Aula 3- Ponto

Prévia do material em texto

DESENHO TÉCNICO - IT 459
Prof. D.sc. Luciano Muniz Abreu
Departamento de Arquitetura e Urbanismo
Instituto de Tecnologia
Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro
Geometria Descritiva
O Ponto
A Reta
O Plano
Métodos Auxiliares
O MÉTODO DE MONGE
GEOMETRIA DESCRITIVA
NOTAÇÃO CREMONIANA
Gaspard Monge foi o codificador da GD e, como tal, 
denominou os elementos da operação projetava em sua 
língua natal. Assim, LT representa a linha de terra; PV, plano 
vertical; PHA, semiplano vertical anterior etc.
Entretanto, para que o ensino pudesse ser padronizado, 
inovações foram introduzidas, como o 3 plano, por Gino 
LORIA, e as nomenclaturas características do sistema, 
por Luigi de CREMONA, dando origem `a Notação 
Cremoniana.
NOTAÇÃO CREMONIANA
(i) PONTOS => representados por uma letra maiúscula dentro de 
parênteses. Ex.: ponto (A), ponto (P) etc.
(ii) RETAS => representadas por letra minúscula dentro de 
parênteses. Ex.: reta (r), reta (s), (t) etc.
(iii) PLANOS => representados por letra do alfabeto grego. Ex.: α; 
β; δ
PROJEÇÕES Horizontais Verticais
Pontos................. A, B, C .................. A’, B’, C’
Retas .................. r, s, t ...................... r’, s’, t’ 
PLANOS DE PROJEÇÃO
Vertical => πʼ. Horizontal => π. Terceiro Plano => π”
ESTUDO DO PONTO
PROJEÇÃO HORIZONTAL DO 
PONTO (A)
PROJEÇÃO VERTICAL DO 
PONTO (A)
POSIÇÃO DO PONTO (A) 
NO ESPAÇO
(πʼ)
(π)
ESTUDO DO PONTO
Chama-se COTA de um 
ponto, a distância deste ponto 
ao p l ano ho r i zon t a l de 
projeção.
Chama-se AFASTAMENTO 
de um ponto a distância deste 
ponto ao plano vertical de 
projeção.
COTA E AFASTAMENTO 
(πʼ)
(π)
ESTUDO DO PONTO
LINHA DE PROJEÇÃO OU LINHA DE CHAMADA
Chama-se LINHA DE PROJEÇÃO ou LINHA DE 
CHAMADA a toda linha perpendicular `a linha de terra, que 
une as projeções de um ponto. 
ESTUDO DO PONTO 
LINHA DE PROJEÇÃO 
‡��&KDPD-se LINHA DE PROJEÇÃO ou LINHA DE CHAMADA a toda linha 
perpendicular à linha de terra, que une as projeções de um ponto. 
‡��1D�ILJXUD��D�OLQKD�$¶$�TXH�XQH�DV�SURMHo}HV�GR�SRQWR��$��p�XPD�OLQKD�GH�SURMHomR�
(S) (S¶) LT
$¶�
A
A
$¶�
( S�)
( S¶�
COTA
AFASTAMENTO
(A)
(PH) (PV)
LINHA DE
CHAMADA
A’A é a linha de chamada.
COTA
AFASTAMENTO
ESTUDO DO PONTO 
RESUMO
DIEDRO - é formado por dois planos de projeção ortogonais: um horizontal e 
um vertical.
LINHA DE TERRA - reta determinada pela intercessão dos planos Horizontal 
(PH) e Vertical (PV) de projeção.
REBATIMENTO - rotação do PH em 90 graus para obtenção da épura.
ÉPURA - representação de figuras no plano bidimensional, pelas suas 
projeções.
LINHA DE CHAMADA - reta perpendicular `a linha de terra, que liga as 
horizontais e verticais de pontos.
COTA - distância de um ponto ao PH.
AFASTAMENTO - distância de um ponto ao PV.
ABSCISSA - distância da linha de chamada das projeções de um ponto `a 
origem arbitrada.
