MATEMÁTICA APLICADA A BIOLOGIA I

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Matemática Aplicada à Biologia 
Prof. Evando Araújo 
Unidade II 
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Unidade II – Razões, Proporções e 
Porcentagem 
Objetivos Específicos de Aprendizagem: 
 
 Identificar e interpretar razões em situações 
práticas; 
 
 Identificar, interpretar e solucionar problemas com 
proporções; 
 
 Solucionar problemas aplicados com grandezas 
diretamente e inversamente proporcionais; 
 
 Solucionar problemas aplicados envolvendo 
porcentagens. 
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Ter um bom domínio dos conceitos de Razão, Proporção e Porcentagem é 
fundamental para diversas questões de Matemática, Química, Física, Biologia, 
e mesmo de Geografia, para cálculos básicos. 
Vamos iniciar o conteúdo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Um exemplo muito importante da utilização desta razão em biologia pode ser 
verificado no estudo do crescimento ou diminuição de uma população de uma dada 
espécie. Este é um conceito básico em Biologia e que você deve conhecer! 
O crescimento de uma população depende basicamente de duas situações: a primeira 
é a que contribui para o aumento da densidade, incluindo a taxa de natalidade e a 
taxa de imigração. A segunda ocorrência contribui para a diminuição da densidade, o 
que inclui a taxa de mortalidade e a taxa de emigração. 
A imigração está associada aos indivíduos que entram na população (indivíduos que vêm 
de outras populações e que passam a compor a população em estudo). Já a emigração está 
associada aos indivíduos que saem da população (abandono da população em estudo, 
geralmente pela procura por melhores condições de vida/sobrevivência. Contabilizados 
esses números também é possível determinar as taxas de imigração e emigração. 
Com esses conceitos, você saberia definir o que é taxa de imigração e taxa de 
emigração? 
A forma como todos esses fatores interagem é que determina se haverá crescimento 
ou diminuição da população em uma dada área e com velocidade esses fenômenos 
ocorrem. 
 
Taxa de Natalidade e Taxa de Mortalidade de uma População 
A taxa de natalidade corresponde à velocidade com que novos indivíduos são 
adicionados à população, por meio da reprodução. Sendo assim, temos a razão entre 
o número de nascidos vivos de uma determinada área ou região, por 
um determinado período de tempo, geralmente um ano. Já a taxa de mortalidade 
corresponde à velocidade com que indivíduos são eliminados da população, por 
morte (mortes por doença, parasitas, predação entre outros fatores condicionantes são 
considerados). Nesse caso temos a razão entre o número de mortes ocorridas na 
população em uma determinada área ou região por um determinado período de 
tempo. 
Em populações naturais, geralmente a taxa de mortalidade é mais alta em populações 
com alta taxa de natalidade. Uma população de ostras, por exemplo, produz milhares 
de ovos em cada estação reprodutiva, mas, dentre estes, apenas alguns formam 
indivíduos que atingem a idade adulta ou reprodutiva. Nos grandes mamíferos, 
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entretanto, a taxa de natalidade é menor do que as obtidas em populações de ostras, 
mas a taxa de mortalidade também é menor. 
 
Índice de Crescimento 
Cada uma dessas duas taxas, embora importantes, usadas de forma isolada não 
apresentam um panorama mais detalhado da dinâmica de crescimento de uma 
população. Para tanto, deve-se calcular o índice de crescimento da população (I.C.), 
definido como: 
𝐼. 𝐶. =
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑛𝑎𝑡𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑟𝑡𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
 
Atenção! Não se esqueça que para o cálculo do I.C., ambas as taxas (de natalidade e 
de mortalidade) devem ser calculadas utilizando um mesmo período de tempo. 
 Com essa nova Razão, que envolve duas outras razões, é possível obter algumas 
conclusões sobre o crescimento da população: 
 Quando a taxa de natalidade é alta e a de mortalidade é baixa, a população 
está crescendo e o índice de crescimento é maior que 1; 
 Quando a taxa de mortalidade é mais alta do que a de natalidade (condição 
inversa à primeira), a população está diminuindo e o índice é menor que 1; 
 Quando as taxas de natalidade e de mortalidade de uma dada espécie se 
aproximam, o índice de crescimento se torna próximo de 1 e dizemos que esta 
população está tendendo ao equilíbrio populacional (sem grandes variações ao 
longo do período estudado em uma dada área ou região). 
 
