Geometria 4

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Geometría
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APRENDIZAJES ESPERADOS
UNIDAD 1
De todos los puntos que vamos a estudiar en Geometría, hay uno en especial que tiene relación con nuestro peso y equilibrio. En nuestros trabajos del curso de Física representamos el peso en un punto, sin embargo sabemos que no es real, ya que el peso está distribuido por todo el espacio físico ocupado por el cuerpo. Este punto característico, que es el punto de aplicación 
del peso en el cuerpo, se llama "Centro de Gravedad".
 Muchos cuerpos reales tienen una forma geométrica definida y para entender la aplicación de su centro 
de gravedad, tenemos que hacer uso de la Matemática y la Física que van juntas y muchas veces de la 
mano.
LOS PUNTOS Y LAS PROPORCIONES 
DE LA GEOMETRÍA
UNIDAD 4
Comunicación matemática
•	 Identificar	los	puntos	notables	asociados	al	triángulo.
•	 Reconocer	e	interpretar	las	proporciones	en	Geometría.
Resolución de problemas
• Analizar	los	datos	disponibles	y	relacionarlos	con	los	teoremas	respectivos	de	proporcionalidad	
o	semejanza.
• Formular	estrategias	de	resolución	en	diferentes	tipos	de	problemas,	relacionados	a	semejanza	
y	proporcionalidad.
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1
Puntos notables
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	 identificar	 los	 puntos	 notables	 que	 se	 determinan	 a	 través	 de	 las	 líneas	 asociadas	 a	 un	
triángulo.
•	 A	reconocer	y	aplicar	los	teoremas	anteriores	y	actuales	al	tema,	en	la	resolución	de	problemas	
matemáticos.
De	la	lectura	de	la	unidad,	cuando	estudiamos	el	comportamiento	de	los	cuerpos	bajo	la	acción	de	la	gravedad,	nos	interesa	estudiar	el	modo	en	que	se	producen	las	rotaciones,	o	si	queremos	conocer	el	comportamiento	en	el	equilibrio	mecánico	de	los	objetos,	estas	
dos	disciplinas	son	íntimas:	la	geometría	de	los	cuerpos	determina	su	comportamiento	en	estos	
fenómenos.	Uno	de	estos	conceptos	geométricos	de	 las	 figuras	es	el	baricentro,	un	punto	que	
sustituye	 teóricamente	 toda	 una	masa	 distribuida	 en	 un	 volumen	 y	 nos	 permite	 considerar	 el	
cuerpo	como	un	solo	punto.
Por	ejemplo	todos	sabemos	que	cuando	un	objeto	
cae	 bajo	 la	 acción	 de	 la	 gravedad	 describe	 una	
parábola.	Sin	embargo	cuando	el	cuerpo	no	es	de	
forma	esférica	es	difícil	ver	dicha	parábola.	Y	es	que	
el	cuerpo	no	la	describe,	quien	lo	hace	es	su	centro	
de	 gravedad.	 El	 cuerpo	 del	 saltador	 de	 trampolín	
se	tuerce	sobre	su	eje,	pero	si	resaltamos	su	centro	
de	 gravedad	 veremos	 que	 las	 distintas	 posiciones	
dibujan	una	parábola.
Un	 segundo	 ejemplo:	 si	 se	 analiza	 el	
cuerpo	 humano,	 el	 centro	 de	 gravedad	 de	 una	 persona	 se	
sitúa	aproximadamente	a	la	altura	del	ombligo,	entre	la	5.a	 (y	
última)	vértebra	lumbar	y	la	1.a	vértebra	sacra,	en	el	punto	que	
los	médicos	denominan	L5-S1.	Este	punto,	a	la	postre,	recibirá	
el	peso	de	todo	nuestro	cuerpo	y	la	mayoría	de	los	esfuerzos	
mecánicos	 realizados	 en	 nuestra	 actividad	 física,	 trabajo	 y	
deportes.
Cuando	 la	 columna	 se	 yergue	 para	
la	 bipedestación	 (a	 diferencia	 de	
los	 cuadrúpedos	 cuya	 posición	 es	
horizontal),	 no	 solo	 todo	 el	 peso	 de	
nuestro	cuerpo	se	carga	sobre	ella	sino	
que	su	posición	vertical	hace	que	 los	
discos	intervertebrales	se	compriman	y	
se	deterioren	tanto	más	cuanto	mayor	
sea	 la	 actividad	 realizada	 (pesas,	
saltos,	carreras,	...).	Todo	lo	anterior	se	
agrava	con	la	edad	(descalcificación)	y	
los	malos	hábitos	posturales	(es	mejor	
flexionar	las	rodillas	para	recoger	algo	
del	suelo	que	doblar	la	espalda).
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GeometríaPuntos notables
Saberes previos
Antes de entrar al tema, recordemos que:
	 •	 ¿Cómo	era	la	concurrencia	de	rectas?
	 	 a)	 Dos	rectas	 	 	 	 	 	 b)				Tres	o	más	rectas
	 	 	 	 	 	 	 							
	 	 	 OJO:	Dime,	¿qué	puedes	concluir	de	las	líneas	concurrentes?
	 •	 Las	líneas	notables	en	el	triángulo	ABC:
	 	 	 	 	
Altura:	BH
Mediana:	BM
Bisectriz	interior:	AI
Bisectriz	exterior:	BE
A
I
B
C EHM
qº
qº
aº
aº
	 	 	 OJO:	¿Falta	alguna	línea	notable?
	 •	 Tres	propiedades	importantes:
	 	 a)	 	 	 	 	 	 b)				 	 	 	 			c)			
	 	 			
