Geometria 2

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APRENDIZAJES ESPERADOS
UNIDAD 1
El uso de los polígonos es muy variado, lo tenemos en las artes, en la arquitectura, en el ámbito comercial, etc. Y ya que hablamos de comercio, muchos logotipos de fábricas o marcas comerciales se hacen sobre la base de los polígonos, como por ejemplo Mitsubishi Motors y Chrysler Corporation. Ahora, un bello ejemplo del uso de polígonos se da en la unión de la madre naturaleza y el 
hombre. Vea usted cómo se delimitan los campos de cultivo a través de los cuadriláteros.
¿Es el estudio de los polígonos una mera abstracción teórica?
¿Recuerda usted alguna otra forma práctica del uso de los polígonos?
CUANDO LOS LADOS AUMENTAN
UNIDAD 2
Comunicación matemática
•	 Identificar	y	nombrar	los	diferentes	tipos	de	polígonos	y	cuadriláteros.
•	 Reconocer	y	representar	las	propiedades	en	los	polígonos.
Resolución de problemas
• Analizar	los	datos	disponibles	y	relacionarlos	con	los	teoremas	respectivos.
• Formular	estrategias	de	resolución	en	diferentes	tipos	de	problemas	tanto	de	polígonos	como	de	
cuadriláteros.
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Polígonos
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	identificar	y	nombrar	los	distintos	tipos	de	polígonos	así	como	sus	elementos	y	conocer	sus	
propiedades
•	 A	reconocer	y	aplicar	los	teoremas	respectivos	en	la	resolución	de	problemas	matemáticos.
El	 estudio	de	 los	polígonos	en	Geo-metría	 nos	 permite	 ampliar	 las	definiciones	 y	 generalizar	 algunas	
propiedades	del	triángulo	y	mostrar	otras	
que	nos	ayudan	para	el	normal	desarrollo	
de	 los	 temas	 subsiguientes.	 Pero	 es	
aún	más	 importante	 y	 fascinante	 el	 uso	
práctico	 que	 le	 damos	 a	 esta	 parte	 del	
curso.
Actualmente	 podemos	 encontrar	 cons-
trucciones	en	forma	de	polígonos,	como	
el	edificio	del	secretariado	de	la	defensa	
y	el	estado	mayor	de	las	fuerzas	armadas	
de	 los	EE.UU.	Pero	para	no	 ir	 tan	 lejos,	
veamos	 la	 famosa	 piedra	 de	 los	 doce	
ángulos	que	 se	 encuentra	ubicada	 en	 la	
calle	Hatun	Rumiyoc	(de	la	Roca	Mayor,	
en	castellano),	situado	en	Cusco,	Perú,	que	es	una	calle	bordeada	por	el	muro	del	que	fuera	el	
palacio	en	el	cual	habitó	Inca	Roca.	La	belleza	de	esta	roca	y	la	precisión	de	sus	empalmes	nos	
muestran	lo	ingenioso	que	fueron	nuestros	antepasados.
Razonamiento Matemático
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1
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GeometríaPolígonos
Saberes previos
•	 Las	líneas	pueden	ser	rectas,	quebradas	(o	poligonal),	curvas	o	mixtas.
•	 Se	denomina	diagonal	de	una	figura	cuando	se	unen	dos	vértices	no	consecutivos.
																												
•	 En	un	mismo	vértice,	el	ángulo	interior	y	el	ángulo	exterior	son	suplementarios.
a°q°
•	 Dado	un	triángulo,	el	ángulo	exterior	se	consigue	prolongando	uno	de	sus	lados.
A
B
C
a°
																A
B
C
b°
•	 Las	rectas	secantes	pueden	cortarse	de	diferentes	maneras:	cuando	concurren	en	un	punto,	
cortarse	dos	a	dos,	etc.
																										
Antes de entrar a la teoría, recordemos que:
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Geometría
Unidad II
1
Conceptos básicos
Elementos de un polígono
Vértices		 	 	 :	A;	B;	C;	...
Lados	 	 	 	 :	AB;	BC;	CD;	...
Ángulos	interiores	 :	i1°;	i2°;	...
Ángulos	externos	 :	e1°;	e2°;	e3°;	...
Diagonal	 	 	 :	BD;	FC;	...
Diagonal	media	 	 :	PQ;	...
Perímetro	 	 	 :	AB	+	BC	+	CD	+	...
Un	polígono	convexo	no	puede	ser	cortado	más	que	en	dos	puntos	por	una	recta	que	no	sea	un	lado.	
En	un	polígono	no	convexo,	su	contorno	puede	ser	cortado	en	más	de	dos	puntos	por	una	recta	que	
no	sea	un	lado.
Polígono	convexo Polígono	no	convexo
Otros	se	mencionan	según	su	número	de	lados.	Ejm:	polígono	de	18	lados,	polígono	de	25	lados,	etc.
Según	el	número	de	lados,	un	polígono	se	llama:
•	 Triángulo	 	 	 	 3	lados
•	 Cuadrilátero		 	 	 4	lados
•	 Pentágono	 	 	 	 5	lados
•	 Hexágono	 	 	 	 6	lados
•	 Heptágono	 	 	 	 7	lados
•	 Octógono	u	octágono	 8	lados
•	 Nonágono	o	eneágono		 9	lados
•	 Decágono	 	 	 	 10	lados
•	 Endecágono		 	 	 11	lados
•	 Dodecágono		 	 	 12	lados
•	 Pentadecágono		 	 	 15	lados
•	 Icoságono	 	 	 	 20	lados
B
A
P
F E
Q
D
C
e3°
e2°
e1°
i2°
i1°
a°
g°
r°
w°
q°
b° a°
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GeometríaPolígonos
Los	polígonos	se	clasifican	como:
• Equiángulo
	 Tiene	todos	sus	ángulos	congruentes.
	 	 i°:	ángulo	interior
	 	 e°:	ángulo	exterior
• Regular
	 Tiene	sus	lados	congruentes	y	sus	ángulos	también	congruentes.
