Aula 6- VG de Segmentos Oblíquos aos Planos de Projecão

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DESENHO TÉCNICO - IT 459
Prof. D.sc. Luciano Muniz Abreu
Departamento de Arquitetura e Urbanismo
Instituto de Tecnologia
Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro
A Reta
MÉTODOS DESCRITIVOS: VERDADEIRA GRANDEZA DE 
SEGMENTOS OBLÍQUOS AOS PLANOS DE PROJEÇÃO
O MÉTODO DE MONGE
GEOMETRIA DESCRITIVA
MÉTODOS DESCRITIVOS
Como já mencionado, segmentos oblíquos a um 
plano de projeção não se projetam, neste plano, em 
verdadeira grandeza (VG), o que só acontece quando 
o segmento é paralelo ao plano. 
Vimos também que, no sistema de dupla projeção de 
Monge, de todas as posições particulares que os 
segmentos de reta podem ocupar no espaço, apenas 
duas não se apresentam paralelas a um dos planos 
de projeção: segmento da reta GENÉRICA e 
segmento da reta de PERFIL.
MÉTODOS DESCRITIVOS
O segmento da reta de PERFIL, entretanto, é paralelo 
ao Plano de Projeção Lateral. 
Assim, é possível encontrar sua verdadeira grandeza 
traçando sua terceira projeção: projeção lateral 
(conforme vimos).
MAS QUAL O PROCEDIMENTO A SER ADOTADO NO 
CASO DO SEGMENTO DE RETA GENÉRICA, onde 
nenhuma das três projeções são paralelas aos 
planos de projeção?
MÉTODOS DESCRITIVOS
Para conhecer a VG de um segmento (não paralelo aos 
planos de projeção) é necessário que, por meio de 
procedimentos geométricos, façamos com que o 
segmento em questão fique paralelo ou passe a 
pertencer a um plano de projeção.
Num sistema de dupla projeção ortogonal, estas 
operações poderão ser executadas de duas 
maneiras:
I. Modificando a posição do segmento;
II. Alterando o sistema de projeção (planos de 
projeção).
MÉTODOS DESCRITIVOS
No primeiro caso, ROTAÇÃO, há modificação da 
posição do segmento, o sistema de projeção não se 
altera.
O segmento é que mudará de posição no espaço 
para ficar paralelo ou pertencer a um dos planos de 
projeção, por meio de uma operação geométrica 
chamada ROTAÇÃO.
Neste procedimento, o segmento gira em torno de um 
eixo perpendicular a um dos planos de projeção, até 
ficar paralelo ao outro plano de projeção, onde se 
projetará em VG.
MÉTODOS DESCRITIVOS
MÉTODOS DESCRITIVOS
Rotação:
Gira-se o segmento 
(A)(B), em torno do 
eixo (e), que passa por 
um dos pontos do 
segmento, até que ele 
(o segmento) fique 
paralelo a um dos 
planos de projeção e, 
portanto, projetando-se 
em VG.
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(A)
eixo de rotação
(A)(B) antes da rotação
(A)(B) após da rotação
No segundo caso, MUDANÇA DE PLANO, há alteração do 
sistema projetivo, a posição do segmento não se altera.
Altera-se a posição de um dos planos de projeção , 
introduzindo-se um novo plano paralelo ao segmento 
e, obrigatoriamente, perpendicular a um dos planos 
de projeção de modo que sejam mantidas as 
propriedades geométricas do método de dupla 
projeção ortogonal. Esta operação descritiva é 
chamada de MUDANÇA DE PLANO DE PROJEÇÃO.
O plano criado e o plano de projeção perpendicular a ele, 
constituem um novo sistema de projeções em que a VG do 
segmento é mostrada.
MÉTODOS DESCRITIVOS
MÉTODOS DESCRITIVOS
MUDANÇA DE PLANO
MÉTODOS DESCRITIVOS
Existe ainda um terceiro método, chamado de MÉTODO 
DOS REBATIMENTOS.
Este método, aplicado no estudo dos planos, é 
considerado por muitos autores como um caso particular 
de rotação.
Não nos deteremos a ele neste curso, bastando-nos 
conhecer os procedimentos de recuperação de VG por 
meio dos métodos de ROTAÇÃO e MUDANÇA DE 
PLANOS.
MÉTODOS DESCRITIVOS
Lembrem-se: os métodos auxiliares ou descritivos, 
objetivam encontrar a verdadeira grandeza de 
objetos.
Podem ser utilizados ainda na resolução de outros problemas descritivos não afeitos ao 
desenho técnico, tal qual pretendido neste curso.
MÉTODOS DESCRITIVOS - Rotação
ROTAÇÃO
MÉTODOS DESCRITIVOS - Rotação
ROTAÇÃO - VG SEGMENTO DE PERFIL
A figura ao lado mostra, 
no espaço, o segmento 
(A)(B), antes e após a 
rotação. Nota-se que o 
ponto (A) não se alterou 
porque pertence ao eixo.