Bº xº
qº
qº
aº
aº
xº= Bº
2
Bº
xº qº
qº
aº
aº
xº=90º+ Bº
2
xº=90º	 	 Bº
2
Bº
xº
qºqºaº
aº
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Geometría
Unidad IV
1
Conceptos básicos
Puntos notables
•	 Baricentro:		_______________________________________________________________________
	 __________________________________________________________________________________
	 __________________________________________________________________________________
•	 Ortocentro:		______________________________________________________________________
	 __________________________________________________________________________________
	 __________________________________________________________________________________
•	 Incentro:	_________________________________________________________________________
	 __________________________________________________________________________________
	 __________________________________________________________________________________
G	→ Baricentro	o
	 		Gravicentro
G
2m
m
G
2n
n
=
=
I	→ Incentro
I
qº qº
bº
bºaºaº
r	→ Inradio
I
r
r
r
A
H
B C
H
Recuerda
este	caso
H	→ Ortocentro
H
A
B
C
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GeometríaPuntos notables
•	 Circuncentro:	_____________________________________________________________________
	 __________________________________________________________________________________
	 __________________________________________________________________________________
•	 Excentro:	_________________________________________________________________________
	 __________________________________________________________________________________
	 __________________________________________________________________________________
O
CB
A
R
O	→ Circuncentro
R	→ Circunradio
Recuerda
este	caso
O
C
B
A
R
R
RO
A
B
C
R
E	→ Excentro
	 	relativo	al		
									lado	BC
A
aº
qº
bº
aº
qº
bº
B
E
C
A
B rBC
rBC
E
C
Recuerda	que	todo	triángulo	tiene	tres	excentros.
rAB rBC
rAC
A
B
C
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Unidad IV
1
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x
 5
50
Síntesis teórica
•	 Intersección	de	las	medianas.Baricentro
PUNTOS NOTABLES
	•	 Intersección	de	las	bisectrices	interiores.
	•	 Coincide	con	el	centro	de	la	circunferencia	inscrita.Incentro
		•	 Concurrencia	de	dos	bisectrices	exteriores	y	una	interior.
		•	 Coincide	con	el	centro	de	la	circunferencia	exinscrita.Excentro
		•	 Concurrencia	de	las	alturas.Ortocentro
•	 Concurrencia	de	las	mediatrices.
•	 Coincide	con	el	centro	de	la	circunferencia	circunscrita.Circuncentro
1.	 Expresar	gráficamente	lo	que	se	le	solicita:
	 •	 Un	triángulo	PQR	y	su	incentro	"I".
	 •	 Un	 triángulo	 acutángulo	 ABC	 y	 su	
ortocentro	"H".	
	 •	 Un	triángulo	obtusángulo	ABC,	obtuso	en	
"B"	y	a	su	ortocentro	"H".
2.	 Grafique	 al	 triángulo	ABC	 y	 trace	 la	mediana	
BM,	 en	 ella	 marque	 el	 baricentro	 "G".	 Si:	
GM=5	cm	y	BG=(x	 	1)	cm,	calcule	el	valor	
de	"x".
3.	 Grafique	 al	 triángulo	ABC,	 trace	 las	medianasAM	y	BN	que	se	interceptan	en	"G".	Calcular	
la	suma	de	las	longitudes	de	dichas	medianas,	
sabiendo	que:	GM=2	cm	y	GN=3	cm.
4.	 Sea	ABC	un	triángulo	de	incentro	"I",	calcular	la	
m AIC,	sabiendo	que	el	ángulo	ABC	mide	70º.
5.	 Sea	ABC	un	triángulo	de	incentro	"I".	Calcular	
la	m ABC,	sabiendo	que	el	ángulo	AIC	mide	
100º.
6.	 Sea	ABC	un	triángulo	acutángulo	de	ortocentro	
"H".	 Calcular	 la	 m AHC,	 sabiendo	 que	 el	
ángulo	ABC	mide	82º.
7.	 En	el	triángulo	acutángulo	ABC,	trace	las	alturas	
AE	y	CF.	Si	el	ángulo	AHF	mide	48º,	calcular	la	
m ABC,	sabiendo	que	"H"	es	el	ortocentro	del	
triángulo	ABC.
8.	 Grafique	 al	 triángulo	 obtusángulo	 ABC,	 de	
modo	que	su	ángulo	ABC	mida	130º	y	que	"H"	
sea	su	ortocentro.	Calcular	la	m AHC.
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GeometríaPuntos notables
Conceptos básicosAprende más...
Comunicación matemática
1.	 Expresar	 gráficamente	 lo	 que	 se	 le	 solicita	 en	
cada	caso:
	 •	 Un	triángulo	PQR	y	su	baricentro	"G".
	 •	 Un	 triángulo	 acutángulo	 ABC	 y	 su	
circuncentro	"O".
	 •	 Un	triángulo	obtusángulo	ABC,	obtuso	en	
"B"	y	a	su	circuncentro	"H".
2.	 Indicar	 si	 es	 verdadero	 (V)	 o	 falso	 (F),	 luego	
justifique	y/o	ejemplifique	su	respuesta:
	 •	 El	 incentro	de	un	 triángulo	es	 siempre	un	
punto	interior	a	él.	
	 •	 El	 ortocentro	 de	 un	 triángulo	 puede	 estar	
situado	en	uno	de	sus	vértices.
	 •	 El	 baricentro	 de	 un	 triángulo	 divide	 a	
cualquiera	de	sus	medianas	en	la	relación	
de	uno	es	a	tres.
3.	 Completar	convenientemente:
m AIC=
B
A C
I
aº
wº
wº
bº
bº
m BEC=
B
A C
E
aº
wº
wº
bº
bº
4.	 Realice	 un	 breve	 comentario	 sobre	 la	 lectura	
proporcionada,	al	inicio	del	capítulo.
Resolución de problemas
5.	 Grafique	al	triángulo	ABC	y	trace	las	medianas	
AM 	 y	 BN	 perpendiculares	 entre	 sí,	 que	 se	
interceptan	en	"G".	Calcular	el	valor	de	"AB",	
sabiendo	que:	AG=6	cm	y	NG=4	cm.
6.	 Dado	el	triángulo	ABC	de	incentro	"I",	se	tiene	
que	 el	 ángulo	 AIC	 excede	 al	 ángulo	 ABC	 en	
30°.	Calcular	la	m ABC.
7.	 Grafique	al	triángulo	ABC	y	marque	el	excentro	
"E"	relativo	al	lado	AC.	Si	la	medida	del	ángulo	
exterior	en	"B"	es	de	110°,	calcular	la	m AEC.
8.	 Grafique	al	triángulo	ABC,	marque	el	excentro	"E"	
relativo	al	lado	AC	y	el	incentro	"I".	Si	la	medida	
del	ángulo	AIC	es	de	130°,	calcular	la	m AEC.
9.	 Grafique	 al	 triángulo	 acutángulo	 ABC	 y	 a	 su	
circunferencia	 circunscrita,	 luego	 ubique	 el	
circuncentro	"F"	y	calcule	la	m AFC.	Considere	
que	la	m ABC	mide	76º.
10.	Grafique	 al	 triángulo	 acutángulo	 ABC	 de	 cir-
cuncentro	"O"	y	calcule	la	m OAC,	sabiendo	
que	el	ángulo	ABC	mide	70°.
11.	Grafique	al	triángulo	acutángulo	ABC	y	marque	
el	ortocentro	"H".	Si	la	m AHB	es	el	triple	de	
la	m C,	calcular	la	m AHB.
12.	 En	 un	 triángulo	 rectángulo,	 la	 distancia	 del	
baricentro	al	circuncentro	mide	7	dm.	Calcular	
la	longitud	de	la	hipotenusa.
13.	Grafique	al	triángulo	ABC	y	trace	las	medianas	
AM	y	BN	perpendiculares	entre	sí.	Si	las	longi-
tudes	 de	 dichas	 medianas	 miden	 9	 y	 12.dm,	
calcular	el	valor	de	"BM".
14.	ABC	es	un	triángulo	acutángulo	de	circuncentro	
"O".	Calcular	la	m B,	si	el	ángulo	AOC	es	el	
complemento	del	ángulo	ABC.
15.	 EFG	es	un	triángulo	acutángulo	de	ortocentro	"H".	
Si	las	medidas	de	los	ángulos	EHF	y	EGF	están	en	
la	relación	de	5	a	4,	calcular	la	m EGF.
16.	Grafique	al	triángulo	acutángulo	ABC	de	ortocen-
tro	"H"	y	circuncentro	"O".	Si	los	ángulos	AHC	
y	AOC	son	congruentes,	calcular	la	m ABC.
17.	Grafique	 al	 triángulo	 acutángulo	 ABC	 de	
13'cm	 de	 circunradio,	 donde	 la	 distancia	 del	
circuncentro	 al	 lado	 AC	 es	 5	 cm.	 Calcule	 la	
longitud	del	lado	AC.
18.	 En	un	triángulo	rectángulo	los	catetos	miden	6		
y	8	cm.	Calcular	la	distancia	entre	su	incentro	y	
circuncentro.
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Geometría
Unidad IV
1
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
Conceptos básicos¡Tú puedes!
Aplicación cotidiana
19.	Un	 centro	 comercial	 se	 va	 a	 construir	 de	 modo	
que	se	encuentre	rodeado	por	tres	grandes	franjas	
que	servirán	como	playa	de	estacionamiento	y	en	
la	región	triangular	que	estas	franjas	delimitan,	se	
construirá	el	centro	comercial.	Sea	"O"	el	punto	 imaginario	donde	concurren	 las	 tres	entradas	que	
nacen	en	estas	franjas	y	nos	llevan	al	centro	comercial,	de	modo	que	estas	entradas	sean	las	más	cortas	
y	se	encuentren	a	igual	distancia	entre	"O"	y	las	franjas.
	 Conteste	lo	siguiente:
	 •		¿Qué	punto	notable	es	"O"?
	 •		¿Por	qué	motivo	aseguraría	usted	que	"O"	estaría	a	igual	distancia	de	las	tres	franjas?
20.	Un	parque	de	diversiones	contrata	a	un	ingeniero	para	que	ubique	
y	construya	una	boletería,	de	modo	que	dicha	boletería	equidiste	de	
tres	juegos	situados	de	forma	no	colineal	(carrusel,	montaña	rusa	y	
carros	chocones),	para	que	de	esta	forma	la	afluencia	de	personas	sea	
rápida	y	la	mayor	cantidad	posible.
	 Ayude	 usted	 al	 ingeniero	 a	 ubicar	 dicho	 punto,	 contestando	 lo	
siguiente:
	 •	 	 Geométricamente,	 ¿cuál	 es	 el	 nombre	 de	 dicho	 punto	 que						
equidistaría	de	los	otros	tres?
	 •			 ¿Cómo	ubicaría	dicho	punto	y	por	qué	equidistaría	de	los	otros		
	 tres?
1.	 Grafique	 al	 triángulo	ABC	de	baricentro	 "G"	 y	
ubique	el	punto	exterior	"Q"	relativo	a	BC,	de	modo	
que	QB	sea	paralelo	a	CA	("Q"	se	encuentra	en	
la	 prolongación	 de	 AG).	 Calcular	 el	 valor	 de	
"AQ",	sabiendo	que	AG	mide	6 2	cm.
2.	 Grafique	 al	 cuadrilátero	 convexo	 ABEC,	
donde	se	sabe	que:	m ABC	=	m CBE=60°,															
m ACB=34°	 y	 m BCE=73°.	 Calcular	 el	
ángulo	 mayor	 que	 forman	 las	 diagonales	 del	
cuadrilátero.
3.	 "H"	y	"O"	son	el	ortocentro	y	circuncentro	del	
triángulo	 acutángulo	 ABC.	 Si	 el	 ángulo	 ABC	
mide	46°,	calcular	la	diferencia	de	los	ángulos	
AHC	y	AOC.
4.	 ABCD	 es	 un	 paralelogramo	 y	 "Q"	 es	 punto	
medio	 de	AD.	 Si	AC	 y	 BQ	 se	 interceptan	 en	
"F",	calcular:	AF/FC.
5.	 Sea	"E"	el	excentro	 relativo	a	 BC	en	el	 triángulo	
ABC.	Si:	m BEC=2	m BAC,	calcular	la	m BEC.
1.	 Indicar	 si	 es	 verdadero	 (V)	 o	 falso	 (F),	 luego	
justifique	y/o	ejemplifique	su	respuesta.
	 •	 El	excentro	de	un	triángulo	coincide	con	el	
centro	de	la	circunferencia	exinscrita.
	 •	 El	ortocentro	de	un	triángulo	es	siempre	un	
punto	interior	a	él.
	 •	 El	 incentro	 de	 un	 triángulo	 divide	 a	 cual-
quiera	de	sus	bisectrices	en	la	relación	de	
uno	es	a	dos.
2.	 Grafique	al	triángulo	ABC	y	trace	las	medianas	
AM 	 y	 BN	 perpendiculares	 entre	 sí,	 que	 se	
interceptan	 en	 "G".	 Calcular	 el	 perímetro	 del	
triángulo	 ABG,	 sabiendo	 que:	 AG=5	 cm	 y	
NG=6	cm.
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GeometríaPuntos notables
3.	 Dado	el	triángulo	ABC	de	incentro	"I",	se	tiene	
que	el	ángulo	AIC	excede	al	ángulo	ABC	en	40°.	
Calcular	la	medida	del	ángulo	exterior	en	"B".
4.	 Grafique	al	triángulo	ABC,	marque	el	excentro	
"E"	relativo	al	 lado	AC	y	el	 incentro	"I".	Si	 la	
medida	del	ángulo	AEC	es	de	70°,	calcular	la	
m AIC.
5.	 Un	centro	comercial	se	va	a	construir	de	modo	
que	se	encuentre	rodeado	por	tres	grandes	franjas	
que	servirán	como	playa	de	estacionamiento	y	en	
la	región	triangular	que	estas	franjas	delimitan,	se	
construirá	el	centro	comercial.	Sea	"O"	el	punto	
imaginario	 donde	 concurren	 las	 tres	 entradas	
que	nacen	en	estas	franjas	y	nos	llevan	al	centro	
comercial,	de	modo	que	estas	entradas	sean	las	
más	cortas	y	se	encuentren	a	igual	distancia	de	
"O"	yde	las	franjas.	Si	la	longitud	de	una	de	estas	
entradas	es	de	25	m,	indique:
	 •	 ¿Qué	punto	notable	es	"O"?
	 •	 ¿Cuánto	 es	 la	 suma	 de	 las	 longitudes	 de	
la	 otras	 dos	 entradas	 diseñadas	 en	 estas	
condiciones?
6.	 Grafique	 al	 triángulo	 acutángulo	 ABC	 y	 a	 su	
circunferencia	 circunscrita,	 ubique	 el	 circun-
centro	"F"	y	calcule	la	m ABC,	sabiendo	que	
la	m AFC	es	124°.
7.	 Grafique	al	triángulo	acutángulo	ABC	y	ubique	a	
su	circuncentro	"O".	Si	los	ángulos	OAC	y	OBA	
miden	25°	y	30°	respectivamente,	calcular	la	
m OBC.
8.	 Graficar	al	triángulo	acutángulo	ABC	y	marque	
el	ortocentro	"H".	Si	la	m AHB	y	la	m C	se	
encuentran	en	la	relación	de	3	a	2,	calcular	la	
m AHB.
9.	 Dado	 el	 triángulo	 acutángulo	 ABC,	 trace	 las	
alturas	BQ	y	AE 	que	se	cortan	en	"F".	Si	la	
	 m BFE	es	48°,	calcule	la	medida	del	ángulo	
exterior	en	"C".
10.	Grafique	al	triángulo	ABC	y	trace	las	medianas	
AM 	y	BN	("G"	es	baricentro).	Si:	GN=9'dm	y	
AG=14'dm,	 calcule	 la	 suma	de	 estas	media-
nas.
11.	Sea	"E"	el	excentro	del	triángulo	ABC,	rela-
tivo	a	CA.	 Si:	m ABC=2m AEC,	calcule	 la	
m ABC.
12.	Sea	"H"	el	ortocentro	del	 triángulo	acután-
gulo	 ABC.	 Si:	m ACB/m AHB=4/5,	 calcule	
la	m AHB.
13.	ABCD	 es	 un	 paralelogramo	 donde	 "R"	 es	
punto	medio	de	AD.	Si	BR	y	AC	se	interceptan	
en	"O",	calcule:	OB/OR.
14.	En	el	gráfico	mostrado,	"H"	e	"I"	son	el	ortocen-
tro	e	incentro	del	triángulo	ABC.	Hallar	"q°".
A
I
H
q°
q°
B
C
15.	En	 el	 gráfico,	 "H"	 es	 el	 ortocentro	 e	 "I"	 el	
incentro,	 ambos	 del	 triángulo	 ABC.	 Si	 los	
ángulos	en	"A"	y	en	"C"	miden	70º	y	50º	en	
ese	orden,	calcular	la	m HBI.
A
IH
B
C
16.	Sea	ABC	un	triángulo	acutángulo	de	ortocentro	
"H"	donde:	3HB=4AC.	Calcular	la	m ABC.
17.	En	un	triángulo	ABC	(m B=90º),	se	sabe	que	
m AIM=90º.	Calcular	la	m CAI,	siendo	"M"	
	 el	circuncentro	e	"I"	el	incentro	del	triángulo	ABC.
18.	Grafique	al	triángulo	acutángulo	ABC	y	ubique	el
	 punto	interior	"R",	tal	que:	m BAR=2m RAC,
	 m RCA=m RCB	y	AB=AR,	hallar	la	m ARC.
19.	Grafique	 al	 cuadrilátero	 convexo	ABEC,	 de	
modo	 que:	 m ABD=70º,	 m DBC=55º,	
m ADB=m BDC=60º..Calcular.el.ángulo	
menor	que	forman	las	diagonales	del	cuadri-
látero.
20.	En	un	triángulo	acutángulo	ABC,	el	ortocentro	
es	"H"	y	el	circuncentro	es	"O".	Si	HB=8	dm	y	
AC=10	dm,	hallar	el	circunradio.
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Geometría
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Geometría
Proporcionalidad
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	conocer	las	principales	propiedades	que	se	establecen	entre	líneas	proporcionales.
•	 A	aplicar	las	propiedades	de	proporcionalidad	en	la	resolución	de	problemas	matemáticos.
Uno	de	los	episodios	más	conocidos	con	respecto	a	las	pirámides,	es	el	protagonizado	por	el	matemático	griego	Thales	de	Mileto,	que	vivió	entre	los	siglos	VI	y	V	a.C.,	uno	de	los	siete	sabios	de	
Grecia.	Thales	consiguió,	de	una	manera	ingeniosa,	medir	la	altura	de	la	
Gran	Pirámide	de	Keops.
Se	 cuenta	 con	diferentes	 fuentes	 para	 este	 episodio,	 pero	 el	 relato	más	
completo	 e	 interesante,	 es	 el	 que	 aporta	 Plutarco,	 un	 griego	 que	 vivió	
durante	el	 Imperio	Romano,	 autor	de	 las	 célebres	 "Vidas	paralelas",	 en	
que	recoge	 las	vidas	de	diferentes	personajes	de	 la	historia	de	Grecia	y	
Roma.
Para	hacerlo,	Thales	se	valió	únicamente	de	un	bastón,	una	cuerda	y	un	ayudante.	Con	tan	sencillo	
utillaje,	calculó	que	la	sombra	proyectada	por	su	altura,	guardaría	una	proporción	similar	a	la	sombra	
de	la	propia	pirámide	con	respecto	a	la	altura	de	esta.
Existe	actualmente	una	publicación	denominada	El teorema del loro,	que	en	su	portada	textualmente	
indica	"Novela	para	aprender	matemáticas",	cuya	autoría	es	del	francés	Denis Guedj.	Aquí	se	relata	la	
medición	de	la	pirámide	de	Keops	por	Thales	de	Mileto:
"La relación que yo establezco con mi sombra es la misma que la pirámide establece con la suya." De 
ahí dedujo: "En el mismo instante en que mi sombra sea igual que mi estatura, la sombra de la pirámide 
será igual a su altura." Hete aquí la solución que buscaba. No faltaba sino ponerla en práctica.
Thales no podía efectuar la operación solo. Necesitaban ser dos y el fellah accedió a ayudarlo. Es 
posible que sucediera de este modo. ¿Cómo llegar a saberlo?
Al día siguiente, al alba, el fellah fue hacia el monumento y se sentó bajo su sombra inmensa. Thales 
dibujó en la arena un círculo con un radio igual que su propia estatura, se situó en el centro y se puso 
de pie bien derecho. Luego fijó los ojos en el 
borde extremo de su sombra.
Cuando la sombra tocó la circunferencia, es 
decir, cuando la longitud de la sombra fue 
igual a su estatura, dio un grito convenido. El 
fellah, atento, plantó un palo inmediatamen-
te en el lugar donde estaba el extremo de la 
sombra de la pirámide. Thales corrió hacia el 
palo.
Sin intercambiar una sola palabra, con la ayu-
da de una cuerda bien tensa, midieron la dis-
tancia que separaba el palo de la base de la 
pirámide y supieron la altura de la pirámide".
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GeometríaProporcionalidad
Saberes previos
Antes de entrar al tema, recordemos que:
•	 Las	bisectrices	en	un	triángulo.
	 	 a)	 Interior	 	 	 	 	 	 b)				Exterior
	 	 	 A
I
B
C
aº
aº
	 	 							A E
B
C
qº
qº
•	 Rectas	paralelas	y	rectas	paralelas	con	una	o	más	transversales.
	 	 a)	
L1
L2
L3
	 	 b)				
L1
L2
L3
	
