obtenção
da DV ou DN e que é paralela
ao nível verdadeiro.
Conceitos… 
 O nivelamento geométrico é a operação que visa a
determinação do desnível entre dois pontos a partir da leitura
em miras (estádias ou em código de barras) efectuadas com
níveis ópticos ou digitais. Este pode ser executado para fins
geodésicos ou topográficos.
 Este método diferencia-se dos demais (o barométrico e o
trigonométrico, que não fazem parte deste módulo), pois está
baseado somente na leitura de réguas ou miras graduadas, não
envolvendo ângulos.
Conceitos cont..
• Visada: leitura efetuada sobre a mira. 
• Lance: é a medida direta do desnível entre duas miras verticais (figura 
abaixo). 
Fonte: Veiga (2007, p. 142)
Conceitos cont..
• Seção: é a medida do desnível entre duas referências de nível e é obtida pela soma 
algébrica dos desníveis dos lances (figura 12.14). 
• Linha de nivelamento: é o conjunto das seções compreendidas 
entres duas RN chamadas principais (figura 12.15). 
• Circuito de nivelamento: é a poligonal fechada constituída de 
várias linhas justapostas. 
Pontos nodais são as RN principais, às quais concorrem duas ou 
mais linhas de nivelamento (BRASIL, 1975). 
• Rede de nivelamento: é a malha formada por vários circuitos 
justapostos (figura 12.15). 
Conceitos cont..
Fonte: Veiga (2007, p. 143)
Aplicações
 Em estradas ao longo do eixo longitudinal;
 Em terraplanagem;
 Em barragens.
Métodos de nivelamento geométrico
O nivelamento geométrico pode ser:
 Simples
 Composto
 Da primeira ordem
 Segunda;
 Terceira e 
 Quarta ordem (para o nosso caso)
Nivelamento Geométrico – Procedimento de campo
Nivelamento Geométrico Simples (NGS):
Neste caso, instala-se o instrumento a meia distância entre os
dois pontos a serem nivelados, lembrando que esta distância não
poderá ser superior a 60 m para minimizar os erros de leitura
(colimação).
Os segmentos eqüidistantes não precisam ser necessariamente 
alinhados, conforme fig. abaixo
Procedimentos (Continuação)
Ao contrário do que ocorre quando trabalhamos com Teodolitos
ou Estação Total, não há necessidade de se medir em campo a altura do
instrumento, pois o nível trabalha com planos horizontais que
apresentarão sempre o mesmo desnível independente da altura na qual
o mesmo foi instalado.
Procedimento de campo
Ao se iniciar os procedimentos de campo do
nivelamento, faz-se a leitura das miras sobre os pontos a
serem nivelados, fazendo-se a leitura do fio nivelador (Fio
médio) e dos fios estadimétricos (Superior e inferior).
Deve-se fazer a leitura dos fios superior e inferior
e pela diferença (FS – FI) que não poderá ser superior a
0,002 m podemos ter um controle sobre a qualidade da
leitura do fio nivelador.
Verificando a equidistância
Segundo Veiga (2007, p. 144) Na prática aceita-se uma diferença de até 2m para a 
“equidistância”. Caso as diferenças entre a distância de ré e vante seja maior que esta 
tolerância, o nível deve ser reposicionado a igual distância das miras e novas leituras 
efetuadas. A distância do nível à mira é calculada por: 
Distância nível-mira = C.S 
S é a diferença entre a leitura do fio superior e fio inferior; 
C é a constante estadimétrica do equipamento, a qual consta do 
manual do mesmo Normalmente este valor é igual a 100. 
Cuidados com a Mira
Para o reposicionamento da mira, usa-se um equipamento chamado
Sapata, que permite a reposição da mira para o lance seguinte, permanecendo
no ponto ocupado (evitando deslocamentos da mesma).
Fig. 1 – Sapata (Veiga, 2007 p. 147)
Equipamento
Exercício 12.1 – Indicar nas miras abaixo, as seguintes leituras: 
1,615m 1,705m 1,658m 1,600m 1,725m 
Nível Optico
Onde: 
ZZ : Eixo de Colimação ou Linha de visada; 
LL : Eixo do Nível Tubular (Níveis Mecânicos); 
VV : Eixo Principal ou rotação do nível. 