 
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Embora seja mais comum o uso da densidade demográfica para nos referirmos 
a seres humanos, essa notação também é muito utilizada para designar densidades 
envolvendo outros seres vivos. Nesse contexto, a densidade demográfica também é 
conhecida como Densidade Populacional ou População Relativa. A densidade 
populacional em uma dada região pode ser expressa pelo número de indivíduos ou 
pela biomassa (quantidade total de matéria viva presente na população) dividido pela 
unidade de área os superfície (no caso de uma população terrestre). 
Normalmente, para se estimar populações de plantas usamos o termo 
biomassa, enquanto para se estimar populações de animais usamos o termo número 
de indivíduos. 
Em biologia também é comum calcular a densidade populacional dividindo-se o 
número de indivíduos pela unidade de volume ao invés de dividir pela unidade de 
área. Essa situação ocorre quando o biólogo deseja calcular a densidade populacional 
de determinadas espécies que habitam ambientes aquáticos. 
Se o número de indivíduos for dividido pela área, geralmente a unidade de 
medida é (Indivíduos ou biomassa)/km2. Se for dividido pelo volume, usa-se 
geralmente (Indivíduos ou biomassa)/m3. Casos especiais, como o cálculo de 
densidades populacionais de microorganismos, por exemplo, podem requerer 
transformações nas unidades de área e volume, como transformar Km2 em cm2 ou 
transformar m3 em cm3 (ou por mL, 1cm3=1mL), visto que as áreas ou volumes de 
interesse são pequenas (por exemplo, calcular a densidade populacional de bactérias 
na superfície de um órgão de um animal). Também são comumente usados como 
medida de área, o metro (m) e o hectare (ha), e como medida de volume o quilômetro 
cúbico (Km3) e o litro (L). 
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Curva típica da densidade populacional de bactérias em função do tempo. 
 
Lembrete importante: 
Na unidade anterior, estudamos que uma população é o conjunto de todos os 
indivíduos de uma mesma espécie, que habita uma determinada área. 
Ex.: A população de tatus-bola no Nordeste brasileiro representa o conjunto de todos 
os indivíduos dessa espécie que habitam o Nordeste brasileiro; 
Ex.: A população de umbuzeiros na Zona Rural da cidade de Petrolina, representa o 
conjunto de todos os Pés de Umbú pertencentes à Zona Rural de Petrolina. 
Normalmente nos climas tropicais (e em muitas outras situações ambientais), como é 
o caso do Nordeste do Brasil, as populações não ocorrem de forma isolada. Diversas 
espécies coabitam em uma mesma área. É importante ter em mente que, na prática, é 
comum encontrarmos populações de diversas espécies habitando uma mesma área! 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 3.6 Em doislitros de água foram misturados 150 gramas de certa 
substância para se obter uma mistura homogênea. Calcule quantos gramas 
deverão ser adicionadas em 1,2 litros de água para que a mistura continue no 
padrão de homogeneidade. 
 
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Atenção !!! 
 