•	 El	incentro
incentro
A
B
C
qº qº
aº
aº
•	 El	cevacentro
cevacentro
A
B
C
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Geometría
Unidad IV
Geometría 2
Conceptos básicos
RA L1
L2
L3
QB
SC
Teorema de Thales
Propiedad de la bisectriz
Bisectriz interior
Teorema del incentro
Si:	"I"	es	incentro	⇒
Bisectriz exterior
Teorema de ceva
Si:	AP;	BQ	y	CD
son	cevianas	concurrentes	⇒
Corolario de Thales
Si:	 L1 // L2 // L3 ⇒ =
AB RQ
BC QS
Si:	EF//AC ⇒ =BE BF
EA FC
A
E F
B
C
aº aº
a
m n
b
=a m
b n
aº
aº
t
e
=a t
b e
a
b
abc=mnp
p
m
n
c
a
b
A
D
B
P
CQ
=x a+b
y c
qº
qº
aºaº
B
C
A
I
a
c
x
b
y
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GeometríaProporcionalidad
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x
 5
50
Síntesis teórica
TEOREMA DE THALES
Corolario
PROPORCIONALIDAD
La	propiedad	de	la	bisectriz	exterior	
nos	relaciona	dos	lados	y	los	
segmentos	determinados	por	dicha	
bisectriz.
El	teorema	de	ceva	relaciona	los	
segmentos	determinados	por	tres	
cevianas	concurrentes.
La	propiedad	de	la	bisectriz	interior	
nos	relaciona	dos	lados	y	los	
segmentos	determinados	por	la	
bisectriz	en	el	lado	opuesto.
1.	 Expresar	gráficamente	lo	que	se	indica:
	 •	 Tres	rectas	paralelas	que	son	interceptadas	
por	dos	rectas	secantes.
	 •	 Un	triángulo	ABC	y	su	bisectriz	interior	BI.
	 •	 Un	triángulo	ABC	y	su	bisectriz	exterior	BF,	
"F"	en	la	prolongación	de	AC.
2.	 Grafique	a	un	triángulo	ABC	y	trace	la	paralela	
EF 	a	AC	("E"	en	AB	y	"F"	en	BC),	de	modo	que:	
EB=12	cm,	AE=6	cm,	BF=16	cm	y	FC=(x+1)	cm.	
Calcule	el	valor	de	"x".
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Geometría
Unidad IV
Geometría 2
Conceptos básicosAprende más...
Comunicación matemática
1.	 Indicar	 si	 es	 verdadero(V)	 o	 falso	 (F),	 luego	
justifique	y/o	ejemplifique	su	respuesta.
	 •	 La	bisectriz	interior	determina	sobre	el	lado	
opuesto	 dos	 segmentos	 proporcionales	 a	
los	otros	dos	lados.
	 •	 El	 teorema	 de	 Thales	 se	 usa	 con	 rectas	
paralelas.
	 •	 La	 bisectriz	 exterior	 de	 todo	 triángulo	
siempre	corta	al	lado	opuesto.
2.	 Completar	convenientemente:
A R
B
C
qº qº
=ABBC
	 	 	 	 	