Fonte: Faggion (201?, p. 41)
Nível laser
O nível laser utiliza o laser para marcações e medições de níveis e 
alinhamento de pontos. O equipamento define um plano 
horizontal ou vertical com o laser. 
Aplicações:
• Marcação de níveis em terrenos;
• Nível de forma e espessuras de lajes (concretagem);
• Nivelamento de fundações;
• Etc...
Fonte: Lemos II, 200?, P. 8
Precisão em nivelamento 
geométrico
Fonte: Garcia e Piedade (1984)
Fontes de erro em Nivelamento 
Geométrico
• Não fazer a leitura dos fios estadimétricos para conferir a leitura do fio nivelador;
• Nível com calagem imperfeita: induz a um erro na determinação do valor do FM, 
fazendo com que o mesmo não coincida com a horizontal. 
• Mira Topográfica fora da vertical, devido ao não uso da sapata;
• Erro de leitura na mira devido a:
• Reverberação (forte insolação)
• Visadas largas
• Inexperiência do operador
•Erro devido a esfericidade terrestre
Cuidados a ter-se em conta quando faz-se 
o nivelamento
 Deve-se tomar o cuidado para que o desnível entre os pontos não exceda o
comprimento da régua (4m).
 As miras devem estar perfeitamente perpendiculares no momento da leitura,
condição monitorada pelo nível de bolha embutido na mira ou pelo nível de
cantoneira.
 Os comprimentos das visadas de ré e de vante devem ser aproximadamente
iguais e de, no máximo, 80m, sendo o ideal o comprimento de 60m, de
modo a compensar os efeitos da curvatura terrestre e da refração
atmosférica, alem de melhorar a exactidão do levantamento por facilitar a
leitura da mira;
 Para evitar os efeitos do fenómeno de reverberação, as visadas
devem situar-se acima de 50 cm do solo;
 As miras devem ser posicionadas aos pares, com alternância a
vante e a ré, de modo que a mira posicionada no ponto de
partida (lida a ré) seja posicionada, em seguida, no ponto de
chegada (lida a vante), sendo conveniente que o número de
lances seja par.
Os dados observados em campo devem ser anotados em
cadernetas específicas para este fim. Um modelo de caderneta
empregado é apresentado a seguir.
Simples 
 Neste método, indicado
pela figura ao lado
(Domingues, 1979),
instala-se o nível uma
única vez em ponto
estratégico, situado ou não
sobre a linha a nivelar e
equidistante aos pontos de
nivelamento.
Como preencher….
Verificação da coerência dos valores lidos
Devido à existência de vários modelos de Mira, é importante
a sua interpretação prévia para fazer a leitura correctamente.
 Para um nivelamento geométrico com boa precisão, a
tolerância é dada pela fórmula:
 E deve-se comparar os valores, nos quais devem ser
sempre iguais:
Cálculodas distâncias, diferenças de nível 
(DN) e Cotas
 Distâncias
 Diferenças de nível
Após proceder a leitura dos fios estadimétricos (FS, FM e FI) nos
pontos de ré e vante, o desnível pode ser determinado pela
relação:
 Cotas
Pontos Visados Miras Estadimétricas (m) Cota (m)
Ré Vante
RN 2
P1
0,747 1,686 10,00
0,651 1,584
0,555 1,481
P1
P2
1,057 1,395
0,957 1,296
0,856 1,197
P2
P3
1,694 1,535
1,597 1,435
1,500 1,334
Verificação da coerência dos valores lidos
 Para RN2 e P1
 Distâncias (RN2- P1) - ré
 Diferenças de nível (RN2- P1)
 Cotas
Pontos
Visados
Distância Ré
(m)
Miras Estadimétricas Distância
Vante (m)
Fio nivelador Diferença de
nível
Cota
Ré Vante Ré Vante
RN 2
P1
0,747 1,686 10,00
19,2 20,5 0,651 1,584 -0,933
0,555 1,481 9,067
P1
P2
1,057 1,395 9,067
20,1 19,8 0,957 1,296 -0,339
0,856 1,197 8,728
P2
P3
1,694 1,535 8,728
19,4 20,1 1,597 1,435 0,162
1,500 1,334 8,890
Σ 3,205 4,315 -1,110
Composto
 É aquele em que o instrumento é instalado em mais de
uma posição no terreno, equivalendo a uma associação de
2 ou mais nivelamentos geométricos simples, devidamente
“amarrados” uns aos outros pelos chamados pontos de
mudança (PM).