O	→	centro
c°	→ ángulo	central
e°	→ ángulo	exterior
i°	→ ángulo	interior
• Equilátero
	 Tiene	todos	sus	lados	congruentes.
i°
i° i°
e°i°
m exterior	= 360°n
m interior	= 180°(n	 	2)
n
m exterior	= 360°nm central	=
∑ centrales	=	360º
m interior	= 180°(n	 	2)
ne°
i°
O
c°
i°
i°
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Geometría
Unidad II
1
• La	 suma	 de	 los	 ángulos	 externos	 de	 todo	
polígono	convexo	es:
• En	 un	 polígono	 convexo,	 al	 trazar	 todas	
las	 diagonales	 desde	 un	 solo	 vértice	 se	
forman:																																																												
Propiedades a usar
(n	 	2)	triángulos
∑ s	externos	=	360°
• El	 número	 de	 diagonales	 medias	 de	 todo	
polígono	es	igual	a:
NDM	=
n(n	 	1)
2
"n"	es	el	número	de	lados,	el	número	de	vértices	o	el	número	de	ángulos	interiores.
• En	 todo	 polígono,	 el	 número	máximo	 de	
diagonales	que	se	pueden	trazar	desde	un	
vértice	es:
(n	 	3)	diagonales
• La	 suma	 de	 los	 ángulos	 internos	 de	 todo	
polígono	convexo,	es	igual	a:
∑ s	interiores	=	180°(n	 	2)
• En	todo	polígono,	el	número	de	diagonales	
es	igual	a:
ND	=
n(n	 	3)
2
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GeometríaPolígonos
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x
 5
50
Síntesis teórica
Figuras	de	tres	o	más	lados,	determinadas	al	trazar	tres	o	más	
rectas	secantes	que	se	cortan	dos	a	dos.
POLÍGONOS
Tener	presente	la	suma	de	sus	ángulos,	
el	número	de	diagonales	y	las	diagonales	
desde	un	vértice.	Propiedades	en	los	
polígonos	regulares.
Clasificación Teoremas
Pueden	ser	convexas	o	no	convexas.	
También	clasifican	por	la	regularidad	
de	sus	ángulos	y/o	lados.
1.	 Calcular	la	suma	de	las	medidas	de	los	ángulos	
interiores	de	un	icoságono	convexo.
2.	 Dado	 un	 polígono	 de	 23	 lados,	 calcular	 su	
número	de	diagonales.
3.	 Graficar	y	calcular	la	medida	del	ángulo	exterior	
de	los	siguientes	polígonos:
	 •	Pentágono	regular
	 •	Hexágono	regular
4.	 Graficar	al	pentágono	regular	ABCDE	y	calcule	
la	medida	del	ángulo	ADE.
5.	 Grafique	al	hexágono	regular	ABCDEF	y	calcule	
la	medida	del	ángulo	AEF.
6.	 Si	en	un	polígono,	el	número	de	diagonales	es	
igual	al	número	de	lados,	¿de	qué	polígono	se	
trata?
7.	 Si	el	número	de	diagonales	de	un	polígono	es	
35,	calcular	la	suma	de	sus	ángulos	interiores.
8.	 En	un	polígono	convexo,	la	suma	de	sus	ángulos	
interiores	es	igual	a	seis	ángulos	rectos.	Calcular	
su	número	de	diagonales.
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Geometría
Unidad II
1
Comunicación matemática
1.	 Indicar	 si	 es	 verdadero	 (V)	 o	 falso	 (F),	 luego	
justifique	y/o	ejemplifique	su	respuesta.
	 •	 En	 un	 polígonoregular,	 la	 medida	 del	
ángulo	 central	 es	 igual	 a	 la	 medida	 del	
ángulo	exterior.
	 •	 El	 polígono	 de	 15	 lados,	 se	 denomina	
icoságono.
	 •	 Si	 todos	 los	 lados	 de	 un	 polígono	 son	
congruentes,	 entonces	 necesariamente	 el	
polígono	es	regular.
2.	 Completar:
	 Un	 polígono	 equiángulo	 es	 aquel	 donde	
todos	 sus	 ..............................................	 son	
congruentes	entre	sí.
3.	 Realice	 un	 breve	 comentario	 sobre	 la	 lectura	
proporcionada	al	inicio	del	capítulo.
Resolución de problemas
4.	 Si	 la	 suma	 de	 las	 medidas	 de	 los	 ángulos	
interiores	 de	 un	 polígono	 convexo	 es	 ocho	
veces	el	valor	de	un	ángulo	 recto,	calcular	 su	
número	de	diagonales.
5.	 En	 un	 polígono,	 el	 número	 de	 diagonales	 es	
el	 triple	 de	 su	 número	 de	 lados.	 Calcular	 el	
número	de	lados	de	dicho	polígono.
6.	 La	suma	de	los	ángulos	internos	de	un	polígono	
convexo	 es	 1.080°.	 Calcular	 el	 número	 de	
vértices	de	dicho	polígono.