(A)(B) tornou-se paralela 
ao PV e, assim se projeta 
em VG neste plano.
Na ve rdade , após a 
rotação, (A)(B) tornou-se 
um segmento frontal.
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(A)
eixo de rotação - reta vertical
(A)(B) antes da rotação
(A)(B) após da rotação
ROTAÇÃO - VG SEGMENTO DE PERFIL
MÉTODOS DESCRITIVOS - Rotação
A figura ao lado mostra, a 
épura correspondente ao 
segmento (A)(B), com as 
projeções do eixo (e), 
antes da rotação.
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MÉTODOS DESCRITIVOS - Rotação
Como obter a VG do seguimento, por meio do procedimento de 
rotação?
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1. Escolhe-se qual ponto será 
g i rado, defin indo por onde 
passara o eixo de rotação;
2. Define-se se o eixo será um 
eixo vertical ou de topo;
3. traçamos uma semi- re ta 
paralela `a LT passando por A 
[projeção horizontal de (A)], no 
sentido que pretendemos efetuar 
a rotação.
4. com o centro em A=e e raio 
AB, traçamos um arco de 
círculo até cortar a paralela. O 
ponto de interseção será indicado 
como B1.
MÉTODOS DESCRITIVOS - Rotação
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MÉTODOS DESCRITIVOS - Rotação
5. como a cota de (B) não se 
altera durante e após a rotação, 
bas ta t raçar por B ’ uma 
paralela `a LT , no mesmo 
sentido.
A linha de chamada traçada de B1 
ao encontrar esta parale la, 
identifica o ponto B1’
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MÉTODOS DESCRITIVOS - Rotação
6. como o ponto (A) não se 
moveu, após a rotação teremos 
A’=A1’, assim como A=A1
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Procedimento semelhante pode ser utilizado passando o eixo vertical 
(e) pelo ponto (B), e girando o ponto (a).
MÉTODOS DESCRITIVOS - Rotação
Podemos, também, utilizar 
um eixo de rotação (e) 
perpendicular ao PV. Neste 
caso, (e) será uma reta de 
topo cuja projeção vertical 
se reduz a um ponto.
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Na figura ao lado, foi 
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perpendicular ao PV e 
passando por (B), de modo 
a rotacionar o ponto (A)
MÉTODOS DESCRITIVOS - Rotação
RESUMINDO:
(i) a rotação é o método descritivo onde o objeto é girado em torno 
de um eixo. (no nosso caso, ate ficar paralelo a um dos planos de 
projeção);
(ii) As projeções do objeto antes e depois da rotação estão na 
mesma épura;
(iii) Sua posição (após a rotação) em relação aos demais elementos 
representados na mesma épura fica alterada;
(iv) Para facilitar a execução, os eixos são verticais ou de topo;
(v) Se o eixo é vertical, sua cota permanece constante - o 
afastamento é alterado;
(vi) Se um eixo de topo for empregado, o afastamento é mantido e a 
cota é alterada;
(vii) Nunca se esqueça de empregar a notação de um modo correto. 
A leitura correta de uma épura depende disso.
ROTAÇÃO- VG SEGMENTO RETA GENÉRICA
MÉTODOS DESCRITIVOS - Rotação
Os procedimentos para determinar a VG de um segmento de reta 
genérica, através de uma rotação em torno de um eixo, são 
ABSOLUTAMENTE OS MESMOS adotados para segmentos de 
perfil.
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A figura ao lado mostra, a 
épura correspondente ao 
segmento (A)(B) genérico, 
com as projeções do eixo 
(e), antes da rotação.
MÉTODOS DESCRITIVOS - Rotação
Como obter a VG do seguimento, por meio do procedimento de 
rotação?
1. Escolhe-se qual ponto será 
g i rado, defin indo por onde 
passará o eixo de rotação;
2. Define-se se o eixo será um 
eixo vertical ou de topo;
3. traçamos uma semi- re ta 
paralela `a LT passando por A 
[projeção horizontal de (A)], no 
sentido que pretendemos efetuar 
a rotação (faremos no sentido 
horário).
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 B 1 
A’
A
4. com o centro em A=e e raio 
AB, traçamos um arco de 
círculo até cortar a paralela. O 
ponto de interseção será indicado 
como B1.
MÉTODOS DESCRITIVOS - Rotação
 86 
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A'1
A1 A
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e'
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B'
B
 B'1 
 B 1 
A’
A
5. como a cota de (B) não se 
altera durante e após a rotação, 
bas ta t raçar por B ’ uma 
paralela `a LT , no mesmo 
sentido.