 
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Exercícios de Fixação 
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5. O crescimento populacional da espécie humana ocorreu de maneira 
explosiva nos últimos séculos. Cerca de 500 milhões de pessoas habitavam a 
Terra em 1650. No intervalo de dois séculos, o número de habitantes chegou 
a 1 bilhão. Entre 1850 e 1930, já era de 2 bilhões e, em 1975, 4 bilhões de 
pessoas viviam no nosso planeta. O tempo de duplicação diminuiu e, hoje 
ultrapassamos 6 bilhões de pessoas. A cada ano, 93 milhões de pessoas são 
acrescentados. Se as atuais taxas de crescimento persistirem, estima-se que 
a população humana atingirá o tamanho de 8 bilhões de pessoas em 2017. 
Pesquise em ( http://planetario.ufsc.br/dados-sobre-o-planeta/ ) qual a área 
superficial total do nosso planeta terra, bem como qual a área superficial do ambiente 
terrestre (também chamada de área total das terras emersas) (em Km2) do nosso 
planeta e calcule a densidade populacional de humanos prevista para 2017, em cada 
caso, considerando as duas áreas (área total do planeta e área das terras emersas). 
Qual das duas medidas de densidade mais se próxima da realidade para tomadas de 
decisões? Explique sua resposta. 
6. Epidemia é a situação em que ocorre aumento exagerado no número de 
casos de uma doença, em uma dada população, em uma determinada 
época. De modo geral, é causada por vírus ou bactérias, que provocam 
surtos da doença em uma determinada região. Gripe, dengue e cólera são 
doenças que costumam ter caráter epidêmico. 
Endemia é a situação em que uma doença acomete um número constante 
de indivíduos de uma população ao longo do tempo. É característica de 
doenças provocadas por vermes (esquistossomose, teníase, ascaridíase) e 
protozoários (doenças de Chagas, malária etc.). 
Já a Pandemia é uma situação em que uma epidemia ocorre 
simultaneamente em vários locais do planeta. É o caso da AIDS, por 
exemplo. 
Baseado nessas informações, dê um exemplo de uma epidemia, de uma endemia e de 
uma pandemia, obedecendo os conceitos matemáticos de razão os quais cada uma 
está relacionada (obedecer e descrever as unidades de medida corretas para cada 
uma, no espaço e no tempo). 
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7. As taxas de evolução de uma característica de uma espécie podem ser 
medidas quantitativamente. Uma das unidades usadas para se quantificar as 
taxas evolutivas é a unidade Darwin. Usando essa idéia, a taxa de evolução 
(r) de uma característica quantitativa de uma espécie pode ser calculada 
como a razão: 
𝑟 = 
[ln (x2) − ln (x1)] 
∆𝑡
 [Darwin] 
Onde r é a taxa de evolução, dada em unidades Darwin, X1 e X2 são os 
valores inicial e final da característica quantitativa em questão (por exemplo, 
tamanho dos dentes de cavalos, comprimento do crânio em uma espécie de 
canídeo, espessura da cutícula em uma determinada planta, número de 
cerdas em certa espécie de díptero, etc.), e Δt é o intervalo de tempo em 
que as mudanças ocorreram, dado em milhões de anos (106 anos). 
Se, por exemplo, a característica em questão é a espessura da cutícula em 
uma dada espécie de planta. A Cutícula Vegetal é uma cobertura de cera 
produzida pelas células epidérmicas das folhas, para proteger a planta 
contra desidratação e impermeabilidade excessiva de água. 
E, que a medida da espessura da cutícula dessa planta em um dado período 
histórico era de x1=1 mm e x2=2,718 mm, 10 milhões de anos depois. Dessa 
forma, a taxa evolutiva da planta com relação à espessura de sua cutícula é 
de: 
𝑟 =
ln(2,718) − ln (1)
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 𝐷𝑎𝑟𝑤𝑖𝑛 
𝑟 = 0,1 𝐷𝑎𝑟𝑤𝑖𝑛 
(note que ln 2,718 =𝑙𝑜𝑔𝑒
2,718e que não é necessário utilizar 106 (dos milhões) 
no denominador, visto que o Δt é dado em milhões de anos, por definição da 
unidade Darwin). 
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O tamanho médio dos dentes de um determinado ancestral de uma espécie animal era 
de 8,36 mm, enquanto a média do tamanho dos dentes de um descendente, 15 
milhões de anos depois, era de 29,07 mm. Calcule a taxa evolutiva (r) dos dentes 
desse animal nesse período de tempo, em unidades Darwin. 
 
11. Para funcionar, o nosso organismo usa energia. A quantidade de energia 
que nosso organismo precisa depende de muitos parâmetros: idade, peso, 
tamanho, sexo, atividade física, digestão, clima... Por exemplo, uma atleta 
gasta mais energia do que um sedentário. Essa energia pode ser expressa em 
calorias ou em Joule. Para repor nossas energias, precisamos ingerir 
alimentos. Quando falamos na energia que os alimentos podem nos fornecer, 
usamos uma unidade de medida maior: a quilocaloria (kcal) = 1000 calorias ou 
quilojoule (kJ)= 1000 Joules. 
 
a) Há uma razão de equivalência entre as unidades de medidas de 
energia (Calorias e Joule). Pesquise e encontre essa relação (em outras 
palavras, 1 cal equivale a quantos Joules?) 
b) Sabendo a razão entre as unidades de medida de energia, calcule 
quantas quilocalorias equivalem a 25,104 kJ. 
 
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17. 
a) Qual a porcentagem aproximada (em massa) de água no corpo humano? 
b) Esta quantidade de água varia com a idade do indivíduo? Explique. 
c) A água corresponde a quantos por cento da massa do cérebro humano? 
d) Qual a porcentagem de água na massa muscular total do corpo humano?