	
=AECE
A C
B
E
qº
qº
3.	 Realice	 un	 breve	 comentario	 sobre	 la	 lectura	
proporcionada	al	inicio	del	capítulo.
4.	 Completar:
	 El	 incentro	 de	 un	 triángulo	 divide	 a	 toda	
bisectriz	en	dos	segmentos	...............................
...............	a	la	suma	de	los	lados	y	al	................
..........................
Resolución de problemas
5.	 Grafique	 al	 triángulo	 ABC	 y	 trace	 la	 bisectriz	
interior	 BF.	 Si	 las	 longitudes	 de	 AB	y	 BC	 son	
proporcionales	a	3	y	5	en	ese	orden	y	AF=9	cm,	
calcular	el	valor	de	"AC".
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GeometríaProporcionalidad
6.	 Grafique	 al	 triángulo	 ABC	 y	 trace	 la	 bisectriz	
interior	 BQ.	Si	 las	 longitudes	de	AB,	BC	y	AC	
miden	6;	8	y	12	cm,	calcular	el	valor	de	"AQ".
7.	 Dado	el	triángulo	PQR,	se	tiene	que:																							
	 PQ/QR=7/4	y	QA	es	bisectriz	exterior	("A"	en	la	
prolongación	de	PR).	Calcular	el	valor	de	"PR",	
sabiendo	que	PA=21	cm.
8.	 Sea	 ABC	 un	 triángulo	 donde:	 AB=12	 cm,	
BC=8	 cm	 y	 AC=10	 cm.	 Trace	 la	 bisectriz	
exterior	 BF	 ("F"	 en	 la	 prolongación	 de	AC)	 y	
calcule	el	valor	de	"FC".
9.	 En	un	triángulo	ABC,	se	traza	la	bisectriz	interior	
BI	y	la	bisectriz	exterior	BE.	"E"	se	encuentra	en	
la	prolongación	de	AC.	Calcular	el	valor	de	"CE",	
sabiendo	que:	IA=4	cm	y	CI=2	cm.
10.	 Grafique	al	triángulo	ABC	y	trace	las	cevianas	
concurrentes	 AE,	 BF	 y	 CR.	 Calcule	 el	 valor	
de	"AF",	sabiendo	que:	AR=4	cm,	BR=6	cm,	
EB=2	cm,	CE=9	cm	y	FC=3	cm.
11.	 Dado	 el	 triángulo	 ABC,	 trace	 la	mediana	AM,		
además	las	cevianas	BF	y	CQ,	todas	concurrentes	
en	"O".	Calcular	el	valor	de	"CF",	sabiendo	que:	
QA=12	cm,	QB=8	cm	y	AF=9	cm.
12.	 Trace	las	rectas	paralelas	L1,	L2	y	L3.	Una	recta	
secante	intercepta	a	estas	en	"A",	"B"	y	"C"	respec-
tivamente.	Otra	recta	secante	intercepta	a	dichas	
paralelas	 en	 "P",	 "Q"	 y	 "R"	 respectivamente.	
Sabiendo	que:	AB=x+5,	BC=2x+2,	PQ=3x	y	
RQ=18,	calcular	el	valor	de	"x".
13.	 Grafique	 las	 rectas	 paralelas	 L1,	 L2	 y	 L3.	 Una	
recta	 secante	 intercepta	 a	 estas	 en	 "A",	 "B"	
y	 "C"	 respectivamente.	 Otra	 recta	 secante	
intercepta	a	dichas	paralelas	en	"P",	 "Q"	y	 "R"	
respectivamente.	 Sabiendo	 que:	 AB=x+5,	
BC=3x,	PQ=32/3	y	RQ=12,	calcular	el	valor	
de	"AC".
14.	 Sean	L1,	L2	y	L3	rectas	paralelas.	L4	corta	a	ellas	
en	"A",	"B"	y	"C"	respectivamente	y	L5	intercepta	
a	las	paralelas	en	"R",	"Q"	y	"S"	respectivamente	
("A"	y	"R"	pertenecen	a	L1).	Si:	AB=8,	BC=x+2,	
RQ=6	y	SQ=x	-	2,	calcule	el	valor	de	"AC".
15.	 Dado	el	triángulo	ABC,	se	sabe	que:	AB=9	dm,	
BC=12	 dm	 y	 AC=14	 dm.	 Trace	 la	 bisectriz	
interior	BF	y	marque	el	 incentro	"I".	Calcule	el	
valor	de	BI			/	FI.
16.	 Dado	el	triángulo	ABC	de	incentro	"I"	y	baricentro	
"G",	tal	que	IG	//	AC.	Calcular	el	valor	de	"AC",	
sabiendo	que:	AB=5	cm	y	BC=7	cm.
17.	 En	 el	 triángulo	 PQR	 se	 trazan	 las	 cevianas	
concurrentes	 PA,	 QB	 y	 CR	 de	 modo	 que:	
PC/QC=2/3	y	QA/RA=5/8.	Calcule	el	valor	
de:	PB/RB.
18.	 Grafique	al	 triángulo	ABC	y	trace	 las	cevianas	
concurrentes	 AF,	 BE	 y	 CM.	 Si:	 AM=6.cm,	
MB=4	cm,	FC=10	cm	y	FB=5	cm,	calcule	la	
relación	entre	EA	y	CE.
Aplicación cotidiana
19.	 El	 alumno	Alberto	 tiene	un	 listón	que	desea	dividirlo	en	
tres	partes	iguales,	para	lo	cual,	su	amiga	Fátima	le	alcanza	
la	 siguiente	 tabla.	 ¿Podrías	ayudar	a	Alberto	a	 interpretar	
dicha	tabla?
	 •	 ¿Qué	representaría	AB?
	 •	 ¿Qué	representaría	la	otra	línea	que	sale	de	"A"?
	 •	 Luego	de	tener	los	segmentos	iguales	AM ,	MN	y	NP,	
¿cómo	se	obtendrían	los	puntos	M'	y	N'	sobre	AB,	que	
lo	dividirían	en	tres	partes	iguales?
A B
A
u
B
A M' N'
M
N
P
B
A
u
M u
N u
P
B2
1
3
División	del	segmento	AB	
en	tres	partes	iguales
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Geometría
Unidad IV
Geometría 2
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
Conceptos básicos¡Tú puedes!
20.	Dos	amigos,	Julio	y	Sandro	van	a	jugar	golf.	Después	
de	un	tiempo	y	en	pleno	bogey,	Sandro	le	dice	a	
Julio:	"Julio,	tú	que	eres	matemático,	dime:	¿cómo	
se	puede	hacer	para	medir	el	 largo	del	estanque	
sin	meternos	en	él?".	 Julio	 se	queda	pensando	y	
responde:	 "Mira	 Sandro,	 lo	 que	 debemos	 hacer	
es	buscar	una	proporcionalidad",	a	lo	cual	Sandro	
responde	que	no	entiende	y	 le	 sugiere	hacer	un	
gráfico.	Julio	accede	y	realiza	el	gráfico	explicando	
lo	 siguiente:	 "Primero	 grafiquemos	 un	 triángulo	
ABC	con	AC=10	m	y	EB=3,5	m.	Luego,	trazo	ED	
paralelo	a	BC,	finalmente	mido	CD,	cuya	longitud	
es	de	3	m	y	problema	resuelto".
	 Conteste	usted	lo	siguiente:
1.	 Grafique	al	 triángulo	ABC	y	trace	 las	cevianas	
AE	y	CF	que	se	cortan	en	"R",	de	modo	que	FE	
sea	paralelo	 a	 CA .	Al	prolongar	 BR ,	 corta	 a	
AC 	en	"Q".	¿Qué	línea	notable	es	BQ	para	el	
triángulo	ABC?
2.	 El	 radio	 de	 la	 circunferencia	 inscrita	 en	
un	 triángulo	 ABC	 es	 "r"	 y	 el	 radio	 de	 la	
circunferencia	 circunscrita	 al	 mismo	 triángulo	
es	"R".	Si	"I"	es	incentro	y	BF	es	bisectriz	interior,	
hallar:	 BI	 /	 IF,	 además:	 m B=90°.	 (Dar	 la	
respuesta	en	términos	de	"R"	y	"r").
3.	 Grafique	al	triángulo	ABC	y	trace	las	cevianas	BE	
y	BF,	tal	que:	m ABE=m EBF	y	la	m EBC=90°.	
Calcular	 la	 distancia	 entre	 el	 baricentro	 y	 el	
ortocentro	 del	 triángulo	 EBC,	 sabiendo	 que:	
AE=6	cm	y	EF=4	cm.
4.	 En	un	triángulo	ABC,	se	traza	la	bisectriz	exterior	
BE	("E"	en	la	prolongación	de	 AC ).	La	ceviana	
AF	 intercepta	a	 	BE	 	en	 su	punto	medio	"M".	
Calcular	"AB",	si:	BF=12	cm	y	FC=4	cm.
5.	 En	la	figura,	m	y	n 	son	rectas	secantes:
	 AB	 //	 CD 	 //	 EF.	 Si:	 AO/2=OD/3=DF/4	 y	
BE=45,	calcular	"OB".
	