VERDADEIRA GRANDEZA (VG) - diz-se que um projeção esta em VG 
quando o objeto esta paralelo ao plano de projeção, projetando o mesmo com 
sua real superfície.
ESTUDO DO PONTO - POSIÇÕES
Em relação aos planos de projeção o ponto pode ocupar 
9 diferentes posições.
POSIÇÃO 1: o ponto (A) está no 1 diedro
POSIÇÕES DO PONTO 
‡��(P�UHODomR�DRV�SODQRV�GH�SURMHomR���R�SRQWR��$��SRGH�RFXSDU�QRYH������SRVLo}HV�
diferentes, a saber:
1ª POSIÇÃO: o ponto (A) está no 1º diedro
(SP) 
(SA)
LT
$¶�
A
(S¶S)
$¶� (A)
A
A0$¶1
‡ Depois do rebatimento, o (S¶S) ficará em coincidência com o (SP���$�SURMHomR�YHUWLFDO�$¶
acompanhará o plano (S¶S���QR�VHX�GHVORFDPHQWR�H�FDLUi�HP�$¶1 GH�WDO�PRGR�TXH�$¶1A0 �$¶$o.
‡ 1D�pSXUD�DV�SURMHo}HV�VmR�VHSDUDGDV�SHOD�OLQKD�GH�WHUUD�HVWDQGR�D�SURMHomR�YHUWLFDO�$¶�
acima e a horizontal A abaixo da linha. Na épura não há a necessidade de representar o 
símbolo Ao. $�SURMHomR�YHUWLFDO�UHEDWLGD�$¶1 p�WDPEpP�DSHQDV�UHSUHVHQWDGD�SRU�$¶�
POSIÇÕES DO PONTO 
‡��(P�UHODomR�DRV�SODQRV�GH�SURMHomR���R�SRQWR��$��SRGH�RFXSDU�QRYH������SRVLo}HV�
diferentes, a saber:
1ª POSIÇÃO: o ponto (A) está no 1º diedro
(SP) 
(SA)
LT
$¶�
A
(S¶S)
$¶� (A)
A
A0$¶1
‡ Depois do rebatimento, o (S¶S) ficará em coincidência com o (SP���$�SURMHomR�YHUWLFDO�$¶
acompanhará o plano (S¶S���QR�VHX�GHVORFDPHQWR�H�FDLUi�HP�$¶1 GH�WDO�PRGR�TXH�$¶1A0 �$¶$o.
‡ 1D�pSXUD�DV�SURMHo}HV�VmR�VHSDUDGDV�SHOD�OLQKD�GH�WHUUD�HVWDQGR�D�SURMHomR�YHUWLFDO�$¶�
acima e a horizontal A abaixo da linha. Na épura não há a necessidade de representar o 
símbolo Ao. $�SURMHomR�YHUWLFDO�UHEDWLGD�$¶1 p�WDPEpP�DSHQDV�UHSUHVHQWDGD�SRU�$¶�
POSIÇÃO 2: o ponto (B) está no 2 diedro
POSIÇÕES DO PONTO 
2ª POSIÇÃO: o ponto (B) está no 2º diedro
(SP) 
(SA)
LT
%¶�
B
(B)
B B0
(S¶S)
%¶�
%¶1
‡ $SyV�R�UHEDWLPHQWR��R�%¶�VH�SURMHWDUi�QR�SODQR��SP), sobre BBo (ou seu 
prolongamento), conforme a cota seja maior ou menor que o afastamento. 
‡ Na épura, ambas as projeções estão acima da linha de terra. 
‡ e�LQGLIHUHQWH�%�HVWDU�DFLPD�RX�DEDL[R�GH�%¶�- o que caracteriza o ponto no 2 q diedro 
é possuir ambas as projeções acima da linha de terra. 
POSIÇÕES DO PONTO 
2ª POSIÇÃO: o ponto (B) está no 2º diedro
(SP) 
(SA)
LT
%¶�
B
(B)
B B0
(S¶S)
%¶�
%¶1
‡ $SyV�R�UHEDWLPHQWR��R�%¶�VH�SURMHWDUi�QR�SODQR��SP), sobre BBo (ou seu 
prolongamento), conforme a cota seja maior ou menor que o afastamento. 