7.	 Calcular	el	número	de	vértices	de	un	polígono	
convexo,	 donde	 la	 suma	 de	 sus	 ángulos	
interiores	y	exteriores	es	de	1	800°.
8.	 Si	 en	 un	 polígono	 convexo,	 el	 número	 de	
diagonales	 es	 el	 cuádruple	 del	 número	 de	
vértices,	calcular	la	suma	de	las	medidas	de	los	
ángulos	interiores.
9.	 Grafique	a	los	polígonos	regulares	ABC	y	BCDE,	
de	modo	que	DE	sea	exterior	al	polígono	ABC.	
Calcular	la	m DCA.
10.	Grafique	 a	 los	 polígonos	 regulares	 ABCDE	 y	
ABPQ,	de	modo	que	el	cuadrado	sea	interior	al	
primero.	Calcular	la	m PBC.
11.	 La	medida	del	ángulo	 interior	de	un	polígono	
regular	es	135°.	¿Cuántas	diagonales	tiene	este	
polígono?
12.	 Si	 en	 un	polígono	 regular	 el	 valor	 del	 ángulo	
interior	es	el	doble	del	ángulo	central,	¿cuál	será	
el	número	de	diagonales	de	dicho	polígono?
13.	 Si	al	número	de	diagonales	de	un	polígono	se	le	
agrega	el	número	de	lados,	se	obtiene	6.	Luego	
el	número	de	lados	es:
14.	 En	un	polígono	regular,	al	disminuirle	un	lado,	
su	 número	 de	 diagonales	 disminuye	 en	 4.	
Calcular	la	medida	de	su	ángulo	exterior.
15.	 En	un	polígono	convexo,	la	suma	de	sus	ángulos	
interiores	aumentado	en	cinco	veces	la	suma	de	
los	ángulos	internos	de	un	cuadrilátero,	nos	da	
3	600°.	Calcular	el	número	de	lados	de	dicho	
polígono.
16.	 En	un	polígono	de	25	lados,	¿cuántas	diagonales	
como	máximo	se	pueden	trazar	desde	un	vér-
tice?
17.	 En	 un	 polígono	 regular	 desde	 cuatro	 vértices	
consecutivos	 se	 pueden	 trazar	 33	 diagonales	
como	máximo.	¿Cuál	es	la	medida	de	su	ángulo	
central?
18.	 La	 figura	nos	muestra	 a	dos	polígonos	 regula-
res	ABCDE...	y	a	BCPQR...,	cuyos	números	de	
lados	son	"n"	y	"m"	respectivamente.	Calcule	la	
m PCD.	
A
B
C D
EP Q
R
Conceptos básicos Aprende más...
Geometría 4to - I Bim.indd 43 31/10/2014 11:13:28 a.m.
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
Conceptos básicos ¡Tú puedes!
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Polígonos
Aplicación cotidiana
19.	 La	 figura	 nos	 muestra	 avisos	 de	 seguridad	 de	 tránsito	 en	
carreteras.	El	primero	es	un	polígono	regular	y	el	 segundo	es	
un	polígono	equilátero	de	20	cm	de	lado.	Responder:
	 •	 ¿Cuál	es	el	valor	del	ángulo	interior	del	primer	polígono?
	 •	 ¿Cuánto	 es	 en	 centímetros	 el	 perímetro	 del	 segundo	
polígono?
1.	 En	 un	 polígono	 regular,	 desde	 seis	 vértices	
consecutivos	 se	 trazan	 como	 máximo	 92	
diagonales.	 Calcular	 el	 valor	 de	 su	 ángulo	
central.
2.	 Grafique	 al	 hexágono	 regular	 ABCDEF	 e	
interiormente	 al	 pentágono	 regular	 APQRF.	
Calcule	la	m QFE.
3.	 Si	 un	 polígono	 de	 "n"	 lados	 tuviera	 "n	 	 3"	
lados,	 tendría	 "n+3"	 diagonales	 menos.	 ¿De	
qué	polígono	se	trata?
4.	 La	diferencia	entre	el	número	de	diagonales	de	
dos	polígonos	regulares	es	de	19	y	los	valores	
de	sus	ángulos	externos	están	en	la	relación	de	
5	a	6.	Calcular	el	producto	de	los	números	de	
lados	de	ambos	polígonos.
5.	 Grafique	 a	 los	 polígonos	 regulares	 UNIDA...	
y	a	TRILCE...	de	modo	que	el	primero	sea	un	
pentadecágono,	 que	 TR	 y	 RI	 sean	 interior	 al	
primero	y	LI;	LC;	CE;...	 sean	exterior	a	dicho	
pentadecágono.	 Si	 la	m TIA=114°,	 calcular	
el	número	de	lados	del	polígono	TRILCE...
1.	 Indicar	 si	 es	 verdadero	 (V)	 o	 falso	 (F),	 luego	
justifique	y/o	ejemplifique	su	respuesta.
	 •	 En	 un	 polígono	 no	 convexo,	 la	 medida	
del	ángulo	central	es	igual	a	la	medida	del	
ángulo	exterior.
	 •	 Al	 polígono	 de	 20	 lados,	 se	 le	 denomina	
pentadecágono.
	 •	 Si	 todos	 los	 lados	de	un	polígono	 son	 con-
gruentes,	entonces	necesariamente	los	ángu-
los	del	polígono	son	congruentes	entre	sí.
2.	 La	figura	nos	muestra	avisos	de	seguridad	de	
tránsito	en	carreteras.