A
C
E
B
D
F
O
n m
1.	 Asociar	convenientemente	mediante	flechas:
	
Teorema	
de	Thales
Teorema	
del	incentro
Teorema	
de	ceva
																									
Cevianas
concurrentes
Rectas
paralelas
Bisectrices
interiores
2.	 Grafique	 al	 triángulo	 ABC	 y	 trace	 la	 bisectriz	
interior	AF.	Si	las	longitudes	de	AB	y	AC	son	pro-
porcionales	a	7	y	5	en	ese	orden	y	BF=9	cm,	
calcular	el	valor	de	"BC".
3.	 Grafique	 al	 triángulo	 ABC	 y	 trace	 la	 bisectriz	
interior	 BR.	Si	las	longitudes	de	AB,	BC	y	AC	
miden	9;	12	y	15	cm,	calcular	el	valor	de	"AR".
	 •	 ¿Por	qué	Julio	trazó	la	paralela	ED?
	 •	 Si	Sandro	entendió	y	calculó	el	largo	del	estanque,	¿cuál	es	dicha	longitud?
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Geometría
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GeometríaProporcionalidad
4.	 Sea	 ABC	 un	 triángulo	 donde:	 AB=15	 cm,	
BC=10	 cm	 y	 AC=12	 cm.	 Trace	 la	 bisectriz	
exterior	BQ	("Q"	en	la	prolongación	de	AC)	y	
calcule	el	valor	de	"QC".
5.	 Grafique	al	triángulo	ABC,	trace	la	mediana	
BN	y	las	cevianas	AE 	y	CF ,	todas	estas	líneas	
concurrentes	 en	 "Q".	 Calcule	 el	 valor	 de	
CE,	sabiendo	que:	BE=16	cm,	FB=18	cm	y	
AF=9	cm.
6.	 Grafique	 al	 triángulo	ABC	y	 trace	 EF	paralelo	
a	CA	("E"	en	AB	y	"F"	en	BC).	Calcule	el	valor	
de	FC,	sabiendo	que:	AE=9	cm,	FB=14	cm	y	
EB=16	cm.
7.	 Trace	 las	 rectas	 paralelas	 L1,	 L2	 y	 L3.	 Una	
recta	 secante	 intercepta	 a	 estasen	 "A",	 "B"	
y	 "C"	 respectivamente.	 Otra	 recta	 secante	
intercepta	a	dichas	paralelas	en	"P",	"Q"	y	"R"	
respectivamente.	Sabiendo	que:	AB=24,	BC=40,	
PQ=x+4	y	RQ=5x,	calcular	el	valor	de	"x".
8.	 En	 un	 triángulo	 ABC,	 se	 traza	 la	 bisectriz	
interior	 BI	 y	 la	 bisectriz	 exterior	 BE.	 "E"	 se	
encuentra	en	la	prolongación	de	AC.	Calcular	
el	 valor	 de	 CI,	 sabiendo	 que:	 IA=8	 cm	 y	
CE=12	cm.
9.	 Grafique	 las	 rectas	 paralelas	 L1,	 L2	 y	 L3.	 Una	
recta	 secante	 intercepta	 a	 estas	 en	 "A",	 "B"	
y	 "C"	 respectivamente.	 Otra	 recta	 secante	
intercepta	a	dichas	paralelas	en	"P",	"Q"	y	"R"	
respectivamente.	 Sabiendo	 que:	 AB=x+5,	
BC=3x,	PQ=10	y	QR=12,	calcular	el	valor	de	
"BC".
10.	Grafique	 al	 triángulo	 ABC,	 trace	 la	 bisectriz	
interior	BF	y	ubique	el	incentro	"I"	del	triángulo	
ABC.	 Calcule	 la	 longitud	 AC,	 sabiendo	 que:	
AB=8	cm,	BC=10	cm	y	que:	IB/FI=3/2.
11.	Dado	el	triángulo	ABC,	trace	la	bisectriz	inte-
rior	BF	y	ubique	el	incentro	"I"	del	triángulo	
ABC.	Calcule	 la	 longitud	 AB,	 sabiendo	que:	
AC=15	cm,	BC=14	cm	y	que:	IB/FI=4/3.
12.	Grafique	al	trapecio	ABCD	de	base	menor	BC	y	
donde	sus	diagonales	se	cortan	en	"O".	Calcular	
la	 longitud	OA,	 sabiendo	que:	BO/DO=5/7	y	
CO=4	cm.
13.	 La	figura	muestra	a	dos	circunferencias	secantes.	
Si:	AB=6	cm	y	BC=8	cm,	calcule	 la	 relación	
entre	PQ	y	RQ.
BA
C
R
QP
14.	Hallar	"x".
6 xA C
R
B
qº
qº
14
10
15.	 Sea	 ABC	 un	 triángulo	 isósceles	 (AC=BC)	
y	 BF	 una	 bisectriz	 interior.	 Si:	 AB=9	dm	 y	
BC=18	dm,	calcule	el	producto	de	AF	y	FC.
16.	 En	 el	 gráfico:	 ER	 //	 AF,	 RF	 //	 AC ,	 EB=14	 y	
EF=6.	Calcule	el	valor	de	CF .
A
B
C
E
FR
17.	 Si:	EF//AH;	EH//AC,	FB=4	y	HC=3,	hallar	"FH".
A
B
C
E
F
H
18.	 En	un	 triángulo	ABC,	 los	 lados	AB,	 BC	y	 AC	
miden	 6;	 12	 y	 15	 dm	 respectivamente.	 Si	 se	
traza	la	bisectriz	interior	BQ,	hallar:	AQ		. QC.
19.	 Si:	5PC=3BP,	AM=MP	y	BQ=24,	hallar	"AQ".
A
B
C
M
PQ
20.	 En	un	triángulo	ABC:	AB=3BC.	Sea	BF	una	bisec-
triz	 exterior	 ("F"	 en	 la	 prolongación	 de	AC)	 tal	
que:	AF=15	dm.	Calcule	"AC".
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Geometría
Semejanza
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	identificar	a	los	triángulos	semejantes	y	establecer	relaciones	entre	sus	elementos.
•	 A	aplicar	las	propiedades	que	se	derivan	de	semejanza,	en	la	resolución	de	problemas	matemá-
ticos.
La	 semejanza	 en	 términos	 sencillos	 es	 entendida	 como	 la	 igualdad	 de	 forma,	 pero	 con	diferencia	 de	 tamaño.	 Sus	 aplicaciones	 son	 variadas,	 desde	 el	 estudio	 matemático,	 los	diseños	y	también	algunas	aplicaciones	que	ponen	a	prueba	nuestra	habilidad	y	paciencia.	
Tal	es	el	caso	de	este	modelo	de	auto	que	se	muestra	en	la	figura.
Para	la	elaboración	de	esta	réplica,	se	in-
virtió	seis	años	y	medio	de	trabajo	uniendo	
956.000	cerillas	con	1.686	 tubos	de	pega-
mento.	 El	 resultado:	 una	 réplica	 a	 escala	
natural	 del	 Mercedes-McLaren	 MP	 4-14	
de	 fórmula	1	con	el	que	el	 finlandés	Mika	
Hakkinen	se	proclamó	campeón	del	mundo	
en	1999.	Vale	la	pena	resaltar	que	ha	sido	
dos	veces	campeón	mundial.
Para	 la	 construcción	 de	 esta	 réplica,	 es	
muy	probable	que	se	haya	tenido	que	usar	
las	 conocidas	 maquetas,	 que	 implican	 el	
concepto	de	semejanza	y	que	a	su	vez	nos	lleva	al	concepto	de	proporcionalidad.
Por	 ejemplo,	 en	 las	 construcciones	
de	 edificios,	 urbanizaciones,	 etc.,	 es	
indispensable	el	uso	de	maquetas	que	
permiten	a	las	personas	entender	mejor	
el	proyecto	y	conocer	la	situación	de	
su	futura	vivienda.	En	ellas,	las	escalas	
habituales	varían	desde	1/75	(léase	de	
1	a	75)	hasta	1/300	(léase	de	1	a	300).	
También	cabe	mencionar	que	existen	
maquetas	virtuales,	electrónicas	o	3D,	
a	los	mo-delados	en	tres	dimensiones	
asistidos	por	computadora,	los	cuales	
se	 desarrollan	 en	 base	 a	 software	
especiales	para	dicha	labor	como	por	
ejemplo:	 Autocad,	 Revit,	 3ds	 Max,	
Maya,	SketchUp,	etc.
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GeometríaSemejanza
	 •	 Se	dice	que	dos	figuras	son	semejantes	cuando	tienen	la	misma	forma	
pero	diferente	tamaño.
	 	 Ejemplos:
	 	 	 a)	 Dos	círculos
	 	
	 	 	 b)	 Dos	cubos
	 	
Saberes previos
Antes de entrar al tema, recordemos que:
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Geometría
Unidad IV
Geometría 3
Conceptos básicos
Tercer caso
Segundo casoPrimer caso
Triángulos semejantes
DABC DMNP
 