‡ Na épura, ambas as projeções estão acima da linha de terra. 
‡ e�LQGLIHUHQWH�%�HVWDU�DFLPD�RX�DEDL[R�GH�%¶�- o que caracteriza o ponto no 2 q diedro 
é possuir ambas as projeções acima da linha de terra. 
ESTUDO DO PONTO - POSIÇÕES
POSIÇÃO 3: o ponto (C) está no 3 diedro
POSIÇÕES DO PONTO 
3ª POSIÇÃO: o ponto (C) está no 3º diedro
(S¶S)
(SA)
(C)
LT
&�¶�
C
(SP) 
(S¶I)
&�¶�
C C0
(SA)
(S¶S)
‡ Após o rebatimento, (S¶S) coincidirá com (SP) e (S¶I) coincidirá com o plano (SA). A 
SURMHomR�YHUWLFDO�&¶�LUi�FDLU�HP�&¶1 no prolongamento CC0. 
‡ Na épura, a projeção horizontal C ficará posicionada acima da linha de terra e a 
YHUWLFDO�&¶�DEDL[R�GHVWD�OLQKD��LQYHUVR�GD�pSXUD�QR���GLHGUR�
POSIÇÕES DO PONTO 
3ª POSIÇÃO: o ponto (C) está no 3º diedro
(S¶S)
(SA)
(C)
LT
&�¶�
C
(SP) 
(S¶I)
&�¶�
C C0
(SA)
(S¶S)
‡ Após o rebatimento, (S¶S) coincidirá com (SP) e (S¶I) coincidirá com o plano (SA). A 
SURMHomR�YHUWLFDO�&¶�LUi�FDLU�HP�&¶1 no prolongamento CC0. 
‡ Na épura, a projeção horizontal C ficará posicionada acima da linha de terra e a 
YHUWLFDO�&¶�DEDL[R�GHVWD�OLQKD��LQYHUVR�GD�pSXUD�QR���GLHGUR�
ESTUDO DO PONTO - POSIÇÕES
POSIÇÃO 4: o ponto (D) está no 4 diedro
POSIÇÕES DO PONTO 
4ª POSIÇÃO: o ponto (D) está no 4º diedro
(S¶I)
(S¶S)
(SP) 
(D)'¶�
LT
'¶�
D
'¶1D0 D
(SA)
'HSRLV�GR�UHEDWLPHQWR��D�SURMHomR�'¶�FDLUi�HP�'¶1 sobre DD0 (ou seu prolongamento). 
Ambas as projeções abaixo da linha de terra caracterizam a épura deste ponto no 4q diedro.
Note que a épura de um ponto no 4q diedro é o inverso da épura no 2q diedro.
POSIÇÕES DO PONTO 
4ª POSIÇÃO: o ponto (D) está no 4º diedro
(S¶I)
(S¶S)
(SP) 
(D)'¶�
LT
'¶�
D
'¶1D0 D
(SA)
'HSRLV�GR�UHEDWLPHQWR��D�SURMHomR�'¶�FDLUi�HP�'¶1 sobre DD0 (ou seu prolongamento). 
Ambas as projeções abaixo da linha de terra caracterizam a épura deste ponto no 4q diedro.
Note que a épura de um ponto no 4q diedro é o inverso da épura no 2q diedro.
ESTUDO DO PONTO - POSIÇÕES
POSIÇÃO 5: o ponto (E) está no SPVS
POSIÇÕES DO PONTO 
5ª POSIÇÃO: o ponto (E) está no (S¶S)
(SP) 
(¶1 E
(SA)
LT
E 
(¶ ��(�
�(� (¶�
‡ Estando o ponto (E) no plano vertical superior (S¶S) , o seu afastamento será nulo.