	
	
	 El	primero	es	un	polígono	regular	de	12	cm	de	
lado	y	el	segundo	es	un	polígono	equilátero	
de	18	cm	de	lado.	Responder:
20.	 La	figura	nos	muestra	a	un	cubo	y	como	se	construiría	
dicho	sólido	con	un	polígono	conformado	por	seis	
cuadrados	iguales.	Si	la	arista	del	cubo	mide	10	cm,	
responder:
	 •	 ¿Cómo	 se	 llama	 el	 polígono	 no	 convexo	
formado	por	los	seis	cuadrados?
	 •	 ¿Cuál	es	el	perímetro	del	polígono	no	convexo	
mostrado?
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45Central: 619-8100
Geometría
Unidad II
1
	 •	 ¿Cuál	 es	 el	 valor	 del	 ángulo	 exterior	 del	
primer	polígono?
	 •	 ¿Cuánto	es	en	centímetros	el	perímetro	del	
segundo	polígono?
	 •	 ¿Cuál	 es	 la	 longitud	 de	 la	 diagonal	 del	
primer	 polígono,	 de	 modo	 que	 dicha	
diagonal	subtienda	tres	lados	del	mismo?
3.	 Si	 la	 suma	 de	 las	 medidas	 de	 los	 ángulos	
interiores	de	un	polígono	convexo	es	10	veces	
el	valor	de	un	ángulo	recto,	calcular	su	número	
de	diagonales.
4.	 Si	en	un	polígono	el	número	de	diagonales	es		
65,	calcule	su	número	de	vértices.
5.	 Calcular	 el	 valor	 del	 ángulo	 central	 de	 un	
polígono	 regular,	 en	 el	 cual	 la	medida	 de	 su	
ángulo	interior	es	cinco	veces	la	medida	de	su	
ángulo	exterior.
6.	 En	un	octógono,	¿cuántos	triángulos	se	pueden	
contar	 al	 trazar	 todas	 las	diagonales	desde	un	
vértice?
7.	 Graficar	una	región	convexa	y	dos	regiones	no	
convexas.
8.	 Si	 en	 un	 heptágono,	 la	 suma	 de	 seis	 ángulos	
interiores	 es	 820°,	 ¿cuánto	medirá	 el	 séptimo	
ángulo?
9.	 Sea	ABCDEF	un	polígono	regular	y	EDPQ	otro	
polígono	regular	exterior	al	primero.	Calcular	la	
medida	del	ángulo	FEQ.
10.	 Sea	ABCDEF	un	polígono	regular	y	EDPQ	otro	
polígono	regular	exterior	al	primero.	Calcular	la	
medida	del	ángulo	EQF.
11.	 Si	 a	 un	 polígono	 le	 aumentamos	 un	 lado,	 el	
número	de	diagonales	aumentaría	en	3.	¿Cuán-
tos	vértices	tiene	el	segundo	polígono?
12.	Calcule	el	número	de	lados	de	un	polígono	en	
el	cual	 la	suma	de	sus	ángulos	interiores	es	el	
doble	de	la	suma	de	sus	ángulos	exteriores.
13.	 Si	 a	 un	 polígono	 se	 le	 agrega	 el	 doble	 de	 su	
número	 de	 lados,	 se	 obtiene	 36.	 Calcular	 su	
número	de	diagonales.
14.	 ¿Cuántas	diagonales	medias	tiene	el	pentágono?
15.	 Si	en	un	polígono	el	número	de	diagonales	es	
cinco	veces	el	número	de	vértices,	calcular	su	
número	de	diagonales	medias.
16.	Graficar	 al	 cuadrado	 ABCD	 y	 al	 pentágono	
regular	CDEFG,	cuyas	regiones	son	exteriores.	
Calcule	la	medida	del	ángulo	AED.
17.	Grafique	 al	 pentágono	 regular	 ABCDE,	 en	 la	
región	interior	ubique	los	puntos	"P"	y	"Q",	de	
forma	tal	que	ABPQ	sea	un	cuadrado.	Calcular	
la	medida	del	ángulo	que	forman	BD	y	PQ.
18.	ABCDEF...	es	un	polígono	regular	de	16	lados.	
Calcule	la	m BDC.
19.	ABCDEF...	es	un	icoságono	regular.	Calcule	la		
m BAC.
20.	 La	 figura	 muestra	 a	 un	 octógono	 equiángulo	
ABCDEF...,	donde:	AB=6	cm,	BC=6 2 	cm	y	
CD=8	cm.	Calcule	el	perímetro	del	cuadrilátero	
ABCD.
A
B
C D
E
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TRILCE
Colegios
2
Cuadriláteros
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	identificar	y	nombrar	los	distintos	tipos	de	cuadriláteros,	así	como	sus	elementos.	
•	 A	reconocer	sus	propiedades	generales	y	específicas.
•	 A	emplear	los	teoremas	respectivos	en	la	resolución	de	problemas	matemáticos.
En	matemática,	encontramos	diversos	juegos	que	nos	permiten	divertirnos	y	ejercitar	nuestro	ingenio.	 Para	 nosotros,	 los	 docentes,	 estos	 juegos	 son	 una	 forma	 de	 atraer	 a	 nuestros	alumnos	hacia	el	mundo	de	las	matemáticas.	Uno	de	estos	conocidos	juegos	es	el	"cuadrado	
mágico",	que	tiene	muchos	años	de	antigüedad.	
Probablemente	sea	el	genial	matemático	Leonhard	Euler	(1707-1783),	
quien	a	partir	de	estos	cuadrados	y	de	sus	trabajos	sobre	el	cálculo	de	
probabilidad	(cuadrados	latinos)	le	haya	dado	origen	al	muy	de	moda	
y	famoso	SUDOKU.