DABC
DMNP
	=	 a
m
	=	 b
n
	=	 c
p			
	=H
h
=...=K
Elementos homólogos
Casos
A C
B
ac
H
b
M P
N
mp
h
n
a° a°
q°
q°
a° a°
ak a
bk b
ak bk a
ck c
b
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GeometríaSemejanza
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x
 5
50
Síntesis teórica
La	semejanza	
de	triángulos	se	
reconoce	por	
cualquiera	de	sus	
tres	casos.
El	caso	más	usado	
para	que	dos	
triángulos	sean	
semejantes,	es	que	
tengan	dos	ángulos	
interiores	iguales	
entre	sí.
Cada	vez	que	se	trace	
en	un	triángulo	una	
paralela	a	uno	de	
sus	lados,	siempre	
se	determina	un	
triángulo	menor	
semejante	al	inicial
Triángulos semejantes
SEMEJANZA
1.	 Expresar	gráficamente	lo	que	se	le	indica:
	 •	 Dos	 figuras	 semejantes	 que	 no	 sean	
triángulos.
	 •	 Dos	 triángulos	 semejantes,	 indicando	 sus	
ángulos.
	 •	 Dado	 un	 trapecio,	 trace	 sus	 diagonales	 y	
sombree	dos	triángulos	semejantes.
2.	 La	 figura	 muestra	 a	 los	 triángulos	 semejantes	
ABC	y	PQR.	Calcular	el	valor	de	"QR",	sabiendo	
que:	BC=18	cm,	AC=16	cm	y	PR=8	cm.
Q
RP
qº aº
B
CA
qº aº
3.	 La	figura	muestra	dos	triángulos	semejantes	cuyas	
bases	miden	5	y	10	cm.	Si	las	alturas	respectivas	
miden	7	y	"x"	cm,	calcular	el	valor	de	"x".
4.	 La	 figura	 muestra	 al	 triángulo	 ABC	 y	 a	 EF	
paralelo	a	AC.	Si:	FB=5	cm,	FC=7	cm	y	AC=	18	cm,			
calcular	el	valor	de	"FE".
B
C
F
A
E
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Geometría
Unidad IV
Geometría 3
Conceptos básicos Aprende más...
5.	 Grafique	al	triángulo	ABC	y	trace	EF	paralelo	a	
AC	("E"	en	AB	y	"F"	en	BC).	Calcular	el	valor	de	
AC,	sabiendo	que:	FB=4	cm,	CF=8	cm	y	EF=5	cm.
6.	 Grafique	 al	 triángulo	 rectángulo	ABC	 (B=90º)	 y	
marque	"P"	en	 BC.	Trace	PH	perpendicular	a	 la	
hipotenusa	AC	y	calcule	el	valor	de	"AC",	sabiendo	
que:	PC=8	cm,	PH=5	cm	y	AB=15	cm.
7.	 En	 el	 gráfico,	 AB	 es	 paralelo	 a	 EF.	Calcule	 el	
valor	de	EF,	sabiendo	que:	AO=6	cm,	OF=12	cm	
y	AB=9	cm.
B
O
F
A
E
8.	 Grafique	dos	cuadrados,	donde	sus	lados	midan	
4	y	7	cm.	Responda	lo	siguiente:
	 •		¿Son	semejantes	estas	figuras?
	 •		¿En	qué	relación	se	encuentran	sus	lados?
	 •		¿En	qué	relación	se	encuentran	sus	perímetros?
Comunicación matemática
1.	 Indicar	 si	 es	 verdadero	 (V)	 o	 falso	 (F),	 luego	
justifique	y/o	ejemplifique	su	respuesta:
	 •	 Dos	 triángulos	 rectángulos	 son	 siempre	
semejantes.
	 •	 Al	 trazar	 una	 paralela	 a	 un	 lado	 de	 un	
triángulo,	 se	 determina	 otro	 triángulo	
semejante	al	inicial.
	 •	 Dos	círculos	son	figuras	semejantes.
2.	 Completar:
	 Si	 los	 lados	 de	 dos	 triángulos	 son	
proporcionales,	entonces	dichos	triángulos	son	
...............................
3.	 Observelos	 gráficos	 y	 complete	
convenientemente.
B
C
F
A
E
DEBF	.......	DABC
B
CA
E
F
ABC	 	.........
	
4.	 Grafique	lo	que	se	le	indique:
	 •	 Un	triángulo	rectángulo	y	sobre	uno	de	los	
catetos,	ubicar	un	punto	para	luego	trazar	
de	allí	una	perpendicular	a	 la	hipotenusa.	
Sombree	 los	 triángulos	 semejantes	 que	 se	
determinan.
	 •	 Al	paralelogramo	ABCD,	a	la	diagonal	AC	
y	marque	"F"	en	AD.	Después	de	unir	"F"	
con	"B",	sombree	los	triángulos	semejantes	
que	se	determinan.
	 •	 Un	triángulo	que	sea	semejante	al	de	3;	4	y	
5	cm	de	lado.
Resolución de problemas
5.	 Grafique	 al	 triángulo	ABC	 y	 trace	 PQ	paralelo	
a	AC	 ("P"	en	AB	y	"Q"	en	BC),	de	modo	que:	
QC=2QB	 y	 PQ=13	 cm.	 Calcular	 el	 valor	 de	
"AC".
6.	 Sea	ABC	un	triángulo	de	5;	6	y	7	cm	de	lados.	
Grafique	 otro	 triángulo	 semejante	 al	 anterior,	
cuyo	 perímetro	 sea	 54	 cm	 y	 calcule	 su	 lado	
mayor.
7.	 La	 figura	 muestra	 dos	 triángulos	 semejantes	
cuyos	perímetros	son	15	y	75	cm.	Si	las	alturas	
respectivas	miden	3,4	y	"x"	cm,	calcular	el	valor	
de	"x".
	
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GeometríaSemejanza
8.	 En	el	gráfico	mostrado	AB	y	EF	son	paralelas	y	
se	encuentran	en	la	relación	de	7	a	9.	Calcular	el	
valor	de	"OE",	sabiendo	que	BO	mide	14	cm.
B
O
F
A
E
9.	 ABCD	es	un	trapecio,	cuya	base	menor	BC	mide	
6.cm	 y	 donde	 sus	 diagonales	 se	 interceptan	
en	 "O".	Calcule	 la	 longitud	 de	 la	 base	mayor,	
sabiendo	que	BO	y	DO	miden	4	y	9	cm	respec-
tivamente.
10.	 ABCD	es	un	romboide	y	"E"	es	un	punto	de	BC.	Sea	
"R"	la	intersección	de	BD	con	EA,	de	modo	que:	
AR=3ER.	 Calcule	 el	 valor	 de	 "CB",	 sabiendo	
que	EB	mide	4	cm.
11.	 Grafique	 al	 triángulo	ABC	y	 trace	 PQ	paralelo	
a	AC	 ("P"	en	 AB	y	"Q"	en	 BC),	de	modo	que	
PQ	diste	4	cm	del	vértice	"B"	y	que	la	altura	BH	
mida	12	cm.	Calcular	el	valor	de	"AC",	sabiendo	
además	que	PQ	mide	5	cm.
12.	 En	 un	 triángulo	 ABC	 se	 inscribe	 el	 cuadrado	
PQRS,	 de	 modo	 que	 el	 lado	 PS	 se	 encuentre	
contenido	en	AC,	"Q"	pertenece	a	AB	y	"R"	está	
en	BC.	Si	la	altura	BH	mide	8	cm	y	la	base	AC
mide	 12	 cm,	 calcular	 la	 longitud	 del	 lado	 de	
dicho	cuadrado.
13.	 Grafique	 a	 un	 triángulo	 ABC	 e	 inscriba	 el	
cuadrado	 PQRS,	 de	 modo	 que	 el	 lado	 PS	 se	
encuentre	contenido	en	AC,	"Q"	pertenece	a	AB	
y	"R"	se	encuentra	en	BC.	Si	el	producto	de	la	
altura	BH	con	la	base	AC	es	igual	a	cuatro	veces	
la	suma	de	los	mismos,	calcular	la	longitud	del	
lado	de	dicho	cuadrado.
14.	 Los	lados	AB	y	AC	de	un	triángulo	ABC	miden	6	
y	8	cm.	Inscriba	el	rombo	APQR,	de	modo	que	
"P"	se	encuentre	en	AB,	"Q"	en	BC	y	"R"	en	AC.	
Calcule	el	lado	de	dicho	rombo.
15.	 Sea	 "P"	 el	 punto	 medio	 del	 cateto	 AB	 de	 un	
triángulo	rectángulo	ABC,	recto	en	"B",	desde	el	
cual	se	traza	la	perpendicular	PH	a	la	hipotenusa	
AC;	de	tal	manera	que:	AH=6	cm	y	HC=9	cm.	
Calcular	el	valor	de	"PB".
16.	 Una	 circunferencia	 es	 tangente	 a	 una	 recta	 y	
pasa	por	un	punto	que	dista	2	cm	de	la	tangente	
y	8'cm	del	punto	de	tangencia.	Calcule	el	radio	
de	dicha	circunferencia.
17.	Del	gráfico,	calcular	"AB",	siendo:	BC=8m,	CR=4m	
y	MC=2m.	("A"	y	"M"	puntos	de	tangencia)
B C R
M
A
18.	 En	la	figura,	calcular	"x"	en	función	de	"r"	y	"R".
	 										
R
x
r
Aplicación cotidiana
19.	 Julio	 tiene	 un	 pino	 en	 su	 jardín	 y	 desea	 calcular	
matemáticamente	 su	 altura.	 Para	 ello	 se	 da	 cuenta	
que	 el	 pino	 proyecta	 una	 sombra	 de	 3,5	m	 y	 luego	
clava	una	estaca	B'A'	que	mide	1,6	m	y	que	proyecta	
una	 sombra	 de	 0,7	m.	 Conteste	 usted	 las	 siguientes	
preguntas:
	 •	 ¿Cuál	es	el	 sustento	 teórico	que	usará	 Julio	para	
resolver	este	problema?
	 •	 ¿Cuál	es	la	altura	de	dicho	pino?
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Geometría
Unidad IV
Geometría 3
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
Conceptos básicos¡Tú puedes!
20.	 La	alumna	Luz	se	apresta	a	calcular	la	altura	de	su	casa.	
Para	ello	dispone	de	 los	siguientes	datos:	una	regla	de	
longitud	b=35	cm;	la	distancia	de	la	mesa	al	pie	de	la	
regla	es	a=50	cm;	de	la	mesa	a	la	casa	hay	una	distancia	
d=4,5	m	y	la	altura	de	la	mesa	es	de	80	cm.	Conteste	
usted	las	siguientes	preguntas.
	 •	 ¿Cuál	es	el	sustento	teórico	que	usará	Luz	para	resolver	este	problema?
	 •	 ¿Cuál	es	el	valor	de	"c"?
	 •	 ¿Cuál	es	la	altura	de	la	casa	de	Luz?	
1.	 Grafique	 al	 triángulo	 ABC	 y	 trace	 la	 bisectriz	
interior	BD.	Calcular	el	valor	de	"AB",	sabiendo	
que:	BC=18	cm,	DC=12	cm,	m ADB=63º30'	
y	que	la	distancia	de	"A"	hacia	BD	es	de	4 5	cm.
2.	 En	un	trapecio	rectángulo,	calcular	la	longitud	
de	la	distancia	del	punto	de	intersección	de	las	
diagonales	al	menor	lado	lateral,	si	las	bases	del	
trapecio	miden	2	y	3	unidades.
3.	 En	un	 triángulo	rectángulo	ABC,	recto	en	"B",	
se	 inscribe	 un	 cuadrado	 PLMN	de	modo	 que	
el	 lado	 PN		 descansa	 sobre	 la	 hipotenusa	AC.	
Calcular	"AC",	si:	LM=12	y	AP	-	NC=10.
4.	 En	un	triángulo	PQR,	inscriba	el	rombo	PEFH,	
tal	que	"E"	∈	PQ	y	"F"	∈	RQ.	Si:	PQ=a	y	PR=b,	
calcule	el	perímetro	de	dicho	rombo	en	función	
de	"a"	y	"b".
5.	 La	 base	 de	 un	 triángulo	 es	 16	 unidades	 y	 su	
altura	12	unidades.	Se	inscribe	en	este	triángulo	
un	 rectángulo	 que	 tiene	 uno	 de	 sus	 lados	
contenido	en	la	base	del	triángulo.	Calcular	las	
dimensiones	del	rectángulo,	si	su	perímetro	es	
28	unidades.
1.	 Indicar	 si	 es	 verdadero	 (V)	 o	 falso	 (F),	 luego	
justifique	y/o	ejemplifique	su	respuesta.
	 •	 Dos	 triángulos	 equiláteros	 de	 diferente	
perímetro,	serán	siempre	semejantes.
	 •	 Los	 lados	 de	 dos	 triángulos	 siempre	 son	
proporcionales.
	 •	 La	razón	de	semejanza	de	dos	figuras,	puede	
ser	entero	o	fraccionario	indistintamente.
2.	 Grafique	lo	que	se	le	indique:
	 •	 Un	 triángulo	 rectángulo	y	 sobre	un	punto	
de	 la	hipotenusa	 trazar	una	perpendicular	
al	 cateto	 mayor.	 Sombree	 los	 triángulos	
semejantes	que	se	determinan.
	 •	 Al	paralelogramo	ABCD,	a	la	diagonal	AC	
y	marque	"R"	en	AD.	Después	de	unir	"R"	
con	"B",	sombree	los	triángulos	semejantes	
que	se	determinan.
	 •	 Un	triángulo	que	sea	semejante	al	de	5;	4	y	
8	cm	de	lado.
3.	 Sea	ABC	un	triángulo	de	5;	6	y	7	cm	de	lados.	
Grafique	 otro	 triángulo	 semejante	 al	 anterior,	
cuyo	perímetro	sea	90	cm	y	calcule	la	longitud	
de	su	lado	menor.
4.	 La	 figura	 muestra	 dos	 triángulos	 semejantes	
cuyos	perímetros	son	12	y	72	cm.	Si	las	alturas	
respectivas	miden	2,5	y	"h"	cm,	calcule	el	valor	
de	"h".
	 				