‡ $�SURMHomR�YHUWLFDO�(¶�FRLQFLGH�FRP�R�SUySULR�SRQWR��(��H�D�SURMHomR�KRUL]RQWDO�(�HVWDUi�VREUH�D�OLQKD�GH�WHUUD���'HSRLV�GR�UHEDWLPHQWR��D�SURMHomR�(¶�FDLUi�HP�(1¶�VREUH�R�SODQR�(SP).
‡ 1D�pSXUD�D�SURMHomR�YHUWLFDO�(¶�HVWi�DFLPD�GD�OLQKD�GH�WHUUD�H�D�KRUL]RQWDO�(�VREUH�HVWD�OLQKD�
(S¶S)
POSIÇÕES DO PONTO 
5ª POSIÇÃO: o ponto (E) está no (S¶S)
(SP) 
(¶1 E
(SA)
LT
E 
(¶ ��(�
�(� (¶�
‡ Estando o ponto (E) no plano vertical superior (S¶S) , o seu afastamento será nulo.
‡ $�SURMHomR�YHUWLFDO�(¶�FRLQFLGH�FRP�R�SUySULR�SRQWR��(��H�D�SURMHomR�KRUL]RQWDO�(�HVWDUi�
VREUH�D�OLQKD�GH�WHUUD���'HSRLV�GR�UHEDWLPHQWR��D�SURMHomR�(¶�FDLUi�HP�(1¶�VREUH�R�SODQR�(SP).
‡ 1D�pSXUD�D�SURMHomR�YHUWLFDO�(¶�HVWi�DFLPD�GD�OLQKD�GH�WHUUD�H�D�KRUL]RQWDO�(�VREUH�HVWD�OLQKD�
(S¶S)
ESTUDO DO PONTO - POSIÇÕES
POSIÇÃO 6: o ponto (F) está no SPVI
POSIÇÕES DO PONTO 
6ª POSIÇÃO: o ponto (F) está no (S¶I)
(S¶I)
(S¶S)
(SP) 
�)�¶ )¶
)¶1F
(SA)
LTF 
)¶ ��µ)�
‡ Estando o ponto (F) no plano vertical inferior (ʌ¶I) seu afastamento será nulo.
‡ 6XD�SURMHomR�YHUWLFDO�)¶�FRLQFLGLUi�FRP�R�SUySULR�SRQWR��)��H�VXD�SURMHomR�KRUL]RQWDO�)�HVWDUi�
VREUH�D�OLQKD�GH�WHUUD���$SyV�R�UHEDWLPHQWR��D�SURMHomR�)¶�FDLUi�HP�)¶1 sobre o plano ʌA .
‡ Na épura, a projeção vertical está abaixo da linha de terra e a horizontal permanece sobre a linha.
POSIÇÕES DO PONTO 
6ª POSIÇÃO: o ponto (F) está no (S¶I)
(S¶I)
(S¶S)
(SP) 
�)�¶ )¶
)¶1F
(SA)
LTF 
)¶ ��µ)�
‡ Estando o ponto (F) no plano vertical inferior (ʌ¶I) seu afastamento será nulo.
‡ 6XD�SURMHomR�YHUWLFDO�)¶�FRLQFLGLUi�FRP�R�SUySULR�SRQWR��)��H�VXD�SURMHomR�KRUL]RQWDO�)�HVWDUi�
VREUH�D�OLQKD�GH�WHUUD���$SyV�R�UHEDWLPHQWR��D�SURMHomR�)¶�FDLUi�HP�)¶1 sobre o plano ʌA .
‡ Na épura, a projeção vertical está abaixo da linha de terra e a horizontal permanece sobre a linha.
ESTUDO DO PONTO - POSIÇÕES
POSIÇÃO 7: o ponto (G) está no SPHA
(SP) 
(SA)
(S¶S)
(G)=G*¶
POSIÇÕES DO PONTO 
7ª POSIÇÃO: o ponto (G) está no (SA)
LT*¶�
G= (G)
‡ Estando o ponto no plano horizontal anterior (SA), sua cota será nula. Portanto sua 
projeção horizontal G coincidirá com o próprio ponto (G) = G.