Bien,	 veamos	 cuál	 es	 la	
historia	de	estos	cuadrados:
En	 la	 antigua	 China	 se	
conocían	 unos	 cuadrados	
llamados	mágicos	desde	el	III	
milenio	a.C.,	como	atestigua	Lo	Shu.	Según	la	leyenda,	
un	cierto	día	se	produjo	el	desbordamiento	de	un	río;	la	
gente,	 temerosa,	 intentó	 hacer	 una	ofrenda	 al	 dios	 del	
río	Lo	(uno	de	los	desbordados)	para	calmar	su	ira.	Sin	
embargo,	cada	vez	que	lo	hacían,	aparecía	una	tortuga	
que	rondaba	la	ofrenda	sin	aceptarla,	hasta	que	un	chico	
se	dio	cuenta	de	las	peculiares	marcas	del	caparazón	de	
la	tortuga,	de	este	modo	pudieron	incluir	en	su	ofrenda	
la	 cantidad	pedida	 (15),	 quedando	 el	 dios	 satisfecho	 y	
volviendo	las	aguas	a	su	cauce.
4
3
8
9
5
1
2
7
6
2
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4746
TRILCE
Colegios
Unidad II
Geometría
Saberes previos
•	 Dos	ángulos	son	suplementarios,	cuando	la	suma	de	sus	medidas	es	de	180°.
a°
b°
+ =180°
•	 La	distancia	entre	dos	rectas	paralelas	es	la	perpendicular	entre	ellas	(altura).
•	 Los	ángulos	entre	líneas	paralelas	"a°"	y	"q°"	son	iguales	(	L1 // L2 ).
L1
L2
a°
q° L1
L2
a°
q°
L1 L2
a° q°
•	 Cuando	un	polígono	es	convexo	y	no	convexo.
Antes de entrar a la teoría, recordemos que:
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GeometríaCuadriláteros
Conceptos básicos
Definición:	Es	la	figura	geométrica	que	se	determina	al	trazar	cuatro	rectas	que	se	interceptan	dos	a	dos.	
Pueden	ser	convexos	o	no	convexos.
Clasificación de los cuadriláteros
Convexo No convexo (cóncavo)
• Trapezoide:	Cuadrilátero	donde	no	existe	paralelismo	entre	sus	lados	opuestos.
• Trapecio:	Cuadrilátero	que	tiene	dos	lados	paralelos	llamados	bases.
aº
bº
qº
gº
aº	+	bº	+	qº	+	gº	=360º
xºaº
qº
gº
xº=aº	+	qº	+	gº	
A
B
C
D
=
asimétrico
A
B
C
D
simétrico	o	bisósceles
AB	//	CD	;	BC	//	AD
aº
bº qº
gº
base
menor
base	mayorA
B C
D
h=Altura	del	trapecio
h
aº aº
*
*
*
Trapecio	escaleno
Trapecio	isósceles
Trapecio	rectángulo
Geometría 4to - I Bim.indd 48 31/10/2014 11:13:30 a.m.
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Geometría
Unidad II
2
• Paralelogramo:	Cuadrilátero	cuyos	lados	opuestos	son	paralelos	y	además	iguales.
Propiedades
• Romboide
• Trapecio (BC //AD) 
Demostración:
a°
a°q°
MN	es	mediana	o	base	media
MN	//	bases	y	MN=AD+BC
2
	
B
D
C
A
M N
BO=OD
AO=OC
A= C
B= D
B
D
C
A H
M E
a
a
2
a
b	-	a
b	-	a
N
b
				•	Trazemos	por	"C"	una	paralela	
a	AB	(CH	//	AB)
				•	Luego:		ME=a
	 	 	 EN=	 2
b	 	a
				•	Sumando:		 MN	=	ME+EN
	 	 	 	 MN	=	a+	 2
b	 	a
	 	 	 	 MN	=	
2
a+b
	 	 	 	 	MN=AD+BC
2
B
D
C
A
O
*
*
*
*
Romboide
Rombo
Rectángulo
Cuadrado
Geometría 4to - I Bim.indd 49 31/10/2014 11:13:31 a.m.
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GeometríaCuadriláteros
Síntesis teórica
Trapezoides
Pueden	ser	simétrico	y	
asimétrico.
Convexos
y
no	convexos
CUADRILÁTEROS
Trapecios
Pueden	ser	escaleno,	
isósceles	y	rectángulo.
Paralelogramos
Pueden	ser	romboide,	
rombo,	rectángulo	y	
cuadrado.
• Trapecio (BC 	//	AD) 
PQ	//	bases
PQ=AD	 	BC
2
	
B
D
C
A
P Q
b
a
Demostración: 				•	Prolongamos	PQ		hasta	"F"
	 ∆BDC:	QF=	 2
a
				•	∆ACD:	PF=	2
b
				•	Sumando:		 PQ+QF=PF
	 	 	 	 PQ+2
a =2
b
	 	 	 	 PQ	=	
2
b	 	a
	 	 	 	 	PQ=AD	 	BC
2
B
D
C
A
P Q
a/2 F
b
a
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Geometría
Unidad II
2
Conceptos básicosAprende más...
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x
 5
50
1.	 En	un	cuadrilátero	convexo,	tres	de	sus	ángulos	
internos	 miden	 100°;	 80°	 y	 72°.	 Calcular	 la	
medida	del	cuarto	ángulo.
2.	 Dos	 lados	 de	 un	 romboide	miden	 6	 y	 9	 cm.	
Calcular	el	valor	de	su	perímetro.