5.	 ABCD	 es	 un	 romboide	 y	 "E"	 es	 un	 punto	 de	
BC.	Sea	"R"	la	 intersección	de	BD	con	EA,	de	
modo	que:	AR=3ER.	Calcule	el	valor	de	"AD",	
sabiendo	que	EC	mide	12	cm.
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Geometría
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GeometríaSemejanza
6.	 Grafique	al	 triángulo	ABC	y	 trace	PQ	paralelo	
a	AC	 ("P"	en	AB	y	"Q"	en	 BC),	de	modo	que	
PQ	diste	6	cm	del	vértice	"B"	y	que	la	altura	BH
mida	18	cm.	Calcular	el	valor	de	AC,	sabiendo	
además	que	PQ	mide	8	cm.
7.	 Antonella	 tiene	 un	 pino	 en	 su	 jardín	 y	 desea	
calcular	matemáticamente	su	altura.	Para	ello	se	
da	cuenta	que	el	pino	proyecta	una	sombra	de	
2,5	m	y	luego	clava	una	estaca	B'A'	que	mide	
1,2	m	y	que	proyecta	una	sombra	de	0,6	m.
	
	 Conteste	usted	la	siguiente	pregunta:
	 •	¿Cuál	es	la	altura	de	dicho	pino?
8.	 En	 un	 triángulo	 ABC	 se	 inscribe	 el	 cuadrado	
PQRS,	 de	modo	 que	 el	 lado	 PS				 se	 encuentre	
contenido	en	AC			,	"Q"	pertenece	a	AB				y	"R"	está	
en	 BC			.Si	 la	 altura	BH	mide	10	 cm	y	 la	 base	
AC				mide	14	cm,	calcular	la	longitud	del	lado	de	
dicho	cuadrado.
9.	 Grafique	al	 romboide	ABCD	y	marque	 "R"	en		
BC;	 AC				 y	 DR	 se	 intersectan	 en	 "Q",	 tal	 que:	
3QC=2QA	y	RC=12	dm.	Calcule	la	longitud	de	
BR.
10.	 En	un	romboide	ABCD:	3BC=4CD.	Sobre	AC	
se	ubica	el	punto	"P",	tal	que	la	distancia	de	"P"	
a	AD	mide	12m.	Hallar	la	distancia	de	"P"	a	AB.
11.	Una	 circunferencia	 es	 tangente	 a	 una	 recta	 y	
pasa	por	un	punto	que	dista	4	cm	de	la	tangente	
y	10	cm	del	punto	de	tangencia.	Hallar	el	valor	
del	radio.
12.	 Se	 grafica	 al	 triángulo	 ABC	 de	 modo	 que	 el	
ángulo	interior	en	"A"	excede	al	ángulo	interior	
en	"C"	en	90º.	Trace	 la	altura	BH	y	calcule	su	
longitud,	 sabiendo	 que	 HA	 y	 CH	 miden	 8	 y	
16.cm	respectivamente.
13.	 En	un	triángulo	ABC,	la	m B=53º	y	AC=5b.	
Hallar	el	valor	del	segmento	que	une	los	pies	de	
las	alturas	trazadas	desde	los	vértices	"A"	y	"C".
14.	 En	un	triángulo	ABC,	se	inscribe	el	rombo	PBQR	
("P"	en	AB			,	"Q"	en	BC				y	"R"	en	AC			).	Si:	AB=24	cm	
y	BC=40	cm,	hallar	el	perímetro	del	rombo.
15.	 Sobre	los	lados	AC				y	BC				de	un	triángulo	ABC,	
se	ubican	los	puntos	"M"	y	"P"	respectivamente;	
de	tal	manera	que:	MP					//	AB			,	AM=a	y	MC=b.	
Luego	se	traza	PN			//	BM				("N"	en	AC			),	calcular	
"MN".
16.	 En	 el	 gráfico:	 BH=k,	 AC=l,	 RS=b	 y	 QR=h.
Hallar:	 bl +
h
k
H
B
R
Q
S
P
A C
17.	 La	 figura	 nos	 muestra	 a	 dos	 circunferencias	
tangentes	exteriormente	en	"T".	Si:	AT/CT=5/3	
y	AB=15	cm,	calcular	la	longitud	de	CD.
B
D
C
A
T
18.	 Se	 tiene	 un	 cuadrilátero	 ABCD	 circunscrito	 a	
una	circunferencia	donde	los	lados	BC	y	AD	son	
tangentes	a	ella	en	"M"	y	"N"	respectivamente,	
tal	 que	 MN	 y	 AC	 se	 intersectan	 en	 "L".	 Si:	
LC=10;	MC=8	y	AN=4,	calcular	"AL".
19.	 En	un	 triángulo	ABC,	 se	 trazan	 las	 alturas	BH
y	 CN,	 de	 tal	 manera	 que:	 AN=12;	 BN=4	 y	
AH=9.	Calcular	"HC".
20.	 En	la	figura,	"O"	es	el	centro	de	la	semicircun-
ferencia,	CP=8;	DP=2	y	AB=8.	Calcular	"PB".
D
O
P
C
B
A
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Geometría
Síntesis teórica
Repaso
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	 reconocer	 los	 puntos	notables,	 la	 proporcionalidad	 en	Geometría	 y	 los	 triángulos	 semejantes	
estableciendo	relaciones	entre	sus	elementos.
•	 A	aplicar	las	propiedades	que	se	derivan	de	la	proporcionalidad	y	semejanza,	en	la	resolución	de	
problemas	matemáticos.
PUNTOS NOTABLES
Baricentro
Incentro
Excentro
Ortocentro
Circuncentro
PROPORCIONALIDAD
Teorema	de	
Thales
Corolario
Propiedad	de	la	
bisectriz
Ceva
SEMEJANZA
Casos	de	
semejanza
Propiedades	
básicas	
deducibles
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GeometríaRepaso
Conceptos básicosAprende más...
Comunicación matemática
1.	 Indicar	 si	 es	 verdadero	 (V)	 o	 falso	 (F),	 luego	
justifique	y/o	ejemplifique	su	respuesta:
	 •	 El	ortocentro	de	un	triángulo	es	siempre	un	
punto	interior	a	él.
	 •	 Al	trazar	una	perpendicular	desde	un	punto	
que	 pertenece	 a	 uno	 de	 los	 catetos	 hacia	
la	 hipotenusa	 de	 un	 triángulo	 rectángulo,	
se	 determina	 otro	 triángulo	 semejante	 al	
inicial.
	 •	 La	bisectriz	interior	determina	sobre	el	lado	
opuesto,	 dos	 segmentos	 proporcionales	 a	
los	otros	dos	lados.
2.	 Completar:
	 El	centro	de	gravedad	de	un	triángulo	también	
recibe	el	nombre	de	.........................................	
y	es	el	punto	de	intersección	de	las	..................
......................
Resolución de problemas
3.	 Grafique	 al	 triángulo	 ABC	 y	 trace	 la	 bisectriz	
interior	BQ.	Si	 las	 longitudes	de	AB,	 BC	y	AC	
miden	8;	10	y	12	cm,	respectivamente,	calcular	
el	valor	de	"AQ".
4.	 Dado	el	triángulo	PQR,	se	tiene	que:	PQ/QR=9/5
	 y	QA	es	bisectriz	exterior	("A"	en	la	prolongación	
de	PR).	Calcule	el	valor	de	"PR",	sabiendo	que	
PA=27	cm.
5.	 Grafique	al	triángulo	ABC,	marque	el	excentro	"E"	
relativo	al	lado	AC	y	el	incentro	"I".	Si	la	medida	
del	ángulo	AIC	es	de	142º,	calcular	la	m AEC.
6.	 Grafique	 al	 triángulo	 acutángulo	 ABC	 y	 a	 su	
circunferencia	 circunscrita.	 Ubique	 el	 circun-
centro	"F"	y	calcule	la	m AFC.	Considere	que	
la	m ABC	es	de	68º.
7.	 La	base	menor	BC	de	un	trapecio	ABCD	mide	
4,8	 cm	 y	 sus	 diagonales	 se	 cortan	 en	 "O".	
Calcular	 la	 longitud	 de	 la	 base	AD,	 sabiendo	
que:	OB/OD=3/5.
8.	 La	 base	 menor	 BC	 de	 un	 trapecio	 ABCD	
mide	6.cm	y	sus	diagonales	se	cortan	en	"O".	
Calcular	 la	 longitud	 de	 la	 base	AD,	 sabiendo	
que	la	distancia	de	"O"	hacia	BC	es	de	4	cm	y	
que	la	altura	del	trapecio	mide	13	cm.
9.	 Los	lados	AB	y	AC	de	un	triángulo	ABC	miden	
10	y	12	cm	respectivamente.	Inscriba	el	rombo	
APQR,	de	modo	que	"P"	se	encuentre	en	AB,	
"Q"	en	BC	y	"R"	en	AC.	Calcule	la	longitud	del	
lado	de	dicho	rombo.
10.	 La	razón	de	semejanza	de	dos	triángulos	es	de	
4/7	y	 la	 longitud	del	 lado	mayor	del	 triángulo	
mayor	 es	 de	 35	 cm.	 Calcular	 la	 longitud	 del	
lado	mayor	del	otro	triángulo.
11.	 La	razón	de	semejanza	de	dos	triángulos	es	de	
9/4.	Calcular	 la	 relación	 de	 los	 perímetros	 de	
estos	triángulos	semejantes.
12.	 En	 la	 figura	 mostrada,	 se	 tienen	 tres	 figuras	
semejantes	entre	sí:
	