A linha de chamada traçada de B1 
ao encontrar esta parale la, 
identifica o ponto B1’
MÉTODOS DESCRITIVOS - Rotação
 86 
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A'1
A1 A
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e'
t
B'
B
 B'1 
 B 1 
A’
A
MÉTODOS DESCRITIVOS - Rotação
6. como o ponto (A) não se 
moveu, após a rotação teremos 
A’=A1’, assim como A=A1
Procedimento semelhante pode ser utilizado passando o eixo vertical (e) 
pelo ponto (B), e girando o ponto (a).
 86 
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A'1
A1 A
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e'
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B'
B
 B'1 
 B 1 
Podemos, também, utilizar 
um eixo de rotação (e) 
perpendicular ao PV. Neste 
caso, (e) será uma reta de 
topo cuja projeção vertical 
se reduz a um ponto.
Na figura ao lado, foi 
u t i l i z a d o u m e i x o 
perpendicular ao PV e 
passando por (B), de modo 
a rotacionar o ponto (A)
MÉTODOS DESCRITIVOS - Rotação
 88 
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A '
A '1
A1 A
B' Ł B '1 Ł e '
B Ł B1 
e'
B'
B
 B'1 
 B1 
e
MÉTODOS DESCRITIVOS - 
ROTAÇÃO - RETAS
Encontrar a VG dos segmentos abaixo, aplicando o método de 
rotação (horizontal e vertical):
== = = = =
MÉTODOS DESCRITIVOS - 
ROTAÇÃO - RETAS
Girando o ponto (E) numa reta 
vertical (e) passando por (F)
==
(e)
e =
==
(e)
e =
VG
E1
E’1
MÉTODOS DESCRITIVOS - 
ROTAÇÃO - RETAS
Girando o ponto (H) numa reta de 
topo (e) passando por (G)
= =
e’=
e
= =
e’=
e
VG
H1
H’1
MÉTODOS DESCRITIVOS - 
ROTAÇÃO - RETAS
Girando o ponto (K) numa reta 
vertical (e) passando por (L)
= =
e’
= e
= =
e’
= e
VG
K1
K’1
MÉTODOS DESCRITIVOS 
MUDANÇA DE PLANO
Aplicada a Retas
MÉTODOS DESCRITIVOS - 
Mudança de Plano - RETAS
Como o próprio nome sugere, neste método, os planos 
vertical e horizontal mudam de posição enquanto as 
figuras ficam fixas no espaço.
Estas mudanças terão que obedecer a critérios, isto é, só 
será possível mexer com um plano de cada vez e 
sempre observando o perpendicularismo entre eles.
Para que se encontre a VG é necessário que o novo 
plano seja paralelo ao plano da figura (ou reta), ou a 
contenha.
MÉTODOS DESCRITIVOS - 
Mudança de Plano - RETAS
Se for mantido o plano horizontal de projeção, o novo 
plano será, obrigatoriamente, um plano vertical. 
Neste caso diremos que foi feita uma mudança de plano 
vertical.
Se for mantido o plano vertical de projeção, o novo 
plano será, obrigatoriamente, um plano de topo. 
Neste caso diremos que foi feita uma mudança de plano 
horizontal.
Em ambos os casos, a Linha de Terra do novo sistema 
será a intercessão do plano de projeção mantido e o plano 
de projeção criado.
Mudança de plano (vertical):
introduz-se um novo 
p l a n o , p a r a l e l o a o 
segmento, de modo que a 
projeção do segmento fique 
representada, neste novo 
plano, em VG.
O novo plano terá que 
ser perpendicular a um 
dos planos de projeção, 
(no caso, ao plano horizontal).
 97 
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(A)
(B)
A'
B'
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$¶1
 (ʌʌ¶1)
(ʌ')
(ʌ)
(ʌ¶1)
 (ʌʌ¶�
novo plano vertical, paralelo 
ao segmento
projeção vertical (original) de (A)(B)
projeção vertical de
(A)(B) no novo plano
MÉTODOS DESCRITIVOS - 
Mudança de Plano - RETAS
MÉTODOS DESCRITIVOS - 
Mudança de Plano - RETAS
MUDANÇA DE PLANO- VG SEGMENTO DE PERFIL
 90 
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�ʌ') 
B
B'
(B)
(A) 
A
A'
O0
 (ʌʌ¶1)
(ʌ'1)
B'1
A'1
A figura ao lado mostra um 
segmento de perfil (A)(B), 
bem como um plano ) 
perpendicular ao plano 
horizontal e paralelo a (A)(B).
 89 
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Os planos e constituem um 
novo sistema projetivo, onde 
( ) é a LT deste novo sistema.