3.	 Grafique	 a	 un	 romboide	 ABCD,	 donde	 sus	
diagonales	se	corten	en	"O".	Si	AO	y	DO	miden	
8	y	6	cm	respectivamente,	calcular	la	suma	de	
sus	diagonales.
4.	 Grafique	a	un	rombo	de	modo	que	sus	diagonales	
midan	6	y	8	cm.	Calcule	su	perímetro.
5.	 Las	 bases	 de	 un	 trapecio	miden	 24	 y	 14	 cm.	
Calcule	 la	 longitud	 de	 su	 mediana	 y	 del	
segmento	 que	 une	 los	 puntos	 medios	 de	 sus	
diagonales.	Realice	un	gráfico.
6.	 Grafique	 al	 trapecio	 ABCD	 cuya	 base	 mayor	
sea	AD.	Calcule	el	valor	de	"x°",	sabiendo	que	
el	ángulo	CAD	mide	32°	y	que	el	ángulo	ACB	
mide	"2x°".
7.	 La	mediana	de	un	 trapecio	excede	en	3	cm	a	
la	base	menor.	Si	 la	base	mayor	mide	11	cm,	
calcule	la	longitud	de	su	mediana.
8.	 ABCD	 es	 un	 romboide	 y	AF	 es	 una	 bisectriz	
interior	("F"	en	BC).	Si	el	lado	CD	mide	7	cm,	
calcule	el	valor	de	"FB".
Comunicación matemática
1.	 Indicar	 si	 es	 verdadero	 (V)	 o	 falso	 (F),	 luego	
justifique	y/o	ejemplifique	su	respuesta.
	 •	 En	 todo	cuadrilátero	convexo,	 la	 suma	de	
sus	ángulos	interiores	es	de	360º.
	 •	 En	un	paralelogramo,	los	ángulos	opuestos	
son	suplementarios.
	 •	 En	 un	 trapecio,	 la	 base	 media	 se	 calcula	
como	la	semidiferencia	de	sus	bases.
2.	 Completar:
	 Un	 rombo	 es	 aquel	 cuadrilátero	 donde	 todos	
sus	 .................................................	 son	
congruentes	entre	sí.
3.	 Realice	 un	 breve	 comentario	 sobre	 la	 lectura	
proporcionada	al	inicio	del	capítulo.
Resolución de problemas
4.	 ABCD	 es	 un	 romboide	 y	AF	 es	 una	 bisectriz	
interior	("F"	en	BC).	Si	el	lado	CD	mide	7	cm	y	
el	lado	FC	mide	5	cm,	calcule	el	valor	de	"CB".
5.	 Grafique	al	 romboide	ABCD	cuyo	ángulo	 "A"	
mida	70°	e	 interiormente	grafique	al	 triángulo	
rectángulo	DRC	 de	 hipotenusa	DC,	 de	modo	
que:	CD=2RD.	Calcule	la	m RCB.
6.	 En	un	trapecio,	la	base	media	excede	en	3	cm	
a	la	base	menor.	Si	la	base	mayor	mide	14	cm,	
calcular	la	longitud	de	la	mediana.
7.	 En	un	trapecio,	el	segmento	que	une	los	puntos	
medios	 de	 las	 diagonales	 y	 la	 mediana	 se	
encuentran	en	la	relación	de	5	a	9.	Calcular	la	
relación	de	sus	bases.
8.	 Grafique	 un	 rombo	 de	 52	 cm	 de	 perímetro,	
donde	 una	 de	 sus	 diagonales	 mida	 10	 cm.	
Calcular	la	longitud	de	la	otra	diagonal.
9.	 ABCD	 es	 un	 romboide	 y	 AR	 es	 una	 bisectriz	
interior	("R"	en	BC).	Si	el	lado	CD	mide	8	cm	y	
el	lado	RC	mide	4	cm,	calcule	la	longitud	de	la	
mediana	del	trapecio	ARCD.
10.	 Sea	ABCD	un	rectángulo	tal	que	la	m ABD=70°.	
En	la	prolongación	de	DC	marque	el	punto	"P"	
y	en	 la	prolongación	de	AD	marque	el	punto	
"R",	 de	 modo	 que	 DPQR	 sea	 un	 cuadrado.	
Calcule	la	medida	del	ángulo	BDQ.Geometría 4to - I Bim.indd 51 31/10/2014 11:13:32 a.m.
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GeometríaCuadriláteros
11.	Grafique	al	trapecio	ABCD	cuyo	lado	lateral	AB	
mide	 10	 cm.	 Si	 los	 ángulos	 en	 "A"	 y	 en	 "D"	
miden	 53°	 y	 45°	 respectivamente,	 calcular	
la	 longitud	 del	 segmento	 que	 une	 los	 puntos	
medios	de	las	diagonales.
12.	 PQRS	es	un	paralelogramo,	donde:	SR=7	cm,	
SM=5	 cm	 y	QM	es	 bisectriz	 del	 ángulo PQR.	
Calcular	la	longitud	RQ.
P
R
S
Q
M
13.	 En	un	trapezoide	ABCD,	la	diagonal	AC	mide	
12	cm.	Calcular	la	suma	de	PQ	y	RS,	sabiendo	
que	"P",	"Q",	"R"	y	"S"	son	los	puntos	medios	de	
los	lados	AB,	BC,	CD	y	AD	respectivamente.
14.	Dado	un	cuadrilátero,	la	suma	de	las	longitudes	
de	 sus	 diagonales	 es	 de	 46	 cm.	 Calcular	 el	
perímetro	del	cuadrilátero	que	se	forma	al	unir	
consecutivamente	 los	 puntos	 medios	 de	 sus	
lados.