‡ $�SURMHomR�YHUWLFDO�*¶�HVWDUi�VREUH�D�OLQKD�GH�WHUUD���&RP�R�UHEDWLPHQWR��QDGD�VH�DOWHUD�
‡ 1D�pSXUD��D�SURMHomR�KRUL]RQWDO�*�HVWDUi�DEDL[R�GD�OLQKD�GH�WHUUD�H�D�YHUWLFDO�*¶�VREUH�D�
linha de terra.
(SP) 
(SA)
(S¶S)
(G)=G*¶
POSIÇÕES DO PONTO 
7ª POSIÇÃO: o ponto (G) está no (SA)
LT*¶�
G= (G)
‡ Estando o ponto no plano horizontal anterior (SA), sua cota será nula. Portanto sua 
projeção horizontal G coincidirá com o próprio ponto (G) = G.
‡ $�SURMHomR�YHUWLFDO�*¶�HVWDUi�VREUH�D�OLQKD�GH�WHUUD���&RP�R�UHEDWLPHQWR��QDGD�VH�DOWHUD�
‡ 1D�pSXUD��D�SURMHomR�KRUL]RQWDO�*�HVWDUi�DEDL[R�GD�OLQKD�GH�WHUUD�H�D�YHUWLFDO�*¶�VREUH�D�
linha de terra.
ESTUDO DO PONTO - POSIÇÕES
POSIÇÃO 8: o ponto (H) está no SPHP
(J)=J
-¶
POSIÇÕES DO PONTO 
8ª POSIÇÃO: o ponto (J) está no (SP)
LT
J=(J)
-¶
‡ Nesta posição a cota do ponto é nula.
‡ Nada se altera com o rebatimento.
‡ 1D�pSXUD��D�SURMHomR�KRUL]RQWDO�-�HVWi�DFLPD�GD�OLQKD�GH�WHUUD�H�D�YHUWLFDO�-¶�VREUH�OLQKD�
de terra.
(SP) 
(SA)
(S¶S)
(J)=J
-¶
POSIÇÕES DO PONTO 
8ª POSIÇÃO: o ponto (J) está no (SP)
LT
J=(J)
-¶
‡ Nesta posição a cota do ponto é nula.
‡ Nada se altera com o rebatimento.
‡ 1D�pSXUD��D�SURMHomR�KRUL]RQWDO�-�HVWi�DFLPD�GD�OLQKD�GH�WHUUD�H�D�YHUWLFDO�-¶�VREUH�OLQKD�
de terra.
(SP) 
(SA)
(S¶S)
ESTUDO DO PONTO - POSIÇÕES
POSIÇÃO 9: o ponto (M) está na LT
(SP) 
M
(SA)
POSIÇÕES DO PONTO 
9º POSIÇÃO: o ponto (M) está na linha de terra
LT0 0¶�
0¶
‡ Nesta posição o ponto não terá nem cota bem afastamento.
‡ Nada se altera com o rebatimento já que a linha de terra é fixa.
(S¶S)
(SP) 
M
(SA)
POSIÇÕES DO PONTO 
9º POSIÇÃO: o ponto (M) está na linha de terra
LT0 0¶�
0¶
‡ Nesta posição o ponto não terá nem cota bem afastamento.
‡ Nada se altera com o rebatimento já que a linha de terra é fixa.
(S¶S)
( )= M
ESTUDO DO PONTO - POSIÇÕES
ESTUDO DO PONTO - POSIÇÕES
Quando o ponto não tem nenhuma de suas projeções sobre a 
linha de terra, ele estará no espaço, da seguinte maneira:
- se as projeções são separadas pela linha de terra, ele estará 
em um dos diedros ímpares (no 1 se a projeção vertical estiver 
acima da LT e a horizontal abaixo; no 3 no caso inverso;
- quando as projeções estiverem no mesmo lado da linha de 
terra, o ponto estará em um dos diedros pares (2 diedro quando 
ambas as projeções estiverem acima da LT e no 4 diedro no 
caso contrário;
- quando uma das projeções estiver sobre a linha de terra, o 
ponto estará situado em um dos semiplanos de nome contrário 
`a projeção que estiver sobre aquela linha.