 89 
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Isto significa dizer que estamos 
fazendo uma mudança de plano 
vertical, trocando por
 89 
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MÉTODOS DESCRITIVOS - 
Mudança de Plano - RETAS
 90 
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A
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(ʌ'1)
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Projetando-se (A)(B) nesse 
novo sistema, verificamos:
(i) as projeções horizontais 
não se alteram porque o 
plano foi mantido; 
 89 
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(ii) as cotas de (A) e de (B), 
após a mudança do plano 
vertical , são iguais `as 
respectivas cotas do sistema 
original.
 96 
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MÉTODOS DESCRITIVOS - 
Mudança de Plano - RETAS
Como obter a VG do seguimento, em épura, por meio de 
mudança de plano?
 91 
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1. Escolhe-se o plano que será 
alterado (vertical ou horizontal). Na 
figura foi escolhido o Vertical.
2. traçamos a linha de terra do 
novo sistema, paralela a AB. A 
distância entre elas é arbitrária, 
podendo até mesmo ser nula, isto 
é, ambaspodem ser coincidentes.
A s p r o j e ç õ e s h o r i z o n t a i s 
permanecem as mesmas.
Por quê?
MÉTODOS DESCRITIVOS - 
Mudança de Plano - RETAS
3. traçamos as novas linhas de 
chamada, a partir de A e B, 
perpendiculares `a nova linha de 
terra (ou LT do novo sistema). 
4. como o plano horizontal é o 
mesmo em ambos os sistemas, 
as cotas de (A) e (B) não se 
alteram.
Assim, as cotas de (A) e (B) são 
marcadas a partir da nova LT, 
sobre as linhas de chamada do 
novo sistema.
 91 
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MÉTODOS DESCRITIVOS - 
Mudança de Plano - RETAS
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Mudança de Plano - RETAS
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MUDANÇA DE PLANO- VG SEGMENTO GENÉRICO
MÉTODOS DESCRITIVOS - 
Mudança de Plano - RETAS
 97 
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A figura ao lado mostra um 
segmento genérico (A)(B), 
bem como um plano ) 
perpendicular ao plano 
horizontal e paralelo a (A)(B).
 89 
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novo sistema projetivo, onde 
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 89 
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Isto significa dizer que estamos 
fazendo uma mudança de plano 
vertical, trocando por
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Projetando-se (A)(B) nesse 
novo sistema, verificamos:
(i) as projeções horizontais 
não se alteram porque o 
plano foi mantido; 
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(ii) as cotas de (A) e de (B), 
após a mudança do plano 
vertical , são iguais `as 
respectivas cotas do sistema 
original.
MÉTODOS DESCRITIVOS - 
Mudança de Plano - RETAS
 96 
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MÉTODOS DESCRITIVOS - 
Mudança de Plano - RETAS
1. Escolhe-se o plano que será 
alterado (vertical ou horizontal). Na 
figura foi escolhido o Vertical.
2. traçamos a linha de terra do 
novo sistema, paralela a AB. A 
distância entre elas é arbitrária, 
podendo até mesmo ser nula, isto 
é, ambas podem ser coincidentes.
A s p r o j e ç õ e s h o r i z o n t a i s 
permanecem as mesmas.
Por quê?
Como obter a VG do seguimento genérico, em épura, por meio 
de mudança de plano?
 98 
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B'
A'
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O0
MÉTODOS DESCRITIVOS - 
Mudança de Plano - RETAS
3. traçamos as novas linhas de 
chamada, a partir de A e B, 
perpendiculares `a nova linha de 
terra (ou LT do novo sistema). 
4. como o plano horizontal é o 
mesmo em ambos os sistemas, 
as cotas de (A) e (B) não se 
alteram.
Assim, as cotas de (A) e (B) são 
marcadas a partir da nova LT, 
sobre as linhas de chamada do 
novo sistema.
 98 
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VG
MÉTODOS DESCRITIVOS - 
Mudança de Plano - RETAS
 99 
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MÉTODOS DESCRITIVOS - 
Mudança de Plano - RETAS
MÉTODOS DESCRITIVOS - 
Mudança de Plano - RETAS
MÉTODOS DESCRITIVOS - 
Mudança de Plano - RETAS
Encontrar a VG dos segmentos abaixo, aplicando a mudança de 
plano (horizontal e vertical):
== = = = =
MÉTODOS DESCRITIVOS - 
Mudança de Plano - RETAS
mudança de plano VERTICAL mudança de plano HORIZONTAL
==
||
|| E’1
F’1
==
||
||
F1
E1
}
}
VG
VG
MÉTODOS DESCRITIVOS - 
Mudança de Plano - RETAS
mudança de plano VERTICAL mudança de plano HORIZONTAL
= =
\\
\\
G’1
H’1
= =
//
//
H1
G1
VG
VG
MÉTODOS DESCRITIVOS - 
Mudança de Plano - RETAS
mudança de plano VERTICAL mudança de plano HORIZONTAL
= =
\\
\\VG
K’1
L’1
= =
\\
\\
VGK1 G1