15.	 La	figura	nos	muestra	al	trapecio	rectángulo	ABCD,
	 donde:	m CMD=90°,	AM=MB,	MC=5	cm
	 y	BC+AD=13	cm.	Calcular	el	valor	de	"MD".
C
DA
M
B
16.	Grafique	 al	 trapecio	 ABCD	 cuyas	 bases	 BC	 y	
AD	midan	4	y	14	cm	respectivamente.	Trace	las	
distancias	BH	y	CF	a	 las	bisectrices	exteriores	
de	 los	 ángulos	 "A"	 y	 "D".	Calcule	 la	 longitud	
FH,	 si	 además	 los	 lados	 laterales	 del	 trapecio	
miden	6	y	8	cm.
17.	Grafique	al	cuadrado	ABCD	y	marque	los	puntos	
medios	"M"	y	"N"	de	BC 	y	CD	respectivamente.	
Calcule	la	m AQN,	siendo	"Q"	la	intersección	
de	AM	y	BN.
18.	 En	un	cuadrado	ABCD,	calcular	la	distancia	del	
punto	 medio	 de	 la	 diagonal	 AC	 al	 segmento	
DQ	("Q"	∈	AB)	sabiendo	que:	MN=8	cm	y	AM	
y	CN	son	perpendiculares	a	DQ.
Aplicación cotidiana
19.	 Julio	quiere	construirle	a	su	hija	Antonella	una	cometa	en	forma	
de	rombo,	para	lo	cual	compró	dos	porciones	de	caña	de	48	y	
14'm	de	longitud.	Estas	cañas	serán	colocadas	en	forma	diagonal	
y	 perpendiculares	 entre	 sí	 y	 sobre	 ellas	 se	 colocará	 el	 papel	
cometa	en	forma	de	rombo.	Calcular:
	 •	 La	longitud	del	lado	de	la	cometa	que	diseñará	Julio.
	 •	 El	perímetro	que	tendrá	dicha	cometa.
http://www.mamen.net/tutoriales/blend/2009/la-cometa.html
ht
tp
://
w
w
w
.m
am
en
.n
et
/
20.	 El	patio	de	la	casa	de	la	alumna	Andrea	tiene	la	
forma	de	un	trapecio	isósceles.	La	longitud	del	
lado	igual	es	de	12	m,	los	ángulos	agudos	de	la	
base	mayor	miden	60°	cada	uno	y	la	longitud	
de	 la	 base	menor	 es	 de	 7	m.	 Como	 el	 padre	
de	Andrea	va	a	realizar	unos	arreglos	al	patio,	
necesita	saber:
	 •	 Los	 otros	 dos	 ángulos	 situados	 en	 la	 base	
menor	del	patio.
	 •	 La	 longitud	 de	 la	 base	 mayor	 de	 dicho	
patio.
	 •	 El	perímetro	del	patio	para	poder	cercarlo.
ht
tp
://
es
ta
vi
llo
.w
or
dp
re
ss
.c
om
Geometría 4to - I Bim.indd 52 31/10/2014 11:13:33 a.m.
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Geometría
Unidad II
2
Practica en casa
18:10:45
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
Conceptos básicos ¡Tú puedes!
1.	 Grafique	al	cuadrado	ABCD,	en	la	prolongación	
de	AB	marque	"P"	y	en	la	prolongación	de	AP	
marque	"Q",	de	modo	que	los	segmentos	AB,	BP	
y	PQ	sean	congruentes	entre	sí.	Calcule	la	suma	
de	las	medidas	angulares	de	ABD,	BPD	y	AQD.
2.	 Sea	 ABCD	 un	 cuadrado	 y	 "M"	 y	 "N"	 puntos	
situados	en	BC	y	CD	respectivamente,	de	modo	
que	BM=NC.	Calcular	la	suma	de	las	medidas	
de	 los	 ángulos	 AQN	 y	 ADC,	 siendo	 "Q"	 la	
intersección	de	AM	y	BN.
3.	 Grafique	al	 trapecio	ABCD,	cuyas	bases	AD	y	
BC	 se	diferencian	 en	32	 cm.	 Sean	 "M"	y	 "N"	
puntos	 medios	 de	 las	 diagonales.	 Calcular	 la	
longitud	 del	 segmento	 que	 une	 los	 puntos	
medios	de	MB	y	NB.
4.	 Grafique	 al	 romboide	 ABCD	 y	 marque	 "M"	
en	 CD	 tal	 que	 la	 m AMD	 mida	 "2f°".	
La	mediatriz	 de	 BM	 corta	 a	 AM	 en	 "Q"	 y	 a	
DA	 en	 "F".	 Si	 los	 segmentos	QM	 y	 CD	 son	
congruentes,	calcular	la	m AQF.
5.	 En	 la	 figura,	 ABCD	 es	 un	 rectángulo	 ("O"	
intersección	 de	 las	 diagonales).	 Si:	OCFE	 es	
un	cuadrado	y	MB=a,	calcular	"EL".
O
L
E
F
C
DA
MB
1.	 ABCD	 es	 un	 romboide	 y	AF	 es	 una	 bisectriz	
interior	("F"	en	BC).	Si	el	lado	CD	mide	9	cm	y	
el	lado	FC	mide	6	cm,	calcule	el	valor	de	"AD".