$¶
A
%¶
B
C
&¶
'¶
D (¶
E
)¶
F
* *¶
ESTUDO DO PONTO - POSIÇÕES
Identifique os diedros aos quais os pontos pertencem
SPVS
SPVI
SPHA
SPHP
1 DIEDRO2 DIEDRO
4 DIEDRO3 DIEDRO
ESTUDO DO PONTO - POSIÇÕES
$¶
A
Ponto (A) - semi plano vertical inferior
ESTUDO DO PONTO - POSIÇÕES
-
ESTUDO DO PONTO - POSIÇÕES
(A)
A
A’
SPVS
SPVI
SPHA
SPHP
1 DIEDRO2 DIEDRO
4 DIEDRO3 DIEDRO
A
(A) A’
%¶
B
Ponto (B) - 3° diedro
ESTUDO DO PONTO - POSIÇÕES
(B)
B
B’
SPVS
SPVI
SPHA
SPHP
1 DIEDRO2 DIEDRO
4 DIEDRO3 DIEDRO
B
B’
ESTUDO DO PONTO - POSIÇÕES
C
&¶
Ponto (C) - 1° diedro
ESTUDO DO PONTO - POSIÇÕES
ESTUDO DO PONTO - POSIÇÕES
(C)
C
C’
SPVS
SPVI
SPHA
SPHP
1 DIEDRO2 DIEDRO
4 DIEDRO3 DIEDRO
C’
C
'¶
D
Ponto (D) - semi plano vertical superior (S¶S)SPVS
ESTUDO DO PONTO - POSIÇÕES
-
ESTUDO DO PONTO - POSIÇÕES
(D)
D
D’
SPVS
SPVI
SPHA
SPHP
1 DIEDRO2 DIEDRO
4 DIEDRO3 DIEDRO
(D) D’
D
(¶
E
Ponto (E) - semi plano horizontal posterior (SP)SPHP
ESTUDO DO PONTO - POSIÇÕES
-
ESTUDO DO PONTO - POSIÇÕES
(E) E
E’
SPVS
SPVI
SPHA
SPHP
1 DIEDRO2 DIEDRO
4 DIEDRO3 DIEDRO
 (E) E
E’
)¶
F
Ponto (F) - 4° diedro
ESTUDO DO PONTO - POSIÇÕES
(F)
F
F’
SPVS
SPVI
SPHA
SPHP
1 DIEDRO2 DIEDRO
4 DIEDRO3 DIEDRO
F
F’
ESTUDO DO PONTO - POSIÇÕES
* *¶
Ponto (G) - 2° diedro (caso especial - cota e 
afastamento iguais)
ESTUDO DO PONTO - POSIÇÕES
(G)
G
G’
SPVS
SPVI
SPHA
SPHP
1 DIEDRO2 DIEDRO
4 DIEDRO3 DIEDRO
G=G’
ESTUDO DO PONTO - POSIÇÕES
ESTUDO DO PONTO - COORDENADAS
A COTA e o AFASTAMENTO de um ponto constituem as 
suas coordenadas.
Na prática, o ponto necessita de mais outra coordenada - a 
ABSCISSA - que não influi na sua posição, sendo tomada sobre 
a linha de terra a partir de um ponto zero (0) considerado origem 
e arbitrariamente marcado sobre aquela linha.
Quando positiva (+), a coordenada é marcada para a 
direita da origem.
Quando negativa (-), a coordenada é marcada para a 
esquerda da origem.
COTA e AFASTAMENTO também podem ser (+) ou (-).
COORDENADAS DESCRITIVAS DO PONTO
Chama-se COTA de um ponto, a distância deste ponto ao 
plano horizontal de projeção.
Chama-se AFASTAMENTO 
de um ponto, a distância 
deste ponto ao plano 
vertical de projeção.
0
ABSCISSA
Chama-se ABSCISSA de 
um ponto, a distância da 
l inha de chamada das 
projeções deste ponto ao 
ponto de origem da Linha 
de Terra. 