 Cada estação (posição) do instrumento corresponde a um
nivelamento geométrico simples, valendo para cada um,
as considerações vistas acima.
 Este método, ilustrado
pela figura ao lado
(Garcia, 1984), exige que
se instale o nível mais de
uma vez, por ser, o
desnível do terreno entre
os pontos a nivelar,
superior ao comprimento
da régua.
 Nos trabalhos normais de nivelamento geométrico
composto, onde se estuda o perfil do terreno para
atendimento a diversos projectos, recomenda-se, para
maior facilidade no cálculo das diferenças de nível e de
outros dados necessários aos projectos, que os elementos
determinados no campo sejam devidamente anotados nas
cadernetas próprias, e as diferenças de nível, calculadas
em função das cotas ou altitudes dos pontos nivelados.
 Como na maioria das vezes as leituras neste tipo de
nivelamento são feitas a partir de diferentes posições, e a
determinação das DN normalmente é feita por diferença
entre cotas dos pontos. DN = ∑DNP
ASSIM:
 Os cálculos das cotas da caderneta de nivelamento:
Ponto Visados Leituras de mira estadimétricas Cota
Ré Vante
P0 0.450 520,000
P1 0.015 2.600
P2 2.650
P3 3.750
P4 2.900
P5 3,700 0,400
P6 0,650
 Nota: Para pontos onde não tem valores da ré, usa-se o
valor da altura do instrumento anterior.
Ponto Visados Leituras de mira Altura do 
instrumento 
(AI)
Cota
(m)
Diferença de nível 
(m)
Ré Vante
P0 0,450 520,450 520,000
-2,150P1 0,015 2,600 517,865 517,850
-2,635P2 2,650 515,215
-1,099P3 3,750 514,116
0,849P4 2,900 514,965
2,500P5 3,700 0,400 521,165 517,465
3,050P6 0,650 520,515
 O erro de fechamento em circuitos fechados de nivelamento, isto é que inicia e
termina no mesmo RN, pode ser determinado por:
 Para Nivelamento simples
ef = FMatrás - Fmafrente ou ef = dn ou ef = RNf – RNi 
 Para o nivelamento composto
ef = RNf – RNi
ou por
ef = FMatrás -  FM(afrente)mudança
 Para circuitos enquadrados (que parte de um RN conhecido e termina em outro RN conhecido), o
erro de fecho será dado por:
ef = RN2(cal) – RN2(conh) ou ef = dn - (RN2 – RN1)
 A precisão do nivelamento é verificada através de uma operação de 
contra-nivelamento. 
 Segundo a A.G.I (Associação Geodésica Internacional), podemos
classificar os nivelamentos conforme a seguinte ordem:
- Nivelamento de alta precisão - (± 1,5 mm por km)
- Nivelamento de 1ª ordem - (± 2,5 mm por km)
- Nivelamento de 2ª ordem - (10 mm por km)
- Nivelamento de 3ª ordem (30 mm por km)
- Nivelamento de 4ª ordem (100 mm por km)
Transporte dos 
RN e 
monitoramento
Trabalhos de 
engenharia
O erro admissível nas operações de nivelamento pode ser dado 
pela expressão:
Onde:
eadm = erro admissível 
m = constante por km contra-nivelado (de acordo com a 
ordem) sendo que na 4ª.ordem m e igual a 20mm.
k = extensão do nivelamento em km, medido em uma só 
direção.
Correção do erro de fecho
𝐶 = 𝑒𝑓 ∗
𝑙
∑𝐷
kmea 
Perfil topográfico

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