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EP11 MB AP 2016 1 Gabarito

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EP 11 
 
Gabarito 
 
Exercícios: 
1) Calcule: 
Solução: 
a) ln e =1 b) ln
4e
 = 4 lne = 4 
 
c) ln
e
1
 = 
11)1(ln)1(ln 1  ee
 
 
d) 
3 000.10log
 = 
3
4
1
3
4
10
3
4
1010 logloglog 3
4
3 4 
 
 
e) 
49
9
log
3
7
 = 
21)2(
3
7
)2(
3
7
7
3
7
3
loglogloglog
3
7
2
3
7
2
3
72
2
3
7 












 
 
 f) 
0001,0log
1,0
 = 
4
1
4
10)1(
10)4(
10
10
1,0
0001,0
log
log
log
log
log
log
1
4









 
Neste exercício, primeiro mudamos para a base 10. 
 
g) 5log
8 2
 =
  1255log2log2log2 355353
3
222 
 
 
h) 41 log
3 3
 = 
1243
log
33
41 3 
 
 
 i) 62 log
3 3
 = 
2
3
6
9
6:9
log
3:3
62 3 
 
(note que nos itens (h) e (i) usamos também propriedades de potências: produto e 
divisão de potências de mesma base, respectivamente) 
 
2) Sabendo que 
3)(10)( loglog  baeba
 determine: 
Solução: 
a)
)( 22log ba 
= 
13310)()()]()[( logloglog  babababa
 
 
b) 
2)(
1
log
ba 
= 
2010)2()()2()( loglog 2   baba
 
 
c) 



 













)()(
2
1
2
1
logloglogloglog
2
1
baba
ba
ba
ba
ba
ba
ba = 
= 
5,3
2
7
7
2
1
)310{
2
1

 
 
 
3) Considerando 
48,03log 
, 
84,07log 
 e sabendo que 
aa loglog
10

, 
encontre o valor aproximado de 
3,6log
. 
Solução: 
3,6log
 = 
1063
10
63
logloglog 
 (*) 
Temos que 
110log 
. Vamos calcular 
63log
. 
63log
 = 
 48,0284,032737)37( logloglogloglog 22
 
0,84 + 0,96 

 1,8 
Portanto, substituindo em (*) obtemos: 
3,6log
 

 1,8 – 1 

 0,8 
 
4) Encontre os valores reais de x que resolvem cada uma das equações abaixo: 
Solução: 
 
a) 
243
1
3 2 x
 
243
1
3 2 x
 

 
52
5
2 33
3
1
3   xx
 
Resolvendo esta equação exponencial encontraremos o valor de x procurado. 
 
Logo devemos ter: x – 2 = -5 

x = -5 + 2 

 x = -3 
 
 
b) 
 ↔ 4𝑥 =
1
2√8
 ↔ 4𝑥 =
1
2√4×2
 ↔ 4𝑥 =
1
2×2√2
 ↔ 4𝑥 =
1
2
2+
1
2
 ↔ 
(22)𝑥 =
1
2
5
2
 ↔ 22𝑥 = 2−
5
2 
Logo devemos ter: 2𝑥 = −
5
2
→ 𝑥 = −
5
4
 
 
c) 
 . Resolvendo a equação exponencial obtemos: -2x = 6 
 
d) Elevando ambos os lados a 1/5 obtemos: 
 
NOTE QUE aqui não temos uma equação exponencial. 
 
e) 
Resolvendo a equação exponencial obtemos: 3x = 9 
 
 
5) Sabendo que e sabendo que encontre um valor 
aproximado para x que torne cada uma das igualdades verdadeiras. 
 
a) 
Solução: 
 
Aplicando logaritmo de base 10 em ambos os lados da igualdade acima, obtemos: 
x64log
25,0
626 2)2(2
4
1
64)25,0( 





  x
x
x
62 22   x 3
2
6


 x
532log 
x
325  x
23232)( 55
1
5
1
5  xxx
x512log
8
9393 222)2(5128  xxx
3
3
9
 xx
510 x
 
Aplicando propriedade de logaritmo fica: 
 
Como a base do logaritmo é 10 temos e portanto: 
 
Como então usando propriedade de logaritmo podemos calcular o 
valor de x, pois 5 = . 
 
Logo, = 
 
 
b) 
Solução: 
 
Aplicando logaritmo de base 10 em ambos os lados da igualdade acima, obtemos: 
 
 
Aplicando propriedade de logaritmo fica: 
 
 (*) 
 
Como e pois , substituindo estes valores 
na igualdade (*), obtemos: 
 
x 0,3010 2 
 
Logo: 
 
510 loglog x
510 loglog x
110log 
5logx
5logx
1002 x
1002 loglog x
1002 loglog x
2100log 

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