a
a'
a''
b'
b''
b
	 Calcular:
	 •	 La	razón	de	semejanza	entre	la	primera	y	la	
tercera.
	 •	 La	 razón	 de	 proporcionalidad	 entre	 la	
segunda	y	la	tercera.
13.	Grafique	al	triángulo	ABC	y	marque	"R"	en	AC,	
"E"	y	"F"	en	BC	de	modo	que:	AB//ER,	AE//RF,
	 EF=8	cm	y	FC=12	cm.	Calcule	el	valor	de	"BE".
14.	Dado	el	triángulo	ABC,	inscriba	el	paralelogramo	
PBQM	("P"	en	AB,	"Q"	en	BC	y	"M"	en	AC).	
Las	prolongaciones	de	PQ	y	AC	se	interceptan	
en	 "N".	 Calcular	 el	 valor	 de	 "MN",	 sabiendo	
que:	AN=3 3 	cm	y	CN= 3 	cm.
15.	 En	 un	 triángulo	 ABC	 de	 incentro	 "I",	 se	 sabe	
que	la	m AIC	es	135º.	¿Cuál	es	la	posición	de	
su	circuncentro?
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Geometría
Unidad IV
Geometría 4
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
16.	 Los	catetos	de	un	triángulo	rectángulo	miden	5	y	
12	 cm.	Calcular	 la	 distancia	 del	 ortocentro	 al	
circuncentro.
17.	 Los	catetos	de	un	triángulo	rectángulo	miden	8	
y	15	cm.	Calcular	la	distancia	entre	su	incentro	
y	circuncentro.
18.	 En	 un	 triángulo	 ABC:	 m A=m C+90º.	
Calcule	la	longitud	de	la	altura	BH	relativa	al	
lado	AC,	si:	AH=2	cm	y	AC=6	cm.	
19.	 En	el	gráfico:	AB=4	y	ON=3.	Calcular	"BC".
B
A
P
C
N
H O
qºqº
20.	Del	gráfico:	PQ=2m	y	QC=3m.	Calcular	"TP".	
("P"	y	"T"	puntos	de	tangencia).
T
P Q
CHBA
1.	 Grafique	 al	 romboide	 ABCD	 y	 marque	 "R"	
en	AD.	Las	 líneas	AC	y	 RB	se	cortan	en	"O",	
de	modo	 que	AO	 y	OC	 se	 encuentran	 en	 la	
relación	 de	 7	 a	 9.	 Calcular	 el	 valor	 de	 "BC",	
sabiendo	que:	RA=14	cm.
2.	 Grafique	al	triángulo	acutángulo	ABC	de	circun-
centro	"O"	de	modo	que	el	ángulo	OAC	mida	
20º.	Calcular	la	m ABC.
3.	 Indicar	 si	 es	 verdadero	 (V)	 o	 falso	 (F),	 luego	
justifique	y/o	ejemplifique	su	respuesta.
	 •	 El	circuncentro	de	un	triángulo	es	siempre	
un	punto	interior	a	él.
	 •	 Al	 trazar	 una	 paralela	 a	 un	 lado	 de	 un	
triángulo	 cualquiera,	 se	 determina	 otro	
triángulo	igual	al	inicial.
	 •	 Las	 bisectrices	 interiores	 se	 cortan	 en	 un	
punto	denominado	incentro.
4.	 En	 la	 figura	 mostrada,	 se	 tienen	 tres	 figuras	
semejantes	entre	sí:	
	
a
a'a''
b'
b''
b
	 Calcular:
	 •	 La	razón	de	semejanza	entre	la	primera	y	la	
segunda.
	 •	 La	proporción	en	la	que	se	encuentran	los	
elementos	homólogos	de	las	tres	figuras.
5.	 Grafique	al	triángulo	ABC,	marque	el	excentro	
"E"	 relativo	 al	 lado	AC	 y	 el	 incentro	 "I".	 Si	 la	
medida	del	ángulo	AIC	es	de	100º,	calcular	la	
m AEC.
6.	 Grafique	 al	 triángulo	 ABC	 y	 trace	 la	 bisectriz	
interior	BQ.	Si	las	longitudes	de	AB,	BC	y	AC	
miden	5;	7	y	6	cm,	calcular	el	valor	de	"AQ".
7.	 Dado	 el	 triángulo	 ABC,	 se	 traza	 la	 mediana	
BM	y	las	bisectrices	de	los	ángulos	"A"	y	"C",	
que	interceptan	a	 BM,	en	los	puntos	"E"	y	"F"	
respectivamente	("E"	en	BF).	Si:	AB+BC=2AC,	
BE=3	cm	y	FM=2	cm,	calcular	el	valor	de	"EF".
8.	 Grafique	al	triángulo	isósceles	ABC	(AB=BC)	
de	 ortocentro	 "H"	 e	 incentro	 "I".	 Calcule	 la	
m HCI,	 sabiendo	que	es	congruente	con	el	
ángulo	ABI.
9.	 Grafique	al	triángulo	ABC,	marque	el	excentro	
"E"	 relativo	 al	 lado	AC	 y	 el	 incentro	 "I".	 Si	 la	
medida	del	ángulo	AIC	es	de	115º,	calcular	
la	m AEC.
10.	Grafique	 al	 triángulo	 acutángulo	 ABC	 y	 a	 su	
circunferencia	 circunscrita.	 Luego	 ubique	 el	
circuncentro	"F"	y	calcule	la	m AFC.	Considere	
que	la	m ABC	es	68°.
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Repaso
11.	 En	un	triángulo	ABC,	el	producto	de	los	lados	
AB	y	BC	es	80	cm2.	Si	la	longitud	de	la	altura	
BH	es	 5	 cm,	 calcular	 el	 circunradio	 de	dicho	
triángulo.
12.	 Sea	ABC	un	triángulo	rectángulo	de	hipotenusa	
AC	 y	 sea	 "M"	punto	medio	del	cateto	 BC.	La	
distancia	de	"M"	hacia	la	hipotenusa	es	5	cm	y	
el	cateto	AB	mide	15	cm.	Calcular	el	valor	de	
"BC".
13.	Grafique	al	 triángulo	ABC	y	 trace	PQ	paralela	
a	AC	("P"	en	AB	y	"Q"	en	BC),	de	modo	que:	
PQ=6	 cm	 y	 3QB=2CQ.	 Calcule	 el	 valor	 de	
"AC".
14.	Dado	el	triángulo	ABC,	trace	la	bisectriz	interior	
AE	y	luego	EF	paralela	a	AC	("F"	en	AB).	Calcule	
el	valor	de	"AF",	sabiendo	que:	CE=3EB	y	que	
AC=16	cm.
15.	 Indicar	 si	 es	 falso	 (F)	 o	 verdadero	 (V),	 según	
corresponda:
	 •	 El	baricentro	es	el	punto	de	corte	
	 	 de	las	alturas.	.....................................(___)
	 •	 El	incentro	es	el	punto	de	corte	
	 	 de	las	bisectrices	exteriores.	...............(___)
	 •	 El	ortocentro	se	encuentra	en	el	
	 	 vértice	del	ángulo	recto	en	los	
	 	 triángulos	rectángulos.	.......................(___)
16.	 Indicar	 si	 es	 falso	 (F)	 o	 verdadero	 (V),	 según	
corresponda:
	 •	 Todo	triángulo	tiene	dos	excentros.	...(___)
	 •	 El	excentro	de	un	triángulo	coincide
	 	 con	el	centro	de	la	circunferencia	
	 	 inscrita.	..............................................(___)
	 •	 El	baricentro	de	un	triángulo	divide
	 	 a	su	mediana	en	la	relación	de
	 	 dos	a	uno.	..........................................(___)
	 •	 Todo	triángulo	tiene	al	ortocentro
	 	 como	punto	interior.	..........................(___)
17.	 "E"	 es	 el	 excentro	 del	 triángulo	 ABC.	 Si	 el	
ángulo	BAC	mide	40°,	calcular	la	m BEC.
B
A
C
E
18.	 Si:	 a //	 b //	 c ;	 AB=24;	 DE=27;	 EF=18	 y	
MN=BC+14;	hallar	"BC+NH".
M
N
H
D a
E b
F c
A
B
C
19.	 En	un	triángulo	PQR	se	traza	EF	//	PR	("E"	∈	PQ	
y	 "F"	∈ QR),	 de	 modo	 que:	 QE=4;	 EP=8	 y	
FQ=6.	Hallar	"QR".
20.	Del	gráfico,	calcular	"OB",	siendo:
	 3AO=
2
OD=
4
DF 	y	BE=45	(
L1	//	L2	//	L3)
O
L1
L2
L3
D
E F
A B
C
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