2.	 Grafique	al	 romboide	ABCD	cuyo	ángulo	 "A"	
mida	74°	e	 interiormente	grafique	al	 triángulo	
rectángulo	 DRC	 de	 hipotenusa	 DC	 de	 modo	
que:	CD=2RD.	Calcule	la	m RCB.
3.	 En	un	trapecio,	la	base	media	excede	en	2	cm	
a	la	base	menor.	Si	la	base	mayor	mide	12	cm,	
calcular	la	longitud	de	la	mediana.
4.	 En	un	trapecio,	la	base	mayor	excede	en	10	cm	
al	 segmento	 que	 une	 los	 puntos	 medios	 de	
las	 diagonales.	 Si	 la	 base	 menor	 mide	 4	 cm,	
calcular	la	longitud	de	la	base	mayor.
5.	 En	un	trapecio	rectángulo,	las	bases	miden	4	y	
12	cm.	Si	el	lado	recto	mide	6	cm,	calcular	la	
longitud	del	lado	oblicuo.
6.	 En	un	trapecio	rectángulo,	las	bases	miden	4	y	
16	cm.	Si	el	lado	recto	mide	5	cm,	calcular	el	
perímetro	de	este	trapecio.
7.	 Las	 diagonales	 de	un	 rombo	miden	2	 y	 4	 cm.	
Calcular	su	perímetro.
8.	 El	 perímetro	 de	 un	 rombo	 es	 de	 40	 cm	 y	 la	
diagonal	mayor	mide	16	cm.	Calcule	la	diagonal	
menor.
9.	 Luz	 quiere	 construirle	 a	 su	 hija	 Andrea	 una	
cometa	en	forma	de	rombo,	para	lo	cual	compró	
dos	porciones	de	caña	de	32	y	60m	de	longitud.	
Estas	cañas	serán	colocadas	en	forma	diagonal	y	
perpendiculares	entre	sí.	Sobre	ellas	se	colocará	
el	papel	cometa	en	forma	de	rombo.	Calcular:
	 •	 La	 longitud	 del	 lado	 de	 la	 cometa	 que	
construirá	Luz.
	 •	 El	perímetro	que	tendrá	dicha	cometa.
10.	 PQRS	 es	 un	 paralelogramo,	 donde:	 SR=9	 cm,	
SM=7	cm	y	QM	es	bisectriz	del	ángulo	PQR.	
Calcular	la	longitud	QR.
P
R
S
Q
M
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Cuadriláteros
11.	Grafique	 al	 trapecio	 rectángulo	 ABCD	
(m A	=	m B=90°),	de	modo	que	la	suma	
de	sus	bases	mida	20	cm	y	marque	"M"	punto	
medio	de	AB.	Si:	MC=6	cm	y	m MCD=90°,	
calcular	la	longitud	CD.
12.	 La	 figura	 nos	 muestra	 al	 trapecio	 rectángulo	
ABCD,	 donde:	 m CMD=90°,	 AM=MB,	
MC=7	 cm	 y	 BC	 +	 AD=25	 cm.	 Calcular	 el	
valor	de	"MD".
C
DA
M
B
13.	Grafique	al	 trapecio	ABCD	cuyas	bases	 BC	y	
AD	midan	 5	 y	 14	 cm	 respectivamente.	 Trace	
BH	 perpendicular	 a	 la	 bisectriz	 interior	 del	
ángulo	 "A".	Calcule	 la	 distancia	 de	 "H"	hacia	
el	punto	medio	del	lado	CD,	además	considere	
que:	AB=8	cm.
14.	Grafique	al	cuadrilátero	ABCD	de	modo	que:	
m B=90°,	BD=DC	y	que	AC	biseca	a	BD	en	
"P".	 Calcular	 el	 valor	 de	 "PC",	 sabiendo	 que:	
PA=4	cm.
15.	Grafique	 al	 romboide	 ABCD	 e	 interiormente	
grafique	 al	 triángulo	 equilátero	 DCF.	 Si	 el	
ángulo	BCF	mide	22°,	calcular	la	m BAD.
16.	Grafique	al	cuadrado	ABCD,	marque	los	puntos	
medios	"M"	y	"N"	de	BC 	y	CD	respectivamente	
y	 sea	 "Q"	 la	 intersección	 de	 AM	 y	 BN.	 Si	 la	
longitud	DQ	mide	2 5 	cm,	calcular	el	perímetro	
del	cuadrado	ABCD.
17.	ABCD	es	un	 romboide.	Hallar	 "BF",	 sabiendo	
que:	BC=10	y	CD=6.
	 A
C
D
q°
q°
B
F
E
18.	 Se	tiene	un	trapezoide	simétrico	ABCD,	donde:	
AB=AD,	en	la	región	exterior	al	trapezoide	se	
	 toma	el	punto	"S",	tal	que	BS 	y	AC	se	interceptan	
en	"R".	Si:	BS=12	y	m CBS=m DCS,	calcular	
la	 medida	 del	 segmento	 que	 une	 los	 puntos	
medios	de	RC	y	DS.
19.	ABCD	es	un	trapecio,	tal	que:	m A+m D=90°.	
(BC	//	AD	y	BC<AD).	Si	"M"	y	"N"	son	puntos	
medios	de	BC	y	AD	respectivamente	y	m B=128°,	
determinar	la	m MNA.
20.	 En	 un	 trapecio	 ABCD	 de	 bases	 BC	 y	 AD;	
AB=AD=8m.	Desde	"M"	punto	medio	de	CD	
se	traza	MF	perpendicular	a	AB,	("F"	en	AB)	tal	
que:	AF=7m	y	MF=4m.	Calcular	"BC".
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