ESTUDO DO PONTO - COORDENADAS
As 3 coordenadas de um ponto (P) são expressas 
nesta ordem: abscissa (x), afastamento (y) e cota (z).
(P) [x; y; z]
(A)
A
A’
O
SPVS
SPVI
SPHA
SPHP
COTA (Z) 
linha de chamada AFASTAMENTO (Y)
linha de chamada
ABSCISSA (X)
1 DIEDRO2 DIEDRO
4DIEDRO3 DIEDRO (+)
(-)
(+)
(-)
Z
YX
ESTUDO DO PONTO - COORDENADAS
ESTUDO DO PONTO - COORDENADAS
LT
- -
A’
A
LINHA DE 
CHAMADA
COTA
AFASTAMENTO
O
ABSCISSA
(A)
O
COTA
AFASTAMENTO
Afastamentos 
positivos
Afastamentos 
negativos
(+)(-)
Cotas 
negativas
Cotas 
positivas
(-)
(+)
SPVS
SPVI
SPHASPHP A
A’
cota positiva (+) .................. acima da LT
cota negativa (-) ................. abaixo da LT
afastamento positivo (+) ... .abaixo da LT
afastamento negativo (-) .... acima da LT
cota positiva (+) .................. 1 e 2 diedros
cota negativa (-) ................. 3 e 4 diedros
afastamento positivo (+) .....1 e 4 diedros
afastamento negativo (-) .... 2 e 3 diedros
ESTUDO DO PONTO - COORDENADAS
EXEMPLO 1:
Ponto (A) [1; 2; 1] equivale a [x; y; z]; a unidade é cm.
A abscissa (x), igual a 1. Sendo positiva, é marcada `a 
direita da origem. 
COORDENADAS
EXEMPLO 1:
‡ !"#$#%$#"#&#'()*+,-'#.#!/0#10#2&$#,#)3*4,4'#5#6'3789'7:;<
‡ =#,>?6*??,#@/A#*B),-#,#"0#6;9;#5#C;?*7*+,#5#9,:6,4,#.#4*:'*7,#4'?7,#;:*B'9#
LTO
!"#$
EXEMPLO 1:
Ponto (A) [1; 2; 1] equivale a [x; y; z]; 
O afastamento (y), igual a 2. Sendo positivo, é marcado 
abaixo da linha de terra. 
COORDENADAS
EXEMPLO 1:
‡ !"#$#%$#"#&#'()*+,-'#.#!/0#10#2&
‡ 3#,4,56,7'869#:1;0#*<),-#,#%#'#5'8=9#>95*6*+90#?#7,@A,=9#,B,*/9#=,#-*8C,#='#6'@@,
LT
Afastamento
O
!"#$
ESTUDO DO PONTO - COORDENADAS
ESTUDO DO PONTO - COORDENADAS
EXEMPLO 1:
Ponto (A) [1; 2; 1] equivale a [x; y; z]; 
A cota (z), igual a 1. Sendo positiva, é marcada acima da 
linha de terra. 
COORDENADAS
EXEMPLO 1:
‡ !"#$#%$#"#&#'()*+,-'#.#!/0#10#2&
‡ 3#456,#7280#*9),-#,#"#'#:';<5#=5:*6*+,0#>#?,@4,<,#,4*?,#<,#-*;A,#<'#6'@@,
LT
$¶�
Cota
O
"#4?
"#4?
Afastamento %#4?
B#=5;65#':6C#=5@6,;65#;5#"5#<*'<@5D
3#:*?=-':#*;:='EF5#<,:#455@<';,<,:#
GC##;5:#*;<*4,+,#*:650#=5*:#456,#'#
,H,:6,?';65#=5:*6*+5:#:*9;*H*4,#
=5;65#;5#"5I#<*'<@5
O ponto está portanto no 1 diedro!!
A simples inspeção das coordenadas 
já nos indicava isto, pois cota e 
afastamento positivos significa ponto 
no 1 diedro!